Kristályos pontszimmetria csoport

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A krisztallográfiai pontszimmetriacsoport olyan pontszimmetriacsoport , amely egy kristály makroszimmetriáját írja le . Mivel a kristályokban csak 1, 2, 3, 4 és 6 rendű tengely (forgás és helytelen forgás) megengedett, a végtelen számú pontszimmetriacsoportból csak 32 krisztallográfiai.

Jelölés

Bravais szimbolizmusa

Főleg oktatási célokra használják, és egy pontcsoport összes elemének felsorolásában merül ki. A forgó szimmetriatengelyeket L betűvel jelöljük, a tengely sorrendjének megfelelő n alsó indexszel ( ) — , , , és . A fordított tengelyeket (az elforgatás és az inverzió kombinációja) Ł betűvel jelöljük egy n alsó indexszel, amely megfelel a tengelyek sorrendjének ( Ł n ) - Ł 2 , Ł 3 , Ł 4 és Ł 6 . Az elsőrendű inverziós tengelyt (az inverzió középpontját) a C szimbólum jelöli . A másodrendű inverziós tengely egyszerűen a szimmetriasík, és általában P szimbólummal jelöljük. A sík főtengelyhez viszonyított orientációjának finomításához különböző indexek használhatók, például || és ⊥. Például az L 2 P ⊥ C szimbólum egy másodrendű tengelyből és egy rá merőleges síkból (és kölcsönhatásuk következtében az inverzió középpontjából) álló csoportot jelöl, az L 2 2 P | | - egy másodrendű tengelyből és két vele párhuzamos síkból álló csoport (bár csak párhuzamos síkok esetén a || jelet általában kihagyjuk, és L 2 2 P lesz ). Jelkép L 4 4 L 2 4 P || P ⊥ C egy negyedrendű tengelyből, négy rá merőleges másodrendű tengelyből, négy vele párhuzamos síkból, egy a síkra merőleges síkból és az inverzió középpontjából álló csoportot jelöl. $L_{n}$ $L_{1}$ $L_{2}$ $L_{3}$ $L_{4}$ $L_{6}$

A Schoenflies szimbolikája

A Schoenflies szimbolika a pontcsoportok családok szerinti osztályozásán alapul, és széles körben használják általában az összes pontcsoport jelölésére, nem csak a krisztallográfiai csoportokra.

Az egyetlen forgótengellyel rendelkező csoportok családját a latin C betű jelöli, a tengely sorrendjét jelző indexszel. A krisztallográfiaiak közé tartozik a C 1 , C 2 , C 3 , C 4 és C 6 .

A vízszintes sík hozzáadását a C n csoportokhoz a h további index jelöli . A C 2h , C 3h , C 4h és C 6h csoportokat kapjuk .

A függőleges síkok hozzáadását a C n csoportokhoz a v kiegészítő index jelöli . C 2v , C 3v , C 4v és C 6v csoportok .

Mivel a C 1 csoportban nincsenek speciális irányok , a hozzáadott sík nem jellemezhető függőlegesként vagy vízszintesen. Az ilyen síkot az s index jelöli . Így az egy szimmetriasíkból álló csoport szimbóluma a C s ( német spiegel - tükör).

A másodrendű, a főtengelyre merőleges tengelyű csoportokat D betűvel jelöljük, a fő forgástengely sorrendjét mutató indexszel. A krisztallográfiaiak a D 2 , D 3 , D 4 és D 6 .

A vízszintes sík hozzáadását a D n csoportokhoz , mint C n esetében, további h index jelöli . A csoportok D 2h , D 3h , D 4h és D 6h .

A függőleges síkok hozzáadása a D n csoportokhoz nem egyértelmű, mivel a síkok a másodrendű vízszintes tengelyek között is elhelyezkedhetnek, és egybeeshetnek velük. Az első esetben hozzáadjuk a d indexet , amely a síkok átlós elrendezését jelöli (átlósan a másodrendű tengelyek irányai között). A D 2d és D 3d krisztallográfiai csoportokat kapjuk . A D nd csoportokban a másodrendű vízszintes tengelyek és a függőleges tükörsíkok kölcsönhatása egy 2n rendű tükörtengely megjelenéséhez vezet . Ezért a D 4d és D 6d csoportok nem krisztallográfiaiak, mivel 8-as, illetve 12-es rendű tükörtengelyeket tartalmaznak. A D n csoportokhoz hozzáadva a másodrendű tengelyek mentén fekvő függőleges síkot vízszintes szimmetriasíkot kapunk, és a fent leírt D nh csoportokat kapjuk.

