Kaluza-Klein elmélet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Kaluza-Klein elmélet a gravitáció egyik többdimenziós elmélete , amely lehetővé teszi két alapvető fizikai kölcsönhatás kombinálását: a gravitációt és az elektromágnesességet . Az elméletet először 1921 -ben tette közzé Theodor Kaluza német matematikus , aki kiterjesztette a Minkowski -teret ötdimenziós térre, és elméletének egyenleteiből származtatta az általános relativitáselmélet egyenleteit és Maxwell klasszikus egyenleteit . Az ötödik dimenzió megfigyelhetetlenségének (tömörségének) indokát Oscar Klein svéd fizikus javasolta 1926 - ban [1] .

Ez az elmélet volt az egyik első sikeres elmélet, amely megalapozta a mérőmezők geometriai értelmezését (nevezetesen a megalkotásakor a gravitáció mellett az egyetlen jól ismert elektromágneses tér). Ez volt az első sikeres egyesülési elmélet is , amely bár nem vezetett kísérletileg megerősített felfedezésekhez, belsőleg konzisztens és ideológiailag értelmes elmélet volt, amely nem mond ellent a kísérletnek.

Az elmélet eredeti változata nem tartalmazott más, akkor még nem ismert alapvető kölcsönhatásokat (erős és gyenge), és nem volt hely a félegész spinű részecskéknek. A tömörített komplementer terekkel rendelkező többdimenziós egyesített térelméletek ötlete azonban alkalmazásra talált a szuperszimmetria , a szupergravitáció és a szuperhúrok modern elméleteiben [2] .

Történelem

A fizika geometriai megközelítését R. Descartes , I. Kant és G. Galileo határozta meg . A tér és az idő homogenitására vonatkozó elképzelések dominanciája miatt sokáig nem merülhetett fel a tudományban a térgörbület fogalma, amely Eukleidész ötödik axiómáján alapult, és egybeesett a mindennapi tapasztalatokkal [3] . Az egyenesek párhuzamossági axiómájának elutasítása vezette N. I. Lobacsevszkijt egy új (nem euklideszi) geometria felfedezéséhez egy negatív görbületű térben . B. Riemann felfedezett egy másik pozitív görbületű nemeuklideszi geometriát , amikor egyetlen, az adott (geodéziai vonalakkal) párhuzamos egyenes sem halad át ezen az egyenesen kívül eső ponton [4] . Riemann gömbgeometriája véges térfogattal írja le a világot. W. Clifford megjósolta a gömbgeometria néhány következményét, elgondolkodott a gömbön mászkáló bogár világáról, és kérdést tett fel Univerzumunk geometriájáról, valamint annak fizikával való kapcsolatáról:

Tegyük fel magunknak a kérdést, hogy nem tekinthetjük-e hasonlóképpen a fizikai jelleg változásának azokat a cselekvéseket, amelyek eredetüket valójában térgörbületünk változásának köszönhetik. Nem derül ki, hogy az általunk fizikainak nevezett okok mindegyike vagy egy része térünk geometriai szerkezetéből ered? [5]

Clifford alapvető feltevése az elektromos tér és a tér geometriája közötti kapcsolat volt [6] . De a világ geometriai leírását kereső tudósok nem juthattak el egy általános relativitáselmélet felépítéséhez, mielőtt az időt beépítették terünk egyik koordinátájába, amit H. Lorentz művei támogattak. A. Einstein , G. Minkowski [7] . 1913-ban M. Grossman és A. Einstein azt javasolta, hogy a gravitációs kölcsönhatás a 4 dimenziós téridő görbületének köszönhető. 1915 és 1916 fordulóján, szinte egyidejűleg, A. Einstein és D. Hilbert munkáiban [8] jelentek meg a gravitációs mező egyenletei .

Az elméleti fizika a matematikán keresztül írja le a világot, törvényeiben igyekszik egyetemességet találni. Newton észrevette, hogy az almára ható gravitáció ugyanaz, mint az égitestek mozgását irányító gravitáció. Ma négy alapvető kölcsönhatás ismeretes, és a modern elmélet mérlegeli annak lehetőségét, hogy magasabb dimenziókra hivatkozva minden kölcsönhatást egységesen leírjunk [9] . Ebben az összefüggésben a kvantumtérelmélet az ötdimenziós térben (5D) Einstein általános relativitáselméletének (GR) természetes kiterjesztése [10] .

Gunnar Nordström először 1914-ben kísérelte meg ötvözni a gravitáció elméletét az elektromágnesességgel, az ötödik dimenzióra hivatkozva. De ebben az esetben az elektromágneses vektorpotenciálhoz hozzáadták az ötödik komponenst, ami a newtoni gravitációs potenciál, mivel elmélete korábban jelent meg, mint az általános relativitáselmélet, és nem feltételezte a gravitációs potenciál tenzor jellegét [11] , és Maxwell-egyenletek írása öt dimenzióban [12] [13] .

