Komplex elemzés

A komplex elemzés [1] , egy komplex változó (vagy összetett változó ; rövidítve TFCF ) függvényelmélete a matematikai elemzés egy része, amelyben egy komplex argumentum függvényeit veszik figyelembe és tanulmányozzák .

Általános fogalmak

Minden komplex függvény két változóból álló valós függvénypárnak tekinthető: a valós és képzetes részeit definiálva. A függvényeket komplex függvény komponenseinek nevezzük . $w=f(z)=f(x+iy)$ $f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$ $u,v$ $F z)$

Továbbá, bárhol is beszélünk egy komplex függvény korlátosságáról , a moduljának korlátosságát értjük alatta (ami mindkét komponens szokásos értelmében vett korlátot jelent).

A sorozat és a függvény határértékének fogalmát ugyanúgy vezetjük be, mint a valós esetben, az abszolút értéket komplex modulussal helyettesítjük. Ha , akkor és Ennek a fordítottja is igaz: magának a függvénynek a határértékének megléte következik az összetevők határértékeinek meglétéből, és a komponensek határai lesznek a határösszetevők. Egy komplex függvény folytonosságát is ugyanúgy definiáljuk, mint a valós esetben, és ekvivalens mindkét komponensének folytonosságával [2] . $\lim _{{z\to a+bi}}f(z)=A+Bi$ $\lim _{\underset {y\to b}{x\to a}}u(x,y)=A$ $\lim _{\underset {y\to b}{x\to a}}v(x,y)=B.$

A valós függvények határértékére és folytonosságára vonatkozó fő tételek összetett esetben is előfordulnak, ha ez a kiterjesztés nem kapcsolódik a komplex mennyiségek többé-kevésbé -val való összehasonlításához . Például nincs közvetlen analógja a folytonos függvény köztes értékeire vonatkozó tételnek.

$\varepsilon$ -egy szám szomszédságát a következőnél kisebb pontok halmazaként határozzuk meg : $z_{0}$ $z$ $z_{0}$ $\varepsilon$

|z-z_{0}|<\varepsilon

A komplex síkon a -szomszédság egy olyan kör belseje [2] , amelynek sugara középpontja . $\varepsilon$ $\varepsilon$ $z_{0}$

Pont a végtelenben

A komplex elemzésben gyakran hasznos a teljes komplex síkot [3] figyelembe venni , kiegészítve a szokásos végtelen ponttal : Ezzel a megközelítéssel egy végtelenül növekvő (abszolút értékben) sorozatot úgy tekintünk, hogy konvergál a végtelenben lévő ponthoz. . A végtelennel végzett algebrai műveleteket nem hajtják végre, bár számos algebrai reláció érvényesül: $z=\infty .$

${\frac {z}{\infty }}=0;z+\infty =\infty (z\neq \infty )$
$z\cdot \infty =\infty ;{\frac {z}{0}}=\infty (z\neq 0)$

$\varepsilon$ A végtelenben lévő pont -szomszédságának tekintjük azon pontok halmazát, amelyek modulusa nagyobb, mint , vagyis az origó -szomszédságának külső része . $z$ ${\dfrac {1}{\varepsilon ))$ ${\dfrac {1}{\varepsilon ))$

Differenciálás

Definíció

Egy argumentum komplex függvényének deriváltját ugyanúgy definiáljuk, mint egy valós függvényét [4] : $w=f(z)$

f'(z)={\frac {df}{dz}}=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z) +h)-f(z)}{h}}.

Ha ez a határ létezik, akkor a függvényt differenciálhatónak vagy holomorfnak mondjuk . Ahol

f(z+h)-f(z)={\frac {df}{dz}}\cdot h+o(h),

ahol — az " o " kicsi .

o

Egy fontos tulajdonságot érdemes figyelembe venni: mivel a komplex függvény a síkon adott, ezért a redukált határérték megléte azt jelenti, hogy bármely irányból való hajlásnál ugyanaz. Ez a tény jelentős megszorításokat szab a komponensfüggvények formájára, és meghatározza merev kapcsolatukat ( Cauchy-Riemann feltétel, ezek egyben Euler-D'Alembert feltételek is) [4] : $z$ $u,\;v$

{\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y));\qquad {\frac {\partial u}{\partial y))= -{\frac {\partial v}{\partial x)),

vagy röviden,

{\frac {\partial f}{\partial x))={\frac {\partial f}{i\partial y)).

