Egyenlő gömbök sűrű csomagolása

Egyenlő gömbök HP (HPC) (balra) és FCC (jobbra) rácsokba való sűrű csomagolásának illusztrációja
FCC tömörítés a 4. rendű szimmetriatengelyek irányában
Külön réteg sűrű csomagolás
A GP (GPU) rács tizenegy golyójának egymásra halmozása látható. A HP(HPC) fektetés csak az alsó rétegben tér el az alábbi ábrán látható FCC fektetés felső három rétegétől. Az egyik réteg elforgatásával vagy eltolásával fcc halmozássá alakítható. Egy nagy méretű valódi kristályban ez is megtörténhet bizonyos körülmények között (ez fázisátalakulás lesz ).
Több rétegű FCC- fektetés. Figyelje meg, hogyan helyezkednek el a szomszédos golyók egy szabályos tetraéder szélei mentén egymáshoz képest, és hasonlítsa össze a HP (HPC) tömítéssel a fenti ábrán.

Az egyenlő gömbök sűrű pakolása az azonos, nem átfedő gömbök térbeli elrendezése, amelyben e gömbök belső tartományai által elfoglalt tér aránya maximális ( pakolási sűrűség ), valamint ennek megtalálásával kapcsolatos kombinatorikus geometria problémája. csomagolás [1] .

Carl Friedrich Gauss bebizonyította , hogy a legnagyobb tömítési sűrűség , ami egyszerű szabályos tömítéssel ( rács ) érhető el

{\frac {\pi }{3{\sqrt {2))))\simeq 0,74048.

Ezt a sűrűséget az arcközpontú köbös (fcc) és a hatszögletű szorosan tömörített (HP, HCP [2] ) rácsokba való tömítésekkel érik el (lásd alább). Kepler sejtése szerint ennek a tömítésnek a legnagyobb a sűrűsége az összes lehetséges, szabályos és szabálytalan gömbtömítés között. Ezt a hipotézist T. K. Hales igazoltasok éves programozás után a bizonyításhoz szükséges számításokat [3] [4] .

Rácsok fcc és GP (GPU)

HCC		GPU (GPU)

Egy FCC -csomag többféleképpen tájolható, és a tájolástól függően az egyes rétegei négyzet vagy háromszög alakúak. Ez látható a kuboktaéderből , amelynek 12 csúcsa a központi gömb körüli 12 gömb középpontjának helyzetét reprezentálja. A HP (HPC) -csomagolást háromszögletű tömítésbe csomagolt rétegeknek tekinthetjük, ahol a szomszédos réteg gömbjei ennek a rétegnek a gömbjének középpontjain átmenő, három lejtős egyenes bi-dóm csúcsaiban helyezkednek el.
Az FCC és a HP (HPC) csomagok összehasonlítása

HP (HPC) csomagolás (balra) és FCC csomagolás (jobbra). A megfelelő Bravais rácsok körvonalai pirossal láthatók. A betűk azt mutatják, hogy a csomag mely rétegei esnek egybe (nincs egymáshoz viszonyított eltolás vízszintes síkban): például a HP (HPC) csomagban az A réteg felett a B, felette pedig ismét az A réteg található, A gömbök ugyanazon a pozícióban vannak, mint a többi A rétegen. Az fcc csomagolásban három réteg látható, és mindegyik különbözik: az A réteg felett a B, a B felett a C, és csak a C felett ismét az A. ) csomagolja a rétegek nyírásával, amint azt a szaggatott vonal mutatja.

Két egyszerű szabályos rács van, amelyeken a maximális átlagos sűrűség érhető el. A rács szimmetriáitól függően face-centered cubic ( fcc ) (vagy cubic close-packed ) és hexagonal close-packed ( HP vagy HCP = Hexagonal close-packed cell or lattice) néven szerepelnek . Mindkét rács olyan gömbrétegeken alapul, amelyek középpontjában egy háromszög alakú burkolólap csúcsai vannak. Mindkét rács ábrázolható egyforma lapok halmazaként, amelyen belül a gömbök háromszögletű rácsban helyezkednek el (szorosan egymásra rakott rétegek); Az FCC és a HP (HCP) ezeknek a lapoknak egymáshoz viszonyított helyzetében különbözik.

