Egy számnak az alaphoz viszonyított logaritmusa ( más görög λόγος szóból : „arány” + ἀριθμός „szám” [1] ) úgy van definiálva [2] , hogy milyen mértékben kell az alapot emelni , hogy megkapjuk a számot . Jelölés: , kiejtve: " alaplogaritmus ".
A definícióból következik, hogy a megállapítás egyenértékű az egyenlet megoldásával . Például azért, mert .
A logaritmus számítását logaritmusnak nevezzük . A számok legtöbbször valósak , de létezik az összetett logaritmusok elmélete is .
A logaritmusok egyedi tulajdonságokkal rendelkeznek, amelyek meghatározták széleskörű alkalmazásukat, amelyek jelentősen leegyszerűsítik az időigényes számításokat [3] . A „logaritmusok világába” való átmenetben a szorzást felváltja egy sokkal egyszerűbb összeadás, az osztást kivonással, a hatványozást és a gyökkivonást pedig egy kitevővel szorzássá, illetve osztássá alakítják. Laplace azt mondta, hogy a logaritmusok feltalálása, „lecsökkentve a csillagász munkáját, megkétszerezte életét” [4] .
A logaritmusok meghatározását és értékeinek táblázatát (a trigonometrikus függvényekhez ) először 1614 -ben tette közzé John Napier skót matematikus . A más matematikusok által kibővített és finomított logaritmikus táblázatokat több mint három évszázadon keresztül széles körben használták tudományos és mérnöki számításokhoz, egészen az elektronikus számológépek és számítógépek megjelenéséig.
Idővel kiderült, hogy a logaritmikus függvény az emberi tevékenység számos más területén is nélkülözhetetlen: differenciálegyenletek megoldásában , mennyiségek értékeinek osztályozásában (például hangfrekvencia és hangintenzitás ), különféle függőségek közelítése , információ . elmélet , valószínűségszámítás stb. Ez a függvény az elemi elemek számára vonatkozik, az exponenciális függvényhez képest inverz . A leggyakrabban használt valós logaritmus bázisokkal ( bináris ), az e Euler-számmal ( természetes ) és ( decimális logaritmus ).
A valós szám logaritmusa definíció szerint az egyenlet megoldása . Az eset nem érdekes, mivel akkor ennek az egyenletnek nincs megoldása, és bármely szám megoldása; a logaritmus mindkét esetben nincs meghatározva. Hasonlóképpen arra a következtetésre jutunk, hogy a logaritmus nem létezik nullára vagy negatívra ; ráadásul az exponenciális függvény értéke mindig pozitív, így a negatív esetet is ki kell zárni . Végül megkapjuk [5] :
A valódi logaritmus akkor nyer értelmet, ha |
Mint tudják, az exponenciális függvény (a megadott feltételek mellett ) létezik, monoton , és minden érték csak egyszer vesz fel, és értéktartománya az összes pozitív valós számot tartalmazza [6] . Ez azt jelenti, hogy egy pozitív szám valós logaritmusának értéke mindig létezik, és egyedileg meghatározott.
A legszélesebb körben használt logaritmusok a következő típusok:
Az alapvető logaritmikus azonosság a logaritmus definíciójából következik [7] :
Következmény: két valós logaritmus egyenlőségéből következik a logaritmuskifejezések egyenlősége. Valóban, ha , akkor , honnan, a fő azonosság szerint: .
Az egység és az alapszám logaritmusaiKét egyenlőség, ami a logaritmus definíciójából kitűnik:
A hányados szorzatának, fokának és gyökérének logaritmusaItt található a képletek összefoglalása, feltételezve, hogy minden érték pozitív [8] :
Képlet | Példa | Bizonyíték | |
---|---|---|---|
Munka | |||
Az osztás hányadosa | |||
Fokozat | Bizonyíték
| ||
Végzettség az alapnál | Bizonyíték
| ||
Gyökér | Bizonyíték
| ||
Gyökér a tövében | Bizonyíték
|
A fenti képletek nyilvánvaló általánosítása arra az esetre, amikor a változók negatív értékei megengedettek, például:
A szorzat logaritmusának képlete könnyen általánosítható tetszőleges számú tényezőre:
A fenti tulajdonságok megmagyarázzák, hogy a logaritmusok használata (a számológépek feltalálása előtt) miért könnyítette meg nagymértékben a számításokat. Például a többértékű számok szorzása logaritmikus táblázatokkal a következő algoritmus szerint történt:
Az osztást, amely logaritmusok nélkül sokkal munkaigényesebb, mint a szorzást, ugyanezen algoritmus szerint végeztük, csak a kivonás helyett logaritmusok hozzáadásával. Hasonlóképpen egyszerűsödött a hatványozás és a gyökérkivonás .
