Hilbert harmadik problémája

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 4-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Hilbert harmadik problémája a harmadik azon problémák közül , amelyeket David Hilbert 1900-ban Párizsban a II. Nemzetközi Matematikuskongresszuson tartott híres előadásában felvetett. Ez a probléma a poliéderek egyenlő összetételének kérdésével foglalkozik : két egyenlő térfogatú poliéder véges számú egyenlő részre vágásának lehetősége.

Egy ilyen kérdés felvetése annak volt köszönhető, hogy egy síkon tetszőleges két egyenlő területű sokszög egyforma összetételű - ahogy a Bolyai-Gervin tétel is mondja . Másrészt a tetraéder térfogatának képletének (a magasság és az alapterület 1/3-a) bizonyítási módszerei valamilyen módon összekapcsolódtak a határátmenetekkel, így a tetraéder axiómájával. Archimedes [1] . Bár a Hilbert által javasolt megfogalmazásban szó szerint a tetraéderek egyenlő összetételéről volt szó (pontosabban egy ilyen felosztás általános esetben lehetetlenségének bizonyításáról), azonnal és természetesen kibővül az egyenlő összetétel kérdésére. adott térfogatú tetszőleges poliéderek (pontosabban az ehhez a feltételekhez szükséges és elégségesek).

A harmadik probléma Hilbert problémái közül a legegyszerűbbnek bizonyult: egy évvel később, 1901-ben, Hilbert tanítványának, M. V. Dehnnek a munkájában [2] mutattak be egy példát egyenlő térfogatú egyenlőtlen tetraéderekre . Nevezetesen megszerkesztett (valamilyen absztrakt csoportban értékeket véve ) egy mennyiséget - a Dehn-invariánst -, amelynek értékei az egyenlő összetételű poliédereken egyenlők, és bemutatott egy példát egyenlő térfogatú tetraéderekre, amelyekre a A Dehn invariánsok különbözőek.

Később, Seidlermunkájában [3] 1965-ben kimutatta, hogy a térfogat és a Dehn-invariáns egybeesése nemcsak szükséges, hanem elégséges feltétele is a poliéderek egyenkompozíciójának.

A probléma leírása

Hilbert harmadik problémája a következőképpen fogalmazódik meg:

Gauss Gerlinghez írt két levelében sajnálatát fejezi ki amiatt, hogy a sztereometria egyes jól ismert álláspontjai a kimerülés módszerétől, vagyis modern szóhasználattal a folytonossági axiómától (vagy Arkhimédész axiómájától) függnek.

Gauss külön megjegyzi Eukleidész tételét, amely szerint az egyenlő magasságú háromszög alakú piramisok térfogata az alapjaik területéhez viszonyít. A planimetria hasonló problémája mára teljesen megoldódott. Gerlingnek sikerült bebizonyítania a szimmetrikus poliéderek térfogatának egyenlőségét egybevágó részekre bontásával.

Mindazonáltal számomra úgy tűnik, hogy Eukleidész említett tételének ilyen módon történő bizonyítása általános esetben lehetetlen, és ez láthatóan megerősíthető a lehetetlenség szigorú bizonyításával.

Ilyen bizonyítást lehetne szerezni, ha meg lehetne jelölni két egyenlő alappal és egyenlő magasságú tetraédert, amelyek semmilyen módon nem bonthatók fel egybevágó tetraéderekre, és amelyeket szintén nem lehet egybevágó tetraéderekkel kiegészíteni olyan poliéderekre, amelyeknél a bontás egybevágó tetraéderekre talán .

David Hilbert (idézet V. G. Boltyansky könyvéből [4] )

Dehn invariánsa

A Dehn által szerkesztett invariáns egy absztrakt csoportban vesz fel értékeket (és ráadásul egy vektorteret a felett ) $\mathbb {Q}$

V=\mathbb{R} \otimes _{{\mathbb{Q} }}\mathbb{R} /\langle \{l\otimes \pi \mid l\in \mathbb{R} \}\rangle .

Nevezetesen, egy élhosszúságú és megfelelő diéderszögű P politóp esetén a Dehn invariáns D(P) egyenlő: $l_{1},\pontok ,l_{n}$ $\alpha _{1},\pontok ,\alpha _{n}$

D(P):=\összeg _{i}l_{i}\otimes \alpha _{i}\in V

Egy poliéder részekre vágásakor az "élbe foglalt szög hossza" összeg értéke csak akkor változhat, ha új élek jelennek meg / tűnnek el, belül vagy a határon. De az ilyen éleknél a velük szomszédos diéderszögek összege egyenlő vagy rendre egyenlő, ezért a V tényező elemeként a Dehn-invariáns nem változik. $\otimes$ $2\pi$ $\pi$

Példa

A Dehn-invariáns alkalmazására példa a kocka és egy egyenlő térfogatú szabályos tetraéder egyenetlen összetétele: l élű kockára a Dehn-invariáns , a - élű szabályos tetraéderre pedig a - $12l\otimes {\frac {\pi }{2))=6l\otimes \pi =0$

6a\otimes 2\arctan {\frac {1}{{\sqrt {2))))\neq 0,

mert a $\arctan {\frac {1}{{\sqrt {2))))\notin \mathbb{Q} \pi .$

Jegyzetek

↑ Archivált másolat (a hivatkozás nem elérhető) . Letöltve: 2010. március 25. Az eredetiből archiválva : 2011. október 17.. (határozatlan) Archivált másolat (nem elérhető link) . Letöltve: 2010. március 25. Az eredetiből archiválva : 2011. október 17.. (határozatlan)
↑ Max Dehn: "Über den Rauminhalt", Mathematische Annalen 55 (1901), sz. 3, 465-478.
↑ Sydler, J.-P. "Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidean à trois dimensions." megjegyzés. Math. Helv. 40, 43-80, 1965.
↑ Boltyansky V. G. Hilbert harmadik problémája . - M. : Nauka, 1977. - S. 46. - 208 p. Archiválva : 2017. április 21. a Wayback Machine -nál

Linkek

Weisstein, Eric W. Dehn Invariant (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .

Irodalom

Hilbert problémái / szerk. P. S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 p. — 10.700 példány. Archivált : 2011. október 17. a Wayback Machine -nél
Boltyansky V. G. Hilbert harmadik problémája
Dehn, M. "Über raumgleiche Polyeder." Nachr. Konigl. Ges. der Wiss. zu Göttingen fd Jahr 1900, 345-354, 1900.
Dehn, M. "Über den Rauminhalt." Math. Ann. 55, 465-478, 1902.
Sydler, J.-P. "Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidean à trois dimensions." megjegyzés. Math. Helv. 40, 43-80, 1965.
P. Cartier, Décomposition des polyèdres: le point sur le troisième problème de Hilbert , Séminaire Bourbaki, 1984-85, n° 646, p. 261-288.

Hilbert problémák
egy 2 3 négy 5 6 7 nyolc 9 tíz tizenegy 12 13 tizennégy tizenöt 16 17 tizennyolc 19 húsz 21 22 23 ( 24 )