Az fcc rács a matematikában az A 3 gyökérrendszer által generált rácsként ismert [5] . Az angol szakirodalomban ezt a sejttípust face-centered cubicnak ( fcc ) nevezik. A HP (HPC) rácsot az angol szakirodalomban hexagonal close-packed ( hcp ) nevezik.

Hely és szóköz

Az egyik szorosan egymásra helyezett golyóréteget referenciapontnak véve a többit különböző típusokra oszthatjuk, attól függően, hogy vízszintes eltolódás szempontjából hogyan helyezkednek el az első réteghez képest. Három ilyen típus létezik, és általában A-nak, B-nek és C-nek nevezik őket.

Az A golyóval való szint tekintetében (lásd a bal oldali ábrát "Az fcc és a hp (hcp) tömítések összehasonlítása") a B és C golyók különböző pozíciói lehetségesek. Az A, B és C pozíciók bármilyen sorrendje rétegekben ismétlés a szomszédos rétegekben lehetséges, és ugyanolyan sűrűségű tömítést eredményez.

A legmegfelelőbb csomagolás:

FCC = ABCABCA (a szintek kettő után egybeesnek);
GP (GPU) = ABABABA (a szintek egybe esnek).

Ugyanaz a tömörítési sűrűség azonban elérhető ugyanazon sűrű gömbtömítések síkban történő alternatív rétegzésével, beleértve az egymásra rakódó rétegek irányában időszakos szerkezeteket is. Megszámlálhatatlan számú szabálytalan síkok elrendezése létezik (pl. ABCACBABABAC…), amelyeket néha "Barlow-tömítéseknek" neveznek, és William Barlow [6] krisztallográfusról nevezték el .

A szoros tömörítésnél a gömbök középpontjai közötti távolság a szorosan tömörített réteg síkjában megegyezik a gömb átmérőjével. A szorosan tömörített rétegre merőleges tengelyre merőleges vetítésben a gömbök középpontjai közötti távolság egyenlő

{\text{pitch}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \over 3}\approx 0,81649658d,

ahol d a gömb átmérője. Ez a szorosan egymásra épülő gömbök tetraéderes elrendezéséből következik.

Mind az FCC, mind a HPC (HCP) elrendezésben minden gömbnek tizenkét szomszédja van (más szóval, bármely gömb koordinációs száma 12). A gömb körül üres területek vannak, amelyeket hat gömb vesz körül (oktaéder), és kisebb üres területek, amelyeket négy gömb (tetraéder) vesz körül. Az üres területek középpontjainak távolsága a környező gömbök középpontjaitól egyenlő tetraédernél és √2 oktaédernél [Comm 1 ] ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2))))$ szóközök, ha a gömb sugara egyenlő 1-gyel. Az FCC-tömítést úgy kapjuk meg, hogy golyókat helyezünk a következő réteg oktaéderes üregei fölé, HP (HCP) - néhány tetraéderre.

Rácsszerkezet

Bármilyen gömbtömítő rács kialakításakor meg kell jegyezni, hogy ha két gömb érintkezik, akkor az egyik gömb középpontjától a másik gömb közepéig egy vonal húzható, és ez a vonal áthalad az érintkezési ponton. A középpontok távolsága - a pontok közötti legrövidebb út - éppen ezen az egyenesen van, tehát ez a távolság egyenlő r 1 + r 2 -vel, ahol r 1 az egyik gömb sugara, és r 2 a másik gömb sugara. Szoros tömörítésnél minden gömbnek azonos r sugara van , így a középpontok közötti távolság egyszerűen 2r .

Egyszerű HP(HPC)-rács

Ahhoz, hogy ABAB-… hatszögletű, sűrű gömbcsomagot hozzunk létre, a rácspontok koordinátái a gömbök középpontjai lesznek. Tegyük fel, hogy a cél a doboz megtöltése gömbökkel a HP(HPC) séma szerint. A doboz az x - y - z koordinátarendszerben található .

