Sturm-Liouville probléma

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. április 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Jacques Charles Francois Sturmról és Joseph Liouville -ről elnevezett Sturm-Liouville probléma nem triviális (azaz az azonos nullától eltérő) megoldások keresése a Sturm-Liouville egyenlet intervallumán. $(a,\;b)$

L[y]=\lambda \rho (x)y(x),

homogén perem- (perem)feltételek kielégítése

{\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _ {1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2} +\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{tömb}}

és annak a paraméternek az értékei, amelyre ilyen megoldások léteznek. $\lambda$

Az operátor itt egy másodrendű lineáris differenciáloperátor , amely az alak függvényében működik $L[y]$ $y(x)$

L[y]\equiv {\frac {d}{dx}}\left[-p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)

( Sturm-Liouville operátor vagy Schrödinger operátor), igazi érv. $x$

Feltételezzük , hogy a függvények folyamatosan bekapcsolva vannak , sőt a függvények pozitívak a -n . $p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho (x)$ $(a,\;b)$ $p(x),\;\rho (x)$ $(a,\;b)$

A kívánt nem triviális megoldásokat a probléma sajátfüggvényeinek nevezzük , és az értékek , amelyekre ilyen megoldás létezik, a sajátértékei (minden sajátérték a saját függvényének felel meg). $\lambda$

A probléma leírása

Az egyenlet típusa

Ha a és függvények kétszer folytonosan differenciálhatóak és pozitívak az intervallumon , a függvény pedig folytonos -on , akkor a Sturm–Liouville egyenlet $\rho$ $p$ $[a,b]$ $q$ $[a,\;b]$

(p(x)y')'-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0

a Liouville-transzformáció használatával az [1] [2] formára redukálódik

-y''+q_{1}(x)y=\lambda y.\qquad (1)

Ezért a Sturm-Liouville egyenletet gyakran (1) formában tekintik, a függvényt potenciálnak nevezik [3] [4] . A Sturm-Liouville-problémákat tanulmányozzák a függvények különböző osztályaiból származó potenciálokkal: folytonos , (összegezhető) és mások. $q_{1}(x)$ $L$ $L_{2}$

A peremfeltételek típusai

Dirichlet kifejezések $y(a) = y(b) = 0.$
Neumann-viszonyok $y'(a) = y'(b) = 0$
Robin kifejezések $y'(a) - hy(a) = 0, \quad y'(b) + H y(b) = 0.$
Vegyes feltételek: különböző típusú feltételek a szegmens különböző végein . $[a,\;b]$
Egy általános forma bomló peremfeltételei

\begin{array}{l} \alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ \alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0. \\ \end{tömb}

Időszakos feltételek . $y(a) = y(b), \quad y'(a) = y'(b)$
Antiperiodikus állapotok . $y(a) = -y(b), \quad y'(a) = -y'(b)$
Általános peremfeltételek

a_{i1}y(a)+a_{i2}y'(a)+a_{i3}y(b)+a_{i4}y'(b)=0,\quad i=1,\ ;2.

Ez utóbbi esetben általában további szabályossági feltételeket szabnak az együtthatókra . [3] [5] $a_{{ij}}$

A kényelem kedvéért egy tetszőleges szegmenst gyakran szegmenssé fordítanak, vagy változó változtatásával. $[a,\;b]$ $[0,\;l]$ $[0,\;\pi ]$

Sturm-Liouville operátor

Sturm-Liouville üzemeltető

L y = -\frac{1}{\rho(x)} \Bigl( \frac{d}{dx}\left[ p(x) \frac{d}{dx}y \right] - q(x ) y \Bigr)

a lineáris differenciáloperátor speciális esete [6]

p_{0}(x)y^{(n)}+p_{1}(x)y^{(n-1)}+\ldots +p_{n}(x)y.

