Hilbert negyedik problémája

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. június 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Hilbert negyedik problémája a Hilbert -problémák listáján a geometria alapvető axiómarendszerére vonatkozik . A probléma az, hogy

„Definiáljunk mindent a klasszikus geometriák axiómarendszereinek (Euklidész, Lobacsevszkij és elliptikus) megvalósításának izomorfizmusáig, ha kihagyják a szögfogalmakat tartalmazó kongruencia axiómáit, és egészítsük ki ezeket a rendszereket a háromszög-egyenlőtlenség axiómájával” [1] .

Egy sík esetében, ha elfogadjuk a kontinuitás axiómáját, akkor a Darboux által felvetett problémához jutunk:

"Keresd meg a síkon az összes olyan variációs problémát, amelynek megoldásai mind egyenesek a síkon" [2] .

Lapos mérőszámok

Desargues -tétel igaz :
Ha két háromszög úgy helyezkedik el egy síkon, hogy a háromszögek megfelelő csúcsait összekötő egyenesek egy ponton mennek át, akkor az a három pont, ahol a háromszög három pár megfelelő oldalának kiterjesztése metszik egy egyenesen

A IV. Hilbert-probléma megoldásának szükséges feltétele az a követelmény, hogy a feladat axiómáit kielégítő metrikus tér Desargues-i legyen, vagyis a következő feltételeknek kell teljesülniük:

Ha a tér kétdimenziós, akkor szükséges, hogy Desargues tétele és fordítva érvényes legyen;
Ha a tér mérete nagyobb, mint kettő, akkor szükséges, hogy bármely három pont ugyanazon a síkon legyen.

Desargues-i terekre Hamel bebizonyította, hogy a Hilbert-probléma bármely megoldása leképezhető valós projektív térben vagy konvex tartományban , ha a szakaszok kongruenciáját hosszuk egyenlőségén keresztül határozzuk meg egy speciális metrikában, amelyre a projektív vonalai. tér geodéziai. ${\displaystyle RP^{n))$ $RP^{n},$

Az ilyen mutatókat laposnak vagy projektívnek nevezzük.

Így a Hilbert-probléma megoldása az összes teljes lapos metrika konstruktív meghatározásának problémájára redukálódott.

Hamel ezt a problémát úgy oldotta meg, hogy a metrika megfelelő szabályosságát javasolta [3] . Azonban, amint az egyszerű példák is mutatják, a normál lapos mérőszámok messze nem merítenek ki minden lapos mérőszámot. A geometria által figyelembe vett axiómákból csak a metrikák folytonossága következik. Ezért a Hilbert-probléma teljes megoldása magában foglalja az összes folytonos lapos metrika konstruktív meghatározását.

Hilbert IV. problémájának háttere

1900-ig ismert volt Cayley-Klein értelmezése Lobacsevszkij geometriájáról az egységkörben , ahol a kör húrjai egyenesek, a pontok távolságát pedig négy pont összetett arányának logaritmusaként határozzák meg.

A kétdimenziós Riemann-metrikák esetében E. Beltrami (1835-1900) bebizonyította, hogy az egyetlen lapos metrika az állandó görbületű metrikák [4] .

A többdimenziós Riemann-metrikák esetében ezt az állítást E. Cartan igazolta 1930-ban.

1890-ben G. Minkowski a számelmélet kapcsán bevezette az általunk ma véges dimenziós Banach-tereket [5] .

Minkowski tér

${\displaystyle F_{0}\subset \mathbb {E} ^{n))$ egy kompakt zárt konvex hiperfelület az euklideszi térben, implicit módon definiálva

F_{0}=\{y\in E^{n}:F(y)=1\}.

A funkció megfelel a feltételeknek: $F=F(y)$

$F(y)\geqslant 0,\qquad F(y)=0\Leftrightarrow y=0$ ;
$F(\lambda y)=\lambda F(y),\qquad \lambda \geqslant 0$ ;
$F(y)\in C^{k}(E^{n}\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3$ ;
${\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}\xi ^{i}\xi ^{j}>0$ .

