Négyzet

Négyzet
Négyzet oldallal és átlóval $a$ $d$
borda	négy
Schläfli szimbólum	{4}
Egyfajta szimmetria	Diédercsoport (D 4 )
Négyzet	a 2
Belső sarok	90°
Tulajdonságok
Konvex sokszög , Isogonális ábra , Izotoxális ábra
Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

Négyzet ( lat. quadratus , négyszögből [1] ) - szabályos négyszög , azaz lapos négyszög, amelyben minden szög és minden oldal egyenlő. A négyzet minden sarka egy egyenes [2] . $(90^{\circ })$

A meghatározás változatai

Egy négyzet sokféleképpen egyedileg jellemezhető [3] [4] .

Egy geometriai alakzat , amely egyben téglalap és rombusz is .
Egy téglalap, amelynek két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú.
Egy téglalap, amelynek átlói derékszögben metszik egymást .
Rombusz, amelynek átlói egyenlőek.
Rombusz, amelynek két szomszédos szöge egyenlő.
Egy rombusz, amelynek egyik szöge derékszög (a többi szög, amint azt könnyű bebizonyítani, akkor szintén derékszög).
Parallelogramma , amelyben két szomszédos oldal hossza egyenlő, és a köztük lévő szög megfelelő.
Olyan paralelogramma, amelynek átlói egyenlőek, és a köztük lévő szög egyenes.
Deltoid , amelynek minden szöge egyenes.

Tulajdonságok

A továbbiakban ebben a részben jelöli a négyzet oldalának hosszát, - az átló hosszát , - a körülírt kör sugarát , - a beírt kör sugarát . $a$ $d$ $R$ $r$

A négyzet kerülete : $P$

P=4a=4{\sqrt {2}}R=8r

A négyzet átlói egyenlőek, egymásra merőlegesek, felezik a metszéspontot, és magukat a négyzet sarkait (más szóval a négyzet belső sarkainak felezői ). Az egyes átlók hossza $d=a{\sqrt {2}}.$

Beírt és körülírt körök

Egy négyzet körülírt és beírt köreinek középpontja egybeesik átlóinak metszéspontjával.

A négyzet beírt körének sugara a négyzet oldalának fele:

r={\frac {a}{2}}.

A négyzet körülírt körének sugara egyenlő a négyzet átlójának felével:

R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a.

Ezekből a képletekből az következik, hogy a körülírt kör területe kétszerese a beírt kör területének.

Terület

négyzet alakú terület
A négyzet oldalainak felezőpontjait összekötve egy fele területű négyzetet kapunk

A tér területe a $S$

S=a^{2}=2R^{2}=4r^{2}={1 \over 2}d^{2}

A négyzet oldalát a területéhez viszonyító képletből világosan látszik, hogy a szám második hatványra emelését miért nevezik hagyományosan „ négyzetre emelésnek ”, az ilyen négyzetre emelés eredményeit pedig „ négyzetszámoknak ” vagy egyszerűen négyzeteknek . Hasonlóképpen a 2. gyöket négyzetgyöknek nevezzük . $S=a^{2},$

A térnek két figyelemre méltó tulajdonsága van [5] .

Az adott kerületű négyszögek közül a négyzetnek a legnagyobb a területe.
Az adott területű négyszögek közül a négyzetnek van a legkisebb kerülete.

A négyzetegyenlet

Egy téglalap alakú koordinátarendszerben egy pontban középpontos négyzet és a koordinátatengelyekkel párhuzamos átlók egyenlete (lásd az ábrát) a következőképpen írható fel : [6] : $\{x_{0},y_{0}\}$

|x-x_{0}|+|y-y_{0}|=R,

ahol a körülírt kör sugara , egyenlő a négyzet átlójának hosszának felével. A négyzet oldala ekkor az átlója és a négyzet területe $R$ $R{\sqrt {2)),$ $2R,$ $2R^{2}.$

Az origó közepén és a koordinátatengelyekkel párhuzamos oldalakon álló négyzet egyenlete (lásd az ábrát) a következő alakok egyikében ábrázolható:

$|xy|+|x+y|=a$ (könnyen megszerezhető az előző egyenlet 45°-os elforgatásával )
${\displaystyle \max(x^{2},y^{2})=r^{2))$
( poláris koordinátákban [7] ) $\quad r(\varphi )=\min \left({\frac {r}{|\cos \varphi |}},{\frac {r}{|\sin \varphi |}}\right)$

Matematikai feladatok

Számos probléma kapcsolódik a négyzetekhez, amelyek közül néhánynak még mindig nincs megoldása.