A logaritmus alapjának cseréjeA bázisra vonatkozó logaritmus átváltható [5] a logaritmusra egy másik bázisra :
A következmény (when ) az alap és a logaritmuskifejezés permutációja:
Lásd a logaritmus részt egy ilyen permutáció példáját .
Az alaphelyettesítési képletben szereplő együtthatót az egyik bázisról a másikra való átmenet modulusának nevezzük [9] .
EgyenlőtlenségekA logaritmus akkor és csak akkor pozitív, ha a számok az egyiknek ugyanazon az oldalán helyezkednek el (vagyis vagy mindkettő nagyobb egynél, vagy mindkettő kisebb). Ha az egység ellentétes oldalán helyezkednek el, akkor a logaritmus negatív [10] .
A pozitív számok bármely egyenlőtlensége logaritizálható. Ebben az esetben, ha a logaritmus alapja nagyobb egynél, akkor az egyenlőtlenség előjele megmarad, ha pedig kisebb egynél, akkor az egyenlőtlenség előjele megfordul [10] .
Egyéb identitások és tulajdonságokHa a logaritmus alapja és a logaritmuskifejezés kifejezései hatványozást tartalmaznak, az egyszerűség kedvéért a következő azonosság alkalmazható:
Ezt az azonosságot azonnal megkapjuk, ha a bal oldali logaritmusban a bázist helyettesítjük a fenti bázisváltoztatási képlet szerint. Következmények:
Egy másik hasznos identitás:
Ennek bizonyítására megjegyezzük, hogy a bal és a jobb oldal logaritmusa alapban egybeesik (egyenlő ), majd a fő logaritmikus azonosságból származó következtetés szerint a bal és a jobb oldal azonosan egyenlő. Az előző azonosság logaritmusát egy tetszőleges bázisban véve egy másik „báziscsere” azonosságot kapunk:
Ha egy logaritmikus számot veszünk változónak, akkor logaritmikus függvényt kapunk . Itt van meghatározva . Értéktartomány: . Ezt a görbét gyakran nevezik logaritmusnak [11] . A logaritmusalap megváltoztatására szolgáló képletből látható, hogy az egynél nagyobb bázisú logaritmikus függvények grafikonjai csak a tengely menti léptékben térnek el egymástól ; Az egynél kisebb bázisok grafikonjai a vízszintes tengely körüli tükörképe.
A definícióból következik, hogy a logaritmikus függés az exponenciális függvény inverz függvénye , ezért grafikonjaik szimmetrikusak az első és a harmadik kvadráns felezőszögére (lásd az ábrát). Az exponenciálishoz hasonlóan a logaritmikus függvény is a transzcendentális függvények kategóriájába tartozik .
A függvény szigorúan növekszik (lásd az alábbi grafikonokat), és szigorúan csökken a esetén . Bármely logaritmikus függvény grafikonja átmegy a ponton . A függvény folyamatos és korlátlanul differenciálható a definíciós tartományában mindenhol.
Az y tengely ( ) a függőleges aszimptota , mert:
at ; at .A logaritmikus függvény deriváltja:
Az algebra szempontjából a logaritmikus függvény az (egyedül lehetséges) izomorfizmust valósítja meg a pozitív valós számok multiplikatív csoportja és az összes valós szám additív csoportja között. Más szóval, a logaritmikus függvény az egyetlen (az argumentum összes pozitív értékére definiált) folytonos megoldása a [12] funkcionális egyenletnek :
Természetes logaritmusA természetes logaritmus fenti általános derivált képletéből egy különösen egyszerű eredményt kapunk:
Emiatt a természetes logaritmusokat elsősorban a matematikai kutatásokban használják. Gyakran előfordulnak differenciálegyenletek megoldásakor , statisztikai függőségek tanulmányozása során (például prímszámok eloszlása ) stb.
A derivált képletét a -tól ig terjedő tartományba integrálva a következőt kapjuk:
Más szavakkal, a természetes logaritmus egyenlő a hiperbola alatti területtel a megadott x intervallumra vonatkozóan .