Az operátor definíciós tartománya olyan függvényekből áll, amelyek az intervallumon kétszer folytonosan differenciálhatók, és kielégítik a Sturm–Liouville probléma peremfeltételeit. Így a Sturm-Liouville probléma az operátor sajátértékei és sajátfüggvényei problémájának tekinthető : . Ha a peremfeltételek függvényei és együtthatói valósak , akkor az operátor önadjungált a Hilbert térben . Ezért sajátértékei valósak, a sajátfüggvényei pedig merőlegesek a súllyal . $L$ $[a,\;b]$ $y$ $L$ $L y = \lambda y$ $p,\ q,\ \rho$ $L$ $L_{2}([a,\;b],\;\rho (x)\,dx)$ $\rho(x)$

A probléma megoldása

Példa

A Sturm-Liouville probléma megoldása nulla potenciállal:

-y''=\lambda y,\qquad (2)

y(0)=y(l)=0

kifejezetten megtalálható [7] . Hadd . A (2) egyenlet általános megoldása minden rögzítettre a következő alakkal rendelkezik $\lambda = \rho^2$ $\lambda$

y(x)=A{\frac {\sin \rho x}{\rho }}+B\cos \rho x\qquad (3)

(különösen, ha (3) értéket ad ). A következőkből . Ha a (3)-at behelyettesítjük a peremfeltételbe , azt kapjuk, hogy . Mivel nem triviális megoldásokat keresünk, akkor , és egy sajátérték egyenlethez jutunk $\rho=0$ $y(x) = Ax + B$ $y(0) = 0$ $B=0$ $y(l) = 0$ $A{\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0$ $A \ne 0$

{\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0.

Gyökei tehát a kívánt sajátértékek a következő alakúak $\rho_n = \frac{\pi n}{l}$

\lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,\;2,\;3,\;\ ldots

és a hozzájuk tartozó sajátfüggvények

y_{n}(x)=\sin {\frac {\pi n}{l}}x,\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots

(állandó tényezőig).

Általános eset

Általában a Sturm-Liouville egyenlet bármely megoldása

-y'' + q(x)y = \lambda y \qquad (4)

lineáris kombinációként ábrázolható

y(x)=AS(x,\;\lambda )+BC(x,\;\lambda )\qquad (5)

megoldásait és a kezdeti feltételek kielégítését $S(x,\;\lambda )$ $C(x,\;\lambda )$

S(0,\;\lambda )=C'(0,\;\lambda )=0,\quad S'(0,\;\lambda )=C(0,\;\lambda )=1

A megoldások és a (4) egyenlet alapvető megoldási rendszerét alkotják , és az egyes rögzített függvények teljes függvényei . (A , , ). Ha behelyettesítjük az (5)-et a peremfeltételekbe , azt kapjuk, hogy a sajátértékek egybeesnek a karakterisztikus függvény nulláival $S(x,\;\lambda )$ $C(x,\;\lambda )$ $\lambda$ $x$ $q(x) \equiv 0$ $S(x,\;\lambda )=\sin \rho x$ $C(x,\;\lambda )=\cos \rho x$ $\rho = \sqrt \lambda$ $y(0) = y(\pi) = 0$

\Delta (\lambda )=S(\pi ,\;\lambda ),

analitikus a teljes -síkon. [négy] $\lambda$

Általános esetben a sajátértékek és a sajátfüggvények nem találhatók meg kifejezetten, de aszimptotikus képleteket kaptak rájuk:

\sqrt \lambda_n = n + \frac{c}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\jobbra), \quad c = \frac{1}{2\pi} \int_0 ^{\pi} q(\tau) \, d \tau,

y_{n}(x)=\sin nx+O\left({\frac {1}{n^{2))}\jobbra),

(a potenciálon folyamatos esetén ). [8] Nagy esetén a sajátértékek és a sajátfüggvények közel állnak a probléma sajátértékeihez és sajátfüggvényeihez a nulla potenciállal rendelkező példából . $[0,\;\pi ]$ $q(x)$ $n$

Sajátértékek és sajátfüggvények tulajdonságai

A sajátértékeknek végtelen megszámlálható halmaza van: $\lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n}<\ldots$
Minden sajátérték egy egyedi sajátfüggvénynek felel meg egy állandó tényezőig . $\lambda_n$ $y_{n}$
Minden sajátérték valós .
Peremfeltételek esetén és ha a feltétel teljesül, minden sajátérték pozitív . $y(a)=y(b)=0$ $q(x)\geqslant 0$ $\lambda _{n}>0$
A sajátfüggvények ortogonális rendszert alkotnak súllyal : $y_{n}(x)$ $[a,\;b]$ $\rho (x)$ $\{y_{n}(x)\}$

\int \limits _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)\rho (x)\,dx=0,\quad n\neq m.