Az egy tükörtengelyből álló csoportokat az S n szimbólum jelöli . Páratlan n esetén a tükörtengely ekvivalens egy n rendű forgástengely és egy rá merőleges sík jelenlétével, vagyis a C nh csoporttal , ezért az S n csoportokban az n index mindig páros. Ezek közé tartozik az S 2 (csak az inverziós központból álló csoport), az S 4 és az S 6 . Bármely tükörtengely leírható ugyanúgy, mint az inverziós tengely, ezért ezeknek a csoportoknak egy alternatív jelölése C ni , ahol n az inverziós tengely sorrendje. C i = S 2 , C 4i = S 4 és C 3i = S 6 .

A kristályos pontcsoportokat, amelyekben több magasabb rendű (vagyis kettőnél több rendű tengely van) , a bennük lévő forgástengelyektől függően T vagy O szimbólumokkal jelöljük. A további h és d indexek vízszintes (és függőleges) és átlós szimmetriasíkok jelenlétét jelzik. Ha a csoport csak 2. és 3. rendű forgástengelyeket tartalmaz, akkor a csoportot T szimbólummal jelöljük (mivel a tetraéderben a forgástengelyek ilyen kombinációja van jelen). Ha a csoport csak 2, 3 és 4 rendű forgástengelyeket tartalmaz, akkor a csoportot O szimbólummal jelöljük (mivel az oktaéderben ilyen forgástengely-kombináció található). A vízszintes szimmetriasíkok összeadása a T h és O h csoportokhoz vezet ( O h a kocka és az oktaéder szimmetriacsoportja). Mindkét csoport vízszintes és függőleges síkot is tartalmaz. Ha átlós síkokat adunk a T csoporthoz, akkor a T d csoporthoz (a tetraéder szimmetriacsoportjához) vezetünk. Az O d csoport nem létezik, mivel az átlós síkok hozzáadása az O csoporthoz egy golyó határszimmetria csoportjához vezet, amely az összes lehetséges elfordulást és visszaverődést tartalmazza.

A Schoenflies-jelölést a csoportelméletben , a fizikában és a krisztallográfiában használják . A Schoenflies szimbolikában csak generatív szimmetriaelemeket használnak (vagyis amelyekből a csoport összes többi szimmetriaeleme származtatható). A jelölések invariánsak a koordinátarendszer megválasztását illetően, ami egyrészt előny, ha egyszerűen a rendszer szimmetriájára vagyunk kíváncsiak, másrészt hátrány, ha a pontcsoport szimmetriaelemeinek orientációja fontos a pontcsoport szimmetriaelemeinek orientációja szempontjából. más objektumok, például a kristály koordináta-rendszer, vagy a tengelyek tércsoportja tekintetében Bravais-rácsok . Ezért a Hermann-Mogen szimbólumokat gyakrabban használják a krisztallográfiában, különösen a tércsoportok leírására.

Hermann - Mogen szimbolizmusa (nemzetközi szimbolizmus)

A Herman-Mogen szimbólum szimmetrikusan nem egyenértékű szimmetriaelemeket jelöl. A forgó szimmetriatengelyeket arab számok jelölik - 1, 2, 3, 4 és 6. Az inverziós tengelyeket arab számok jelölik, felül kötőjellel - 1 , 3 , 4 és 6 . Ebben az esetben a 2 tengelyt , amely egyszerűen szimmetriasík, az m szimbólummal jelöljük (angolul mirror - mirror). A sík iránya a rá merőleges irány (azaz a 2 tengely ). A tükörtengelyt nem használják a nemzetközi szimbólumokban. Az elem koordinátatengelyekhez viszonyított tájolását az elem csoportszimbólumban elfoglalt helyzete adja meg. Ha a szimmetriatengely iránya egybeesik a sík irányával, akkor törtként ugyanabba a pozícióba íródnak. Ha az inverziós tengelynek nagyobb a szimmetriája, mint a vele egybeeső forgástengelynek, akkor azt a szimbólum jelzi (vagyis nem , hanem 6 -ot írnak ; ha van a csoportban inverziós középpont, akkor nem 3, hanem 3 ). $\szín {fekete}{\tfrac {3}{m}}$

