Affin tér

Az affin tér egy matematikai objektum (tér), amely általánosítja az euklideszi geometria néhány tulajdonságát . A vektortérrel ellentétben az affin tér nem egy, hanem két típusú objektumon működik: "vektorokon" és "pontokon".

Definíció

A mező feletti vektortérhez társított affin tér egy additív csoport szabad tranzitív műveletével rendelkező halmaz (ha a mező nincs kifejezetten megadva, akkor feltételezzük, hogy ez a valós számok mezője ). $V$ $\mathbb {K}$ $A$ $V$ $\mathbb {K}$

Kommentár

Ez a definíció azt jelenti [1] , hogy a térelemek (az úgynevezett affin tér pontjai ) vektorokkal való hozzáadásának művelete egy térből (amelyet affin tér szabad vektorainak terének nevezünk ) definiálva van, a következő axiómák teljesítésével: $A$ $V$ $A$

${\megjelenítési stílus (M+v)+w=M+(v+w)\in A}$ mindenkinek és mindenkinek ; $M\in A$ $v,w\in V$
$M+0=M$ mindenkinek ; $M\in A$
bármely két ponthoz létezik egy egyedi vektor (jellel vagy ) a tulajdonsággal . $M,N\in A$ $v\in V$ $\overrightarrow {MN}$ $\overrightarrow {NM}$ $N=M+v$

Így a on működési módot jelöli . $v\in V$ $M\in A$ $M+v$

Affin altér

Az affin tér affin altere egy olyan részhalmaz , amely valamilyen lineáris altér eltolódása , azaz egy bizonyos ponton . A halmaz egyedileg definiál , míg csak egy vektorral való eltolásig van definiálva . A dimenzió az altér dimenziója . $A$ $A'\subset A$ $V'\subset V$ $A'=x+V'$ $x\in A$ $A'$ $V'$ $x$ $V'$ $A'$ $V'$

Ha és , akkor akkor és csak akkor, ha és . $A_{1}=v_{1}+V'$ $A_{2}=v_{2}+V'$ $A_{1}=A_{2}$ $v_{1}-v_{2}\in V'$

Az affin alterek metszéspontja vagy affin altér, vagy üres. Ha nem üres, akkor a dimenziója kielégíti a relációt

\dim(A_{1}\cap A_{2})\geq \dim A_{1}+\dim A_{2}-\dim A

Az affin alteret, amelynek az 1-es kóddimenziójú alterek felelnek meg, hipersíknak nevezzük .

A lineáris tér affin altereit gyakran figyelembe veszik (amelyek szabványos affin szerkezettel vannak ellátva, az önmagán végzett művelet összeadás útján). Néha lineáris sokaságnak is nevezik [2] [3] .

Egy ilyen affin altér akkor és csak akkor lineáris altér, ha 0-t tartalmaz.

Kapcsolódó definíciók

Lehetséges [4] tetszőleges lineáris pontkombinációt figyelembe venni egy affin térben. Az eredmény azonban értelmes a következő két esetben:

a kombináció baricentrikus kombináció (azaz együtthatóinak összege 1), és akkor pontból lesz pont ; $A$
kombináció egy kiegyensúlyozott kombináció (azaz együtthatóinak összege 0), és akkor vektor lesz belőle . $V$

A vektorok lineáris függetlenségének fogalmával analóg módon bevezetjük az affin térben lévő pontok affin függetlenségének fogalmát. Nevezetesen: a pontokat [5] affin függőnek nevezzük , ha bármelyikük, mondjuk, más pontok baricentrikus kombinációjaként ábrázolható. Ellenkező esetben ezek a pontok affinálisan függetlenek . $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$ $P_0$

A pontok affin függetlenségének feltétele más formában is megadható: az állítás igaz, hogy egy affin tér pontjai akkor és csak akkor affin függetlenek, ha ezeknek a pontoknak nincs nem triviális kiegyensúlyozott kombinációja, amely egyenlő a nulla vektorral [6] .

Egy affin tér dimenziója [7] a szabad vektorok megfelelő terének dimenziója alapján. Ebben az esetben egy affin tér maximális affinfüggetlen ponthalmazának pontjainak száma eggyel nagyobbnak bizonyul, mint a tér mérete.

Egy affin térben a maximális affinitástól független ponthalmazok bármelyike pontbázisként kezelhető ( e pontok ilyen vagy olyan átszámozásával).

A tér bármely pontja ábrázolható egy pontbázisba foglalt pontok baricentrikus kombinációjaként; ennek a kombinációnak az együtthatóit [8] baricentrikus koordinátáknak nevezzük a vizsgált pontnak.

Változatok és általánosítások

Az osztásgyűrű feletti affin teret hasonló módon határozzuk meg .

Jegyzetek

↑ Kostrikin, Manin, 1986 , p. 193.
↑ Ulyanov A.P. A sík és tér algebra és geometriája fizikus hallgatók számára Archív másolat 2018. szeptember 22-én a Wayback Machine Lectures rendezvényen az NSU Fizikai Karának 1. éves hallgatói számára.
↑ Dieudonné J. Lineáris algebra és elemi geometria. Franciából fordította G. V. Dorofejev. — M.: Nauka, 1972. — 335 p.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , p. 198.
↑ Boltyansky, 1973 , p. 138.
↑ Alexandrov P. S. , Pasynkov V. A. Bevezetés a dimenzióelméletbe. — M .: Nauka, 1973. — 576 p. — C. 193.
↑ Boltyansky, 1973 , p. 135.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , p. 199.

Irodalom

Beklemishev DV Analitikus geometria és lineáris algebra. - M . : Felsőiskola, 1998. - 320 p.
Boltyansky VG Különálló rendszerek optimális vezérlése. — M .: Nauka, 1973. — 446 p.
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineáris algebra és geometria. - M. : Nauka, 1986. - 304 p.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria. - M. : Fizmatlit, 2009. - 511 p.

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb

A tér mérete
Terek méret szerint	Nulla dimenziós egydimenziós 2D 3D négydimenziós ötdimenziós Hatdimenziós Hétdimenziós nyolcas Kilencdimenziós n-dimenziós Negatív dimenzió
Politópok és figurák	Simplex hiperkocka tesserakt Hipertéglalap (ortotop) Félhiperkocka Keresztpolitóp hiperszféra
A terek típusai	véges dimenziós tér Euklideszi tér affin tér projektív tér Ingyenes modul Elosztó Egy algebrai változó mérete téridő
Egyéb dimenziós fogalmak	Krull dimenzió Lebesgue dimenzió Induktív dimenzió Törtdimenzió ( Minkowski - dimenzió , Hausdorff - dimenzió ) fraktál dimenzió A szabadság fokai
Matematika