A természetes logaritmus határozatlan integrálja könnyen megtalálható részenkénti integrálással :
A matematikai elemzésben és a differenciálegyenletek elméletében a függvény logaritmikus deriváltjának fogalma fontos szerepet játszik :
Sorozatbővítés és a természetes logaritmus számításaKibővítjük a természetes logaritmust egy Taylor sorozatban , közel egységben:
(1. sor) |
Ez a sorozat, az úgynevezett " Merator sorozat", konvergál a . Különösen:
Az 1. sorozat képlete alkalmatlan a logaritmusok gyakorlati kiszámítására, mivel a sorozatok nagyon lassan és csak szűk intervallumban konvergálnak. Azonban nem nehéz beszerezni belőle egy kényelmesebb képletet:
(2. sor) |
Ez a sorozat gyorsabban konvergál, ráadásul a képlet bal oldala immár bármilyen pozitív szám logaritmusát is kifejezheti , mert akkor az abszolút érték kisebb egynél. Ez az algoritmus már alkalmas logaritmusértékek valós numerikus számításaira, azonban munkaintenzitás szempontjából nem a legjobb. Léteznek hatékonyabb algoritmusok [13] .
Decimális logaritmusA 10-es alapú logaritmusokat (szimbólum: ) széles körben használták számításokhoz a számológépek feltalálása előtt . Előnyük van az eltérő bázisú logaritmusokkal szemben: egy szám logaritmusának egész része könnyen meghatározható [14] :
Ezen túlmenően, ha egy szám tizedespontját számjegyekkel mozgatja, a szám tizedes logaritmusának értéke a következőre változik . Például, . Ebből következik, hogy a decimális logaritmusok kiszámításához elegendő egy logaritmustáblázatot összeállítani a -tól [14] -ig terjedő számokhoz .
Kapcsolat a természetes logaritmussal [15] :
Mivel a számítástechnika megjelenésével a logaritmusok használata a számításokhoz szinte megszűnt, mára a decimális logaritmust nagyrészt felváltotta a természetes [16] . Főleg azokban a matematikai modellekben őrzik meg, ahol történelmileg gyökeret vert – például logaritmikus skálák konstruálásakor .
HatárarányokÍme néhány hasznos korlát a logaritmusokkal kapcsolatban [17] :
Egyéb tulajdonságokKomplex számok esetén a logaritmus ugyanúgy definiálható, mint a valós. A gyakorlatban szinte kizárólag a természetes komplex logaritmust alkalmazzák, amelyet az egyenlet megoldásaként jelölünk és definiálunk (más ekvivalens definíciókat az alábbiakban adunk meg).
A komplex számok területén ennek az egyenletnek a megoldása a valós esettel ellentétben nem egyedileg meghatározott. Például az Euler-azonosság szerint ; ugyanakkor azt is . Ennek az az oka, hogy a képzeletbeli tengely mentén az exponenciális függvény periodikus (periódussal ) [19] , és a függvény végtelenül sokszor veszi fel ugyanazt az értéket. Így a komplex logaritmikus függvény többértékű .
A komplex nullának nincs logaritmusa, mert a komplex kitevő nem vesz fel nulla értéket. A nem nulla exponenciális formában is ábrázolható:
Ezután a [20] képlettel találjuk meg :
Itt van egy valós logaritmus, egy tetszőleges egész szám . Ebből következik:
A komplex logaritmus létezik bármely , és valós része egyedileg meghatározott, míg a képzeletbeli rész végtelen számú értéket tartalmaz, amelyek egész számú többszörösével különböznek egymástól . |
A képletből látható, hogy az értékek közül csak egynek van képzeletbeli része az intervallumban . Ezt az értéket nevezzük a komplex természetes logaritmus főértékének [11] . A megfelelő (már egyértékű) függvényt a logaritmus fő ágának nevezzük, és jelöléssel jelöljük . Néha a logaritmus értékét is jelöli, amely nem a fő ágon fekszik. Ha valós szám, akkor logaritmusának főértéke egybeesik a szokásos valós logaritmussal.
A fenti képletből az is következik, hogy a logaritmus valós részét a következőképpen határozzuk meg az argumentum összetevőin keresztül:
Az ábrán látható, hogy a valós rész a komponensek függvényében centrálisan szimmetrikus, és csak az origó távolságától függ. Ezt úgy kapjuk meg, hogy a valós logaritmus grafikonját a függőleges tengely körül elforgatjuk. Ahogy közeledik a nullához, a függvény hajlamos .