A legalacsonyabb kategória a pontcsoportok, amelyekben bármely tengely maximális sorrendje (forgás vagy nem megfelelő forgás) kettővel egyenlő. Ez magában foglalja az 1, 1 , 2, m, , 222, mm2 és . Ha három pozíció van a csoportszimbólumban, akkor $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {fekete}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

az 1. pozícióban - irány az X tengely mentén

a 2. pozícióban - irány az Y tengely mentén

a 3. pozícióban - irány a Z tengely mentén

Egyedi telepítésnél az mm2 csoport m2m-nek vagy 2mm-nek írható. Hasonlóképpen a 2, m és csoportokat részletesebben is felírhatjuk - jelezve, hogy a másodrendű tengely és/vagy sík iránya melyik koordinátatengely mentén halad. Például 11m, 1m1 vagy m11. A szimbolika ezen sajátossága a különböző koordinátarendszerű tércsoportok egyértelmű leírására szolgál, mivel a tércsoportok szimbólumai a megfelelő pontcsoportok szimbólumaiból származnak. $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$

Középkategória - olyan pontcsoportok, amelyekben egy sorrendi tengely van kettő felett (legmagasabb sorrendű tengely). Itt meg kell jegyezni, hogy a krisztallográfia a kristály szimmetriájához kapcsolódó krisztallográfiai koordinátarendszert használ. Ebben a rendszerben a tengelyek speciális irányokat választanak ki a kristályban (azokat az irányokat, amelyek mentén a szimmetria vagy a transzláció tengelyei haladnak). Ezért egy 3 vagy 6 rendű tengely jelenlétében az X és Y irányok közötti szög [1] 120°, és nem 90°, mint a szokásos derékszögű koordinátarendszerben .

az 1. pozícióban - a főtengely iránya, azaz a Z tengely

a 2. pozícióban - egy oldalirány. Vagyis az X tengely és az ezzel egyenértékű Y tengely mentén lévő irány

a 3. helyzetben - szimmetrikusan egyenértékű oldalirányok közötti átlós irány

Ebbe a kategóriába tartoznak a 3, 4, 6, 3 , 4 , 6 , 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, 3 , 4 2m, 6 m2, , , és csoportok . $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {4}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {6}{m}}$ $\color {fekete}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {fekete}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

Mivel a 3 tengely és a rá merőleges sík ekvivalens a 6 -os tengellyel , akkor = 6 és m2 = 6 m2, de ajánlott a fordított tengelyű jelölést használni 6 , mivel ennek szimmetriája nagyobb, mint a 3-é. A 4 2m és 6 m2 csoportok 4 m2-nek és 6 2m -nek írhatók fel . Fentebb voltak az orosz nyelvű irodalomban elfogadott megnevezések. A 2 és m szimbólumok sorrendje ezekben a csoportokban a belőlük származó tércsoportok leírásánál válik fontossá, mivel a második pozícióban lévő elem a Bravais-cella tengelye mentén, a harmadik pozícióban lévő elem pedig az átlója mentén irányul. az arc. Például a P 4 2m és P 4 m2 szimbólumok két különböző tércsoportot jelölnek. A 32-es csoportot részletesebben 321-nek vagy 312-nek is felírhatjuk a 2-es tengely különböző tájolásaira, ugyanígy a különböző orientációk két különböző P321 és P312 tércsoportot eredményeznek. Ugyanez vonatkozik a 3m csoportra (alternatív bejegyzések 3m1 és 31m) és 3 (alternatív bejegyzések 3 1 és 3 1 ). $\szín {fekete}{\tfrac {3}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {3}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$

A legmagasabb kategória a pontcsoportok, amelyekben több magasabb rendű tengely található.

az 1. helyen - egyenértékű X, Y, Z irányok

a 2. pozícióban – mindig legyen ott négy 3. vagy 3. tengely

a 3. pozícióban - a koordinátatengelyek közötti átlós irány

Ez a kategória öt csoportot foglal magában - 23, 432, 3 , 4 3m és 3 $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {4}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$

A nemzetközi szimbólumokat általában m -re cserélve egyszerűsítik, ha az n tengelyt a szimbólumban jelzett egyéb szimmetriaelemek generálják. A középső kategóriában nem távolítható el csak a főtengely kijelölése. Például mmm- nek , mm-nek és 3 -nak m 3 m-nek írják. $\color {fekete}{\tfrac {n}{m}}$ $\color {fekete}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {fekete}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {4}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {4}{m}}$ $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$

