Hatszögletű parketta

Hatszögletű mozaik
Típusú	Korrekt mozaik
Vertex figura	6.6.6 (6 3 )
Schläfli szimbólum	{6,3} t{3,6}
Wythoff szimbólum	3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 |
Coxeter diagram
Szimmetria csoport	p6m , [6,3], (*632)
Forgásszimmetria	p6 , [6,3] + , (632)
Kettős csempézés	háromszög alakú mozaik
Tulajdonságok	Vertex-tranzitív , éltranzitív , arc-tranzitív

A hatszögletű parketta ( hexagonal parquet [1] ) vagy a hatszögletű mozaik egy olyan sík burkolása , amelyen egyenlő szabályos hatszögek helyezkednek el egymás mellett.

A hatszögletű burkolólap a háromszögletű burkolólap kettőse - ha a szomszédos hatszögek középpontjait összekötjük, akkor a megrajzolt szakaszok háromszög alakú burkolóanyagot alkotnak [1] [2] . A hatszögletű parketta Schläfli-szimbóluma {6,3} (ez azt jelenti, hogy a parketta minden csúcsánál három hatszög fut össze), vagy t {3,6}, ha a csempe csonka háromszög alakú burkolólapnak tekinthető.

Conway angol matematikus a csempézést hextillenek (hatparkettának) nevezte.

Egy hatszög belső szöge 120 fok, így három hatszög ugyanabban a csúcsban 360 fokot ad. Ez a három szabályos sík burkolat egyike . A másik két mozaik háromszögletű parketta és négyzet parketta .

Alkalmazások

A sík szabályos hatszögekkel való burkolása az alapja a hatszögletű sakknak és más játékoknak kockás mezőn , polihexeken , az Életmodell változataiban és más kétdimenziós cellás automatákban , gyűrűs flexagonokban stb .

A hatszögletű csempézés a legsűrűbb módja a körök 2D-s térbe történő becsomagolásának. A méhsejt sejtés , hogy a hatszögletű burkolólap a legjobb módja annak, hogy egy felületet egyenlő területű, legkisebb teljes kerületű területekre oszthassunk fel. A méhsejtek (inkább szappanbuborékok) optimális háromdimenziós szerkezetét Lord Kelvin tárta fel , aki úgy vélte, hogy a Kelvin-struktúra (vagy testközpontú köbös rács) az optimális. A kevésbé szabályos Waeaire–Phelan szerkezet azonban valamivel jobb.

Ez a szerkezet a természetben grafit formájában létezik , ahol a grafén minden rétege dróthálóhoz hasonlít, ahol a huzal szerepét erős kovalens kötések játsszák. Cső alakú grafénlemezeket szintetizáltak, és ezeket szén nanocsöveknek nevezik . Nagy szakítószilárdságuk és elektromos tulajdonságaik miatt számos alkalmazási lehetőségük van. A szilicén hasonló a grafénhez .

• A körök legsűrűbb tömítése a hatszögletű burkoláshoz hasonló szerkezetű

• Csibeháló

• Grafén

• A szén nanocsövek hatszögletű mozaikként tekinthetők egy hengeres felületen

A hatszögletű mozaik sok kristályban jelenik meg. A 3D-s térben a kristályokban gyakran előfordul egy arcközpontú kockaszerkezet és egy hatszögletű, szorosan egymásra épülő szerkezet. Ezek a legsűrűbb gömbök a 3D-s térben. Szerkezetileg a grafit szerkezetéhez hasonló hatszögletű mozaik párhuzamos rétegeiből állnak. Az egymáshoz viszonyított szinteltolás típusában különböznek egymástól, míg az arcközéppontos kockaszerkezet a helyesebb. A tiszta réz , egyéb anyagok mellett, felületközpontú köbös rácsot alkot.

Egységes színezések

A hatszögletű burkolólapoknak három különböző egységes színezése létezik, mindegyik Wythoff konstrukcióinak tükörszimmetriájából származik . A ( h , k ) bejegyzés egy színes csempe időszakos ismétlődését jelenti h és k hatszögletű távolságokkal .

k-homogén	1- homogén			2- homogén		3- homogén
Szimmetria	p6p, (*632)		p3m1, (*333)	p6p, (*632)		p6, (632)
Kép
Színek	egy	2	3	2	négy	2	7
(h, k)	(1,0)	(1.1)		(2.0)		(2.1)
Schläfli	{6,3}	t{3,6}	t{3 [3] }
Wiethoff	3 | 6 2	2 6 | 3	3 3 3 |
koxéter
Conway	H	tΔ		CH

A 3 színű csempét egy 3- as rendű permutációs poliéder alkotja.