Egy negatív szám logaritmusát a [20] képlet határozza meg :
Íme a logaritmus fő értéke ( ) és általános kifejezése ( ) néhány argumentumhoz:
Óvatosnak kell lennie az összetett logaritmusok konvertálásakor, figyelembe véve, hogy ezek többértékűek, ezért ezeknek a kifejezéseknek az egyenlősége nem következik egyetlen kifejezés logaritmusának egyenlőségéből sem. Példa a hibás érvelésre:
egy hiba, ami azonban közvetve azt jelzi, hogy a -kal eltérő értékek azonos szám logaritmusai. Ne feledje, hogy a logaritmus fő értéke a bal oldalon, a mögöttes ág értéke ( ) pedig a jobb oldalon található. A hiba oka a tulajdonság gondatlan használata , ami általában véve összetett esetben magában foglalja a logaritmus teljes végtelen értékkészletét, és nem csak a főértéket.
A komplex elemzés során a többértékű függvények komplex síkon történő figyelembevétele helyett más döntés született: a függvényt egyértékűnek tekintjük, de nem a síkon, hanem egy összetettebb sokaságon , amit Riemann -nak nevezünk. felület [21] . A komplex logaritmikus függvény is ebbe a kategóriába tartozik: képe (lásd az ábrát) végtelen számú spirálba csavart ágból áll. Ez a felület folyamatos és egyszerűen összekapcsolható . A függvény egyetlen nulláját (elsőrendű) kapjuk meg . Szinguláris pontok: és (végtelen rendű elágazási pontok) [22] .
A logaritmus Riemann-felülete egyszerű összekapcsolásánál fogva univerzális lefedése [23] a pont nélküli összetett síknak .
Egy komplex szám logaritmusa úgy is meghatározható, mint a valós logaritmus analitikus folytatása a teljes komplex síkra . A görbe kezdőpontja egy, ne menjen át nullán, és ne metszi a valós tengely negatív részét. Ekkor a logaritmus fő értéke a görbe végpontjában a [22] képlettel határozható meg :
Ha egy egyszerű görbe (önmetszetek nélkül), akkor a rajta fekvő számokra félelem nélkül logaritmikus azonosságokat lehet alkalmazni, pl.
A logaritmikus függvény fő ága folytonos és differenciálható a teljes komplex síkon , kivéve a valós tengely negatív részét, amelyen a képzetes rész -re ugrik . De ez a tény a főérték képzeletbeli részének intervallum általi mesterséges korlátozásának a következménye . Ha figyelembe vesszük a függvény összes ágát, akkor a folytonosság minden ponton megtörténik, kivéve a nullát, ahol a függvény nincs definiálva. Ha hagyjuk, hogy a görbe keresztezze a valós tengely negatív részét, akkor az első ilyen metszéspont a főérték ágból átviszi az eredményt a szomszédos ágba, és minden további metszéspont hasonló eltolódást okoz a logaritmikus függvény ágai mentén [22 ] (lásd az ábrát).
Az analitikus folytatási képletből az következik, hogy a logaritmus bármely ágán [19] :
Minden olyan körre , amely egy pontot zár be :
Az integrált pozitív irányban (az óramutató járásával ellentétes irányban ) vesszük. Ez az azonosság alapozza meg a maradékok elméletét .
A komplex logaritmus analitikus folytatása is meghatározható a fenti sorozatok segítségével: 1. vagy 2. sorozat , összetett argumentum esetére általánosítva. E sorozatok alakjából azonban az következik, hogy egységnél a sorozat összege nullával egyenlő, vagyis a sorozat csak a komplex logaritmus többértékű függvényének fő ágára vonatkozik. Mindkét sorozat konvergencia sugara 1.
Mivel a komplex trigonometrikus függvények az exponenciálishoz kapcsolódnak ( Euler-képlet ), így a komplex logaritmus az exponenciális függvény inverzeként az inverz trigonometrikus függvényekhez kapcsolódik [24] [25] :
A komplex síkon lévő hiperbolikus függvények az imaginárius argumentum trigonometrikus függvényeinek tekinthetők, így itt is van összefüggés a logaritmussal [25] :
- inverz hiperbolikus szinusz az inverz hiperbolikus koszinusz az inverz hiperbolikus tangens az inverz hiperbolikus kotangensA logaritmusok használatának ideológiai forrása és ösztönzője az volt ( Arkhimédész [26] ismerte ), hogy a hatványok szorzásakor azok kitevői összeadódnak [27] : . A 8. századi Virasena indiai matematikus a hatványfüggéseket kutatva közzétett egy táblázatot az egész számok kitevőiről (vagyis logaritmusairól) a 2., 3., 4. bázisra [28] .