Ez azt jelenti , hogy a komponensek differenciálhatósága nem elegendő magának a függvénynek a differenciálhatóságához. $u$ $v$

Ezenkívül a következő tulajdonságok különböztetik meg a komplex elemzést a valós elemzéstől [4] :

Bármilyen komplex függvény, amely egy pont valamely környezetében differenciálható, korlátlan számú alkalommal differenciálható, és analitikus , vagyis a Taylor-sora ennek a szomszédságnak minden pontján konvergál egy adott függvényhez (a szakirodalomban az analitikus függvény kifejezéssel együtt , a „ holomorf függvény ”, a „ reguláris függvény ” szinonimái is használatosak) ). $z$
( Liouville tétele ): Ha egy függvény a teljes komplex síkon differenciálható, és nem állandó, akkor a modulusa nem korlátos.
A differenciálható komplex függvény mindkét összetevője harmonikus függvény , azaz kielégíti a Laplace-egyenletet :

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0;\qquad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0.

Bármely harmonikus függvény lehet egy differenciálható függvény valós és imaginárius összetevője. Ebben az esetben a másik komponenst egyedileg határozzuk meg (a Cauchy-Riemann-feltételek alapján), egészen egy állandó tagig.

Így minden differenciálható komplex függvény a forma függvénye , ahol két argumentum egymással összefüggő harmonikus függvényei vannak. $u+iv$ $u,\;v$

Egyéb tulajdonságok

Legyenek a és függvények differenciálhatóak a Akkor és tartományban is ebben a tartományban. Ha nem tűnik el a régióban , akkor differenciálható lesz a A függvények összetétele mindenhol differenciálható, ahol definiálva van. Ha egy függvény deriváltja a tartományban nem tűnik el, akkor van egy függvény inverze és differenciálható lesz. $F z)$ $g(z)$ $G\subseteq \mathbb {C} .$ $f(z)\pm g(z)$ $f(z)\cdot g(z)$ $g(z)$ $G$ ${\frac {f(z)}{g(z)))$ $G.$ $f(g(z))$ $w=f(z)$ $G$ $z=\varphi (w)$

Az összeg, a különbség, a szorzat, a hányados, a függvények összetétele és az inverz függvény deriváltja ugyanazokkal a képletekkel kerül kiszámításra, mint a valós elemzésben.

A származék geometriai jelentése

Minden komplex függvény meghatározza a koordinátákkal rendelkező komplex sík egy másik komplex síkra való leképezését koordinátákkal . Ugyanakkor a kifejezés $w=f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)$ $(x,\;y)$ $(u,\;v)$

\left|{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\right|=k(h)

ha kicsi , akkor geometriailag úgy értelmezhető , mint a méretezési tényező , amelyet ez a leképezés végez , amikor pontról pontra mozog . A határérték , vagyis a derivált modulusa azt jelenti, hogy a skálázási tényező a ponttól bármely irányban azonos , azaz nem függ az iránytól. Általánosságban elmondható, hogy a skálázási tényező pontról pontra változik [5] . $h$ $z$ $z+h$ $\lim _{h\to 0}k(h)$ $|f^{\prím}(z)|=k$ $z$

Ha a méretezési tényező , akkor a pont közelében a pontok közötti távolságok nőnek, és a léptéktényezőt nyújtási tényezőnek nevezzük . Ha a léptékező tényező , akkor a pont közelében a pontok közötti távolságok csökkennek, és a léptéktényezőt tömörítési tényezőnek nevezzük . Példa a függvényre : egy pontban a derivált 4, tehát minden hossz megnégyszereződik. $k>1$ $z$ $k<1$ $z$ $f(z)=z^{2}+2z-1$ $z=1$

Ami a derivált argumentumot illeti, ez határozza meg egy adott ponton átmenő sima görbe elfordulási szögét . Ezen a kijelzőn az összes sima görbe azonos szögben van elforgatva. A szögeket megőrző térképeket konformálisnak nevezzük ; így minden differenciálható komplex függvény konformális leképezést határoz meg (abban a tartományban, ahol a deriváltja nem tűnik el) [6] . Ez a tény a komplex függvények térképészetben és hidrodinamikában elterjedt használatához kapcsolódik [7] . $z$

Integráció

Összetett függvények integrációja

Az antiderivatív komplex függvény (határozatlan integrál) fogalmát ugyanúgy vezetjük be, mint a valós esetben. A tól- ig intervallumban a határozott integrálnak azonban nincs analógja a komplex síkon, mivel a kezdőponttól a végsőig vezető út kétértelmű. Ezért a komplex integrál fő alakja a görbe vonalú integrál , amely egy adott útvonaltól függ. Az alábbiakban megjelöljük azokat a feltételeket, amelyek mellett az integrál nem függ az úttól, és akkor a „ponttól pontig” integrál helyesen definiálható. $a$ $b$