Szubnyikov szimbólumai

A Shubnikov szimbólumok köztes helyet foglalnak el a Schoenflies szimbólumok és a Hermann-Mogen szimbólumok között. Külsőleg jobban hasonlítanak az utóbbira, de jelentésükben közelebb állnak a Schoenflies szimbólumokhoz. A Herman-Mogen szimbólumokhoz hasonlóan a tengelyeket arab számok jelölik, a síkot pedig az m szimbólum . A helytelen forgástengely megjelölésére azonban a tükörtengelyt választjuk, és nem az inverziót, mint a nemzetközi szimbólumban. A tükör tengelyét egy arab szám jelöli tilde jellel: egy 2. rendű tükörtengely (ugyanaz, mint az inverzió középpontja 1 ), egy 4. rendű tükörtengely (más néven 4. rendű inverziós tengely 4 ) és egy 6. rendű tükörtengely ( harmadrendű inverziós tengellyel egyenértékű 3 ). Csakúgy, mint a Schoenflies-szimbólumoknál, itt is csak a szimmetriaelemeket generáló elemeket jelöljük. Például a Shubnikov szimbólum 4 : 2, valamint Schoenflies D 4 azt jelenti, hogy a csoportot egy 4. rendű tengely és egy rá merőleges 2. rendű tengely alkotja, míg a 422 nemzetközi szimbólum szintén a csoportban való jelenlétet jelzi. szimmetrikusan nem egyenértékű másodrendű tengelyek. Az oldaltengelyek és síkok irányát a jelzés jelzi : ha merőlegesek a főtengelyre, • - ha párhuzamosak a főtengellyel és / - ha a főtengelyhez képest ferdeek. Ügyeljen a csoportok megnevezésére és a . Csakúgy, mint a megfelelő nemzetközi 4 2m és 3 m szimbólumokban, ezek a nem megfelelő forgás tengelyeit jelölik, míg a Schoenflies D 2d és D 3d szimbólumokban csak azokat a forgástengelyeket jelölik, amelyek a nem megfelelő forgás tengelyeinek részét képezik (a 2. tengely is benne van -ban és a 3. tengelyt tartalmazza ). ${\tilde {2}}$ ${\tilde {4}}$ ${\tilde {6}}$ ${\tilde {4}}\cdot m$ ${\tilde {6}}\cdot m$ ${\tilde {4}}$ ${\tilde {6}}$

Orbifold jelölés

Az orbifold jelölést William Thurston javasolta, és John Conway népszerűsítette . [2] [3] Elvileg a szimmetriacsoportok leírására vezették be kétdimenziós, állandó görbületű felületeken (pl. 17 kétdimenziós krisztallográfiai csoport síkon, szimmetriacsoportok hiperbolikus síkon, szimmetriacsoportok gömbön) , de mivel egy gömb szimmetriacsoportjai egyenértékű háromdimenziós pontcsoportok, ezek a jelölések az utóbbira is használhatók. Itt a háromdimenziós pontcsoportok leírásánál az orbifold jelölés jelentése van kifejtve.