A döntő lépést a középkori Európa tette meg. A 16. században az összetett számítások iránti igény gyorsan nőtt, és a nehézségek nagy része a többjegyű számok szorzásával és osztásával, valamint a gyökök kivonásával járt . A század végén több matematikusban szinte egyszerre támadt az ötlet: az időigényes szorzást egyszerű összeadásra cserélni, a geometriai és a számtani progressziót speciális táblázatok segítségével összehasonlítani, míg a geometriai lesz az eredeti [26]. . Ekkor az osztást automatikusan felváltja egy mérhetetlenül egyszerűbb és megbízhatóbb kivonás, valamint egyszerűsödik a hatványozás és a gyökérkivonás is .
Elsőként Michael Stiefel publikálta ezt a gondolatot „ Arithmetica integra ” (1544) című könyvében , aki azonban nem tett komoly erőfeszítéseket ötletének gyakorlati megvalósítása érdekében [29] [30] . Stiefel fő érdeme az egész kitevőről az önkényes racionális kitevőkre való átállás [31] (az első lépéseket ebbe az irányba a 14. században Nikolay Orem , a 15. században Nicola Schuquet tette meg).
1614- ben a skót amatőr matematikus , John Napier latin nyelven publikált egy művet Leírás a csodálatos logaritmustáblázatról ( latinul: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ) címmel. Tartalmaz egy rövid leírást a logaritmusokról és tulajdonságaikról, valamint a szinuszok , koszinuszok és érintők logaritmusainak 8 számjegyű táblázatairól , 1' lépéssel. A Napier által javasolt logaritmus kifejezés meghonosodott a tudományban. Napier egy másik könyvében, a " Csodálatos logaritmustáblázat felépítése " ( lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ) című könyvében fejtette ki a logaritmus elméletét, amelyet fia, Robert posztumusz adott ki 1619-ben.
A dokumentumok alapján Napier 1594-re elsajátította a logaritmus technikáját [32] . Kidolgozásának közvetlen célja az volt, hogy megkönnyítse Napier komplex asztrológiai számításait [33] ; ezért csak a trigonometrikus függvények logaritmusai kerültek a táblázatokba .
A függvény fogalma még nem létezett, és Napier kinematikusan határozta meg a logaritmust , összehasonlítva az egyenletes és logaritmikusan lassított mozgást; például a szinusz logaritmusát a következőképpen definiálta [34] :
Egy adott szinusz logaritmusa olyan szám, amely aritmetikailag mindig ugyanolyan ütemben nőtt, ahogy a teljes szinusz geometriailag csökkenni kezdett.
Modern jelöléssel a Napier kinematikai modell egy differenciálegyenlettel ábrázolható [35] :
,ahol M egy skálázási tényező, amelyet azért vezettünk be, hogy az érték a kívánt számjegyből álló egész szám legyen (a tizedes tört akkor még nem volt elterjedt). Napier úgy vette, hogy M = 10 000 000.
Szigorúan véve Napier rossz függvényt táblázott be, amelyet ma logaritmusnak neveznek. Ha a funkcióját -vel jelöljük , akkor a következőképpen kapcsolódik a természetes logaritmushoz [35] :
Nyilvánvaló, hogy a "teljes szinusz" logaritmusa (amely 90 ° -nak felel meg) nulla - ezt érte el Napier a definíciójával. Azt is szerette volna, hogy minden logaritmus pozitív legyen; könnyű ellenőrizni, hogy ez a feltétel teljesül-e. .
A Napier-logaritmus fő tulajdonsága: ha a mennyiségek geometriai sorozatot alkotnak, akkor logaritmusaik aritmetikai sorozatot alkotnak . A nem Peer függvény logaritmusának szabályai azonban eltértek a modern logaritmus szabályaitól, például:
Mint hamarosan kiderült, az algoritmus hibája miatt a Napier-tábla összes értéke hibás számokat tartalmazott a hatodik számjegy után [36] . Ez azonban nem akadályozta meg, hogy az új számítási módszer széles körben elterjedjen, és sok európai matematikus foglalkozott logaritmikus táblázatok összeállításával. Kepler lelkes dedikációt illesztett Napiernek az általa 1620-ban kiadott csillagászati kézikönyvbe (nem tudva, hogy a logaritmusok feltalálója már meghalt). Kepler 1624-ben kiadta a logaritmikus táblázatok saját változatát ( lat. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos ) [37] . A logaritmusok használata lehetővé tette Kepler számára, hogy viszonylag gyorsan befejezze a Rudolph -táblákon végzett sokéves munkát, ami megerősítette a heliocentrikus csillagászat sikerét .
