Poligon
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. július 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .A sokszög egy geometriai alakzat, amelyet általában egy zárt vonallánc által határolt sík részeként határoznak meg . Ha a határpoligonnak nincsenek önmetszéspontjai , a sokszöget egyszerűnek [1] nevezzük . Például a háromszögek és a négyzetek egyszerű sokszögek, de a pentagram nem az.
A vonallánc töréspontjait a sokszög csúcsainak , linkjeit pedig a sokszög oldalainak nevezzük. A sokszög oldalainak száma megegyezik a csúcsainak számával [2] .
A definíciók változatai
Három különböző lehetőség van a sokszög meghatározására; ez utóbbi meghatározás a legelterjedtebb [1] .
- A lapos zárt szaggatott vonal a legáltalánosabb eset;
- Lapos zárt vonallánc önmetszéspontok nélkül , amelynek bármely két szomszédos láncszeme nem esik ugyanazon az egyenesen;
- A sík zárt vonallánc által határolt része önmetszéspontok nélkül lapos sokszög ; ebben az esetben magát a vonalláncot nevezzük a sokszög körvonalának .
Több lehetőség is van ennek a definíciónak az általánosítására, lehetővé téve végtelen számú szaggatott vonalat, több szétválasztott határvonalat, szaggatott vonalakat a térben, folytonos görbék tetszőleges szakaszait az egyenesek szegmensei helyett stb. [1]
Kapcsolódó definíciók
- Egy sokszög csúcsait szomszédoknak nevezzük , ha azok valamelyik oldalának végei.
- Egy sokszög oldalait szomszédosnak nevezzük, ha ugyanazzal a csúcsgal szomszédosak.
- Egy sokszög minden oldalának teljes hosszát kerületének nevezzük .
- Az átlók olyan szakaszok, amelyek egy sokszög nem szomszédos csúcsait kötik össze.
- Egy lapos sokszög szöge (vagy belső szöge ) egy adott csúcsban az abban a csúcsban összefutó két oldal szöge . A szög meghaladhatja , ha a sokszög nem konvex. Egy egyszerű sokszög sarkainak száma megegyezik oldalainak vagy csúcsainak számával.
- Egy konvex sokszög külső szöge egy adott csúcsban az a szög , amely szomszédos a sokszögnek az adott csúcsban lévő belső szögével. Nem konvex sokszög esetén a külső szög a belső szög különbsége , értéket vehet fel -tól .
- A szabályos sokszög beírt körének középpontjából az egyik oldalra ejtett merőlegest apotémnek nevezzük .
A sokszögek típusai és tulajdonságaik
- A három csúcsú sokszöget háromszögnek nevezzük , négyszöget négyszögnek , ötszöget ötszögnek és így tovább. A csúcsokkal rendelkező sokszöget -gonnak nevezzük .
- A konvex sokszög olyan sokszög, amely bármely, az oldalát tartalmazó egyenes egyik oldalán fekszik (vagyis a sokszög oldalainak kiterjesztései nem metszik a többi oldalát). A konvex sokszögnek más ekvivalens definíciói is vannak . A konvex sokszög mindig egyszerű , azaz nincs metszéspontja.
- A konvex sokszöget szabályosnak nevezzük , ha minden oldala és minden szöge egyenlő, például egy egyenlő oldalú háromszög , négyzet és szabályos ötszög . A szabályos -gon Schläfli szimbóluma .
- Az olyan sokszöget, amelynek minden oldala és minden szöge egyenlő, de amelyek metszéspontjai vannak, szabályos csillagozott sokszögnek nevezzük , például pentagramnak és oktagramnak .
- Egy sokszöget körbe írtnak nevezünk , ha minden csúcsa ugyanazon a körön fekszik. Magát a kört körülírtnak nevezzük , és középpontja a sokszög oldalainak mediális merőlegeseinek metszéspontjában található. Bármely háromszög be van írva valamilyen körbe.