A nemzetközi rendszerhez hasonlóan a szimmetriatengelyek jelenlétét arab számok jelzik, és mindkét megjelölés nemcsak generáló elemeket jelöl, hanem szimmetrikusan nem egyenértékűeket is. Itt azonban van egy kis eltérés - az orbifold rendszerben nem csak nem egyenértékű szimmetriatengelyeket jelölnek, hanem nem egyenértékű irányokat. Minden tengelynek két iránya van ("fel és le" függőlegesen vagy "balra és jobbra" a vízszintesre). Például az egyetlen tengelyű csoportokban ( Schoenflies szerint C n ) ezek az irányok nem egyenértékűek, ezért az ilyen csoportokat nn-ként jelöljük. A krisztallográfiai csoportok a 11., 22., 33., 44. és 66. csoportot tartalmazzák. A főtengelyre merőleges 2. rendű tengelyű csoportokban ( Schoenflies szerint D n ) a 2. rendű tengelyek 180 fokkal „fordítják” a főtengelyt, így mindkettő irányok egyenértékűek. Az ilyen csoportokban azonban kétféle másodrendű irány létezik, ezért a csoportokat n22-vel jelöljük. A számok sorrendje nem fontos, csak a szimmetriasík szimbólumához viszonyított helyzetük fontos (ha az jelen van a csoportban), erről az alábbiakban lesz szó. A 222-es, 322-es, 422-es és 622-es csoportok krisztallográfiaiak lesznek (222, 223, 224 és 226-ot is írhat). Érdekes összehasonlítani ezeket a szimbólumokat a megfelelő nemzetközi 222-es, 32-es, 422-es és 622-es szimbólumokkal. A páros rendű főtengellyel rendelkező csoportokban a szimmetrikusan nem egyenértékű 2. rendű vízszintes tengelyek két osztálya létezik (ezért két 2-es). a nemzetközi szimbólumban), de mindegyik tengely esetében mindkét irány egyenértékű . A páratlan rendű főtengellyel rendelkező csoportokban minden 2. rendű tengely egyenértékű (ezért a nemzetközi szimbólum 32, nem 322), de ezeknek a vízszintes tengelyeknek a "bal" és "jobb" iránya eltérő, így mégis kettőt kapunk. szimmetrikusan nem egyenértékű irányok osztályai 2. rendűek, és az orbifold jelölésben 322-t kapunk (522, 722 stb.).

Egy vagy több szimmetriasík jelenlétét egy csoportban egyetlen csillag * jelzi. Sőt, ha a tengelyszimbólum a csillagtól jobbra található, akkor a szimmetriasíkok átmennek a tengelyen (n sík az n-edrendű tengelyen), ha a szám a csillagtól balra található, akkor a a síkok nem mennek át a tengelyen. Például a *332 csoportban ( Schoenflies szerint T d ) a síkok az összes tengelyen áthaladnak, a 3 * 2 csoportban ( Schoenflies szerint T h ) a síkok csak a 2. rendű tengelyeken mennek át, de nem. a 3. rendű tengelyek.

Még néhány példa:

Azokban a csoportokban, amelyek szimmetriasíkja merőleges a fő szimmetriatengelyre ( Schoenflies szerint C nh ), a tengely mindkét iránya egyenértékűvé válik, és a csoportokat az n* jellel jelöljük. A krisztallográfiai csoportok 2*, 3*, 4* és 6* lesznek. Ha a szimmetriasík átmegy a tengelyen ( Schoenflies szerint C nv ), akkor, mint fentebb említettük, a csillag a számtól balra kerül, és a *22, *33, *44, *66 csoportokat kapjuk. . A számok ismét megduplázódnak, mivel a főtengely irányai ("fel és le") ismét nem egyenértékűek.

Nem csak a szimmetriasíkok képesek egy figura részeit (motívum töredékeit) tükörszimmetrikussá fordítani. Ilyen elemek például a tükör és az inverziós tengelyek. Egy síkon lévő kétdimenziós krisztallográfiai csoportok esetében egy ilyen elem egy sima reflexió (vagyis egy olyan reflexió, amely egyidejűleg eltolódik a reflexiós vonal mentén). Egy ilyen elem jelenlétét egy csoportban az x ikon jelöli (Conway szerint „csoda”). Ez az ikon csak akkor használatos, ha az elem művelete semmilyen módon nem ábrázolható a csoportszimbólum egyéb elemeinek kombinációjaként. A 3 dimenziós pontcsoportok esetében ez egyetlen páros rendű tükörtengelyből álló csoportokra vonatkozik, S 2 = C i , S 4 és S 6 . Ezek 1x, 2x és 3x címkékkel lesznek ellátva.