Leélezett hatszögletű burkolólap

A hatszögletű burkolólap leélezése a széleket új hatszögekre cseréli, és egy másik hatszögletű burkolóanyaggá alakul. A korlátban az eredeti lapok eltűnnek, és az új hatszögek rombuszokká alakulnak, így a burkolat rombusz alakúvá alakul .

Hatszögek (H)	Leélezett hatszögek (CH)			rombi (daH)

Kapcsolódó mozaikok

A hatszögek 6 háromszögre oszthatók. Ennek eredményeként két 2 egyforma burkolólap és egy háromszögletű burkolólap keletkezik :

Korrekt mozaik	hasítás	2-homogén burkolatok		Korrekt mozaik
A kezdeti		törött 1/3 hatszög	törött 2/3 hatszög	teljes partíció

A hatszögletű burkolólap egy hosszúkás rombusz alakú burkolóanyagnak tekinthető, amelyben a rombusz alakú burkolólap minden csúcsa "megnyújtva" új élt képez. Ez hasonló a háromdimenziós térben egy rombikus dodekaéder és egy rombikus hatszögletű dodekaéder

Rombikus mozaik

Hatszögletű mozaik

Az ilyen kapcsolatot mutató rács

Egyes hatszögletű burkolólapok prototiljai is feloszthatók két, három, négy vagy kilenc egyforma ötszögre:

1. típusú ötszögletű burkolólap átfedő szabályos hatszögekkel (minden hatszög 2 ötszögből áll).

3. típusú ötszögletű burkolólap átfedő szabályos hatszögekkel (minden hatszög 3 ötszögből áll).

4-es típusú ötszögletű burkolólap átfedő, félig szabályos hatszögekkel (minden hatszög 4 ötszögből áll).

3. típusú ötszögletű burkolólap két méretű, egymást átfedő szabályos hatszögekkel (a hatszög 3 és 9 ötszögből áll).

Szimmetriai beállítások

Ez a csempézés topológiailag kapcsolódik a hatszögletű lapokkal rendelkező szabályos burkoláshoz , amely hatszögletű burkolással kezdődik. A végtelen sorozatú mozaikokon a Schläfli szimbólum {6,n} és a Coxeter diagram .

Homogén antiprizmák családja n .3.3.3

* n 62 szimmetria-lehetőség normál burkoláshoz: {6, n }
Gömbölyű	euklideszi	Hiperbolikus burkolatok
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

A hatszögletű csempézés topológiailag kapcsolódik (egy sorozat részeként) az n 3 csúcsú szabályos poliéderekhez .

* n 32 szimmetria-lehetőség normál burkoláshoz: n 3 vagy { n ,3}

Gömbölyű				euklideszi	Kompakt hiperbolikus.		Parakompakt .	Nem kompakt hiperbolikus.
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

Hasonló módon a csempézés egységes csonka poliéderekhez kapcsolódik, amelyek csúcsa n .6.6.

* n 32 csonka csempeszimmetria mutáció: n .6.6
Szimmetria * n 32 [n,3]	gömbölyű		euklideszi	Kompakt hiperbolikus				Parakompakt.	Nem kompakt hiperbolikus
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Csonka alakok
Konf.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis figurák
Konf.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

A csempézés szintén része a csonka rombuszos poliédereknek és a Coxeter-csoport szimmetriájú csempéknek [n,3]. A kockát rombusz alakú hatszögnek tekinthetjük, amelyben minden rombusz négyzet. A csonkolt alakzatok szabályos n-szögűek a csonka csúcsok helyett, és szabálytalan hatszögletű lapok.

Kettős kettős kváziszabályos burkolólapok szimmetriái: V(3.n) 2

	Gömbölyű			euklideszi	Hiperbolikus
*n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Mozaik
Konf.	V(3.3) 2	V(3.4) 2	V(3.5) 2	V(3.6) 2	V(3.7) 2	V(3.8) 2	V(3.∞) 2

Wythoff hat- és háromszögletű burkolólapok konstrukciója

Az egységes poliéderekhez hasonlóan nyolc egységes burkolat létezik, amelyek hagyományos hatszögletű burkolólapokon (vagy kettős háromszögletű burkolásokon ) alapulnak.

Ha az eredeti lapok lapjait pirosra, az eredeti csúcsokat (az eredményül kapott sokszögeket) sárgára, az eredeti éleket (az eredményül kapott sokszögeket) kékre színezzük, akkor 8 alakzat létezik, amelyek közül 7 topológiailag elkülönül. ( A csonka háromszög burkolat topológiailag megegyezik a hatszögletű burkolólappal.)