Néhány évvel Napier könyve után megjelentek a logaritmikus táblázatok, amelyek a logaritmus modernebb értelmezését alkalmazták. Henry Briggs londoni professzor 14 számjegyű decimális logaritmustáblázatokat adott ki (1617), és nem trigonometrikus függvényekre, hanem tetszőleges egészekre 1000-ig (7 évvel később Briggs 20000-re növelte a számok számát). 1619-ben a londoni matematikatanár, John Spidell újra kiadta Napier logaritmikus táblázatait, javítva és kiegészítve, így azok valójában természetes logaritmusok táblázataivá váltak. Spidellnek maguknak a számoknak a logaritmusa is megvolt 1000-ig (sőt, az egység logaritmusa Briggshez hasonlóan nullával egyenlő) – bár Spidell megtartotta az egész számokra való skálázást [38] [39] .
Hamar kiderült, hogy a logaritmusok helye a matematikában nem korlátozódik a számítási kényelemre. 1629-ben Grégoire de Saint-Vincent belga matematikus kimutatta, hogy a hiperbola alatti terület egy logaritmikus törvény szerint változik [40] . 1668-ban Nicholas Mercator (Kaufmann) német matematikus fedezte fel és tette közzé Logarithmotechnia című könyvében a logaritmus végtelen sorozattá való kiterjesztését [41] . Sok történész szerint a logaritmusok megjelenése erős hatással volt számos matematikai fogalomra, többek között:
A 19. század végéig nem volt általánosan elfogadott logaritmus jelölés, az a-alapot vagy balra és a log szimbólum fölé, majd felette jelölték. Végül a matematikusok arra a következtetésre jutottak, hogy az alap legkényelmesebb helye a vonal alatt van, a log : szimbólum után . A legelterjedtebb - decimális és természetes - logaritmus-típusok rövid megnevezése jóval korábban jelent meg több szerzőnél, és végül a 19. század végére rögzítették is [44] .
A logaritmus modern felfogásához közel álló - mint művelet, a hatalommá emelés fordítottja - először Wallisban (1685) és Johann Bernoulliban (1694) jelent meg, végül Euler legitimálta [36] . Az "Introduction to the Analysis of Infinite" ( 1748 ) című könyvében Euler mind az exponenciális , mind a logaritmikus függvények modern definícióit adta , hatványsorokká terjesztette ki, és különösen megjegyezte a természetes logaritmus szerepét [45] . Eulernek megvan az az érdeme is, hogy a logaritmikus függvényt kiterjeszti a komplex tartományra.
Az első kísérleteket a logaritmus komplex számokra való kiterjesztésére a 17-18. század fordulóján Leibniz és Johann Bernoulli tette , de nem sikerült holisztikus elméletet alkotniuk, elsősorban azért, mert maga a logaritmus fogalma még nem volt világos. meghatározott [46] . Az erről szóló vita először Leibniz és Bernoulli, majd a 18. század közepén d'Alembert és Euler között zajlott. Bernoulli és d'Alembert úgy vélte, hogy definiálni kell , míg Leibniz azzal érvelt, hogy egy negatív szám logaritmusa képzeletbeli szám [46] . A negatív és komplex számok logaritmusának teljes elméletét Euler publikálta 1747-1751-ben, és lényegében nem különbözik a moderntől [47] . Bár a vita folytatódott (d'Alembert megvédte álláspontját, és részletesen kifejtette az Encyclopedia egyik cikkében és más munkákban), Euler megközelítése a 18. század végére egyetemes elismerést kapott.
A 19. században a komplex elemzés fejlődésével a komplex logaritmus tanulmányozása új felfedezéseket ösztönzött. Gauss 1811-ben kidolgozott egy teljes elméletet a logaritmikus függvény többértékűségére [48] , amelyet az integráljaként határoztak meg . Riemann az erről és a hasonló funkciókról már ismert tényekre támaszkodva megalkotta a Riemann-felületek általános elméletét .
A konformális leképezések elméletének fejlődése megmutatta, hogy a Mercator-projekció a térképészetben , amely még a logaritmusok felfedezése (1550) előtt keletkezett, összetett logaritmusként írható le [49] .