Először egy sor gömböt alkotunk; középpontjuk ugyanazon az egyenes vonalon lesz. Az x koordinátaértékek 2 r -rel változnak , mivel két összeérő gömb középpontja közötti távolság 2 r . Ezeknél a golyóknál az y és z koordináták megegyeznek. Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy az első sor golyóinak y és z koordinátája egyenlő r -rel , ami megfelel a golyók felületeinek elhelyezkedésének az y és z nulla koordinátájú síkon . Így az első sor golyóinak koordinátái így fognak kinézni: ( r , r , r ), (3 r , r , r ), (5 r , r , r ), (7 r , r , r ), … .

Most alakítsuk ki a második gömbsort. A középpontok ismét egy egyenesen fekszenek, és az x koordináták 2 r -rel különböznek, de a golyók a tengely mentén r -rel eltolódnak , így a középpontjaik x koordinátái megegyeznek a golyók pontjainak koordinátáival. az első sor golyóinak érintkezése. Mivel az új sor minden gömbje két alsó gömböt érint , ezek középpontjai egyenlő oldalú (szabályos) háromszögeket alkotnak a szomszédos golyók középpontjával. Minden oldalhossz egyenlő lesz 2 r -rel , így az y koordináta mentén lévő sorok közötti különbség √ 3 r lesz . Vagyis a második sorban lesznek a koordináták

\left(2r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(4r,r+{\sqrt {3}}r,r\jobb),\ \left(6r, r+{\sqrt {3}}r,r\jobb),\ \left(8r,r+{\sqrt {3}}r,r\jobb),\pontok .

A következő gömbsor ezt a mintát követi, és a sort az x tengely mentén r -el, az y tengely mentén pedig √ 3 r -rel tolja el . Addig adunk hozzá sorokat, amíg el nem érjük a doboz határát.

Az ABAB-… csomagolásban a páratlan számú gömbök síkjai pontosan azonos x és y koordinátákkal rendelkeznek ; csak a z koordináták változnak , ami igaz a páros síkra is . Mindkét típusú sík ugyanazon séma szerint van kialakítva, de az első sor első gömbjének helyzete eltérő lesz.

A fent leírt konstrukciót használjuk A rétegként. Helyezzük a gömböt erre a rétegre úgy, hogy az érintse az A réteg három gömbjét. Ez a három gömb már érintkezik egymással, egyenlő oldalú háromszöget alkotva. Mivel ez a három gömb érinti a hozzáadott gömböt, a négy középpont szabályos tetraédert alkot [7] , amelynek minden oldala 2 r . Ennek a tetraédernek a magassága a két réteg közötti z koordináták különbsége, és egyenlő . Az x és y koordinátákkal való kombináció megadja a B sík első sorának középpontját: ${\tfrac {2{\sqrt {6}}r}{3}}$

\left(2r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right), \ \left(4r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \ left(6r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \left( 8r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\dots .

A második sor koordinátái a fent leírt mintát követik:

\left(r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right) ,\ \left(3r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right), \ \left(5r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \left(7r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3)),r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\dots .

A következő A-réteg z -koordinátáinak különbsége ismét egyenlő , az x- és y -koordináták pedig az első A-réteg koordinátáival [8] . ${\tfrac {2{\sqrt {6}}r}{3}}$

Általában a központok koordinátái a következőképpen írhatók fel:

{\begin{bmatrix}1+2i+((j\ +\ k){\bmod {2)))\\1+{\sqrt {3}}\left[j+{\frac {1}{ 3}}(k{\bmod {2}})\right]\\1+{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatrix}}r

ahol i , j és k az x , y és z indexek (nulla alapú), az „ a mod b ” pedig azt jelenti, hogy a -val való osztás „maradványát ki kell venni ” . $a$ $b$

Változatok és általánosítások

Más méretű terek

Megfontolható egy hasonló probléma a hipergömbök (vagy körök) sűrű felpakolásánál a 3-tól eltérő dimenziójú euklideszi térben. Különösen a kétdimenziós euklideszi térben a legjobb kitölteni, ha a körök középpontját a parketta csúcsaira helyezzük. szabályos hatszögek alkotják , amelyekben minden kört hat másik kör vesz körül. Ilyen rétegekből épülnek fel az fcc és GP (HCP) csomagok. A csomag sűrűsége:

{\frac {\pi }{2{\sqrt {3))))\approx 0,9069

[1] .

1940 - ben bebizonyosodott, hogy ez a csomagolás a legsűrűbb.