Állítsuk be az OA vektor hosszát így:

||OA||_{M}={\frac {||OA||_{\mathbb {E} }}{||OL||_{\mathbb {E} }}}.

Az ilyen metrikával rendelkező teret Minkowski-térnek nevezzük.

A hiperfelület lehet szabálytalan konvex felület. Az így megadott mérőszám lapos. $F_{{0}}$

Finsler szóközök

Legyen M egy sima véges dimenziós sokaság és M egy érintőköteg. Egy függvényt Finsler-metrikának nevezünk, ha $(x,y)\in TM$ $F(x,y)\colon TM\rightarrow [0,+\infty )$

$F(x,y)\in C^{k}(TM\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3$ ;
Minden pontra a függvény korlátozása a Minkowski-norma. $x\-ben M$ $F(x,y)$ $T_{x}M$

${\megjelenítési stílus (M, F)}$ Finsler-térnek hívják.

Hilbert geometria

$U\subset (\mathbb {E} ^{n+1},\|.\|_{\mathbb {E} })$ korlátos nyitott konvex halmaz C 2 osztályú határvonallal és pozitív normálgörbületekkel. A Lobacsevszkij-tér analógiájára a hiperfelületet a Hilbert-geometria abszolútumának nevezzük [6] . $\partial U$

Hilbert metrika

d_{U}(p,q)={\frac {1}{2))\ln {\frac {\|q-q_{1}\|_{E)){\|q-p_ {1}\|_{E))}\times {\frac {\|p-p_{1}\|_{E)){\|p-q_{1}\|_{E))}.

$d_{U}$ Finsler Hilbert metrikát indukál U - n bármely és (lásd az ábrát) $F_{U}$ $x\u-ban$ $y\in T_{x}U$

F_{U}(x,y)={\frac {1}{2}}\|y\|_{\mathbb {E} }\left({\frac {1}{\|x- x_{+}\|_{\mathbb {E} }}}+{\frac {1}{\|x-x_{-}\|_{\mathbb {E} }}}\jobbra).

Ez a mutató is lapos.

D. Hilbert 1895-ben vezette be Lobacsevszkij geometriájának általánosításaként. Ha a hiperfelület ellipszoid, akkor megkapjuk a Lobacsevszkij-geometriát. $\partial U$

Funk mérőszáma

1930-ban Funk bevezetett egy nemszimmetrikus mérőszámot. Zárt konvex hiperfelület által határolt régióban van megadva, és szintén lapos.

σ-metrics

Elegendő feltétel a lapos metrikákhoz

Hilbert IV. feladatának megoldásához először Hamel járult hozzá [3] . A következő állítást bizonyította.

Tétel . Ha egy rendes Finsler-mérőszám kielégíti a feltételt $F(x,y)=F(x_{1},....x_{n},y_{1},...,y_{n})$

${\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial x^{i}\partial y^{j}}}={\frac {\partial ^{2}F^{ 2}}{\partial x^{j}\partial y^{i}}},\,i,j=1..n,$

akkor lapos.

Crofton képlete

Vegyünk egy sor orientált egyenest a síkban. A vonalat az a paraméter határozza meg, ahol az egyenes távolsága az origótól, az a szög, amelyet az egyenes az Ox tengellyel bezár . Ekkor az orientált vonalak halmaza homeomorf egy egységsugarú körhengerrel, ahol a területelem . Legyen egy egyenirányítható görbe a síkban. Aztán a hossza $\rho ,\varphi ,$ $\rho$ $\varphi$ $dS=d\rho d\varphi$ $\gamma$

L={\frac {1}{4}}\iint \limits _{\Omega }n(\rho ,\varphi )dpd\varphi

ahol az adott görbét metsző egyenesek halmaza, az egyenes metszéspontjainak száma a görbével. Ezt M. Crofton mutatta meg 1870-ben. $\Omega$ $n(p,\varphi )$

Hasonló állítás érvényes egy projektív térben is [7] .

