Az antiszimmetriacsoport a szimmetriaelméletben olyan transzformációkból álló csoport, amelyek nemcsak a tárgy geometriai helyzetét, hanem bizonyos kétértékű jellemzőit is megváltoztathatják. Ilyen kétértékű jellemző lehet például töltés (plusz-mínusz), szín (fekete-fehér), valós függvény előjele, forgásirány (fel-le).
Az antiszimmetriacsoportokat mágneses szimmetriacsoportoknak, valamint fekete-fehér szimmetriacsoportoknak is nevezik. Ezekkel a csoportokkal analógiaként bevezetik a többszínű szimmetriájú csoportokat (Belov-csoportok, mivel N. V. Belov akadémikus munkáiban javasolták ), amelyekben az objektum minden pontját már nem egy kétértékű, hanem egy többérték jellemzi. -értékes paraméter (szín).
A szokásos szimmetria-műveletek (forgatás, tükrözés, inverzió, fordítás és ezek kombinációi) mellé antiszimmetria-műveletek is hozzáadódnak - elforgatás színváltással (anti-forgás), visszaverődés színváltoztatással (anti-reflexió), inverzió színváltással ( anti-inverzió), fordítás színváltozással (antitransláció) és így tovább. Ennek megfelelően beszélhetünk antiszimmetria elemekről, amelyek magukban foglalják az antiszimmetria műveleteket.
Figyelembe kell venni azt a műveletet is, amely nem változtatja meg az objektum helyzetét, hanem megváltoztatja a színét - az antiazonosítás vagy az antiidentitás műveletét. Azokat a csoportokat, amelyekben jelen van ilyen művelet, szürkének nevezzük, mivel az objektum fehér és fekete része a tér minden pontjában egybeesik. Az ilyen csoportokat egyszerűen úgy kapjuk meg, hogy az anti-identitás műveletet hozzáadjuk a klasszikus szimmetriacsoporthoz, és számuk megegyezik a klasszikus szimmetriacsoportok számával. Maguk a klasszikus szimmetriacsoportok is az antiszimmetriacsoportok speciális esetei. A legnagyobb érdeklődésre azok a csoportok tartoznak, amelyek nem szürkék, és amelyekben szimmetriaelemek és antiszimmetriaelemek (vegyes polaritású csoportok) egyaránt vannak. Ezekben a csoportokban az antiszimmetria elemek csak páros sorrendűek lehetnek, mivel a páratlan sorrendű antiszimmetriaelemek tartalmazzák az antiazonosítás műveletét. Például a 3. antiszimmetriatengely (3. sorrend) nem lehetséges ezekben a csoportokban, de a 3. inverziós tengely (6. sorrend) lehetséges.
Két antiszimmetria-művelet szekvenciális végrehajtása vagy egy antiszimmetria-művelet 2-szeres végrehajtása kétszer vált előjelet, vagyis ennek eredményeként az előjel nem változik. Így két antiszimmetriaművelet szorzata a klasszikus szimmetriaművelethez vezet. Ezért nincsenek olyan csoportok, amelyek csak elemeket és antiszimmetria műveleteket tartalmaznak. Ezenkívül az antiszimmetria-pontcsoportokban az antiszimmetria-műveletek (de nem az elemek) száma megegyezik a klasszikus (monokróm) csoportok szimmetria-műveleteinek számával.
Bár az antiszimmetria fogalma bármely pontcsoportra alkalmazható, általában az antiszimmetria krisztallográfiai pontcsoportjait tekintjük . Összesen 58 fekete-fehér csoport, 32 klasszikus poláris csoport és 32 semleges szürke csoport van. Összesen 122 antiszimmetriapontcsoport. Az alábbiakban egy táblázat található mind a 122 krisztallográfiai antiszimmetriapontcsoportról. Általában Hermann–Mogen szimbólumokat használnak ezek ábrázolására , az antiszimmetriaelemeket a megfelelő szimmetriaelem szimbólumával jelölik körvonallal. A táblázat rövidítéseket ad.
