Szabályos nyolcszög

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. április 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Nyolcszög
Szabályos nyolcszög
Típusú	szabályos sokszög
borda	nyolc
Schläfli szimbólum	{8}, t{4}
Coxeter-Dynkin diagram
Egyfajta szimmetria	Diédercsoport (D 8 )
Négyzet	$2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}$ $=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\kb. 4828\,a^{2}.$
Belső sarok	135°
Tulajdonságok
konvex , beírt , egyenlő oldalú , egyenlő szögű , izotoxális
Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

A szabályos nyolcszög (vagy a görög οκτάγωνο szóból nyolcszög ) egy geometriai alakzat a szabályos sokszögek csoportjából . Nyolc oldala és nyolc szöge van, minden szög és oldal egyenlő.

A szabályos nyolcszögnek Schläfli szimbóluma { 8} [1] , és felállítható kvázi szabályos csonka négyzetként is, t{4}, amelyben kétféle lap váltakozik. A csonka nyolcszög (t{8}) egy hatszög (t{16}).

Tulajdonságok

Nyolcszöget úgy készíthetünk, hogy a merőleges felezőket a négyzet oldalaira húzzuk, és a metszéspontjaikat összekötjük a négyzet körülírt körével annak oldalaival.
Egy szabályos nyolcszög összes belső szögének összege 1080°
A szabályos nyolcszög szöge az $135^{\circ }$

Képletek egy szabályos nyolcszög paramétereinek kiszámításához

Példa:

t a nyolcszög oldalának hossza
r a beírt kör sugara
R a körülírt kör sugara
S a nyolcszög területe
k konstans egyenlő $(1+{\sqrt {2}})\kb. 2414$

Mivel egy oldalú négyzet sarkainak megfelelő levágásával szabályos nyolcszöget kaphatunk, így a beírt kör sugara, a körülírt kör sugara és a szabályos nyolcszög területe kiszámítható trigonometrikus függvények használata nélkül: $kt$

Szabályos nyolcszög beírt körének sugara:

r={\frac {k}{2}}t

Szabályos nyolcszög körülírt körének sugara:

R=t{\sqrt {{\frac {k}{k-1))))

Egy szabályos nyolcszög területe :

A nyolcszög oldalán keresztül

S=2kt^{2}=2(1+{\sqrt {2}})t^{2}\kb. 4828\,t^{2}.

A körülírt kör sugarán keresztül

S=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\kb. 2828\,R^{2}.

apotémen keresztül (magasság)

A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\kb. 3314\,r^{ 2}.

Négyzet négyzeten keresztül

A terület egy négyzet csonkításaként is kiszámítható

S=A^{2}-a^{2},

ahol A a nyolcszög szélessége (a második kisebb átló), a pedig az oldalának hossza. Ez könnyen kimutatható, ha egyenes vonalakat húzunk az ellentétes oldalakon, hogy négyzetet kapjunk. Könnyen kimutatható, hogy a szögletes háromszögek egyenlő szárúak, a bázissal . Ha összeadja őket (mint az ábrán), akkor egy a oldalú négyzetet kapunk .

Ha az a oldal adott , akkor A hossza az

A={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\kb. 2.414a.

Akkor a terület:

S=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\kb. 4,828 a^{2}.

Az A-n áthaladó terület (a nyolcszög szélessége)

S=2({\sqrt {2}}-1)A^{2}\kb. 0,828A^{2}.

Egy másik egyszerű területképlet:

\ S=2aA.

Az A értéke gyakran ismert, míg az a oldal értékét meg kell találni, például amikor egy négyzet alakú anyagból sarkokat vágunk, hogy szabályos nyolcszöget kapjunk. A fenti képletekből megkaptuk

a\approx A/2,414.

Egy szögháromszög két szárát a képlet adja meg

e=(Aa)/2.

Szimmetria

Egy szabályos nyolcszögnek 16-os rendű Dih 8 szimmetriacsoportja van. 3 diéder alcsoportja van - Dih 4 , Dih 2 és Dih 1 , valamint 4 ciklikus alcsoportja - Z 8 , Z 4 , Z 2 és Z 1 . Az utolsó alcsoport a szimmetria hiányát jelenti.

Egy szabályos nyolcszögnek 11 különböző szimmetriája van. John Conway a teljes szimmetriát r16 -ként jelölte meg [2] . A diéderszimmetriákat csúcsokon átmenő szimmetriákra osztják (jelöljük d - átlótól ), vagy éleken ( p - merőlegestől jelölve ). A középső oszlop ciklikus szimmetriáit g betűvel jelöljük, és a forgáscsoport sorrendjét jelöljük. A szabályos nyolcszög teljes szimmetriáját r16 jelöli, a hiányát pedig a1 jelzéssel .

Példák nyolcszögekre szimmetriájuk alapján

r16
d8	g8	8. o
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

A bal oldali ábra a nyolcszögek szimmetriatípusait mutatja. A leggyakoribb nyolcszög szimmetria a p8 , egy négy tükörből felépített egyenszögű nyolcszög, amely váltakozó hosszú, rövid oldalakkal rendelkezik, és a d8 , egy izotoxális nyolcszög, amelynek élei egyenlő hosszúak, de csúcsai két különböző belső szöggel rendelkeznek. Ez a két alak kettős egymással, és sorrendje megegyezik egy szabályos nyolcszög szimmetriájának felével.

Minden szimmetria-alcsoport egy vagy több szabadsági fokot ad a szabálytalan alakzatokhoz. Csak a g8 alcsoportnak nincs szabadságfoka, de irányított élekkel rendelkezőnek tekinthető .