Legyen az az egyenlet , ahol a t paraméter valamilyen a kezdeti értékről a b végértékre irányul, a komplex síkban egy darabonként sima görbét határozzon meg , amely egy irányt tartalmaz, és a függvény ennek a görbének a pontjain definiálható. A paraméter mozgásának iránya határozza meg a görbe fajlagos bejárását: nem mindegy, hogy melyik nagyobb - b vagy a . [8] Ossza fel a paraméterezési szegmenst egyenlő részekre ${\megjelenítési stílus z=z(t),}$ $\gamma$ $F z)$ $n$ $t_{0},t_{1}\cdots t_{n-1},t_{n}\colon$

$a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b,$ ha a < b ;
vagy ha a > b , $a=t_{0}>\ldots >t_{n}=b,$

és vegye figyelembe az integrál összeget:

\sum _{k=1}^{n}f{\big (}z(t_{k}){\big )}\cdot {\big (}z(t_{k})-z( t_{k-1}){\big )}.

Ennek az összegnek a korlátlanul növekvő határát az adott függvény (irányított) görbéje feletti (komplex) integrálnak nevezzük ; ezt jelölik: $n$ $\gamma$ $F z)$

\int _{\gamma }f(z)dz.

Bármely függvény mentén folytonos , ez az integrál létezik, és a szokásos valós integrállal számítható ki a paraméter felett: $F z)$ $\gamma$

\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{a}^{b}f(z(t))z'(t)dt=\int _{\gamma }(u~ dx-v~dy)+i\int _{\gamma }(v~dx+u~dy).

Itt vannak az összetevők . Ebből az ábrázolásból látható, hogy a komplex integrál tulajdonságai hasonlóak a második típusú valós görbe integráléhoz. $u,\;v$ $F z)$

Kontúrintegrál

Gyakorlatilag különösen érdekesek azok az integrálok, amelyek egy (zárt) kontúr mentén vannak, azaz egy darabonként sima, önmetszéspontok nélküli görbe mentén , amelyben a kezdőpont egybeesik a végponttal. A kontúr két irányban megkerülhető; pozitív az az irány, amelyben a körvonal által határolt terület a menetiránytól balra helyezkedik el.

Ha a görbe zárt kontúrt alkot, az integrál speciális jelölését alkalmazzuk: $\gamma$

\oint _{\gamma }f(z)dz.

Néha a körön lévő nyíl jelzi az irányt: az óramutató járásával megegyező vagy ellenkező irányba.

Van egy fontos Cauchy-integráltétel : minden olyan függvénynél , amely egy egyszerűen összekapcsolt tartományban analitikus , és bármely zárt hurkánál , a felette lévő integrál egyenlő nullával: $F z)$ $A\subseteq \mathbb {C} ,$ $\gamma \subseteq A$

{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)dz=0{.))

Következmény: legyen a függvény analitikus egy egyszerűen összekapcsolt tartományban , és a tartomány pontjait valamilyen görbe köti össze . Ekkor az integrál csak a pontoktól függ , de nem az őket összekötő görbe megválasztásától , így jelölhető $F z)$ $A\subseteq \mathbb {C} ,$ $z_{1},z_{2}$ $A$ $\gamma$ $\textstyle \int _{\gamma }f(z)dz$ $z_{1},z_{2}$ $\gamma$ $\textstyle \int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}f(z)dz.$

Ha a Cauchy-tétel feltételei teljesülnek, akkor bevezethetjük a határozatlan integrál fogalmát . Ehhez rögzítünk egy bizonyos pontot a régión belül, és figyelembe vesszük az integrált: $F z)$ $z_{0}$

F(z)=\int _{z_{0}}^{z}{f(w)dw}.

A derivált tehát az antideriválta A konstansban különbözõ antideriválták családja ( a választásától függõen ) határozatlan integrált alkot. A Newton-Leibniz tétel [9] a következőket tartalmazza : $F'(z)$ $F z)$ $F z)$ $f(z).$ $z_{0}$

\int _{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)\,dz}=F(z_{2})-F(z_{1}).