Szteklov tétele teljesül .

A megoldás numerikus módszerei

lövés módszere . A Sturm-Liouville-probléma Dirichlet peremfeltételekkel történő megoldásához a Cauchy-problémát a kezdeti egyenlet kezdeti feltételeivel állíthatjuk be, és addig módosíthatjuk a paramétert , amíg a megfelelő peremfeltétel nem teljesül. [9] $y(a) = y(b) = 0$ $u(a) = 0$ $u'(a) = 1$ $\lambda$
Véges különbség módszer [10] [11] . Egy véges különbség közelítést készítünk, amely lehetővé teszi a Sturm-Liouville probléma helyettesítését a mátrix sajátértékeinek megtalálásának problémájával.
Kiterjesztett vektoros módszer. A különbség sajátfüggvényt a komponens egészíti ki . A kiterjesztett vektorhoz viszonyítva egy nemlineáris rendszert kapunk, amely Newton módszerével oldható meg . [12] ${\displaystyle y=\{y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{N}\))$ $y_{N + 1} = \lambda$
Galerkin módszere . [13]
Variációs módszerek . [tizennégy]

Alkalmazás parciális differenciálegyenletek megoldására

Sturm-Liouville problémák merülnek fel, ha parciális differenciálegyenleteket oldanak meg a változók szétválasztásának módszerével .

Példaként tekintsük egy hiperbolikus típusú egyenlet határérték-problémáját :

\rho (x)u_{tt}=(k(x)u_{x})_{x}-q(x)u,\quad 0<x<l,\;t>0,\qquad (6)

(h_1 u_x - hu)_{|x = 0} = 0, \quad (H_1 u_x + H u)_{|x = l} = 0, \qquad (7)

u_{|t = 0} = \Phi(x), \quad u_{t|t = 0} = \Psi(x). \qquad (8)

Itt és a független változók , egy ismeretlen függvény, , , , , ismert függvények, és valós számok . [15] A (6) egyenletnek olyan részmegoldásait fogjuk keresni, amelyek nem azonosak nullával és teljesítik a (7) peremfeltételeket a formában $x$ $t$ $u(x,\;t)$ $\rho$ $k$ $q$ $\Phi$ $\psi$ ${\displaystyle h,\ h_{1},\ H,\ H_{1))$

u(x,t)=Y(x)T(t).\qquad (9)

A (9) alak behelyettesítése a (6) egyenletbe ad

\frac{(k(x)Y'(x))' - q(x)Y(x)}{\rho(x) Y(x)} = \frac{T''(t)}{T( t)}.

Mivel a és független változók, az egyenlőség csak akkor lehetséges, ha mindkét tört egyenlő egy állandóval. Jelöljük ezt az állandót -val . Kapunk $x$ $t$ $-\lambda$

T''(t) + \lambda T(t) = 0, \qquad(10)

-(k(x)Y'(x))' + q(x) Y(x) = \lambda \rho(x) Y(x), \quad 0 < x < l. \qquad (11)

A (9) forma behelyettesítése a (7) peremfeltételek közé ad

h_1 Y'(0) - h Y(0) = 0, \quad H_1 Y'(l) + HY(l) = 0. \qquad (12)

A (9) forma nem triviális megoldásai (6) - (7) csak azokra az értékekre léteznek , amelyek a Sturm - Liouville probléma (11) - (12) sajátértékei . Ezek a megoldások formájúak , ahol a (11)–(12) feladat sajátfüggvényei és az egyenlet megoldásai . A (6) - (8) feladat megoldása konkrét megoldások összege formájában van ( Fourier-sor a Sturm-Liouville probléma sajátfüggvényei alapján ): $\lambda$ $\lambda_n$ $T_n(t) Y_n(x)$ $Y_n(x)$ $T_n(t)$ $\lambda = \lambda_n$ $Y_n(x)$

u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} T_n(t) Y_n(x).