Coxeter jelölése

Kezdetben Coxeter ezeket a jelöléseket használta a szimmetriasíkok halmaza által alkotott csoportokra. Ha két szimmetriasík fokos szögben metszi egymást, egy n -edrendű szimmetriatengely jön létre, és egy C nv pontcsoportot kapunk , amelyet [n]-ként fogunk jelölni. Ha egy csoportot három sík generál, akkor a csoportszimbólum két számjegyből áll [n, m], ahol ismét minden számjegy a síkok metszéspontjában kialakuló forgástengely sorrendjét jelöli. Ezek a csoportok magukban foglalják a D nh csoportokat , amelyeket [n,2]-ként jelölünk, valamint a szabályos poliéderek szimmetriacsoportjait: T h ( tetraéder ), O h (kocka) és I h ( ikozaéder ). jelölése [3,3 ], [4,3] és [5,3]. A fennmaradó szimmetriacsoportok a fent leírtak alcsoportjainak tekinthetők, leírásukra a Coxeter jelölést + jellel egészítettük ki. Ha a + a szögletes zárójelek mögött van, akkor a szimmetriasíkok kikerülnek a teljes csoportból, és csak a csoport axiális komplexuma marad meg. Például [3,3] + , [4,3] + és [5,3] + a T , O és I csoportokat jelöli . Ha az egyik szám felett a zárójelben van a +, akkor a szimmetria két megfelelő generáló síkja kikerül (de az általuk generált tengely megmarad), és a csoport más elemei is eltűnnek velük. Mindkét esetben a csoport sorrendje felére csökken. Az [n + ,m + ] típusú csoportok az [ n + , m] és az [n, m + ] csoportok metszéspontja , vagyis olyan szimmetriaelemekből állnak, amelyek mindkét eredeti csoportban jelen vannak. Az [n + ,m + ] csoport sorrendje négyszer kisebb, mint az [n, m] csoport sorrendje. Az ilyen típusú pontcsoportok mindig [2n + ,2 + ] alakúak, és megfelelnek az S 2n Schoenflies szimbólumoknak. $\color {fekete}{\tfrac {180}{n}}$

Magyarázzuk meg a jelölést a negyedrendű tengellyel rendelkező csoportok példáján. Amikor két sík 45°-os szögben metszi egymást, egy 4. rendű tengely jön létre, és az eredményül kapott csoport a C 4v (nemzetközi szimbólum 4mm), amelyet [4]-ként fogunk jelölni. Ha még egy szimmetriasíkot adunk hozzá, amely merőleges mindkét szimmetriasíkra, akkor létrejön a D 4h ( ) csoport, amelyet [4,2]-ként jelölünk. Ha a [4] csoportból eltávolítjuk a szimmetriasíkokat (de elhagyjuk az általuk generált szimmetriatengelyt), akkor a C 4 csoportot kapjuk (nemzetközi szimbólum 4), amelyet [4] + jellel jelölünk . Ha a [4,2] csoportból eltávolítjuk az összes szimmetriasíkot, akkor a D 4 (422) csoportot kapjuk, amelyet [4,2] + -ként jelölünk . $\color {fekete}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

A [4 + ,2] csoport a [4,2] csoportot jelöli, amelyben a 4. rendű tengelyt kiváltó függőleges szimmetriasíkokat eltávolították, míg maga a 4. rendű tengely megmaradt, valamint a vízszintes sík is. maradt. De a másodrendű vízszintes tengelyek eltűntek. A kapott csoport C 4h ( ). Ebből a példából láthatja, hogy az egyik számjegy feletti + "megöli" a szomszédos számjegynek megfelelő szimmetriatengelyt. $\szín {fekete}{\tfrac {4}{m}}$

A [4,2 + ] csoport azt a [4,2] csoportot jelöli, amelyben a vízszintes síkot és az egyik függőleges generátort eltávolították. Így a 2. rend vízszintes tengelyei részben megmaradtak, de a 4. rendű tengely eltűnt. Az így kapott csoport két vízszintes 2. rendű tengelyből és két közöttük futó függőleges síkból áll. Ez a D 2d csoport ( 4 2m).

Végül a [4 + ,2 + ] csoport a [4 + ,2] és [4,2 + ] csoportok metszéspontja, és egyszerűen az S 4 ( 4 ) 4. rendű tükörtengely , amely mindkét csoportban , ill . 4 2m. $\szín {fekete}{\tfrac {4}{m}}$