Az ötdimenziós (5D) elmélet fejlesztése három szakaszra oszlik. Az eredeti sejtés Theodor Kaluzának köszönhető , aki 1919-ben elküldte eredményeit Einsteinnek [14] , és 1921-ben publikálta [15] . Kaluza az általános relativitáselmélet tisztán klasszikus 5D kiterjesztését mutatta be 15 komponensből álló metrikus tenzorral . 10 komponenst azonosítanak egy négydimenziós tér-idő metrikával, négy komponenst elektromágneses vektorpotenciállal és egy komponenst azonosítatlan skaláris mezővel , amit Kaluza nem vett figyelembe, néha " radionnak " vagy "dilatonnak" neveznek. Ennek megfelelően az 5D-s Einstein-egyenletek megadják a 4D-s Einstein-egyenleteket a mezőre , a Maxwell-egyenleteket az elektromágneses mezőre és az egyenletet a skaláris térre. Kaluza bevezette a "hengeres feltétel" hipotézist is, amely szerint az ötdimenziós metrika egyik összetevője sem függ kifejezetten az ötödik koordinátától. E feltevés nélkül megjelennek olyan kifejezések, amelyek a mezők ötödik koordinátára vonatkozó deriváltjait tartalmazzák, amelyeket a skaláris mezőhöz hasonlóan nem figyelnek meg a kísérletekben. Ez a további szabadságfok olyan, hogy az ötödik koordináta mező egyenletei hihetetlenül bonyolulttá válnak. A standard fizika a 4D-ben akkor jelenik meg, ha egy hengeres feltételt szabunk meg, és a megfelelő matematika egyszerűbb formát ölt [16] .

Oskar Klein 1926-ban kvantumértelmezést adott a klasszikus ötdimenziós Kaluza-elméletnek Heisenberg és Schrödinger [17] [18] felfedezéseivel összhangban . Klein feltételezte, hogy az ötödik dimenzió felcsavarodott és mikroszkopikus, hogy megmagyarázza a hengeres állapotot, és az ötödik dimenzió ciklikus mozgása természetesen megmagyarázhatja az elektrontöltés kvantálását [19] . Klein azt javasolta, hogy az extra ötödik dimenzió geometriája lehet 10–30 cm sugarú kör alakú . Klein a klasszikus elmélethez is hozzájárult azzal, hogy megfelelően normalizált 5D metrikát adott [18] . A Kaluza-mezőelméletet az 1930-as években folytatta Einstein és kollégái Princetonban [20] .

Az eredeti Kaluza-Klein elmélet több okból is helytelen. Különösen az ötödik dimenzió tömörítése vezet arra a következtetésre, hogy a világot uralni fogó részecskéknek Planck-tömegűeknek kell lenniük, ami a kísérletben nem figyelhető meg. Ezt a problémát tömeghierarchia problémának nevezik . Ha figyelmen kívül hagyjuk Calucei skalármezőjét, az sem hagy magyarázatot a sötét energia jelenlétére az Univerzumunkban [19] . Ugyancsak Einstein szerint a hengeres állapot, amely a tömegek kialakulásának oka, kizárja a tömegek geometriai értelmezését [21] .

Az 1940-es években elkészült a klasszikus elmélet, és a teljes téregyenleteket, beleértve a skalárteret is, három független kutatócsoport [22] készítette : Thiry [23] [24] [25] , Franciaországban dolgozott Lichnerovich disszertációján. ; Jordan, Ludwig és Müller Németországban [26] [27] [28] [29] [30] , Pauli és Fierz kritikus közreműködésével; és Scherrer [31] [32] [33] , aki egyedül dolgozott Svájcban. Jordan munkája a Brans-Dicke skalár-tenzor elmélethez vezetett [34] ; Bruns és Dike nyilvánvalóan nem tudott Tiriről és Scherrerről. A teljes Kaluza-egyenletek a hengeres feltétellel meglehetősen összetettek, és a legtöbb angol nyelvű áttekintés, valamint Thiry angol fordítása tartalmaz néhány hibát. A teljes Kaluza-egyenletek görbületi tenzorait a tenzoralgebra számítógépes rendszer segítségével számították ki 2015-ben [35] , ellenőrizve Ferrari [36] és Coquero és Esposito-Farese [37] eredményeit . A forrás 5D kovariáns alakját (energia-impulzus tenzor) Williams vette figyelembe [38] .