A logaritmikus függvények rendkívül elterjedtek mind a matematikában, mind a természettudományokban. A logaritmusok gyakran ott jelennek meg, ahol önhasonlóság fordul elő , vagyis egy objektum következetesen kicsinyített vagy nagyított léptékben reprodukálódik; lásd alább példákat, például rekurzív algoritmusokat , fraktálokat vagy kagylóhéjakat. Íme néhány példa a logaritmusok használatára a különböző tudományokban.
SzámelméletA prímszámok eloszlása aszimptotikusan követi az egyszerű törvényeket [50] :
Még pontosabb becslések az integrál logaritmust használják .
Gyakran felmerül a probléma egy nagyon nagy szám durván becslése, például egy faktoriális vagy egy nagy számmal rendelkező Mersenne -szám. Ehhez célszerű a számot megközelítőleg exponenciális formátumban felírni , azaz mantissza és decimális kitevő formájában.
A probléma logaritmusokkal könnyen megoldható. Vegyük például a 44. Mersenne-számot .
Ezért az eredmény mantisszája egyenlő a Végül kapjuk:
Matematikai elemzésIntegrálok keresésekor és differenciálegyenletek megoldása során gyakran felmerülnek a logaritmusok . Példák:
Valószínűségszámítás és statisztikaA statisztikában és a valószínűségszámításban a logaritmus számos, gyakorlatilag fontos valószínűségi eloszlásban szerepel. Például a logaritmikus eloszlást [51] használják a genetikában és a fizikában. A lognormális eloszlás gyakran előfordul olyan helyzetekben, amikor a vizsgált érték több független pozitív valószínűségi változó szorzata [52] .
A Benford törvénye ("az első számjegy törvénye") leírja annak valószínűségét, hogy egy bizonyos első jelentős számjegy előfordul a valós értékek mérésekor.
Egy ismeretlen paraméter becslésére széles körben használják a maximum likelihood módszert és a hozzá tartozó log-likelihood függvényt [53] .
A véletlenszerű séta ingadozásait a Khinchin-Kolmogorov törvény írja le .
Számítástechnika és számítási matematikaA számítástechnikában : az információ mértékegysége ( bit ). Például egy természetes szám számítógépben való tárolásához (a számítógépeknél szokásos bináris formátumban) bitekre van szükség.
Az információs entrópia az információ mennyiségének mértéke.
Rekurzív oszd és uralkodj algoritmusok aszimptotikus összetettségének becslése [54] , mint például a gyorsrendezés , gyors Fourier-transzformáció stb.
A numerikus értékeket általában egy számítógép vagy speciális processzor memóriájában tárolják lebegőpontos formátumban . Ha azonban ritkán végeznek összeadást és kivonást egy adatcsoporton, de sokkal gyakrabban hajtanak végre szorzást, osztást, hatványozást és gyökérkivonást, akkor érdemes megfontolni az ilyen adatok logaritmikus formátumban történő tárolását . Ebben az esetben a szám helyett a moduljának logaritmusa és az előjel kerül tárolásra , és a számítások sebessége a logaritmus tulajdonságai miatt jelentősen megnő [55] . A logaritmikus tárolási formátumot számos rendszerben alkalmazták, ahol hatékonynak bizonyult [56] [57] .
Fraktálok és méretekA logaritmusok segítenek kifejezni egy fraktál Hausdorff-dimenzióját [58] . Vegyük például a Sierpinski-háromszöget , amelyet egy egyenlő oldalú háromszögből kapunk hasonló háromszögek egymás utáni eltávolításával, amelyek lineáris méretét mindegyik szakaszban felezzük (lásd az ábrát). Az eredmény méretét a következő képlet határozza meg:
Mechanika és fizikaA Boltzmann-elv a statisztikai termodinamikában a termodinamikai rendszer állapotának egyik legfontosabb függvénye, amely a véletlenszerűség mértékét jellemzi .
A rakéta sebességének kiszámításához a Ciolkovszkij-képletet használják.
Kémia és fizikai kémiaA Nernst-egyenlet összekapcsolja a rendszer redoxpotenciálját az elektrokémiai egyenletben szereplő anyagok aktivitásával, valamint a redox párok standard elektródpotenciáljával .
A logaritmus olyan mennyiségek meghatározásában használatos, mint az autoprotolízis állandó indexe ( a molekula önionizációja) és a hidrogénindex (az oldat savassága).