Homogén hatszögletű/háromszögletű burkolólapok
Alapvető tartományok	Szimmetria : [6,3], (*632)							[6,3] + , (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}
Konfig.	6 3	3.12.12	(6.3) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Monoéder konvex hatszögletű burkolólapok

A monoéderes [3] konvex hatszögletű burkolólapoknak 3 típusa létezik [4] . Mindegyik izoéder . Mindegyiknek van fix szimmetriájú parametrikus változata. A 2 -es típus csúszószimmetriákat tartalmaz , és megkülönbözteti a királis párokat.

3 féle monoéder konvex hatszögletű burkolólap

egy	2		3
p2, 2222	pgg, 22×	p2, 2222	p3,333
b=e B+C+D=360°	b=e, d=f B+C+E=360°		a=f, b=c, d=e B=D=F=120°
két csempéből álló rács	négy csempéből álló rács		három csempéből álló rács

Topológiailag egyenértékű csempézések

A hatszögletű burkolólapok megegyezhetnek a {6,3} szabályos csempézés topológiájával (minden csúcson 3 hatszög). Az izoéder felületű hatszögletű burkolólapoknak 13 változata létezik . A szimmetria szempontjából minden lap azonos színű, míg az ábrákon a színezés a rácsban elfoglalt pozíciót jelenti [5] . Az egyszínű (1 lapos) rácsok hatszögletű paralelogonokból állnak .

13 hatszögletű izoéder burkolat

oldal (××)		p2 (2222)	p3 (333)	pmg (22*)
pgg (22x)			p31m (3*3)	p2 (2222)	cmm (2*22)	p6m (*632)

Más topológiailag izoéder hatszögletű burkolólapok négy- és ötszögletűként jelennek meg, nem érintik egymás mellett, de sokszögeik úgy képzelhetők el, hogy egymás melletti oldalaik egy vonalban vannak:

Izoéderes csempézett négyszögek

pmg (22*)		pgg (22x)			cmm (2*22)	p2 (2222)
Paralelogramma	Trapéz	Paralelogramma	Téglalap	Paralelogramma	Téglalap	Téglalap

Izoéderesen burkolt ötszögek

p2 (2222)	pgg (22x)	p3 (333)

A 2-uniform és 3-uniform tesszellációk olyan forgási szabadságfokkal rendelkeznek, amely a hatszögek 2/3-át megvetemíti, beleértve a kollineáris oldalak esetét is, amely hatszögek és nagy háromszögek burkolásának tekinthető, amelyek oldalai nem illeszkednek egymáshoz (nem oldalirányban). -oldal) [6] .

A mozaik három irányban királis , 4 színű, egymásba fonódó mintákká csavarható, a hatszögek egy része paralelogrammává alakul . A 2 színes lappal összefonódó minták 632 (p6) forgásszimmetriával rendelkeznek .

helyes	elforgatva	helyes	összekötött
p6p, (*632)	p6, (632)	p6m (*632)	p6 (632)
p3m1, (*333)	p3, (333)	p6m (*632)	p2 (2222)

Csomagolási körök

A hatszögletű burkolólap segítségével köröket lehet pakolni úgy, hogy azonos sugarú köröket helyezünk el a burkolólap csúcsai között. Minden kör érinti a csomag 3 másik körét ( kapcsolati szám ) [7] . A körök két színben festhetők. Az egyes hatszögeken belüli tér lehetővé teszi egy kör elhelyezését, így a legsűrűbben tömött háromszög alakú burkolat jön létre , és minden kör a lehető legtöbb kört érinti (6).

Kapcsolódó szabályos összetett végtelen

2 szabályos összetett apeirogon van, amelyeknek ugyanaz a hatszögletű csempézési csúcsa. A szabályos összetett apeirogonok élei 2 vagy több csúcsot tartalmazhatnak. A p { q } r szabályos apeirogonok megszorítása: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Az éleknek p csúcsuk van, a csúcsalakzatok pedig r - gonok [8] .

Az első apeirogon 2 élből áll, mindegyik csúcs körül három, a második hatszögletű élekkel rendelkezik, mindegyik csúcs körül három. A harmadik összetett apeirogon, amelynek ugyanazok a csúcsai, kvázi szabályos, és 2-6 él között váltakozik.