Kaluza hipotézise

1921-es cikkében [15] Kaluza a klasszikus ötdimenziós elmélet összes elemét felhasználta: a metrikát, a téregyenleteket, a mozgásegyenleteket, az energia-impulzus tenzort és a hengeres feltételt. Szabad paraméterek használata nélkül kiterjesztette az általános relativitáselméletet öt dimenzióra.

Kezdjük egy hipotézissel az ötdimenziós metrika alakjáról. , ahol a latin indexek öt dimenziót fednek le. Bevezetünk egy négydimenziós tér-idő metrikát is , ahol a görög indexek a tér és idő szokásos négy dimenzióját fedik le; A 4-es vektort az elektromágneses vektorpotenciállal azonosítjuk; és skalármező [39] . Ezután felosztjuk az 5D-s metrikát úgy, hogy a 4D-s metrikát egy elektromágneses vektorpotenciál keretezi, amelynek skaláris mezője az átló ötödik helyén található. Ez a következőképpen ábrázolható: ${\widetilde {g}}_{ab}$ ${\displaystyle {g}_{\mu \nu ))$ ${\displaystyle A^{\mu ))$ $\phi$

{\widetilde {g}}_{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu }&\phi ^ {2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu }&\phi ^{2}\end{bmatrix}}\,.

Pontosabban lehet írni

{\widetilde {g}}_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu },\qquad {\widetilde { g))_{5\nu }\equiv {\widetilde {g))_{\nu 5}\equiv \phi ^{2}A_{\nu },\qquad {\widetilde {g))_{55 }\equiv \phi ^{2}\,,

ahol az index megegyezés szerint az ötödik koordinátát jelöli, míg az első négy koordináta indexei 0, 1, 2 és 3. A megfelelő inverz metrika $5$

{\widetilde {g}}^{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g^{\mu \nu }&-A^{\mu }\\-A^{\nu }&g_{\ alfa \beta }A^{\alpha }A^{\beta }+{1 \over \phi ^{2}}\end{bmatrix}}\,.

Ez a bővítés meglehetősen általános, és minden kifejezés dimenzió nélküli. Kaluza ezután a standard általános relativitáselmélet apparátusát alkalmazza erre a mérőszámra . A téregyenletek az ötdimenziós Einstein-egyenletekből származnak , míg a mozgásegyenletek az ötdimenziós geodéziai hipotézisből származnak. A kapott téregyenletek általános relativitáselméleti és elektrodinamikai egyenleteket is adnak; a mozgásegyenletek megadják a geodéziai és a Lorentz-erő törvényének négydimenziós egyenletét [40] , és kiderül, hogy az elektromos töltést az ötödik dimenzióban történő mozgással azonosítják.

A metrikus hipotézis azt jelenti, hogy van egy invariáns ötdimenziós hosszúságú elem [39] : $\operatorname {d} \!s$

\operátornév {d} \!s^{2}\equiv {\widetilde {g}}_{ab}\operátornév {d} \!x^{a}\operátornév {d} \!x^{ b}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\operátornév {d} \!x^{\nu }+\phi ^{2}\left(A_{\nu }\operátornév {d} \ !x^{\nu }+\operátornév {d} \!x^{5}\right)^{2}\,.

Mezőegyenletek Kaluza sejtéséből

Az 5D-elmélet téregyenleteit Kaluza vagy Klein soha nem definiálta helyesen, mert figyelmen kívül hagyták a skalármezőt. A teljes Kaluza téregyenletek levezetését általában Thirynek [24] tulajdonítják, aki a téregyenleteket vákuumban szerezte meg. Kaluza [15] eredetileg az energia-impulzus tenzort írta ki elméletéhez, Thiry pedig belevette az energia-impulzus tenzort a disszertációjába. De ahogy Gonner [22] leírta , több független csoport dolgozott a téregyenleteken az 1940-es években és korábban. Thiry talán csak azért ismert a legismertebb, mert Applequist, Chodos és Freund ismertetőkönyvében [41] publikálta művének angol fordítását . Applequist és munkatársai Kaluza cikkének angol fordítását is kiadták. Jordan műveit nem fordították le angolra [26] [27] [29] . Az első helyes Kaluza mezőegyenleteket angolul, beleértve a skalármezőt is, Williams szerezte [35] .

Az 5D-s mezőegyenletek megszerzéséhez az 5D Christoffel-kapcsolati szimbólumokat az 5D-s metrikából , az 5D-s Ricci-tenzort pedig az 5D-s Christoffel-kapcsolat szimbólumokból számítjuk ki. ${\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}$ ${\widetilde {g}}_{ab}$ ${\widetilde {R}}_{ab}$

Thiry és más szerzők klasszikus eredményeit a hengeres feltétel alkalmazásával kaptuk:

{\partial {\widetilde {g}}_{ab} \over \partial x^{5}}=0

E feltevés nélkül a mezőegyenletek sokkal összetettebbé válnak, ami sokkal több szabadsági fokhoz vezet, amely különböző új mezőkkel azonosítható. Paul Wesson és munkatársai megpróbálták gyengíteni a hengeres feltételt, hogy további, anyagmezőkkel azonosítható kifejezéseket kapjanak [42] , amelyhez Kaluza [15] manuálisan beillesztette az energia-impulzus tenzort.