Inverz Sturm-Liouville problémák

Az inverz Sturm-Liouville problémák abból állnak, hogy a Sturm-Liouville operátor potenciálját és a peremfeltételek együtthatóit visszaállítjuk a spektrális jellemzőkből. [8] [3] [4] Az inverz Sturm-Liouville problémák és általánosításaik alkalmazhatók a mechanikában , a fizikában , az elektronikában , a geofizikában , a meteorológiában és a természettudomány és technológia más területein. Létezik egy fontos módszer a nemlineáris evolúciós egyenletek integrálására (például a KdV-egyenlet ), amely az inverz Sturm-Liouville-probléma ( ) tengelyen való használatához kapcsolódik. $q(x)$ $-y'' + q(x)y$ $-\infty < x < \infty$

Általános szabály, hogy egy spektrum (sajátértékek halmaza) nem elegendő egy operátor egyedi visszaállításához. Ezért általában a következő spektrális jellemzőket használják az inverz probléma kiindulási adataiként:

Két különböző peremfeltételnek megfelelő spektrum (Borg-probléma).
Spektrális adatok, beleértve a sajátértékeket és a súlyszámokat, amelyek megegyeznek a sajátfüggvények négyzetes normáival . $L_{2}$
A Weyl - függvény egy meromorf függvény , amely egyenlő a különböző határérték-problémák két karakterisztikus függvényének arányával.

Az 1-3 adatkészletek mindegyike egyedileg határozza meg a potenciált . Ezenkívül a Weyl-függvény megadása egyenértékű két spektrum vagy spektrális adat megadásával, tehát az 1-3. adatok inverz problémái egyenértékűek. Vannak konstruktív módszerek az inverz Sturm-Liouville problémák megoldására, amelyek a nemlineáris inverz problémák lineáris egyenletekre való redukálásán alapulnak bizonyos Banach-terekben . [négy] $q(x)$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Levitan, Sargsyan, 1988 , p. tíz.
↑ Yurko, 2010 , p. 45.
↑ 1 2 3 Marchenko, 1977 .
↑ 1 2 3 4 Yurko, 2007 .
↑ Naimark, 1969 , p. 72.
↑ Naimark, 1969 .
↑ Yurko, 2010 , p. 25.
↑ 1 2 Levitan, Sargsyan, 1988 .
↑ Kalitkin, 1978 , p. 281.
↑ Kalitkin, 1978 , p. 284.
↑ Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobelkov G. M. Numerikus módszerek. - Binom, 2008. - ISBN 978-5-94774-815-4 .
↑ Kalitkin, 1978 , p. 286.
↑ Kalitkin, 1978 , p. 287.
↑ Gelfand I. M., Fomin S. V. Variációk számítása. – 1961.
↑ Yurko, 2010 , p. harminc.

Irodalom

Levitan B. M. , Sargsyan I. S. Sturm-Liouville és Dirac operátorok. - M . : Tudomány. Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1988. - 432 p. — ISBN 5-02-013751-0 .
Marchenko V. A. Sturm-Liouville operátorok és alkalmazásaik. - Kijev: Naukova Dumka, 1977.
Akhtyamov A. M. , Sadovnichy V. A. , Sultanaev Ya. T. Inverz Sturm-Liouville problémák nem bomló peremfeltételekkel. - M. : Moszkvai Egyetem Kiadója, 2009. - 184 p. - ISBN 978-5-211-05557-5 .
Yurko VA A matematikai fizika egyenletei. - Szaratov, 2010.
Yurko VA Bevezetés az inverz spektrális problémák elméletébe. - M. : Fizmatlit, 2007. - 384 p. — ISBN 978-5-9221-07 .
Naimark M. A. Lineáris differenciáloperátorok. - M . : Nauka, 1969.
Kalitkin N. N. Numerikus módszerek. - M .: Nauka, 1978.

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák