Önérintő pont
A klasszikus geometriában az önérintkezési pont ( angolul tacnode ) vagy a kettős csúcs [1] egyfajta szinguláris pont [2] . Az a pont, ahol két (vagy több) összefüggő görbe kör érintkezik ezen a ponton . Ez azt jelenti, hogy a görbe két ágának ugyanaz az érintője a kettős pontban [1] .
A kanonikus példa a görbe
Egy másik példa az önérintési pontra az ábrán látható görbe, amelyen az egyenlet látható
Néhány általánosítás
Tekintsünk egy sima , valós értékű függvényt két változóból, mondjuk f ( x , y ), ahol x és y valós számok . Tehát f leképezi a síkot egy egyenesre. A síkdiffeomorfizmusok és vonaldiffeomorfizmusok csoportja az összes ilyen sima függvény terére hat, vagyis a diffeomorfizmusok megváltoztatják a koordinátákat mind a definíciós , mind az értékek tartományában . függvények teljes terét ekvivalencia osztályokra osztja , vagyis a csoportművelet pályáira .
Az ekvivalenciaosztályok egyik ilyen családját A k ± jelöléssel jelöljük , ahol k egy nemnegatív egész szám. A megjelölést V. I. Arnold vezette be [3] . Egy f függvényt A k ± típusú szingularitásnak mondjuk, ha az x 2 ± y k +1 pályán fekszik , azaz van egy difeomorf koordináta transzformáció a definíciós tartományban és a tartományban. olyan értékek, amelyek f -et vesznek ezen alakok egyikébe. Ezekről az x 2 ± y k +1 egyszerű alakokról azt mondják, hogy az A k ± típusú szingularitások normális alakjait határozzák meg .
Az f = 0 egyenletű görbének akkor és csak akkor lesz önérintkezési pontja az origóban, ha f szingularitása A 3 − típusú az origóban.
Figyeljük meg, hogy a görbe önmetszéspontja ( x 2 − y 2 = 0) megfelel az A 1 − -szingularitásnak. Az önérintkezési pont az A 3 − -szingularitásnak felel meg. Valójában bármely A 2 n +1 − típusú szingularitás , ahol n ≥ 0 egy egész szám, egy önmetsző görbének felel meg. Az érték növekedésével az önmetszés sorrendje növekszik – keresztmetszet, egyszerű érintés stb.
A valós számok A 2 n +1 + típusú szingularitásai nem érdekesek – mindegyik izolált pontnak felel meg. Komplex számokban az A 2 n +1 + és A 2 n +1 − szingularitások ekvivalensek — ( x , y ) → ( x , iy ) megadja a normálalakok szükséges diffeomorfizmusát.
Lásd még
- Elszigetelt görbepont
- Casp vagy Return Point
- Önmetszéspont
Jegyzetek
- ↑ 12 Steven Schwartzman . The Words of Mathematics: An Etimological Dictionary of Mathematical Terms Used English . - Mathematical Association of America , 1994. - S. 217 . — ISBN 9780883855119 .
- ↑ Shikin, Frank-Kamentsky, 1997 .
- ↑ V. I. Arnold, A. N. Varchenko, S. M. Gusein-Zade. Differenciálható leképezések szingularitásai. - M . : Nauka, 1982. - S. 143-144.
Irodalom
- E. V. Shikin, M. M. Frank-Kamentsky. 18. tétel. Görbék szinguláris pontjai // Görbék a síkon és a térben (kézikönyv) . - M . : Fazis, 1997. - S. 40 . — ISBN 5-7036-0027-8 .
- Yu. A. Aminov. 9. Síkgörbék szinguláris pontjai // A görbék differenciálgeometriája és topológiája. - M . : Nauka, 1987. - S. 38-39.