Kaluza eredeti ötletével szemben az volt az ellenvetés, hogy az ötödik dimenziót használja, de annak dinamikája nélkül. Thiry azonban azzal érvelt [22] , hogy a Lorentz-erő törvényének 5-dimenziós geodetikus értelmezése erősen ellentmond az ötödik dimenzió létezésének, függetlenül a hengeres állapottól. Ezért a legtöbb szerző a hengeres feltételt használta a mezőegyenletek származtatásánál. Ezenkívül általában vákuumegyenleteket feltételeznek, amelyekre

{\widetilde {R}}_{ab}=0

ahol

{\widetilde {R}}_{ab}\equiv \partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-\partial _{b}{\widetilde {\ Gamma }}_{ca}^{c}+{\widetilde {\Gamma }}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{d}-{\widetilde {\ Gamma }}_{bd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d}

és

{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}\equiv {1 \over 2}{\widetilde {g}}^{ad}\left(\partial _{b}{\widetilde {g}}_{dc}+\partial _{c}{\widetilde {g}}_{db}-\partial _{d}{\widetilde {g}}_{bc}\right)

A Thiry [24] és Jordan csoportja [26] [27] [29] által így kapott vákuumtéregyenleteket az alábbiakban írjuk le.

A mezőegyenlet a következőből származik $A^{\nu }$

{\widetilde {R}}_{55}=0\Rightarrow \Box \phi ={1 \over 4}\phi ^{3}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }

ahol , , és a standard négydimenziós kovariáns derivált. Az egyenlet azt mutatja, hogy az elektromágneses tér a skaláris tér forrása. Megjegyzendő, hogy a skaláris mező nem tételezhető fel állandónak anélkül, hogy az elektromágneses mezőre ne szabnánk megfelelő korlátozást. Kaluza és Klein korábbi értelmezései nem írták le megfelelően a skaláris teret, és nem vették figyelembe az elektromágneses tér ebből eredő kényszerét, állandó skalárteret feltételezve. ${\displaystyle F_{\alpha \beta }\equiv \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha ))$ ${\displaystyle \Box \equiv g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu ))$ $\nabla _{\mu }$

A négydimenziós Ricci-tenzor mezőegyenlete a következőből származik $R_{\mu \nu }$

{\widetilde {R}}_{5\alpha }=0={1 \over 2}g^{\beta \mu }\nabla _{\mu }\left(\phi ^{3}F_ {\alpha \beta }\right)

Ha a skaláris mező állandó, akkor a Maxwell-féle vákuumegyenlet alakja van.

{\begin{aligned}{\widetilde {R}}_{\mu \nu }-{1 \over 2}{\widetilde {g}}_{\mu \nu }{\widetilde {R} }&=0\Jobbra \\R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R&={1 \over 2}\phi ^{2}\left(g^{\ alfa \beta }F_{\mu \alpha }F_{\nu \beta }-{1 \over 4}g_{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right) +{1 \over \phi }\left(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\phi -g_{\mu \nu }\Box \phi \right)\end{igazított))

hol van a szabványos 4D Ricci skalár. $R$

Figyelemre méltó eredmény következik ebből az egyenletből, amelyet A. Salam „Kaluza csodájának” [43] nevezett – az elektromágneses tér energia-impulzus tenzorának pontos formája az 5D-s vákuumegyenletekből adódik, mint forrás a 4D-s egyenletekben – a mező. vákuumból. Egy másik csoda a mérőeszköz invarianciájának magyarázata [44] . Az elektromágneses tér energia-impulzus tenzorának formája lehetővé teszi, hogy végre azonosítsuk az elektromágneses vektorpotenciállal. Ehhez a mezőt a : transzformációs állandóval kell skálázni . A fenti összefüggés azt mutatja, hogy a konstansnak ilyen alakúnak kell lennie ${\displaystyle A^{\mu ))$ $k$ ${\displaystyle A^{\mu }\rightarrow kA^{\mu ))$