Blaschke-Busemann intézkedés

1966-ban G. Busemann a moszkvai Nemzetközi Matematikai Kongresszuson felszólalt a lapos metrikák új osztályát vezette be. G. Busemann egy teljesen additív, nem negatív mértéket vezetett be a projektív sík egyeneseinek halmazán , amely teljesíti a következő feltételeket: $RP^{2}$ $\sigma$

$\sigma (\tau P)=0$ , ahol a P ponton átmenő egyenesek halmaza ; $\tau P$
$\sigma (\tau X)>0$ , ahol a vonalszakaszt tartalmazó X halmazon átmenő egyenesek halmaza ; $\tau X$
$\sigma (RP^{n})$ véges.

Ha figyelembe vesszük a projektív tér tetszőleges konvex tartományában definiált -metrikát , akkor a 3) feltételt helyettesítjük azzal a követelménnyel, hogy bármely H halmaz esetén, ahol H benne van , H zárása nem metszi a határt , $\sigma$ $\Omega$ $RP^{2}$ $\Omega$ $\Omega$

\sigma (\pi H)<\infty

[8] .

Egy ilyen mérték segítségével meghatározzuk a -metrikát : $\sigma$ $RP^{2}$

|x,y|=\sigma \left(\tau [x,y]\right),

ahol a szakaszt metsző egyenesek halmaza . $\tau [x,y]$ ${\megjelenítési stílus [x,y]}$

Ennek a metrikának a háromszög-egyenlőtlensége a Pasch-tételből következik.

Tétel . -metric in egy lapos metrika, vagyis a geodetikus ebben a metrikában a projektív tér vonalai. $\sigma$ $RP^{2}$

De Busemann messze nem gondolta azt, hogy a -metrikák kimerítik az összes síkmutatót. Ezt írta: "... A geodetikus adatok megadásakor a metrikák megválasztásának szabadsága a nem Riemann-féle metrikák esetében olyan nagy, hogy kétségbe vonható, hogy valóban létezik-e minden desarguesi tér meggyőző jellemzése..." [8] . $\sigma$

Kétdimenziós eset

Pogorelov tétele

Az 1973-ban A. V. Pogorelov [9] [10] által bizonyított tétel meglepőnek bizonyult .

Tétel . Bármely kétdimenziós folytonos teljes lapos metrika -metrika. $\sigma$

Így IV. Hilbert problémája a kétdimenziós esetre teljesen megoldódott.

Egyéb bizonyítékok

1976-ban R. B. Ambartsumian újabb bizonyítékot adott Hilbert IV problémájára [11] . Bizonyítása összefügg azzal, hogy a kétdimenziós esetben a teljes mértéket a digonokon lévő értékekből rekonstruálják. És akkor a háromszögeken ugyanúgy megadják, mint egy gömbön lévő háromszög területét. Nem degenerált háromszögeken ez pozitív, mivel a háromszög-egyenlőtlenség fennáll, és akkor a mértéket minden Borel-halmazra meghatározzuk. De ez a konstrukció dimenziójában nem általános. Ez összefügg Hilbert III. feladatával, amelyet M. Dehn oldott meg. A kétdimenziós esetben az egyenlő területű sokszögek egyforma összetételűek. Egy magasabb dimenzióban, amint azt M. Dehn mutatja, ez nem igaz.

3D tok

Az n=3 esetre A. V. Pogorelov a következő tételt igazolta

Tétel. Bármely háromdimenziós szabályos folytonos teljes lapos metrika -metrika. $\sigma$

Háromdimenziós esetben azonban a -mértékek pozitív és negatív értékeket is felvehetnek. A következő három feltétel szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a beállított függvény által adott szabályos metrika sík legyen: $\sigma$ $\sigma$

bármely síkon az érték nulla; $\sigma$
bármely kúpban az érték nem negatív; $\sigma$
az érték pozitív, ha a kúp belső pontokat tartalmaz. $\sigma$