- Egy sokszöget körülírt körnek nevezünk, ha minden oldala érint egy kört. Magát a kört beírtnak nevezzük , középpontja pedig a sokszög szögfelezőinek metszéspontjában van. Bármely háromszög körül van írva valamilyen kör.
- Egy konvex négyszöget kör közelében nem körülírtnak nevezünk , ha minden oldalának kiterjesztése (de maguk az oldalak nem) érintik valamelyik kört. [3] A kört excircle -nek nevezzük . Egy tetszőleges háromszögre is létezik excircle .
Általános tulajdonságok
A háromszög egyenlőtlenség
A háromszög - egyenlőtlenség azt mondja ki, hogy a háromszög bármely oldalának hossza mindig kisebb, mint a másik két oldala hosszának összege: . A fordított háromszög egyenlőtlenség azt mondja ki, hogy a háromszög bármely oldalának hossza mindig nagyobb, mint a másik két oldala hossza közötti különbség modulusa.
A négyszög egyenlőtlenség
- Négyszög egyenlőtlenség - a négyszög bármely két oldalának különbségének modulusa nem haladja meg a másik két oldal összegét : .
- Ezzel egyenértékűen: bármely négyszögben (beleértve az elfajultat is) három oldala hosszának összege nem kisebb, mint a negyedik oldal hossza, azaz: ; ; ; .
Sokszög szögösszeg tétele
Egy egyszerű lapos gon belső szögeinek összege [4] . A külső szögek összege nem függ az oldalak számától, és mindig egyenlő
Átlók száma
- Bármely -gon átlóinak száma .
Terület
Legyen a -gon egymás melletti csúcsainak koordinátáinak sorozata önmetszéspontok nélkül. Ezután a területét a Gauss-képlettel számítjuk ki :
, hol .
Ha figyelembe vesszük a sokszög oldalainak hosszát és az oldalak azimutszögeit, akkor a sokszög területét Sarron képletével [5] találhatjuk meg .
A szabályos szög területét a [6] képlet egyikével számítjuk ki :
- a kerület -gon és apothem szorzatának fele :
- .
ahol a sokszög oldalának hossza, a körülírt kör sugara, a beírt kör sugara.
A figurák négyzetre emelése
Sokszöghalmaz segítségével meghatározzuk a síkon egy tetszőleges ábra négyzetre emelését és területét . Egy alakot négyzetre emelésnek nevezünk, ha bármelyikhez van egy sokszögpár és , így és , ahol a területet jelöli .
Változatok és általánosítások
- A poliéder egy háromdimenziós sokszög, egy sokszögekből álló zárt felület vagy egy általa határolt test általánosítása.
Jegyzetek
- ↑ 1 2 3 Sokszög // Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 3. - S. 749-752.
- ↑ 1 2 3 Elemi matematika, 1976 , p. 383-384.
- ↑ Kartaslov.ru
- ↑ Elemi matematika, 1976 , p. 499.
- ↑ Khrenov L. S. A sokszögek területének kiszámítása Sarron módszerével A Wayback Machine 2020. július 19-i archív példánya // Matematikai oktatás. 1936. 6. szám S. 12-15
- ↑ Elemi matematika, 1976 , p. 503-504.
Irodalom
- Zajcev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Alapfokú matematika. Ismételje meg a tanfolyamot. - Harmadik kiadás, sztereotip. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Linkek
| Sokszögek | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Az oldalak száma szerint |
| ||||
| Helyes |
| ||||
| háromszögek | |||||
| Négyszögek | |||||
| Lásd még | |||||
| Schläfli szimbólum | |
|---|---|
| Sokszögek | |
| csillag sokszögek | |
| Lapos parketták _ | |
| Szabályos poliéder és gömb alakú parketták | |
| Kepler-Poinsot poliéder | |
| lépek | {4,3,4} |
| Négydimenziós poliéder | |
 Szótárak és enciklopédiák | |
|---|---|
| Bibliográfiai katalógusokban |
|