{k^{2} \over 2}={8\pi G \over c^{4}}{1 \over \mu _{0}}={2G \over c^{2}}{ 4\pi \epsilon _{0}}

ahol a gravitációs állandó és a szabad tér mágneses permeabilitása . Kaluza elméletében a gravitációs állandó egy metrikus elektromágneses csatolási állandóként értelmezhető. Létezik egy skaláris mező energia-impulzus tenzora is. A skaláris tér változó gravitációs állandóként viselkedik az elektromágneses tér energia-impulzus tenzorának a téridő görbületével való kapcsolatának modulálása szempontjából. A metrikában szereplő előjel a 4D elméletnek megfelelően van rögzítve, így az elektromágneses energiasűrűségek pozitívak. Gyakran feltételezik, hogy az ötödik koordináta a metrikában szereplő aláírásában térszerű. $G$ $\mu_{0}$ $\phi ^{2}$

Anyag jelenlétében az 5D vákuumfeltétel megsérül. Valóban, Kaluza nem számított erre. A teljes mezőegyenletekhez az 5D Einstein-tenzor kiszámítása szükséges

{\widetilde {G}}_{ab}\equiv {\widetilde {R}}_{ab}-{1 \over 2}{\widetilde {g}}_{ab}{\widetilde {R }}

amint az az elektromágneses tér energia-impulzus tenzorának fenti rekonstrukciójából látható. Az 5D görbületi tenzorok összetettek, és a legtöbb angol nyelvű áttekintés az angol fordításukban vagy azokkal megegyező hibákat tartalmaz [24] . Lásd Williams [35] az 5D görbületi tenzorok teljes készletét egy tenzoralgebra programmal kiszámított hengeres feltétellel. ${\widetilde {G}}_{ab}$ ${\widetilde {R}}_{ab}$

Mozgásegyenletek Kaluza hipotéziséből

A mozgásegyenletek az ötdimenziós geodéziai hipotézisből [15] származnak az 5 sebességre vonatkozóan : ${\widetilde {U}}^{a}\equiv dx^{a}/ds$

{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {\nabla }}_{b}{\widetilde {U}}^{a}={d{\widetilde {U}}^{a } \over ds}+{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}=0

Ez az egyenlet többféleképpen átalakítható, és különféle formákban tanulmányozták olyan szerzők, mint Kaluza [15] , Pauli [45] , Gross és Perry [46] , Hegenberg és Kunstatter [47] , valamint Wesson és Ponce de Leon [48 ]. ] . de a jobb megértés érdekében hasznos visszaváltani a szokásos 4-dimenziós hosszúságú elemre , amely az 5-dimenziós hosszúságú elemhez kapcsolódik , a fentiek szerint: ${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}\equiv g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu ))$ $ds$

ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}+\phi ^{2}\left(kA_{\nu }dx^{\nu }+dx^{5}\right )^{2}

Ekkor felírható az 5D geodéziai egyenlet [49] a 4-es sebesség tér-időbeli komponenseire,

{\begin{aligned}&U^{\nu }\equiv {dx^{\nu } \over d\tau }\\&{dU^{\nu } \over d\tau }+{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }+2{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu } U^{\alpha }U^{5}+{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }\left(U^{5}\right)^{2}+U^{\mu }{d \over d\tau }\ln \left({cd\tau \over ds}\right)=0\end{igazított}}

Egy négyzetes kifejezés ,-ben egy 4D geodéziai egyenletet és néhány elektromágneses kifejezést eredményez: ${\displaystyle U^{\nu ))$

{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{1 \over 2}g^{\mu \nu }k^{2}\phi ^{2}\left(A_{\alpha }F_{\beta \nu }+A_{\beta }F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }A_{ \beta }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}\right)

A lineáris kifejezés a Lorentz-erő törvényéhez vezet : ${\displaystyle U^{\nu ))$

{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }={1 \over 2}g^{\mu \nu }k\phi ^{2}\left(F_{\ alfa \nu }-A_{\alpha }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}\right)

Ez egy másik kifejezése a "Kaluza csodának". Ugyanez az 5D metrika hipotézise, amely az elektromágneses mező energia-impulzus tenzorát állítja elő az Einstein-egyenletekben, megadja a Lorentz-erőtörvényt is a mozgásegyenletben a 4D geodéziai egyenlettel együtt. A Lorentz-erőtörvény betartása azonban megköveteli, hogy az ötödik dimenzió mentén az 5 sebességű komponenst azonosítsák az elektromos töltéssel:

kU^{5}=k{\frac {dx^{5}}{d\tau }}\rightarrow {q \over mc}

ahol a részecske tömege és a részecske elektromos töltése. Így elektromos töltés alatt az ötödik dimenzió mentén történő mozgást értjük. Az a tény, hogy a Lorentz-féle erőtörvény 5 dimenziós geodetikusként is felfogható, Kaluzának a fő motivációja volt az 5 dimenziós hipotézis mérlegelésére még az esztétikailag kellemetlen hengeres állapot mellett is. $m$ $q$

De van egy probléma: a kifejezés, amely másodfokú -ben , az egyenlethez vezet $U^{5}$