Van egy általánosítása a Cauchy-féle integráltételnek egy többszörösen összefüggő tartományra: ha egy függvény egy zárt , többszörösen kapcsolt tartományban analitikus , akkor a tartomány külső kontúrja feletti integrálja egyenlő az összes belső kontúron lévő integrálok összegével (a ugyanabban az irányban, mint a külső mentén) [10] . Ezt az általánosítást akkor célszerű alkalmazni, ha a tartomány egy függvény szinguláris pontját tartalmazza (a szinguláris pont meghatározása alább ), ahol a függvény nem analitikus vagy nincs definiálva.

További hatékony eszközök az összetett és valós integrálok feltárásához:

Cauchy-féle integrálképlet és következményei: a maximális modulus elve , középérték tételek ;
az alapvető maradéktétel .

Egyediségi tételek és analitikus folytatás

Egy függvény nullája az a pont , ahol a függvény eltűnik: . $F z)$ $z_{0}$ $f(z_{0})=0$

Tétel egy analitikus függvény nullapontjairól . Ha a tartományban analitikus függvény nulláin belül van egy határpont , akkor a függvény mindenhol eltűnik a tartományban. $F z)$ $D$ $D$ $F z)$ $D$

Következmény: ha egy függvény egy tartományban analitikus, és nem egyformán nulla benne, akkor bármely korlátos zárt altartományban csak véges számú nulla lehet. $F z)$ $D$ $C\subseteq D$

Az egyediség tétele egy analitikus függvényhez. Legyen a tartomány különböző pontjainak végtelen konvergens sorozata . Ha két analitikus függvény ennek a sorozatnak minden pontjában egybeesik, akkor ezek megegyeznek $\{z_n\}$ $D.$ $f(z), g(z)$ $D.$

Különösen, ha két analitikus függvény egybeesik valamelyik darabonkénti sima görbén -ben , akkor mindenhol egybeesik -ben . Ez azt jelenti, hogy egy analitikus függvény értékei még a tartomány egy kis területén is teljesen meghatározzák a függvény viselkedését a definíciójának teljes tartományában. Miután megadtunk egy analitikus függvényt egy görbén (például a valós tengelyen), egyedileg meghatározzuk a kiterjesztését (ha lehetséges) egy szélesebb területre, amit az eredeti függvény analitikus folytatásának nevezünk. $D$ $D$

Minden szabványos elemzési függvény - polinom , lineáris törtfüggvény , hatványfüggvény , exponenciális , trigonometrikus függvény , inverz trigonometrikus függvény , logaritmus - lehetővé teszi az analitikus folytatást a komplex síkra. Ugyanakkor ugyanazok az algebrai, differenciális és egyéb azonosságok érvényesek az analitikai folytatásukra, mint a valódi eredetire, például:

\sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}.

A sorozat bővítése

Teljesítménysorozat

A számsor összegének és a konvergencia előjeleinek meghatározása a komplex elemzésben gyakorlatilag megegyezik a valós elemzéssel, az abszolút értéket komplex modullal helyettesítjük; Kivételt képeznek a konvergencia jelei, amelyekben maguknak a sorozatoknak az elemeihez és nem moduljaihoz van összehasonlítás.

Minden függvény, amely egy pontban differenciálható, a Taylor-hatványsor e pontjának szomszédságában bővül : $z_{0}$

f(z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

A sorozat együtthatóit a szokásos képletekkel számítjuk ki. Ez a sorozat egy függvényhez konvergál valamilyen sugarú körben, amelynek középpontja a pontban van , és amely a valós sorozatok konvergencia intervallumának analógjaként szolgál. A sorozat abszolút ebben a körben konvergál, és azon kívül is eltávolodik. Ebben az esetben 3 eset lehetséges. $F z)$ $R$ $z_{0}$

A sorozat véges és nullától eltérő sugarú körben konvergál.
A sorozat a teljes komplex síkban konvergál, azaz . Az ilyen függvényeket egész számoknak nevezzük . $R=\infty$
A sorozat csak a ponton konvergál . Példa: . Az ilyen pontokat szingulárisnak nevezzük a függvényhez A nem szinguláris pontokat szabályosnak nevezzük . A konvergenciakör belseje szabályos pontokból áll. $z_{0}$ $\sum _{{n=0}}^{\infty }n!(z-z_{0})^{n}$ $z_{0}$ $f(z).$

A konvergenciakör határa legalább egy szinguláris pontot tartalmaz. Ebből következik, hogy a konvergenciakör sugara egy pontban egyenlő a hozzá legközelebbi szinguláris pont távolságával. $z_{0}$ $z_{0}$

