Az ágyúgolyó probléma

Az ágyúgolyók problémája ( eng. cannonball problem ) - az egy rétegben lerakható ágyúgolyók számának megtalálásának problémája négyzet formájában, és piramis formájában, amelynek alapja négyzet, azaz négyzetszámok megtalálásáról , amelyek egyben négyzetpiramisszámok is . Ennek a számnak a megtalálása a Diophantine egyenlet vagy a megoldásához vezet . Az egyenletnek két megoldása van: és , azaz egy ágyúgolyó, és és , azaz 4900 ágyúgolyó. $\sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}$ ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ $N=1$ $M=1$ $N=24$ $M=70$

Problématörténet

Az ágyúgolyók egymásra rakásának kérdései már Sir Walter Raleigh -t és kortársát , Thomas Harriot -ot is érdekelték [1] , de a fenti formában Edouard Lucas fogalmazta meg 1875-ben , aki azt sugallta, hogy a [2] mellett nincs más megoldás . A részleges bizonyítást Moret-Blanc (1876) [3] és maga Lucas (1877) [4] ajánlotta fel . Az első teljes bizonyítást Watson (1918) [5] kínálta ; a bizonyítás elliptikus függvényeket használt [6] . Egy másik bizonyítást Ljunggren (1952) [7] javasolt a Pell-egyenlet [8] segítségével . A csak elemi függvényeket használó bizonyításokat Ma (1985) [9] és Anglin (1990) [10] [6] javasolta . $N=1$ $N=24$

Bizonyíték

Watson bizonyítéka

Watson bizonyítása [5] azon a megfigyelésen alapul, hogy a három szám közül az egyiknek oszthatónak kell lennie 3-mal; és vagy , vagy párosnak kell lennie; és hogy az összes többi tényezőnek négyzetnek kell lennie. Így hat lehetőség közül választhat: $N$ $N+1$ $2N+1$ $N$ $N+1$

$N=3a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=3b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=3c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=6b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=3c^{2}.$

Mivel azonban 3-mal osztva csak 0 vagy 2 maradványai lehetnek, az első lehetőség ellentmondáshoz vezet. Hasonlóképpen kizárhatja a második, harmadik és negyedik lehetőséget. $2b^{2}$

Az ötödik lehetőség a megoldáshoz vezet . Valóban, ez csak páratlan , és esetén lehetséges , vagyis vannak egész számok és olyan, hogy vagy . Ez azonban ellentmondáshoz vezet . Ezért , azaz és . Amint azt Gerono mutatja , és ezek az utolsó egyenletrendszer egyetlen megoldásai [11] . Az eset lehetetlen, mert ; esethez vezet . A megoldás egyediségének alternatív bizonyítéka ebben az esetben azt a tényt használja fel, hogy az egyedüli megoldások Cohen [12] könyvének 6.8.2. fejezetében találhatók és szerepelnek . $N=24$ ${\displaystyle N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2))$ $c$ ${\displaystyle (c-1)(c+1)=12a^{2))$ $d$ $e$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a =de$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a =de$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a =de$ $3e^{2}-d^{2}\equiv 1{\pmod {3}}$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a =de$ ${\displaystyle c-1=6d^{2},\ c+1=2e^{2))$ $c+1=2e^{2},\ c^{2}+1=2b^{2}$ $c=1$ $c=7$ $c=1$ $N=0$ $c=7$ $N=24$ $N=24$ $y^{2}=8x^{4}+1$ $(0,\;1),\ (0,\;-1),\ (1,\;3),\ (1,\;-3),\ (-1,\;3), \ (-1,\;-3)$