{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }=-{1 \over 2}g^{\mu \alpha }\partial _{\alpha }\phi ^{2}

Ha a skalármezőben nincs gradiens, akkor a négyzetes kifejezés eltűnik. De egyébként a fenti kifejezésből az következik $U^{5}$

{\displaystyle U^{5}\sim c{q/m \over G^{\frac {1}{2))))

Az elemi részecskékhez . A másodfokú in kifejezésnek dominálnia kell az egyenletben, esetleg ellentmondva a kísérleti tényeknek. Ez volt az 5-dimenziós elmélet fő hiányossága, ahogy Kaluza [15] látta , amit eredeti tanulmányában is figyelembe vett. Yu. S. Vladimirov az elmélet következő hiányosságait emeli ki: a metrikus tenzor ötödik komponensének és -komponensének fizikai jelentése nem világos; a hengeres állapot oka nem világos; egy ilyen unió formális, és nem ad új, kísérletileg ellenőrizhető előrejelzéseket és másokat [50] . $U^{5}>{\rm {10}}^{20}c$ $U^{5}$ $G_{55}$

A for mozgásegyenlet különösen leegyszerűsödik hengeres feltétel esetén. Kezdjük a geodéziai egyenlet egy alternatív formájával, amelyet 5-ös kovariáns sebességre írtunk fel: $U^{5}$

{d{\widetilde {U}}_{a} \over ds}={1 \over 2}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}{ \partial {\widetilde {g}}_{bc} \over \partial x^{a}}

Ez azt jelenti, hogy a hengeres állapotot figyelembe véve az 5-dimenziós mozgás állandója: ${\widetilde {U}}_{5}$

{\widetilde {U}}_{5}={\widetilde {g}}_{5a}{\widetilde {U}}^{a}=\phi ^{2}{cd\tau \over ds}\left(kA_{\nu }U^{\nu }+U^{5}\right)={\rm {konstans))

Kaluza hipotézise az anyag energia-impulzus tenzoráról

Kaluza [15] az 5D anyag energia-impulzus tenzor alakban történő használatát javasolta ${\widetilde {T}}_{M}^{ab}$

{\widetilde {T}}_{M}^{ab}=\rho {dx^{a} \over ds}{dx^{b} \over ds}

ahol a fent meghatározott sűrűség és hosszelem . $\rho$ $ds$

Ekkor a tér-idő komponens megadja a poros anyag tipikus energia-impulzus tenzorát :

{\widetilde {T}}_{M}^{\mu \nu }=\rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}

A vegyes rész 4 áramforrásként szolgál a Maxwell-egyenletekhez:

{\widetilde {T}}_{M}^{5\mu }=\rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{5} \over ds}=\rho U^{ \mu }{q \over kmc}

Ahogy az ötdimenziós metrika tartalmaz egy 4 dimenziós metrikát, amelyet elektromágneses vektorpotenciál keretez, az 5 dimenziós energia-impulzus tenzor tartalmaz egy 4 dimenziós energia-impulzus tenzort, amelyet egy 4-áram vektor keretez.

Klein kvantumértelmezése

Kaluza eredeti hipotézise tisztán klasszikus és kiterjesztett általános relativitáselmélet volt. Klein közreműködésének idejére Heisenberg, Schrödinger és de Broglie felfedezései nagy figyelmet keltettek. Klein Nature című tanulmánya [18] azt sugallja, hogy az ötödik dimenzió zárt és periodikus, és hogy az elektromos töltés azonosítása a mozgással az ötödik dimenzióban olyan állóhullámokként értelmezhető, amelyek hullámhossza hasonló az atommag körüli elektronokhoz a Bohr-modellben. egy atom. Ekkor az elektromos töltés kvantálása jól megérthető lenne az ötdimenziós impulzus egész számú többszörösével. Kaluza korábbi , elektromos töltésre vonatkozó eredményét és de Broglie impulzus-relációját kombinálva Klein levezette az ilyen hullámok 0. módusának kifejezését: $\lambda ^{5}$ $U^{5}$ $p^{5}=h/\lambda ^{5}$

mU^{5}={cq \over G^{\frac {1}{2}}}={h \over \lambda ^{5}}\quad \Rightarrow \quad \lambda ^{5} \sim {hG^{\frac {1}{2}} \over cq}

hol van Planck állandója. Klein cm-t, és így magyarázatot talált a hengeres állapotra ilyen kis értéknél. $h$ $\lambda ^{5}\sim {\rm {10}}^{-30}$

Klein cikke a Zeitschrift für Physik -ben ugyanebben az évben [17] ad részletesebb tárgyalást, amely kifejezetten Schrödinger és de Broglie módszereit használja. Kaluza fentebb leírt klasszikus elméletének nagy részét reprodukálta, majd áttért Klein kvantumértelmezésére. Klein a Schrödingeréhez hasonló hullámegyenletet oldott meg egy zárt, kompakt ötödik dimenzióban rezonáló ötdimenziós hullámok kiterjesztésével.