Különféle jelölések összehasonlítása pontcsoportokhoz

Kategória	Syngony	Kristály rendszer	Herman-Mogen (teljes szimbólum)	Herman Mogen (rövidítve)	Shubnikov szimbólumok	Schoenflies szimbólumok	Bátor szimbólumok	Orbifold	Coxeter	Csoportos rendelés
Alacsonyabb	Triclinic		egy	egy	$egy\$	C1_ _	L1_ _	tizenegy	[ ] +	egy
	Triclinic		egy	egy	${\tilde {2}}$	C i \u003d S 2	C = l 1	x	[2 + ,2 + ]	2
	Monoklinika		2	2	$2\$	C2_ _	L2_ _	22	[2] +	2
			m	m	$m\$	C s = C 1 óra	P = £ 2	*	[ ]	2
			$\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$	2/m	$2:m\$	C 2 óra	L 2 P ⊥ C	2*	[ 2,2+ ]	négy
	Rombikus		222	222	$2:2\$	D2 = V	3L2 _ _	222	[2,2] +	négy
			mm2	mm2	$2\cdot m\$	C 2v	L22P _ _ _	*22	[2]	négy
			$\color {fekete}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	hmmm	$m\cdot 2:m\$	D2h _	3 L 2 3 PC	*222	[2,2]	nyolc
Közepes	négyszögű		négy	négy	$négy\$	C4_ _	L 4	44	[4] +	négy
			négy	négy	${\tilde {4}}$	S4_ _	L 4	2x	[2 + ,4 + ]	négy
			$\szín {fekete}{\tfrac {4}{m}}$	4/m	$4:m\$	C4h _	L 4 P ⊥ C	négy*	[ 2,4+ ]	nyolc
			422	422	$4:2\$	D4_ _	L 4 4 L 2	422	[4,2] +	nyolc
			4 mm	4 mm	$4\cdot m\$	C4v _	L44P _ _ _	*44	[négy]	nyolc
			42 m _	42 m _	${\tilde {4}}\cdot m$	D2d _	L 4 2 L 2 2 P	2*2	[2 + ,4]	nyolc
			$\color {fekete}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	4/mm	$m\cdot 4:m\$	D4h _	L 4 4 L 2 4 P \|\| P ⊥ C	*422	[4,2]	16
	Hatszögletű	Trigonális	3	3	$3\$	C3_ _	L 3	33	[3] +	3
			3	3	${\tilde {6}}$	S6 = C3i _	Ł 3 = L 3 C	3x	[2 + ,6 + ]	6
			32	32	$3:2\$	D3_ _	L 3 3 L 2	322	[3,2] +	6
			3 m	3 m	$3\cdot m\$	C 3v	L 3 3 P	*33	[3]	6
			3 $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$	3 m	${\tilde {6}}\cdot m$	D3d_ _	£ 3 3 L 2 3 P = L 3 3 L 2 3 PC	2*3	[2 + ,6]	12
		Hatszögletű	6	6	$6\$	C6_ _	L 6	66	[6] +	6
			6	6	$3:m\$	C 3 óra	L 3 P ⊥ = Ł 6	3*	[ 2,3+ ]	6
			$\szín {fekete}{\tfrac {6}{m}}$	6/m	$6:m\$	C6h _	L 6 P ⊥ C	6*	[ 2,6+ ]	12
			622	622	$6:2\$	D6_ _	L 6 6 L 2	622	[6,2] +	12
			6 mm	6 mm	$6\cdot m\$	C6v _	L66P _ _ _	*66	[6]	12
			6 m2	6 m2	$m\cdot 3:m\$	D3h _	L 3 3 L 2 3 P \|\| P ⊥ = £ 6 3 L 2 3 P	*322	[3,2]	12
			$\color {fekete}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	6/mm	$m\cdot 6:m\$	D6h _	L 6 6 L 2 6 P \|\| P ⊥ C	*622	[6,2]	24
Magasabb	kocka alakú		23	23	$3/2\$	T	3 L 2 4 L 3	332	[3,3] +	12
			$\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$ 3	m 3	${\tilde {6}}/2$	T h	3 L 2 4 L 3 3 DB _	3*2	[3 + ,4]	24
			43 m _	43 m _	$3/{\tilde {4}}$	T d	3 Ł 4 4 L 3 6 P	*332	[3,3]	24
			432	432	$3/4\$	O	3 L 4 4 L 3 6 L 2	432	[4,3] +	24
			$\szín {fekete}{\tfrac {4}{m}}$ 3 $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$	m 3 m	${\tilde {6}}/4$	Ó h	3 L 4 4 L 3 6 L 2 9 PC	*432	[4,3]	48

Pontcsoportok képe. Pontcsoportok sztereografikus vetületei

A szimmetriasíkokat kettős vonalak, a forgástengelyeket a megfelelő sokszög (a másodrendű tengelyeket ovális), az inverzió középpontját nyitott kör jelöli. A negyedik és hatodik rend inverziós tengelyét egy kitöltetlen négyzet és egy hatszög jelzi; ugyanakkor kijelöljük a bennük szereplő másod- és harmadrend tengelyeit is (a 2 -es tengely a 4 -hez, a 3-as tengely a 6 -hoz tartozik).