A nemtriviális megoldások hiányának bizonyítása a hatodik változatban elliptikus függvények használatát igényli. Valójában a hatodik változat a formára redukálható . Watson ezen egyenletek helyett egy általánosabb esetet vesz figyelembe, és megmutatja, hogy ezen egyenletek megoldásainak ki kell elégíteniük a , ahol egy nem negatív egész szám, , , , és , , és Jacobi elliptikus függvények . Ezután Watson bebizonyítja, hogy numerikusan csak akkor egyenlő eggyel, ha , azaz , és ebben az esetben az egyetlen lehetséges megoldás a . ${\displaystyle 2b^{2}-a^{2}=1,2b^{2}+a^{2}=3c^{2))$ $2X^{2}-Y^{2}=Z^{2},2X^{2}+Y^{2}=3W^{2}$ ${\frac {Z}{W}}=(-1)^{r}\operátornév {sd} ((2r+1)\beta ){\sqrt {\frac {3}{2}}}$ $r$ $\beta$ ${\displaystyle \operatorname {sn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2))))$ $\operatorname {dn} (\beta )={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ $\operátornév {sn}$ $\operátornév {cn}$ $\operatorname {dn}$ $\operátornév {sd}$ $Z$ $r=0$ $X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=W^{2}=1$ $N=1$

Proof Ma

A fenti megoldások egyediségének Ma által javasolt bizonyítása a következő állítások következetes bizonyításán alapul [12] :

Az egyetlen egyenletes megoldás az alapvető halmozási problémára a . Valójában a paritás lehetővé teszi az 1., 4. és 6. opció kizárását Watson bizonyításából, a 2. és 3. opció ellentmondáshoz vezet (lásd Watson bizonyítását), és ez az egyetlen lehetséges megoldás az 5. opcióra. $(24,70)$ $n$ $(24,70)$
Hadd . Ezután a nem-negatív esetén csak a következő alakja van . $\alpha =2+{\sqrt {3)),\beta =2-{\sqrt {3)),M_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/ 2$ $n$ $M_{n}$ $4x^{2}+3$ $n=2$
Az egyetlen páratlan szám , amely kielégíti az alapvető halmozási problémát, a . Valójában Watson bizonyításához hasonlóan érvelve a páratlannak meg kell felelnie a 6-os opciónak, azaz . Mivel bármely , és esetén ez a -ra is igaz . Az és helyett és helyett , azaz -t kapunk . Mivel egységcsoportot hoz létre , létezik olyan, hogy , ahol fent van definiálva, és . Mivel ez pozitív, és értelemszerűen . Az előző lemma szerint , azaz és . $N$ $N=1$ $N$ ${\displaystyle N=a^{2},N+1=2b^{2},2N+1=3c^{2))$ $x$ $(4x+3)^{2}-8(x+1)(2x+1)=1$ $4x+3=2(2x+1)+1$ $N$ $2b^{2}$ $3c^{2}$ $x+1$ $2x+1$ $(2(3c^{2})+1)^{2}-8\cdot 2b^{2}\cdot 3c^{2}=1$ $(6c^{2}+1)^{2}-3(4bc)^{2}=1$ $2 + \sqrt{3}$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ $n\in \mathbb {Z}$ $6c^{2}+1+4bc{\sqrt {3}}=\pm (M_{n}+G_{n}{\sqrt {3}})$ $M_{n}$ $G_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/(\alpha -\beta )$ $M_{n}$ $M_{n}=6c^{2}+1$ $a$ $M_{n}=4a^{2}+3$ $n=2,M_{n}=7$ $a=1$ $n=1$

A bizonyítás részleteit Cohen könyvének [12] 6.8.2. fejezete tartalmazza .

A probléma általánosításai

Egy triviális esetet leszámítva nincs sok ágyúgolyó, amelyet egy négyzet alakú piramis alakjában le lehetne fektetni, és amely egyben egy kocka is lenne, a természetes természet negyedik vagy ötödik hatványa. szám [13] . Sőt, ugyanez igaz az atommagok szabályos tetraéder formájában történő egymásra halmozására is [13] . $N=1$