| Klasszikus | szürke | vegyes polaritású | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| egy | egy' | |||||
| egy | 1 1' | 1 ' | ||||
| 2 | 21' | 2' | ||||
| m | m1' | m' | ||||
| 2/m | 2/m1' | 2/m' | 2'/m | 2'/m' | ||
| 222 | 2221' | 2'2'2 | ||||
| mm2 | mm21' | m'm'2 | mm'2' | |||
| hmmm | mmm1' | én vagyok' | mmm' | én vagyok | ||
| négy | 41' | négy" | ||||
| négy | 4 1' | 4 ' | ||||
| 4/m | 4/m1' | 4/m' | 4'/m' | 4'/m | ||
| 422 | 4221' | 4'22' | 42'2' | |||
| 4 mm | 4mm1' | 4 perc perc | 4'mm' | |||
| 42 m _ | 4 2m1' | 4 2 perc | 4'2 m ' | 4'2 perc _ | ||
| 4/mm | 4/mmm1' | 4/m'm'm' | 4/m'mm | 4'/mmm' | 4'/m'm'm | 4/mm'm' |
| 3 | 31' = 3' | |||||
| 3 | 3 1' | 3 ' | ||||
| 32 | 321' | 32' | ||||
| 3 m | 3 m1' | 3 perc | ||||
| 3 m | 3 m1' | 3 m' | 3 vagyok ' | 3 vagyok_ | ||
| 6 | 61' | 6' | ||||
| 6 | 6 1' | 6 ' | ||||
| 6/m | 6/m1' | 6/m' | 6'/m' | 6'/m | ||
| 622 | 6221' | 62'2' | 6'2'2 | |||
| 6 mm | 6mm1' | 6 perc perc | 6'mm' | |||
| 6 m2 | 6 m21' | 6 m'2' | 6'm2 ' | 6 perc 2 _ | ||
| 6/mm | 6/mmm1' | 6'/mmm' | 6'/m'mm' | 6/m'm'm' | 6/m'mm | 6/mm'm' |
| 23 | 231' | |||||
| m 3 | m 3 1' | m'3'_ _ _ | ||||
| 432 | 4321' | 4'32' | ||||
| 43 m _ | 4 3m1' | 4'3 m ' | ||||
| m 3 m | m 3 m1' | m' 3 'm' | m' 3 'm | m 3 m' | ||
A szimmetria elemei feketével vannak jelölve. Piros - az antiszimmetria elemei.
| egy |
egy |
1 ' | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 2 |
2' |
m |
m' | ||
| 2/m |
2/m' |
2'/m |
2'/m' |
||
| 222 |
2'2'2 |
mm2 |
m'm'2 |
mm'2' | |
| hmmm |
én vagyok' |
mmm' |
én vagyok |
||
| négy |
négy" |
négy |
4 ' | ||
| 4/m |
4/m' |
4'/m' |
4'/m |
||
| 422 |
4'22' |
42'2' |
|||
| 4 mm |
4 perc perc |
4'mm' |
|||
| 42 m _ |
4 2 perc |
4'2 m ' |
4'2 perc _ |
||
| 4/mm |
4/m'm'm' |
4/m'mm |
4'/mmm' |
4'/m'm'm |
4/mm'm' |
| 3 |
3 |
3 ' | |||
| 32 |
32' |
3 m |
3 perc | ||
| 3 m |
3 m' |
3 vagyok ' |
3 vagyok_ |
||
| 6 |
6' |
6 |
6 ' | ||
| 6/m |
6/m' |
6'/m' |
6/m' |
||
| 622 |
62'2' |
6'2'2 |
|||
| 6 mm |
6 perc perc |
6'mm' |
|||
| 6 m2 |
6 m'2' |
6'm2 ' |
6 perc 2 _ |
||
| 6/mm |
6'/mmm' |
6'/m'mm' |
6/m'm'm' |
6/m'mm |
6/mm'm' |
| 23 |
m 3 |
m'3'_ _ _ | |||
| 432 |
4'32' |
43 m _ |
4'3 m ' | ||
| m 3 m |
m' 3 'm' |
m' 3 'm |
m 3 m' |
Összesen 1191 fekete-fehér csoport, 230 klasszikus poláris csoport és 230 semleges szürke csoport van. Összesen - 1651 Shubnikov csoport.
A különböző krisztallográfiai antiszimmetriacsoportok száma (a klasszikus szimmetriacsoportok számát zárójelben adjuk meg). [1] [2]
| periodicitás | A tér mérete | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | egy | 2 | 3 | négy | |
| 0 | 2. cikk (1) | 5. cikk (2) | 31 (10) | 122 (32) | 1202 (271) |
| egy | 7. cikk (2) | 31. cikk (7) | 394 (75) | ||
| 2 | 80 (17) | 528 (80) | |||
| 3 | 1651 (230) | ||||
| négy | 62227 (4894) | ||||