Ezenkívül A. V. Pogorelov kimutatta, hogy a háromdimenziós esetben bármely teljes folytonos lapos metrika az egyenletes konvergenciájú szabályos -metrikák határa a tartomány bármely kompakt aldomainjében, ahol ez a metrika meg van határozva. Az ilyen mérőszámokat általánosított -metrikának nevezte. $\sigma$ $\sigma$

Így A. V. Pogorelovnak sikerült ezt bebizonyítania

Tétel. Minden teljes folytonos lapos metrika háromdimenziós esetben általánosított értelemben -metrika. $\sigma$

G. Busemann A. V. Pogorelov `` Hilbert negyedik problémája című könyvének fordításában ezt írta: "A kor szellemének megfelelően Hilbert az n = 2, 3 méretekre korlátozta magát. A. V. Pogorelov is korlátozta magát Bár a valódi különbség n = 2 és n > 2 között. Pogorelov módszere n > 3 esetén is működik, csak további technikai részleteket igényel [12] ."

Többdimenziós eset

A Hilbert-probléma IV. többdimenziós esetét ZI Sabo tanulmányozta. 1986-ban bebizonyította, ahogy ő maga írja, Pogorelov általánosított tételét: Tétel. Bármely n - dimenziós Desargues osztályteret a Blaschke-Busemann konstrukció generál. $C^{n+2},n>2$

$\sigma$ -a mértékegységet generáló mérték a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

$\sigma$ -A fix ponton áthaladó hipersíkok mértéke nulla.
$\sigma$ -az olyan hipersíkok halmazának mértéke, amelyek két szakaszt metszenek [x, y], [y, z] , ahol x, y, z nem kollineáris, pozitív.

Ugyanez a cikk egy olyan lapos metrikára ad példát, amelyet nem a Blaschke-Busemann konstrukció generál. ZI Sabo minden folytonos lapos metrikát leírt az általánosított függvények nyelvén [13] .

IV Hilbert probléma és konvex testek

IV Hilbert problémája is szorosan összefügg a konvex testek tulajdonságaival. A konvex poliédert zonotópnak nevezzük, ha ez (Minkowski szerint) a vonalszakaszok összege. Egy konvex testet, amely a Blaschke-Hausdorff metrikában a zonotópok határa, zonoidnak nevezzük . A zonoidok esetében a támogatási függvényt a következőképpen ábrázoljuk

h(x)=\int \limits _{S^{n-1}}|\langle x,u\rangle |\partial \sigma (u),

hol van egy páros pozitív Borel-mérték a gömbön . $\sigma (u)$ $S^{{n-1}}$

A Minkowski-teret a Blaschke-Busemann konstrukció akkor és csak akkor generálja, ha az indikátor támaszfüggvénye a fent megadott alakú, ahol egy még nem feltétlenül előjelkonstans Borel-mérték [14] . Az ilyen hiperfelületek által határolt testeket generalizált zonoidoknak nevezzük. $\sigma (u)$

Az oktaéder az euklideszi térben nem általánosított zonoid. A fenti állításból tehát az következik, hogy a Minkowski-tér lapos metrikáját a normával nem a Blaschke-Busemann konstrukció generálja. $|x_{1}|+|x_{2}|+|x_{3}|\leqslant 1$ $E^{3}$ ${\displaystyle \|x\|=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|\))$

Hilbert-probléma általánosításai IV

[15] -ben találtak egyezést a lapos n - dimenziós Finsler-metrikák és a speciális szimplektikus formák között egy Grassmann-elosztón . $G(n+1,2)$ $E^{n+1}$

A Hilbert-féle IV-probléma időszakos megoldásait vizsgáltuk:

Legyen (M, g) egy kompakt lokális euklideszi Riemann-sokaság. Adott egy Finsler-metrika, amelynek geodetikusa egybeesik a g metrikával . Ekkor a Finsler-metrika egy lokális Minkow-metrika és egy zárt 1-forma összege [16] . $C^{2}$

Legyen (M, g) egynél nagyobb rangú kompakt szimmetrikus Riemann-tér. Ha F egy szimmetrikus Finsler-metrika, amelynek geodetikusa egybeesik a g Riemann-metrika geodetikusával, akkor (M, F) szimmetrikus Finsler-tér [16] . $C^{2}$

Hilbert IV. problémájának egy másik bemutatása Pavey 2003-as cikkében [17] található .