A probléma másik általánosítása az a kérdés, hogy meg kell találni a négyzet és az alján négyzetes csonka gúla formájában elhelyezhető magok számát . Vagyis olyan egymást követő négyzeteket keresünk (nem feltétlenül 1-től kezdve), amelyek összege négyzet. Ismeretes, hogy az ilyenek halmaza végtelen, aszimptotikus sűrűsége nulla, és -ra , amelyek nem négyzetek, végtelen sok megoldás létezik [8] . A halmaz elemeinek számát , amelyek nem haladják meg a becsült értéket . A halmaz első elemeit és a hozzájuk tartozó legkisebb értékeket , például egy négyzetet a következő táblázat tartalmazza [8] : $n$ $S$ $n$ $n$ $N(x)$ $S$ $x$ $c_{1}{\sqrt {x}}<N(x)<c_{2}{\frac {x}{\ln {x}}}$ $n$ $S$ $a$ $\sum _{k=a}^{a+n-1}k^{2}$

n	2	tizenegy	23	24	26	33	47	49	ötven	59
a	3	tizennyolc	7	egy	25	7	539	25	7	22

Mert és a megoldás egy Pitagorasz-hármas . Mert és a megoldás az ágyúgolyók egymásra rakásának problémájának fenti megoldása. A halmazelemek sorrendje az OEIS [14] A001032 sorozata . $n=2$ $a=3$ $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ $n=24$ $a=1$ $S$

A probléma másik általánosítását Kaneko és Tachibana [15] fontolgatták : az első négyzetszámok összege és egy másik négyzetszám egyenlőségének kérdése helyett az első sokszögszámok összegének egyenlőségének kérdését vették figyelembe. és egy másik sokszögszámot, és megmutatta, hogy bármelyikhez végtelen sok sorozat van az első -szögű számokból úgy, hogy összegük egyenlő egy másik sokszög számmal, és hogy bármelyikhez van végtelen számú -szögszám, amely sorozatok összegeként ábrázolható. az első sokszögű számok közül. Ezenkívül Kaneko és Tachibana megállapította, hogy bármely természetes számra a következő összefüggések teljesülnek: $m\geqslant 3$ $m$ $n\geqslant 3$ $n$ $k$

Pyr_{m}(3(m-2)k-2)=G_{9k+2}((m-2)^{2}k-m+3),

Pyr_{m}(3k-1)=G_{(m-2)k+3}(3k-1),

Pyr_{m}(6k-3)=G_{4(m-2)(2k-1)+6}(3k-1),

G_{n}((n-2)k^{2}-3k+1)=Pyr_{3k+2}((n-2)k-2),

G_{n}(8k^{2}-6k+1)=Pyr_{3(n-2)k+2}(4k-2),

ahol a -edik -szén szám, és a -edik -szén piramisszám , azaz az első -szén számok összege [15] . $G_{m}(n)$ $n$ $m$ $Pyr_{m}(n)$ $n$ $m$ $n$ $m$

Kapcsolat a matematika más területeivel

Egy nem triviális megoldás a Leach-rács felépítéséhez vezet (amely viszont a matematika és az elméleti fizika különböző területeihez kapcsolódik - bozonikus húrelmélet , szörnyeteg ). Ez egy páros unimoduláris rács segítségével történik egy 25+1 dimenziós pszeudoeuklideszi térben . Tekintsük ennek a rácsnak a vektorát . Mivel az és megoldás az ágyúgolyók egymásra helyezésének problémájára, ez a vektor fényszerű , , amiből különösen az következik, hogy a saját ortogonális komplementeréhez tartozik . Conway [16] [17] szerint a vektor lehetővé teszi Leach-rács megalkotását. $N=24$ $\mathrm {II} _{25,1}$ $w=(0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;23,\;24;\;70)$ $N=24$ $M=70$ $w\cdot w=0$ ${\displaystyle w^{\bot ))$ $w$

faktorhalmazként , amely a fényszerűség miatt helyesen definiált ; $(w^{\bot }\cap \mathrm {II} _{25,1})/w$ $w$
mint az összes olyan vektor halmaza , amelyre . Ilyen vektorok alkotják a rács úgynevezett alapgyökeinek halmazát . Minden olyan esetben, amikor ilyen módon lehetséges egy pszeudoeuklideszi térben egy páros unimoduláris rács alapgyökeinek halmazát megszerkeszteni , mindig használhatunk egész vektort nullától egymást követő térkomponensekkel; és ahhoz, hogy ez a halmaz rácsot alkosson, ennek a vektornak fényszerűnek kell lennie. És mivel ez az egyetlen nem triviális megoldás az ágyúgolyók egymásra helyezésének problémájára, ezért a 24-dimenziós Leach rács az egyetlen rács, amely ilyen módon nyerhető -ból . $r\in \mathrm {II} _{25,1}$ $r\cdot r=2,r\cdot w=-1$ $\mathrm {II} _{25,1}$ $\mathrm {II} _{n,1}$ $N=24$ $\mathrm {II} _{n,1}$