2016-ban Marina Vyazovskaya ukrán matematikus két magasabb dimenziós térben - nyolcdimenziós [9] [10] [11] és társszerzőjeként 24 dimenziós térben [12] [13] oldotta meg a labdacsomagolás problémáját . Vjazovskaya megoldása a nyolcdimenziós esetre mindössze 23 oldalas, és "megdöbbentően egyszerű" [13] ahhoz képest, hogy 300 oldalnyi szöveget és 50 000 kódsort tartalmaz, ami Kepler sejtését [14] bizonyítja a háromdimenziós térre vonatkozóan.

A legnagyobb sűrűség csak az 1-es (zárt tömítés), a 2-es ( háromszögletű rács ), a 3-as (fcc, HP (HCP) és más, háromszög alakú rácsrétegekből épített tömítéseknél), a 8-as ( E8 rács ) és a 24-es ( leach rács) térméreteknél ismert. ) [ 15] .

A fennmaradó hely kitöltése

Az fcc és fcc (hcp) pakolások az azonos gömbök legsűrűbb ismert pakolásai maximális szimmetriával (a legkisebb ismétlési egység). A gömbök szorosabb csomagolása ismert, de különböző átmérőjű gömböket használnak. Az 1-es sűrűségű töltetekhez, amelyek teljesen kitöltik a teret, nem gömb alakú testekre van szükség, például méhsejtekre , vagy végtelen számú gömbre egy véges térfogatban ( Apollonian grid ).

Honeycombs

Ha két gömb minden érintkezési pontját az érintkező gömbök középpontjait összekötő élre cseréljük, akkor egyenlő oldalhosszúságú tetraédereket és oktaédereket kapunk. Az FCC halmozás tetraéder-oktaéder méhsejtet ad . A HP (HPC) halmozás elforgatott tetraéder-oktaéder méhsejtet eredményez . Ha ehelyett bármelyik gömböt kibővítjük olyan pontokkal, amelyek közelebb vannak hozzá, mint bármely más gömbhöz, akkor kettős méhsejt jön létre – rombikus dodekaéder méhsejt az FCC és trapecerombic dodekaéder méhsejt a HP esetében.

A gömb alakú buborékok szappanos vízben az FCC vagy HCP (HCP) séma szerint, amikor a buborékok közötti víz kiszárad, szintén rombododekaéder vagy trapecerombikus dodekaéder méhsejt formáját öltik . Az ilyen nagyon alacsony folyadéktartalmú FCC vagy HP (HPC) habok azonban instabilak, mivel a Plate-törvény nem érvényes rájuk . A Kelvin hab, valamint a Weir és Pelan szerkezet stabilabb, kis mennyiségű folyadékkal kisebb határfelületi energiával rendelkezik [16] .

Sűrű labdacsomagolás az életben

Sok kristálynak van egy-egy atomtípusának szoros tömítési szerkezete, vagy nagy ionok szorosan tömörülnek, és kisebb ionok töltik ki a köztük lévő teret. Általános szabály, hogy a köbös és a hatszögletű elrendezés energia szempontjából nagyon közel áll egymáshoz, és nehéz megjósolni, hogy a kristály milyen alakot vesz fel.

Thomas Harriot 1585 körül végezte el az első matematikai elmélkedést a golyók egymásra rakásával kapcsolatban az ágyúgolyók egymásra rakásával összefüggésben, és az fcc rácsot tekintette: az ágyúgolyókat általában téglalap vagy háromszög alakú fakeretekbe rakták, három- vagy négyoldalas piramisokat alkotva; mindkét halmozás arcközpontú köbös rácsot ad, és csak az alaphoz viszonyított tájolásban tér el. A hatszögletű szoros csomagolás hatszögletű piramist eredményez. Az ágyúgolyók egymásra rakásával kapcsolatban ismert a számelmélet névadó problémája is.

