Rendszeres tizenhét

Tizenhét
Rendszeres tizenhét
Típusú	szabályos sokszög
borda	17
Schläfli szimbólum	{17}
Coxeter-Dynkin diagram
Egyfajta szimmetria	Diéder csoport (D 18 ) rendelés 2×18
Belső sarok	≈158,82°
Tulajdonságok
konvex , beírt , egyenlő oldalú , egyenlő szögű , izotoxális

A szabályos tizenhétszög a szabályos sokszögek csoportjába tartozó geometriai alakzat . Tizenhét oldala és tizenhét szöge van , minden szöge és oldala egyenlő egymással, minden csúcs egy körön fekszik . A nagy (több mint öt ) prímszámú szabályos sokszögek közül érdekessége, hogy körzővel és vonalzóval is megépíthető (például hét- , tizenegy- és tizenhárom -szög nem építhető iránytű és vonalzó).

Tulajdonságok

Az α középponti szög .

A körülírt kör oldalhosszának és sugarának aránya a

Szabályos tizenhétszöget meg lehet építeni egy iránytű és az egyenes él segítségével, amit Gauss az " Aritmetikai tanulmányok " (1796) című monográfiájában bebizonyított . Megtalálta a tizenhét gon középponti szögének koszinuszának értékét is:

Ugyanebben a művében Gauss bebizonyította, hogy ha n páratlan prímosztói különböző Fermat-prímek (Fermat - számok ), azaz formájú prímszámok, akkor egy reguláris n-szöget meg lehet alkotni egy iránytű és egy egyenes segítségével (lásd Gauss -Wanzel-tétel ).

Tények

• Gausst annyira megihlette felfedezése, hogy élete végén örökségül hagyta, hogy egy szabályos tizenhét négyzetet faragjanak a sírjára. A szobrász ezt megtagadta, azzal érvelve, hogy az építkezés olyan bonyolult lesz, hogy az eredmény megkülönböztethetetlen a körtől.

• 1893- ban Herbert William Richmond explicit leírást adott ki egy szabályos tizenhét gon felépítéséről, 64 lépésben. Ez a konstrukció az alábbiakban látható.

Épület

Pontos felépítés

1. Rajzolunk egy k ₁ nagy kört (a tizenhétszög jövőbeli körülírt köre), amelynek középpontja O .
2. Rajzolja le az AB átmérőjét .
3. Építünk rá egy m merőlegest , amely a C és D pontokban metszi a k₁-t .
4. Jelöljük az E pontot - a DO közepét .
5. Az EO közepén jelöljük ki az F pontot és rajzoljunk egy FA szakaszt .
6. Megszerkesztjük az ∠OFA szög wl felezőjét.
7. Építjük w₂ - az m és w₁ közötti szög felezőjét, amely az AB -t a G pontban metszi .
8. Állítsa vissza az s -t a w₂-re merőlegesen az F pontból .
9. Építjük w₃ - az s és w2 közötti szög felezőjét. AB - t a H pontban metszi .
10. Megszerkesztjük a Thalész-kört ( k ₂) a HA átmérőn úgy, hogy a középpontja az M pontban van . J és K pontokban metszi a CD -t .
11. Rajzolunk egy k3 kört G középponttal a J és K pontokon keresztül . L és N pontokban metszi az AB -t . Fontos, hogy ne keverjük össze az N -t az M -mel , mert nagyon közel vannak.
12. Megszerkesztjük a k₃ érintőjét N -ig .

Ennek az érintőnek az eredeti k₁ körrel való metszéspontjai a kívánt tizenhét szög P3 és P14 pontjai. Ha a kapott ív közepét P₀-nek vesszük, és a P₀P14 ívet háromszor elhalasztjuk a kör körül, akkor a tizenhét szög összes csúcsa megépül.

Hozzávetőleges konstrukció

A következő konstrukció, bár hozzávetőleges, sokkal kényelmesebb.

1. Tegyünk egy pontot az M síkra , kört építünk köré k és megrajzoljuk az AB átmérőjét ;
2. Háromszor felezzük az AM sugarat a középpont felé ( C , D és E pontok ).
3. Az EB szakaszt kettéosztjuk ( F pont ).
4. az AB -re merőlegest építünk az F pontban .

• Röviden: rajzoljunk egy merőlegest az átmérőre az átmérő 9/16-ának távolságára B -től .

Az utolsó merőleges és a kör metszéspontja jó közelítés a P3 és P14 pontokhoz.

Ezzel a konstrukcióval 0,83%-os relatív hibát kapunk. A sarkok és oldalak így egy kicsit nagyobbak a szükségesnél. 332,4 mm-es sugárral az oldal 1 mm-rel hosszabb.

Erchinger animált konstrukciója

Csillagformák

Egy szabályos tizenhétszögnek 7 szabályos csillagalakja van.

• {17/2}

• {17/3}

• {17/4}

• {17/5}

• {17/6}

• {17/7}

• {17/8}

Lásd még

• Gauss-Wanzel tétel

Linkek

• Karin Reich . Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). // A könyvben: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm . Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, 101-118.
• Weisstein, Eric W. Heptadagon a  Wolfram MathWorldnél .