Kristály rendszer	Sztereografikus vetítések [4]
Triclinic	1 , C1	1 , C i
Monoklinika	2 , C2	m , C s	$\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$ , C 2h
Rombikus				222 , D2	mm2 , C2v _		$\color {fekete}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 2h
négyszögű	4 , C4	4 , S4_ _	$\szín {fekete}{\tfrac {4}{m}}$ , C 4h	422 , D4	4 mm , C 4v	4 2 m , D 2d	$\color {fekete}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 4h
Trigonális	3 , C3	3 , S6_ _		32 , D3	3 m , C 3v _	3 , D 3d $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$
Hatszögletű	6 , C6	6 , C 3 óra	$\szín {fekete}{\tfrac {6}{m}}$ , C 6h	622 , D6	6mm , C 6v_ _	6 m2 , D3h _ _	$\color {fekete}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ , D 6h
kocka alakú	23, T		$\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$ 3 , T h	432, O		4 3 m , T d	$\szín {fekete}{\tfrac {4}{m}}$ 3 , ó h $\szín {fekete}{\tfrac {2}{m}}$

Pontcsoportok közötti kapcsolat sémája

Ezen a diagramon a csoportok a kevésbé szimmetrikustól (alul) a nagyobb szimmetriájú csoportokig (felül) vannak elrendezve. Az azonos sorrendű csoportok azonos magasságban helyezkednek el. Mindegyik mögöttes csoport a hozzájuk vonallal társított felsőbb csoport egy alcsoportja . Az észlelés megkönnyítése érdekében a vonalak különböző színekkel vannak megadva.

Történelem

Mind a 32 krisztallográfiai pontcsoport első következtetését Johann Hessel adta meg 1830-ban „Krisztallometria vagy krisztallonómia és krisztallográfia” című értekezésében, amelyet eredeti módon, az alakokról alkotott új általános doktrína alapján fejlesztettek ki, a legtöbbet áttekintve. más krisztallográfusok fontos munkái és módszerei." A pontcsoportok ilyen levezetése azonban észrevétlen maradt. A következő következtetést fogalmazta meg Auguste Bravais 1849-ben An Enquiry into Polyhedra of Symmetrical Shape című emlékiratában. Bravais azonban nem vette figyelembe a helytelen forgási tengelyeket (tükörforgás vagy inverzió), és ennek eredményeként kihagyta az S 4 csoportot . Az összes többi 31 krisztallográfiai csoport csak a szimmetriatengelyek, a reflexiósíkok és az inverziós középpont kombinációjaként származtatható. Végül 1867-ben Axel Gadolin a "Pétervári Ásványtani Társaság feljegyzései" című kiadványában megjelentette "Az összes krisztallográfiai rendszer és felosztásuk származtatása egy közös kezdetből" című művét. Gadolin művében jelentették meg először kifejezetten, hogy a kristályos poliéderek (vagyis a krisztallográfiai pontszimmetriacsoportok) szimmetriatípusainak száma 32. Ebben a munkában Gadolin bevezette az inverziós tengely fogalmát a tudomány. Ugyancsak ebben a cikkben jelennek meg először 32 pontcsoport sztereografikus vetületei.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Lásd a szögállandóság törvényét ( Stensen, Niels )
↑ Conway J., Smith D. Kvaterniókról és oktávokról, geometriájukról, aritmetikáról és szimmetriáikról. M.: MTSNMO, 2009.
↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, A dolgok szimmetriája 2008
↑ Sztereografikus vetítés , lásd például: Szimmetria kristályok – egy cikk a Physical Encyclopedia -ból

Irodalom

Hatszögletű rendszer // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya, Geometric Crystalography, Moszkvai Állami Egyetem, 1973
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Kristályográfia, Moszkvai Állami Egyetem, 1992
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, A kristályszimmetria elmélete, GEOS, 2000 ( on-line elérhető )
P. M. Zorkiy. Molekulák és kristályszerkezetek szimmetriája , Moszkvai Állami Egyetem, 1986 ( online elérhető )
A. V. Szubnyikov. Véges alakzatok szimmetriája és antiszimmetriája, Szovjetunió Tudományos Akadémia Kiadója, 1951
I. I. Shafranovskij. A krisztallográfia története. XIX. század, L., "Nauka", 1980