Lásd még

elérhetőség
A legritkább fedőprobléma
Lubacsevszkij-Stinger algoritmus
Benard sejtek
Syngony
Köbös rendszer
paraleloéder
Kepler hipotézise
Miller indexek
Hermite állandó
Véletlenszerű sűrű csomagolás

Kommentár

↑ A tetraéder üres terület középpontjának távolsága megegyezik a 2 oldalú tetraéder körülírt körének sugarával, azaz . Olvassa el a körülírt kör sugarának képletét a Szabályos tetraéder cikkben . Egy oktaéder középpontjának távolsága megegyezik a 2 oldalhosszúságú tartomány körülírt kör sugarával. A tartomány sugarának képlete megtalálható az Octahedron cikkben. ${\displaystyle 2{\sqrt {\tfrac {3}{8))))$

Jegyzetek

↑ 1 2 Sloan N. J. A. Labdacsomagolás // A tudomány világában . - 1984. - 3. sz . - S. 72-82 .
↑ Podolskaya E. A., Krivtsov A. M. A hatszögletű, szorosan tömörített szerkezetű kristályok geometriájának leírása párosított kristályok alapján / Institute for Problems of Mechanical Engineering RAS, St. Petersburg. // Oroszország Szilárdtestfizika, 2012. - V. 54. - Issue. 7. - S. - 1327-1334.
↑ Hales, TC (1998), A Kepler-sejtés áttekintése, arΧiv : math/9811071v2 .
↑ Szpiro, 2003 , p. 12–13.
↑ Conway, Sloane, 1998 , p. 6.3.
↑ Barlow, 1883 , p. 186–188.
↑ Grunch.net .
↑ Weisstein, Eric W. Hexagonal Close Packing a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ Kevin Knudson. Ágyúgolyók egymásra rakása 8 dimenzióban // Forbes . - 2016. - március 29.
↑ Frank Morgan. Gömbcsomagolás 8-as dimenzióban // The Huffington Post . - 2016. - március 21.
↑ Andreas Loos. So stapeln Mathematiker Melonen (német) // Die Zeit . - 2016. - március 21.
↑ Lisa Grossman. Az új matematikai bizonyíték megmutatja, hogyan lehet narancsokat halmozni 24 dimenzióban // New Scientist . - 2016. - március 28.
↑ 12 Erica Klarreich . Nagyobb dimenziókban megoldott gömbcsomagolás // Quanta : Magazin. - 2016. - március 30.
↑ Natalie Wolchover. Számítógépekben bízunk? (angol) // Quanta : Magazin. - 2013. - február 22.
↑ Cohn, Kumar, Viller, Radchenko, Viazovska, 2017 .
↑ Cantat, Cohen-Addad, Elias, Graner et al., 2013 .

Irodalom

Szpiro György. Matematika: A bizonyítás összeáll? // Természet. - 2003. - július ( 424. v. ). - doi : 10.1038/424012a .
Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko, Maryna Viazovska. A gömbprobléma csomagolás 24. - 2017. - február dimenzióban. - arXiv : 1603.06518v2 .
John Horton Conway , Neil James Alexander Sloane . 6.3. szakasz // Gömbtömítések, rácsok és csoportok. - Springer, 1998. - T. 290. - (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 0-387-98585-9 .
William Barlow. A kristályok belső szimmetriájának valószínű természete // Természet. - 1883. - T. 29 .
Isabelle Cantat, Sylvie Cohen-Addad, Florence Elias, François Graner, Reinhard Höhler, Ruth Flatman, Olivier Pitois. Habok, szerkezet és dinamika. - Oxford: Oxford University Press, 2013. - ISBN 9780199662890 .

Linkek

P. Krishna & D. Pandey, "Close-Packed Structures" International Union of Crystalography, University College Cardiff Press. Cardiff, Wales. PDF Archiválva : 2017. augusztus 29. a Wayback Machine -nél
D.K. Egy új rejtvény: golyók elhelyezése egy kockában // Kvant . - 1990. - 5. sz . - S. 82 .
a Gömbcsomagoláson . Grunch.net. Letöltve: 2014. június 12. Az eredetiből archiválva : 2015. március 20. (határozatlan)

Csomagolási feladatok
Csomagolási körök	Körben / derékszögű háromszögben / egyenlő szárú derékszögű háromszögben / négyzetben Apollonius szőnyeg Körcsomagolási tétel Tammes probléma (a szférában)
Léggömb csomagolás	Apolloniev egy labdában sűrű csomagolás elérhetőség Gömb alakú csomagolási határ (Hamming)
Egyéb csomagok	A konténerekhez Tetraéder Készletek
Kirakós játék	Conway Slotobera - Graatsma