Ábel-tétel : ha egy hatványsor konvergenciakörének sugara, akkor bármely azonos középpontú, de kisebb sugarú körben a sorozat egyenletesen konvergál . $R$

Laurent sorozat

Nagy gyakorlati érdeklődésre tart számot egy függvény viselkedésének tanulmányozása egy izolált szinguláris pont közelében , vagyis egy olyan pont közelében, amelynek közelében a függvény analitikus, de maga a pont vagy nem analitikus, vagy nem definiált. A power sorozat itt haszontalan, ezért bemutatjuk az általánosabb Laurent sorozatot :

\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{{n=0}}^{{\ infty }}c_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {c_{{-n}}}{ (z-z_{0})^{n}}}

Ha a Laurent-sor konvergenciatartománya nem üres, akkor ez egy körgyűrű : . $r<|z-z_{0}|<R$

Főtétel : ha egy függvény analitikus egy körgyűrűben, akkor ebben a gyűrűben egy konvergens Laurent-sorral ábrázolható, és egyedileg. $F z)$

Ami egy hatványsort illeti, a konvergenciagyűrű határait a függvény szinguláris pontjainak eloszlása határozza meg. A Laurent-sor alakja alapján néhány következtetést levonhatunk a függvény viselkedésére a pont közelében . $z_{0}$

Eltávolítható szinguláris pont : ha a Laurent sorozat nem tartalmaz negatív hatványú elemeket . Akkor ez csak egy hatványsor, amely egy függvényt határoz meg valamilyen körben . Ebben a körben a sorozat összege véges, és csak a pontban térhet el , ezért elég újradefiniálni a -t , hogy a függvény a teljes körben analitikussá váljon. A következő kritérium teljesül: ha egy közeli függvény analitikus és korlátos, akkor eltávolítható szinguláris pont. ${\displaystyle z-z_{0))$ $z_{0}$ $F z)$ $z_{0}$ $f(z_{0})$ $z_{0}$ $z_{0}$
Pólus : ha a Laurent sorozat véges számú negatív hatványú elemet tartalmaz . Ebben az esetben a pont függvénye végtelen (modulo). ${\displaystyle z-z_{0))$ $z_{0}$
Lényeges szinguláris pont : ha a Laurent-sorozat végtelen sok negatív hatványú elemet tartalmaz . Ebben az esetben a pontban lévő függvény nem definiálható megfelelően folytonosnak. ${\displaystyle z-z_{0))$ $z_{0}$

Alkalmazások a valós elemzésben

A TFKP részét képező maradékok elméletének segítségével számos összetett integrált számítanak ki zárt körvonalakon.

A komplex elemzés eszközei megmagyaráznak néhány olyan pontot, amelyek anyagelemzés szempontjából nem könnyen értelmezhetők. Vegyünk egy klasszikus példát: a függvényt

f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}

folytonos és végtelenül differenciálható a teljes valós vonalon. Tekintsük a Taylor sorozatot

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\lpont

Ez a sorozat csak az intervallumban konvergál , bár a pontok nem speciálisak . $(-1;\;1)$ $\pm 1$ $f(x)$

A helyzet világosabbá válik, ha áttérünk egy komplex változó függvényére , amelynek két szinguláris pontja van: . Ennek megfelelően ez a függvény csak a körben bővíthető Taylor sorozattá . $f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}$ $\pm i$ $\Delta =\{z\colon |z|<1\}$

Történelem

A komplex elemzés alapvető munkája Euler , Riemann , Cauchy , Weierstrass és sok más híres matematikus nevéhez fűződik. A konformális leképezések elmélete a meglévő mérnöki alkalmazásoknak köszönhetően rohamos fejlődésnek indult, a komplex elemzés módszereit és eredményeit az analitikus számelméletben alkalmazzák . A komplex elemzés iránti érdeklődés új hulláma a komplex dinamikához és a fraktálok elméletéhez kapcsolódik .

Lásd még

Analitikus funkció
Levonás (komplex elemzés)
Holomorf függvény
Quaternion elemzés
Komplex számok
Többváltozós komplex elemzés
monogén funkció
A projektíven kiterjesztett valós egyenes a komplex sík egydimenziós analógja, kiegészítve egy előjel nélküli ponttal a végtelenben .