A kör négyzetre emelése egy ősi probléma egy körzővel és egy vonalzóval olyan négyzet megalkotására, amely területe egyenlő egy adott körrel . 1882-ben Ferdinand Lindemann bebizonyította, hogy ez lehetetlen.

A négyzetre emelés az a probléma, hogy egy négyzetet véges számú kisebb négyzetre kell osztani, "lyukak" nélkül, és a négyzetek oldalainak hosszának különböznie kell egymástól (ideális esetben mindegyiknek különbözőnek kell lennie). Számos megoldást találtak erre a problémára.
A matematikusok sokáig próbálták bebizonyítani, hogy egy vonalszakasz négyzetté való folyamatos leképezése lehetetlen, egészen addig, amíg Giuseppe Peano fel nem építette ellenpéldáját .
Toeplitz-sejtés : Bármely zárt sík Jordan-görbén négy pont található, amelyek egy négyzet csúcsait alkotják. Nem bizonyított vagy cáfolt.
Egy négyzet felosztása azonos kisebb négyzetek rácsával szintén sok problémához vezet, különösen a latin és a görög-latin négyzetek , mágikus négyzetek elméletében, a Sudoku játékban .

Szimmetria

A négyzet tengelyirányú szimmetriája a legnagyobb az összes négyszög közül. Neki van:

egy negyedik rendű szimmetriatengely - a négyzet síkjára merőleges és annak középpontján áthaladó tengely;
négy másodrendű szimmetriatengely (azaz ezekre nézve a négyzet önmagába tükröződik), ebből kettő a négyzet átlói mentén, a másik kettő pedig az oldalakkal párhuzamosan fut.

Alkalmazás

A matematikában

Az egységnégyzet a területegység szabványaként , valamint az önkényes lapos figurák területének meghatározására szolgál . Azokat az ábrákat, amelyeknél a terület meghatározható, négyzetesítésnek nevezzük .

A Pitagorasz-tételt eredetileg geometriailag fogalmazták meg: a hipotenuzusra épített négyzet területe megegyezik a lábakra épített négyzetek területének összegével .

A négyzetek a kocka lapjai – az öt szabályos poliéder egyike .

A matematikai fizikában a négyzet jelentheti a " d'Alembert operátort " (dalamberi) - egy másodrendű differenciáloperátort :

{\displaystyle \square u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2 ))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2))}-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2 }u}{\részleges t^{2))))

A Bolyai-Gervin tételből következik , hogy bármely sokszög egyenlő konstituálással négyzetet alkot, azaz véges számú részre vágható, amelyekből négyzetet alkot (és fordítva) [8] .

Grafikonok: A K 4 teljes gráfot gyakran hat élű négyzetként ábrázolják.

3 szimplex (3D)

Díszek és parketták

Mozaikok, beleértve a négyzeteket

Elterjedtek a négyzeteket tartalmazó mozaikok, dísztárgyak , parketták .

Egyéb felhasználások

A sakktábla négyzet alakú, és 64 kétszínű mezőre van felosztva. A nemzetközi dáma négyzettáblája 100 kétszínű mezőre van felosztva. A négyzetformában van egy bokszgyűrű , egy négyzet a négyzet játszására .

Lima négyzet alakú zászlaja két fekete és két sárga négyzetre oszlik, ha a kikötőben egy hajóra tűzik , az azt jelenti, hogy a hajó karanténban van .

Grafika

Számos szimbólum négyzet alakú.

Unicode karakterek U+25A0 - U+25CF
U+20DE ◌⃞ ÖSSZEFÜGGŐ TERET
ロ ( "Ro" (katakana) japán karakter )
口 ( kínai karakter a "szájnak" )
囗 ( Kínai karakter a "kerítésnek" )

A Latexben\Box a vagy konstrukciókat egy négyzet szimbólum beszúrására használják \square.

