Görbevonalas integrál

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. július 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A görbe vonalú integrál egy görbe mentén számított integrál .

Különbséget teszünk az első típusú görbe lineáris integrál között , amelyben a skalárfüggvényt megszorozzuk a görbetartomány végtelenül kis hosszával, és a második típusú , ahol a vektorfüggvényt skalárosan megszorozzuk egy végtelenül kicsi vektorral, amely a görbe mentén helyezkedik el. a görbe, amely egy iránnyal van felruházva .

Definíció

Kiindulási feltételek

Görbe

Legyen egy sima ( folyamatosan differenciálható ) görbe szinguláris pontok és önmetszéspontok nélkül (egy önmetszés megengedett - zárt görbe esetén), paraméteresen megadva : $l$

l\colon ~\mathbf {r} (t),

ahol r a sugárvektor , melynek vége leírja a görbét, és a t paraméter valamilyen a kezdőértékről a b végértékre irányul . A második típusú integrál esetén a paraméter mozgási iránya határozza meg magának a görbének az irányát, nem számít, hogy mi nagyobb - b vagy a . [egy] $l.$

Integrálható funkció

Legyen adott egy skalár vagy vektorfüggvény, amelyből a görbe mentén ill $l\colon$ $f(\mathbf {r} )$ $\mathbf {f} (\mathbf {r} ).$

Lebontás

A paraméterezés szegmensének particionálása

Legyen adott egy szegmens (vagy ) partíciója , azaz egy halmaz , ahol: $[a,b]$ ${\megjelenítési stílus [b,a]}$ $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}=\{t_{0},~...,t_{n}\},$
- $a=t_{0}<\ldots <t_{n}=b,$ ha $a<b;$
- vagy ha $a={{t}_{0}}>\ldots >{{t}_{n}}=b,$ $a>b.$

Ennek a partíciónak a finomsága egy szám, amely a partíció összes szomszédos értéke közötti maximális lehetséges távolságot jelöli. $\max _{k={\overline {1,n))}\{|t_{k}-t_{k-1}|\},$

Vezessünk be egy közbülső partíciós pontot – olyan pontokat , amelyek mindegyike és ( ) között helyezkedik el. $\xi _{k},$ ${\displaystyle t_{k-1))$ $t_k$ $k=\overline {1,n}$

Görbe megtörése

Határozzuk meg a görbe partícióját , amely megfelel a paraméterezési szegmens partíciójának. $\{\mathbf {r} (t_{k})\}_{k=0}^{n},$ ${\displaystyle \{t_{k}\}_{k=0}^{n))$

For jelölje a görbe azon részét, amely a paraméter értékétől a hol értékig terjed ${\displaystyle l_{k))$ $\mathbf {r} (t)$ $t=t_{k-1}$ $t=t_{k},$ $k={\overline {1,n)).$

Határozzuk meg a görbe felosztásának közbenső pontjainak halmazát, amelyek mindegyike a ( ) ponton található. $\mathbf {r} (\xi _{k}),$ ${\displaystyle l_{k))$ $k=\overline {1,n}$

Integrális összegek

Az alábbiakban az integrálösszegek meghatározásához köztes pontokat, particionálást és a görbe szakaszait használjuk. Tekintsünk két integrálösszeget : $\mathbf {r} (\xi _{k}),$ ${\displaystyle \{t_{k}\}_{k=0}^{n))$ ${\displaystyle l_{k))$ $l.$

az első típusú integrál integrál összege: $\sum \limits _{k=1}^{n}f{\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot |l_{k}|,$ ahol | lk | _ — szakasz hossza l k ;

integrál összege a második típusú integrálhoz: $\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot {\big (}\mathbf {r} (t_{k})-\mathbf {r} (t_{k-1}){\big )},$

ahol az f vektorfüggvény skalár szorozva r ( t k ) − r ( t k −1 ) növekményével .

Görbevonalas integrál

Ha az integrálösszegekben n -t korlátlanul növeljük úgy, hogy a finomság nullára hajlik, akkor a határértékben a ( ) függvény görbe vonalú integrálját kapjuk a görbe mentén Ha ez a határ valóban létezik, akkor azt mondjuk, hogy a ( ) függvény A görbe mentén integrálható . Ekkor az első és a második típusú integrálok a következők : $f$ $\mathbf {f}$ $l.$ $f$ $\mathbf {f}$ $l.$

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |},\quad \int _{l}\mathbf {f(r)\cdot dr} ,

ahol dr a differenciálvektor a görbe mentén. Második típusú integrál esetén a görbe iránya fontos: ettől függ magának a dr differenciál iránya .