Jegyzetek

↑
A kettős feszültséget a következő források szerint adjuk meg:
- Nagy Szovjet Enciklopédia , 3. kiadás. (1973), 12. kötet, p. 588, Komplex számok cikk .
- Szovjet enciklopédikus szótár (1982), p. 613, cikk Komplex szám .
- A "Szótár az orosz nyelv nehézségeiről" legújabb kiadása (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, 273. o.) mindkét lehetőséget jelzi: "összetett (komplex) számok".
- A Nagy Orosz Enciklopédia (2010. 14. kötet) a hangsúlyokat egyszerre kínálja fel: Komplex szám (691. o.), de Komplex elemzés (695. o.).
- Az orosz nyelv helyesírási szótára (6. kiadás, 2010), az orosz nyelv grammatikai szótára, az Orosz Tudományos Akadémia orosz helyesírási szótára , szerk. V. V. Lopatina és számos más szótár jelzi a lehetőségeket: „ komplex ” és „ összetett (matematikai)”.
↑ 1 2 Smirnov V.I., 2010 , p. 7-15..
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete. Rendelet. op., p. 20-21.
↑ 1 2 3 Smirnov V.I., 2010 , p. 15-22..
↑ Smirnov V.I., 2010 , p. 22-23.
↑ Smirnov V.I., 2010 , p. 24-25.
↑ Lavrentiev M. A., Shabat B. V. A hidrodinamika problémái és matematikai modelljeik . - M . : Nauka, 1973. (elérhetetlen link)
↑ Fikhtengolts, Grigorij Mihajlovics . Differenciál- és integrálszámítás tantárgy 9. fejezet 2. bekezdés . Letöltve: 2021. június 8. Az eredetiből archiválva : 2020. július 19. (határozatlan)
↑ Matematika, tartalma, módszerei és jelentése (három kötetben). - Szovjetunió Tudományos Akadémia, 1956. - T. 2. - S. 204-205. — 397 p.
↑ Smirnov V.I., 2010 , p. 33.

Irodalom

Evgrafov M. A. Analitikai függvények. - 2. kiadás, átdolgozva. és további — M .: Nauka , 1968. — 472 p.
A 18. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Krasznov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Egy komplex változó függvényei. műveleti kalkulus. A stabilitás elmélete. — M .: Nauka , 1981. — 304 p.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Egy komplex változó függvényelméletének módszerei. - 4. kiadás - M .: Nauka , 1972 .
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Szmirnov V. I. A felsőbb matematika kurzusa három kötetben. - Szerk. 10. - Szentpétervár. : BHV-Petersburg, 2010. - V. 3., 2. rész. — 816 p. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
Titchmarsh E. Függvényelmélet: Per. angolról. - 2. kiadás, átdolgozva. — M .: Nauka , 1980. — 464 p.
Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás tanfolyama, három kötetben. - M. : Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. — M .: Nauka , 1969. — 577 p.

A matematika ágai

"Tudomány" portál

A matematika alapjai halmazelmélet matematikai logika logikai algebra

Számelmélet ( aritmetika )

Algebra
Elemi algebra	Egyenlet megoldás
Lineáris algebra	Vektorszámítás mátrixok Tenzorszámítás Multilineáris algebra
Általános algebra	Kommutatív algebra Reprezentációs elmélet Differenciálalgebra Homológiai algebra Univerzális algebra Kategória elmélet

Elemzés
Klasszikus elemzés	Differenciálszámítás Integrálszámítás
Függvényelmélet	Harmonikus elemzés Quaternion elemzés Komplex elemzés mértékelmélet Valós változó függvényeinek elmélete funkcionális elemzés Variációszámítás
Differenciál- és integrálegyenletek	Dinamikus rendszerek és ergodikus elmélet Differenciál egyenletek rendes részleges származékokban Integrálegyenletek
Vektor elemzés Globális elemzés Katasztrófaelmélet Egyéni elemzés Sima infinitezimális elemzés

Geometria és topológia
Geometria	Algebrai geometria Analitikus geometria Euklideszi geometria Nem euklideszi geometria Planimetria Sztereometria
Topológia	Általános topológia Algebrai topológia Differenciálgeometria és topológia

Diszkrét matematika
Kombinatorika gráfelmélet

Alkalmazott matematika
Matematikai fizika Matematikai kémia matematikai biológia Matek statisztika Matematikai modellezés Algoritmusok elmélete Numerikus módszerek matematikai közgazdaságtan pénzügyi matematika Valószínűségi elmélet Operációkutatás Játékelmélet

"Matematika" portál
"Matematika" kategória

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy orosz a világ körül Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4018935-1 J9U : 987007553156205171 LCCN : sh85052356 NKC : ph135388