A csoportelmélet értelmezése

1926-ban Oskar Klein azt javasolta, hogy a negyedik térbeli dimenziót egy nagyon kis sugarú körbe vonják be , így a tengely mentén kis távolságot mozgó részecske visszatér a kiindulási ponthoz. Azt a távolságot, amelyet egy részecske megtehet, mielőtt eléri a kezdeti helyzetét, dimenzió méretének nevezzük. Ez az extra méret egy kompakt készlet , és ennek a kompakt méretnek a felépítését tömörítésnek nevezik .

A modern geometriában az extra ötödik dimenzió az U(1) csoportként értelmezhető , mivel az elektromágnesesség lényegében úgy fogalmazható meg, mint egy kötegen lévő mérőműszer elmélet , egy köteg a körön , az U(1) mérőcsoporttal . A Kaluza-Klein elméletben ez a csoport azt feltételezi, hogy a szelvény szimmetriája a kör alakú kompakt terek szimmetriája. Ha ezt a geometriai értelmezést elfogadjuk, viszonylag könnyen megváltoztatható, hogy U(1) egy általános Lie-csoport . Az ilyen általánosításokat gyakran Yang-Mills elméleteknek nevezik . Ha különbséget teszünk, akkor a Yang-Mills elméletek lapos téridőben merülnek fel, míg Kaluza-Klein a görbült téridő általánosabb esetét veszi figyelembe. A Kaluza-Klein elmélet alapterének nem kell négydimenziós téridőnek lennie; lehet bármilyen ( pszeudo ) Riemann-sokaság , szuperszimmetrikus sokaság, orbifold vagy akár nem kommutatív tér .

A konstrukció nagyjából a következőképpen írható le [51] . Kezdjük azzal, hogy figyelembe veszünk egy P fő köteget egy G mérőcsoporttal az M elosztó felett . Ha a kötegen van egy kapcsolat , egy mérőszám az alapelosztón, és egy mérőeszköz-invariáns metrika az egyes szálak érintőjén, akkor köteget állíthatunk össze. a teljes csomagon meghatározott metrika . Ennek a kötegmetrikának a skaláris görbületét kiszámítva azt találjuk, hogy minden rétegen állandó: ez a „Kaluza csodája”. Nem kellett kifejezetten hengeres feltételt előírni vagy tömöríteni: feltételezzük, hogy a szelvénycsoport már tömör. Ezután ezt a skaláris görbületet a Lagrange sűrűségének tekintjük, és ebből kiindulva megszerkesztjük a köteg egészére vonatkozó Einstein-Hilbert akciót . A mozgásegyenleteket, az Euler-Lagrange egyenleteket a szokásos módon kaphatjuk meg, ha egy stacionárius műveletet veszünk figyelembe akár a metrika változásaira az alatta lévő elosztón, akár a mérőkapcsolaton. Az alapmetrikához viszonyított eltérések megadják az Einstein-téregyenleteket az alapsokaton, ahol az energia-impulzus tenzort a mérőkapcsolat görbülete adja meg . Másrészt, a művelet stacionárius a mérőreláció változásaihoz képest, pontosan akkor, ha a szelvény reláció a Yang-Mills egyenlet megoldása . Így egyetlen gondolatot alkalmazva: a legkisebb hatás elvét egyetlen mennyiségre: a skaláris görbületet a kötegen (mint egészben), egyszerre megkaphatjuk az összes szükséges téregyenletet mind a téridőre, mind a mérőmezőre.

Az egyesítő erők megközelítéseként könnyen alkalmazható a Kaluza-Klein elmélet a gravitáció erős és elektrogyenge erőkkel történő egyesítésére a Standard Modell SU(3) × SU(2) × U(1) szimmetriacsoportjával. . Az a kísérlet azonban, hogy ezt az érdekes geometriai konstrukciót a valóság teljes értékű modelljévé alakítsák, számos nehézség miatt kudarcot vall, többek között azért, mert a fermionokat mesterségesen (nem szuperszimmetrikus modellekben) kell bevezetni. Mindazonáltal a Kaluza-Klein elmélet továbbra is az elméleti fizika fontos próbaköve, és gyakran beépítik bonyolultabb elméletekbe. A K-elmélet geometriai érdeklődésre számot tartó tárgyaként önmagában tanulmányozza .