Megoldatlan problémák

Hilbert IV. problémája aszimmetrikus távolságra nincs megoldva.
Az utolsó tétel analógja az első rangú szimmetrikus terek esetére ismeretlen.
Írja le azokat a mérőszámokat, amelyekre a k -síkok minimalizálják a k -területet (G. Busemann) [18] . ${\displaystyle RP^{n))$

Irodalom

↑ D. Hilbert, Mathematische Probleme , Gottinger Nachrichten, 1900, 253-297
↑ G. Darboux, Lecons sur la theorie generale des felületek , V.III, Párizs, 1894.
↑ 1 2 G. Hamel, Uber die Geometrien in denen die Geraden die Kurzesten sind , Math. Ann. 57 (1903), 221-264.
↑ E. Beltrami, Risoluzione del Problema: Riportare i punti di una superficie sobra un piano in modo che le linee geodetiche Vengano rappresentate da linee rette , Annali di Matematica Pura ed Applicata, no. 7 (1865), 185-204
↑ H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Lpz.-B., 1953
↑ D. Hilbert, Uber die gerade Line als kurzeste Verbindung zweier Punkte , Math. Ann. 46 (1895), 91-96
↑ LA Santalo, Integral geometry.- In: Studies in Global Geometry and Analysis (SS Chern, szerk.), Washington, DC: Math. asoc. Amer, 147-195
↑ 1 2 G. Buseman, Geometry of geodesics , Moszkva, 1962.
↑ A. V. Pogorelov, A IV. Hilbert-probléma teljes megoldása , DAN USSR No. 208, 1. kötet (1973), 46-49. Angol fordítás: AV Pogorelov, Hilbert negyedik problémájának teljes megoldása , Dokl. Acad. Nauk SSR, Vol. 208, No. 1 (1973), 48-52.
↑ A. V. Pogorelov, Hilbert negyedik problémája . Szerk. Nauka, 1974. Angol fordítás: AV Pogorelov, Hilbert's Fourth Problem , Scripta Series in Mathematics, Winston and Sons, 1979.
↑ RV Ambartzumian, Megjegyzés a pszeudometriáról a síkon , Z. Wahrscheinlichkeits theor. Verw. Geb. 37 (1976), 145-155.
↑ H. Busemann, Áttekintés: A. V. Pogorelov, Hilbert negyedik problémája , Bull. amer. Math. szoc. (NS) Vol. 4, No. 1 (1981), 87-90.
↑ ZI Szabó, Hilbert negyedik problémája I , Adv. Math. 59 (1986), 185-301.
↑ R. Alexander, Zonoid elmélet és Hilbert negyedik probléma , Geom. Dedicata 28, 2. sz (1988), 199-211.
↑ JC Alvarez Paiva, Szimpletikus geometria és Hilbert negyedik probléma , J. Differ. Geom. 69, 2. szám (2005), 353-378.
↑ 1 2 J. C. Alvarez Pavia és J. Barbosa Gomes, Periodic Solutions of Hilbert negyedik probléma , 20 pp. arXiv:1809.02783v1[math.MG], 2018.
↑ JC Alvarez Paiva, Hilbert negyedik probléma két dimenzióban I , in: MASS selecta: a haladó egyetemi matematika tanítása és tanulása, szerk. S. Katok és munkatársai, Providence, RI, AMS, (2003), 165-183.
↑ A. Papadopoulos, Hilbert negyedik problémája , 1-43. A Hilbert geometria kézikönyve (A. Papadopoulos és M. Troyanov, szerk.), Európai Matematikai Társaság, IRMA Matematikai és elméleti fizikai előadások, 22. szám (2014), p. 460.

Hilbert problémák
egy 2 3 négy 5 6 7 nyolc 9 tíz tizenegy 12 13 tizennégy tizenöt 16 17 tizennyolc 19 húsz 21 22 23 ( 24 )