Lásd még

Egyenlő gömbök sűrű csomagolása

Jegyzetek

↑ David Darling. Ágyúgolyó probléma . Az internetes tudomány enciklopédiája . Letöltve: 2017. július 6. Az eredetiből archiválva : 2017. december 23. (határozatlan)
↑ Edouard Lucas. 1180. kérdés // Nouv. Ann. Math. - 1875. - Kiadás. 14. - S. 336.
↑ Claude Séraphin Moret-Blanc. 1180. kérdés // Nouv. Ann. Math. - 1876. - Kiadás. 15. - S. 46-48.
↑ Edouard Lucas. 1180. kérdés // Nouv. Ann. Math. - 1877. - Kiadás. 15. - S. 429-432.
↑ 1 2 G. N. Watson. A négyzet alakú piramis problémája. // Messenger Math. - 1918. - Kiadás. 48. - S. 1-22.
↑ 1 2 Eric W. Weisstein. Ágyúgolyó probléma . MathWorld – A Wolfram webes erőforrása . Letöltve: 2017. július 6. Az eredetiből archiválva : 2017. július 18.
↑ W. Ljunggren. E. Lucas által javasolt probléma új megoldása // Norsk Mat. Tid.. - 1952. - Kiadás. 34. - S. 65-72.
↑ 1 2 3 Richard K. Guy. Megoldatlan problémák a számelméletben / KA Bencsath, PR Halmos. — 3. — Springer. - P. 223-224. — 454 p. — (Matematikai feladatkönyvek). - ISBN 978-1-4419-1928-1 .
↑ D. G. Ma. A Diofantin-egyenlet megoldásainak elemi bizonyítása . // Sichuan Daxue Xuebao. - 1985. - Kiadás. 4. - S. 107-116. $6y^{2}=x(x+1)(2x+1)$
↑ W. S. Anglin. A négyzet alakú piramis puzzle. //Amer. Math. Havi. - 1990. - Kiadás. 97. - S. 120-124.
↑ C.-C. Gerono. Demonstration d'une formula dont on peut déduire, comme cas particulier, le binôme de Newton // Nouvelles annales de mathématiques: Journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. - 1857. - T. 16. - S. 237-240.
↑ 1 2 3 Henri Cohen. számelmélet. - 2007: Springer. - P. 424-427. — 653 p. - ISBN 978-0-387-49922-2 .
↑ 1 2 Elena Deza, Michel Marie Deza. ábra Számok. - Szingapúr: World Scientific, 2012. - P. 98. - 456 p. — ISBN 981-4355-48-8 .
↑ NJA Sloane . A001032 Olyan n számok, amelyeknél n egymást követő ≥ 1 egész szám négyzetösszege négyzet. (angol) . Integer Sequences On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Letöltve: 2017. július 10. Az eredetiből archiválva : 2017. július 30.
↑ 1 2 Masanobu Kaneko és Katsuichi Tachibana. Mikor lesz egy sokszögű piramisszám újra sokszögű? : [ angol ] ] // Rocky Mountain Journal of Mathematics. - 2002. - T. 32., 1. sz. - S. 149-165.
↑ JH Conway. A 26 dimenziós, sőt unimoduláris Lorentzi-rács automorfizmuscsoportja // Journal of Algebra. - 1983. - 1. évf. 80. - P. 159-163. - doi : 10.1016/0021-8693(83)90025-X .
↑ JH Conway, Sloane NJA. 26. Lorentzi formák a piócarácshoz. 27. A 26-dimenziós Lorentzi-rács automorfizmuscsoportja // Gömbcsomagolások, rácsok és csoportok. — 3. kiadás. - Springer-Verlag New York, 1999. - ISBN 978-1-4757-6568-7 , 978-0-387-98585-5.