2{12}3 vagy	6{4}3 vagy

Lásd még

• Hatszögletű rács
• Háromszög alakú prizmás méhsejt
• Konvex szabályos sokszögek mozaikjai az euklideszi síkon
• Az egységes burkolatok listája
• Szabályos többdimenziós poliéderek és vegyületek listája
• Hatszögletű mozaik lépek

Jegyzetek

1. ↑ 1 2 Golomb, 1975 , p. 147.
2. ↑ Weisstein, Eric W. Dual Tessellation  a Wolfram MathWorld weboldalán .
3. ↑ Egy csempét nevezünk monoédernek, ha egybevágó lapokból áll.
4. ↑ Grünbaum és Shephard 1987 , p. Sec. 9.3 Egyéb monoéder burkolólapok konvex sokszögekkel.
5. ↑ Grünbaum és Shephard 1987 , p. 473–481, 107 izoéder cserepes jegyzék.
6. ↑ Grünbaum és Shephard 1987 , p. egységes burkolatok, amelyek nem élnek szélig.
7. ↑ Critchlow, 1987 , p. 74–75, 2. minta.
8. ↑ Coxeter, 1991 , p. 111-112, 136.

Irodalom

• S.V. Golomb. Polyomino \ u003d Polyominoes / Per. angolról. V. Firsova. Előszó és szerk. I. Yagloma. - M . : Mir, 1975. - S. 147. - 207 p.
• HSM Coxeter . Rendszeres komplex politópok. — 2ed. - New York, Port Chester, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press, 1991. - ISBN 0-521-39490-2 .
• HSM Coxeter . II. táblázat: Szabályos lépek //Rendszeres politópok . — 3. - Dover, 1973. - S.  296 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• B. Grünbaum , G. C. Shephard. Burkolatok és minták . - New York: W. H. Freeman & Co., 1987. - S.  58-65 . - ISBN 0-7167-1193-1 .
• R. Williams. A természetes szerkezet geometriai alapjai: A tervezés forráskönyve . - New York: Dover Publications , 1979. -  35. o . — ISBN 0-486-23729-X .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. A dolgok szimmetriája . - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . Archivált: 2010. szeptember 19. aWayback Machine
• Keith Critchlow. Rendelés az űrben: tervezési forráskönyv. - New York: Thames & Hudson, 1987. - ISBN 0-500-34033-1 .

Linkek

• Weisstein, Eric W. Hexagonal Grid  (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .
  • Weisstein , Eric W. Rendszeres tesselláció  a Wolfram MathWorldnél .
  • Weisstein, Eric W. Uniform tessellation  (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
• Klitzing, Richard. 2D euklideszi burkolólapok o3o6x-hexat-O3
• Amit Patel. Rács matematikai: négyzet, hatszög, háromszög . — Algoritmusok hat- és háromszögrácsok ábrázolására számítógépes stratégiai játékokban. (határozatlan)

Fundamentális konvex szabályos és egységes lépek 2-10 méretű térben

Család / / Homogén mozaik {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Hatszögletű Homogén domború lépek {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 egységes ötdimenziós méhsejt {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 24 sejtből álló méhsejt egységes hatdimenziós méhsejt {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 egységes hétdimenziós méhsejt {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ egységes nyolcdimenziós méhsejt {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 egységes kilencdimenziós méhsejt {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Egységes n -dimenziós lépek {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21

geometrikus mozaikok
Időszakos	püthagoraszi Rombikus Schwartz háromszög Téglalap alakú Dominó Ötszögű Homogén mozaik Honeycombs Színezés Konvex Osztott mozaik Lapos krisztallográfiai csoport Wythoff építkezés
időszakos	Ammann-Binker Időszakos mozaiklapkészlet Lista Egy csempe kihívás Sokolara – Taylor Gilbert Penrose szélkerék kupolás Elválasztó és önragasztó készletek Szfinksz Truche
Egyéb	Nem izoéder és izoéder Építészeti és fényvisszaverő Circle Limit III Számítógépes grafika lépek Edge tranzitív Csomag Feladatok Van heesh négyzetre emelve Mozaik csempe Conway kritériuma Girih A gép szabályos felosztása Szabályos rács Helyettesítések Voronoi diagram Foderberg
Csúcskonfiguráció szerint _	Gömbölyű 2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _ helyes 2∞ _ 3 6 4 4 6 3 félig helyes 3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6_ _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4,8 2 Hiperbolikus _ 3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3,4,6 2,4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3,16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4.14 2 4.16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5.8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6,8 2 6.10 2 6.12 2 6.16 2 7 3 74 _ 7 7 7,6 2 7,8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8.6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2