ZeneelméletAnnak a kérdésnek a megoldásához, hogy hány részre kell osztani az oktávot , meg kell találni a racionális közelítést . Ha ezt a számot egy folytatólagos törtté bővítjük , akkor a harmadik konvergens tört (7/12) lehetővé teszi, hogy igazoljuk az oktáv klasszikus felosztását 12 félhangra [59] .
Pszichológia és fiziológiaSzámos jelenség emberi észlelését jól leírja a logaritmikus törvény.
A Weber-Fechner törvény egy empirikus pszichofiziológiai törvény, amely kimondja, hogy az érzet intenzitása arányos az inger intenzitásának [60] - a hang erősségének [61] , a fény fényességének logaritmusával .
Fitts-törvény : minél távolabbra vagy pontosabban hajtjuk végre a test mozgását, annál több korrekció szükséges a végrehajtásához, és minél hosszabb ideig hajtják végre ezt a korrekciót [62] .
A döntés meghozatalának ideje egy választás jelenlétében a Hick-törvény [63] szerint becsülhető meg .
BiológiaSzámos biológiai forma jól megfelel egy logaritmikus spirálnak [64] – egy olyan görbének, amelyben az érintő minden pontban azonos szöget zár be a sugárvektorral ebben a pontban, vagyis a kör egységnyi hosszára eső sugár növekedése állandó:
A játék köreinek száma az olimpiai rendszer szerint megegyezik a versenyben résztvevők számának bináris logaritmusával , felfelé kerekítve a legközelebbi magasabb egészre [65] .
A decimális logaritmusok nem egységes skáláját a tudomány számos területén használják. A számítások biztosításához diaszabályokon ábrázolják . Egyéb példák:
A logaritmikus skála különösen hasznos azokban az esetekben, amikor a mért mennyiség szintjei geometriai progressziót alkotnak , mivel a logaritmusuk állandó lépésekkel oszlik el. Például egy klasszikus oktáv 12 félhangja (körülbelül) egy ilyen progressziót [59] a nevezővel . Hasonlóképpen, a Richter-skála minden szintje 10-szer több energiának felel meg, mint az előző szint. A logaritmikus skála még geometriai progresszió hiányában is hasznos lehet a mért értékek széles tartományának kompakt ábrázolására.
A logaritmikus skálát széles körben használják az exponenciális függőségek kitevőjének és a kitevőben az együttható értékelésére is. Ugyanakkor egy vagy két tengely mentén logaritmikus skálán ábrázolt gráf egyenes alakot ölt, ami könnyebben tanulmányozható.
A logaritmus tulajdonságaiból az következik, hogy a többértékű számok időigényes szorzása helyett elegendő (a táblázatok szerint) megkeresni és összeadni logaritmusukat, majd ugyanezekkel a táblázatokkal végrehajtani a potenciálást (" szakasz " Antilogaritmusok " ) , azaz az eredmény értékét a logaritmusa alapján találja meg. Az osztás csak abban különbözik, hogy a logaritmusokat kivonják.
Az első logaritmustáblázatokat John Napier ( 1614 ) publikálta, és csak a trigonometrikus függvények logaritmusait tartalmazták, méghozzá hibával. Tőle függetlenül Jost Bürgi , Kepler barátja publikálta táblázatait ( 1620 ). 1617- ben Henry Briggs oxfordi matematikaprofesszor olyan táblázatokat adott ki, amelyek már maguknak a számoknak a decimális logaritmusát tartalmazták 1-től 1000-ig, 8 (később 14) számjegyből. De a Briggs-táblázatokban is voltak hibák. Az első tévedhetetlen kiadás Georg Vega ( 1783 ) táblázatai alapján csak 1857 -ben jelent meg Berlinben ( Bremiker táblái ) [76] .
Oroszországban az első logaritmustáblázatokat 1703-ban adták ki L. F. Magnyitszkij részvételével [77] . A Szovjetunióban számos logaritmustáblázat-gyűjtemény jelent meg [78] :
Az 1620-as években Edmund Wingate és William Oughtred feltalálta az első diaszabályt , amely a zsebszámológépek megjelenéséig nélkülözhetetlen számítási eszközként szolgált egy mérnök számára [79] . Ezzel a kompakt eszközzel gyorsan végrehajthat minden algebrai műveletet, beleértve a trigonometrikus függvényeket is [80] . A számítások pontossága körülbelül 3 számjegy.
A logaritmus, mint egy egyenlet megoldása nem csak valós és komplex számokra definiálható.
![]() |
| |||
---|---|---|---|---|
|