A HTML -ben tetszőleges szöveg négyzetbe vagy téglalapba zárásához használhatja a következő konstrukciót:

<span style="border-style: solid; border-width: 1,5px 1,5px 1,5px 1,5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;">szöveg</span>; eredmény: szöveg .

Változatok és általánosítások

Többdimenziós tér

A négyzet kétdimenziós hiperkockának tekinthető .

Nem euklideszi geometria

A nem euklideszi geometriában a négyzet (tágabb értelemben) egy sokszög , amelynek négy egyenlő oldala és egyenlő szöge van. Ezeknek a szögeknek a nagyságával meg lehet ítélni a sík görbületét - az euklideszi geometriában és csak abban a szögek helyesek, a gömbgeometriában a gömb alakú négyzet szögei nagyobbak, mint a derékszög, a Lobacsevszkij-geometriában - kevesebb.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Négyzet // Szovjet enciklopédikus szótár. - 2. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1982. - S. 561. - 1600 p.
↑ Négyzet // Matematikai enciklopédia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 3. - S. 776. - 1184 p.
↑ Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve. - M. : AST, 2006. - 509 p. — ISBN 5-17-009554-6 .
↑ 1 2 Kaplun, 2014 , p. 171-173.
↑ Ponarin Ya. P. Elemi geometria: 2 kötetben - 1. kötet: Planimetria, síktranszformációk. - M. : MTSNMO, 2004. - S. 117, 119. - 312 p. — ISBN 5-94057-171-9 .
↑ Négyzet egyenlete derékszögű koordinátákkal . Letöltve: 2021. november 9. Az eredetiből archiválva : 2021. november 9.. (határozatlan)
↑ Mi a négyzet poláris egyenlete, ha van ilyen?
↑ Boltyansky V. G. Hilbert harmadik problémája . — M .: Nauka, 1977. — 208 p.

Irodalom

Kaplun A. I. Matematika, Oktatási és gyakorlati kézikönyv. — Rostov n/a. : LLC "Phoenix", 2014. - 240 p. - ISBN 978-5-222-20926-3 .

Linkek

Négyzet alakú, geometrikus figura // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég Nagy orosz Brockhaus és Efron Kis Brockhaus és Efron V. Dahl Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 16529362t GND : 4129044-6 J9U : 987007529423205171 LCCN : sh85127084

Sokszögek

Az oldalak száma szerint

Monogon
Bigon
Háromszög
Négyszög
Pentagon
Hatszög
Hétszög
Nyolcszög
Pentagon
Tíz szög
Hendecagon
Tizenkét szög
Tizenhárom
tetradecagon
Pentagon
Hatszög
Tizenhét
nyolcszög
Tizenkilencszög
Tizenkét szög
Huszonegyoldalú
Huszonkét szög
Twentytrigon
Húsznégyszögletű
Húsz-ötszög
Húsznyolcszög
Tridecagon
Thirty-Biagon
Negyven négyzet
Negyven kétszög
pünkösdi
pünkösdi
Hatszög
Sixty-quad
Heptagon
Nyolcszög
Nonagon
[ hu
Millagon
Tízezer-gon
Százezredik
Milliogon
végtelenség

Helyes

konvex	Háromszög Négyzet Pentagon Hatszög Hétszög Nyolcszög Pentagon tetradecagon Tizenhét 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
csillagkép	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Lakshmi csillaga ) Enneagram Dekagram Endekagram Dodekagram

háromszögek

Négyszögek

Lásd még

Schläfli szimbólum
Sokszögek	{egy} {2} {3} {4} {5} {6} {7} {nyolc} {9} {tíz} {tizenegy} {12} {tizennégy} {tizenöt} {17} {tizennyolc} {húsz} {harminc} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
csillag sokszögek	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Lapos parketták _	{3,6} {4,4} {6,3}
Szabályos poliéder és gömb alakú parketták	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot poliéder	{5/2,5} {5.5/2} {5/2,3} {3.5/2}
lépek	{4,3,4}
Négydimenziós poliéder	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}