Szabályos nyolcszög vágása

Coxeter azt állítja, hogy bármely 2 m-es szög, amelynek egymással párhuzamos oldalai vannak, m(m-1)/2 rombuszra vágható . Nyolcszög esetén m = 4, és az alábbi ábrán látható módon 6 rombuszra vágjuk. Ezt a vágást a tesserakt Petrie-sokszög vetületének 24 lapja közül 6-nak tekinthetjük [3] .

Szabályos nyolcszög vágása

6 gyémántért	tesserakt

Nyolcszögek alkalmazása

Azokban az országokban, amelyek elfogadták az útjelző táblákról és jelzésekről szóló bécsi egyezményt (beleértve Oroszországot ), valamint sok más országban a „ Megállni tilos ” tábla piros nyolcszögnek tűnik.

A nyolcszögletű formákat gyakran használják az építészetben. A Sziklakupola nyolcszögletű alaprajzú. Az athéni szelek tornya egy másik példa a nyolcszögletű szerkezetre. A nyolcszögletű terv olyan templomok építészetében is megtalálható, mint a Szent György-székesegyház (Addis Abeba) , a San Vitale (Ravenna városában, Olaszország), Castell del Monte (Apulia, Olaszország), a firenzei keresztelőkápolna és a nyolcszögletű templomok Norvégia . Az aacheni katedrális központi tere , a Nagy Károly-kápolna szabályos nyolcszög alakú.

Egyéb felhasználások

Az esernyők gyakran nyolcszög alakúak.
A híres türkmén szőnyeg nyolcszögletű mintát használ
A trigramokat ( taoizmus ) gyakran nyolcszögekkel ábrázolják
A híres nyolcszögletű pohár a Belitung -szigetről
A Reims-i katedrális labirintusának vázlata

Származékos számok

A csonka négyzet alakú csempének minden csúcsa közelében 2 nyolcszög van.
Egy nyolcszögletű prizma két nyolcszögletű lappal rendelkezik.
Egy nyolcszögletű antiprizma két nyolcszögletű lapot tartalmaz.
A csonka kockaéder 6 nyolcszögletű lapot tartalmaz.
Csonka köbös méhsejt

Kapcsolódó politópok

A nyolcszög csonka négyzetként az első a csonka hiperkockák sorozatában :

Csonka hiperkockák

							...
Nyolcszög	csonka kocka	csonka tesserakt	Csonka 5 kockás	Csonka 6 kockás	Csonka 7 kockás	Csonka 8 kockás

A nyolcszög mint kifeszített négyzet az első a kinyújtott hiperkockák sorozatában:

Kiterjesztett hiperkockák

							...
Oktaéder	Rombicuboktaéder	Gyalult tesserakt	Vágott 5-kockás	Ötszögletű 6 kockás	Hatszögletű 7-kocka	Féloldalas 8 kockás

Lásd még

Jegyzetek

↑ Weninger, 1974 , p. 9.
↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , p. 275-278.
↑ Ball, Coxeter 1986 , p. 155-157.

Irodalom

W. Ball, G. Coxeter . Matematikai esszék és szórakoztatás. - Moszkva: Mir, 1986.
Magnus J. Weninger. Poliéder modellek. - Cambridge University Press, 1974. - 208 p. — ISBN 9780521098595 . books.google Archiválva : 2016. január 2. a Wayback Machine -nél (angolul) Van Wenninger orosz nyelvű fordítása, de a Schläfli szimbólumok nem szerepelnek benne.
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. 20. fejezet, Általánosított Schaefli szimbólumok, A sokszög szimmetriájának típusai // A dolgok szimmetriái. - 2008. - S. 275-278. - ISBN 978-1-56881-220-5 .

Sokszögek

Az oldalak száma szerint

Monogon
Bigon
Háromszög
Négyszög
Pentagon
Hatszög
Hétszög
Nyolcszög
Pentagon
Tíz szög
Hendecagon
Tizenkét szög
Tizenhárom
tetradecagon
Pentagon
Hatszög
Tizenhét
nyolcszög
Tizenkilencszög
Tizenkét szög
Huszonegyoldalú
Huszonkét szög
Twentytrigon
Húsznégyszögletű
Húsz-ötszög
Húsznyolcszög
Tridecagon
Thirty-Biagon
Negyven négyzet
Negyven kétszög
pünkösdi
pünkösdi
Hatszög
Sixty-quad
Heptagon
Nyolcszög
Nonagon
[ hu
Millagon
Tízezer-gon
Százezredik
Milliogon
végtelenség

Helyes

konvex	Háromszög Négyzet Pentagon Hatszög Hétszög Nyolcszög Pentagon tetradecagon Tizenhét 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
csillagkép	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Lakshmi csillaga ) Enneagram Dekagram Endekagram Dodekagram

háromszögek

Négyszögek

Lásd még

Schläfli szimbólum
Sokszögek	{egy} {2} {3} {4} {5} {6} {7} {nyolc} {9} {tíz} {tizenegy} {12} {tizennégy} {tizenöt} {17} {tizennyolc} {húsz} {harminc} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
csillag sokszögek	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Lapos parketták _	{3,6} {4,4} {6,3}
Szabályos poliéder és gömb alakú parketták	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot poliéder	{5/2,5} {5.5/2} {5/2,3} {3.5/2}
lépek	{4,3,4}
Négydimenziós poliéder	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}