Ha a görbe zárt (az eleje egybeesik a végével), akkor az ikon helyett szokás írni $l$ $\textstyle \int$ $\textstyle \oint .$

Az első típusú görbe vonalú integrál

Tulajdonságok

Linearitás: $\int _{l}(\alpha f(\mathbf {r} )+\beta g(\mathbf {r} ))\cdot \mathbf {|dr|} =\alpha \int _{l} f\mathbf {|dr|} +\beta \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$
Additivitás: ha és egy pontban metszik, akkor $l_{1}$ $l_{2}$ $\int _{l_{1}\cup l_{2}}f\mathbf {|dr|} =\int _{l_{1}}f\mathbf {|dr|} +\int _{l_ {2}}f\mathbf {|dr|} .$
Monotonitás: ha be van kapcsolva , akkor $f\leqslant g$ $l$ $\int _{l}f\mathbf {|dr|} \leqslant \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$
Az átlagérték tétel: ha az on függvény folytonos , akkor az integrál választhat olyan pontot , $f$ $l$ $\textstyle \int _{l}f\mathbf {|dr|}$ $\xi \in l,$ $\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =\int _{l}f(\xi )\mathbf {|dr|} ,$ vagy ami ugyanaz, $\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =f(\xi )\cdot |l|.$
Az integrációs görbe megkerülésének irányának megváltoztatása nem befolyásolja az integrál előjelét: $\int _{AB}f\cdot |\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot |{-}\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot | \mathbf {dr} |.$
Az első típusú görbe vonalú integrál nem függ a görbe paraméterezésétől.

Számítás

Legyen egy sima, egyenirányítható (véges hosszúságú) görbe, paraméteresen adott (mint a definíciójában ). Legyen a függvény definiálva és integrálható a görbe mentén , majd általános esetben $l$ $f(\mathbf {r} )$ $l.$

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\pont {r}} (t)dt|=\int _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\pont {r}} (t)dt|,

vagy ha kiterjesztjük a d t differenciál modulusát ,

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}={\begin{cases}\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf { r} )\cdot |\mathbf {\pont {r}} (t)|dt=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\pont { r}} (t)|(-dt),&{\text{if}}~a<b,\\\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot | \mathbf {\pont {r}} (t)|(-dt)=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\pont {r}} (t)|dt,&{\text{if}}~a>b.\end{cases}}

ahol a pont a származékot jelöli t -hez képest .

Második típusú görbe vonalú integrál

Tulajdonságok

1. Linearitás:

\int _{l}(\alpha \mathbf {f} +\beta \mathbf {g} )\cdot \mathbf {dr} =\alpha \int _{l}\mathbf {f\cdot dr} +\beta \int _{l}\mathbf {g\cdot dr} .

2. Additivitás:

\int _{AB}\mathbf {f\cdot dr} +\int _{BC}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{ABC}\mathbf {f\cdot dr} .

3. $\int _{BA}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{AB}\mathbf {f} \cdot (-\mathbf {dr} )=-\int _{AB}\mathbf { f\cdot dr} .$

Megjegyzés. A második típusú görbe vonalú integrálokra a monotonitási tulajdonság, a modulusbecslés és az átlagérték tétel nem érvényes.

Számítás

Legyen AB parametrikusan adott sima görbe (mint a definíciójában ), és egy A -ból B -be mutató iránnyal felruházva . Legyen a függvény definiálva és integrálható a görbe mentén $\mathbf {f}$ $l.$

\int _{AB}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\pont {r))} (t )dt,

és a görbe bejárásának megváltoztatásakor:

\int _{BA}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{b}^{a}\mathbf {f(r)\cdot {\pont {r))} (t )dt=-\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\pont {r))} (t)dt.

A görbe integrálok kapcsolata

Ha egységvektorként jelöljük a görbének a görbével azonos irányú érintőjét paraméterezzük, akkor a görbe integrálok közötti kapcsolat a következő: ${{\vec {\tau}}}$ $l,$

\mathbf {\color {Green}dr} ={\vec {\tau }}\mathbf {\color {Green}|dr|} .

Magukat az integrálokat tekintve ez így néz ki:

\int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Green}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color {Green} |dr|} ,

ahol egy sima, egyenirányítható görbe egy iránnyal felruházott, és a vektorfüggvény integrálható rajta. $l$ $\mathbf {f}$

Háromdimenziós euklideszi tér

A háromdimenziós euklideszi térben egy irányított görbe mentén irányított vektor koordinátáinak különbségeit iránykoszinuszokban fejezzük ki, a pontszorzat definícióját használva :

dx=\cos \angle ({\vec {i)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |;

dy=\cos \angle ({\vec {j)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |;

dz=\cos \angle ({\vec {k)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |.

Ezután a skaláris szorzatot koordinátákkal bővítve a görbe vonalú integrálok kapcsolata a következőképpen fejezhető ki: $\textstyle \int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Green}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color { Green}|dr|}$