Még az elméleti fizika teljesen kielégítő alapjainak hiányában is jelentős érdeklődés övezi a kísérleti és asztrofizikus közösségeket az extra, tömörített méretek feltárásának gondolata . Számos előrejelzés készíthető valós kísérleti vonatkozásokkal ( nagy extra dimenziók és torz modellek esetén ). Például a legegyszerűbb elvek alapján további tömörített dimenzióban vagy méretekben várható állóhullámok . Ha az extra térbeli dimenzió R sugarú , akkor az ilyen állóhullámok invariáns tömege M n = nh / Rc lesz, ahol n egy egész szám , h Planck - állandó és c a fénysebesség . Ezt a lehetséges tömegérték-készletet gyakran Kaluza-Klein toronynak nevezik . Hasonlóképpen, a kvantumtérelméletben nullától eltérő hőmérsékleteken az euklideszi idődimenzió tömörítése Matsubara-frekvenciákhoz , és így diszkrét hőenergia-spektrumhoz vezet.

Klein kvantumelméleti megközelítése azonban hibás, és például a Planck-tömeg nagyságrendjének megfelelő számított elektrontömeghez vezet [52] .

Az elmélet kísérletileg igazolható implikációi közé tartozik a CDF együttműködés munkája , amely a részecskeütközők adatait újraelemezve azonosította a nagy extra dimenziókhoz és deformált modellekhez kapcsolódó hatásokat .

Brandenberger és Wafa azt javasolta, hogy a korai univerzumban a kozmikus infláció hatására három térbeli dimenzió kozmológiai dimenziókra bővült, míg a fennmaradó térdimenziók mikroszkopikusak maradtak.

Tér-idő-anyag elmélet

A Kaluza-Klein elmélet egy sajátos változatát, amelyet tér-idő-anyag- elméletként vagy indukált anyag-elméletként ismernek, főként Paul Wesson és a Tér-Idő-anyag Konzorcium [53] más tagjai kutatták . Az elmélet ezen változata megjegyzi, hogy az egyenlet megoldásai

{\widetilde {R}}_{ab}=0

újrafogalmazható úgy, hogy ezek a megoldások négy dimenzióban kielégítenék az Einstein-egyenleteket

G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,

a pontos T μν alakkal , amely a Ricci -tenzor ötdimenziós térben való eltűnésének feltételéből következik . Más szóval, a hengeres feltételt nem használjuk, és most az energia-impulzus tenzort az 5D metrika deriváltjaiból kapjuk az ötödik koordinátára vonatkozóan. Mivel az energia-impulzus tenzort általában négydimenziós térben, anyaggal együtt tekintjük, a fenti eredmény az ötdimenziós tér geometriája által indukált négydimenziós anyagként értelmezhető.

Különösen a szoliton megoldások tartalmazzák a Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metrikát mind a sugárzás által dominált formában (korai univerzum), mind az anyag által uralt formákban (késői univerzum). Kimutatható, hogy az általános egyenletek kellően megegyeznek az általános relativitáselmélet klasszikus tesztjeivel ahhoz, hogy elfogadhatóak legyenek a fizikai elvek szempontjából, miközben továbbra is jelentős mozgásteret engednek meg az érdekes kozmológiai modellek kiválasztásában . ${\widetilde {R}}_{ab}=0$

Geometriai értelmezés

A Kaluza-Klein elmélet geometriailag különösen elegáns kifejtéssel rendelkezik. Bizonyos értelemben ez hasonló a szabad térben lévő közönséges gravitációhoz , azzal a különbséggel, hogy négy dimenzió helyett öt dimenzióban fejeződik ki.

Einstein-egyenletek

A szabad térben a közönséges gravitációt leíró egyenleteket a cselekvésből úgy kaphatjuk meg, hogy egy bizonyos cselekvésre alkalmazzuk a variációs elvet . Legyen M egy ( pszeudo ) Riemann-féle sokaság , amely az általános relativitáselmélet téridejének tekinthető . Ha g egy metrika ezen a sokaságon, akkor az S ( g ) műveletet a következőképpen határozzuk meg

S(g)=\int _{M}R(g)\mathrm {vol} (g)\,

ahol R ( g ) a skaláris görbület és vol( g ) a térfogatelem . A variációs elv alkalmazása a cselekvésre

{\frac {\delta S(g)}{\delta g))=0

pontosan megkapjuk az Einstein-egyenleteket a szabad térre:

R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=0

ahol R ij a Ricci tenzor .

Maxwell-egyenletek

Ezzel szemben az elektromágnesességet leíró Maxwell-egyenletek egy U(1) fő U(1)-köteg vagy körköteg Hodge -egyenleteként értelmezhetők U(1 ) szállal . Ez azt jelenti, hogy az elektromágneses tér harmonikus 2-forma az elosztón lévő differenciálható 2-forma terében . Töltések és áramok hiányában a Maxwell-egyenletek szabad mezőben a következő alakkal rendelkeznek $\pi :P\to M$ $F$ $\Omega ^{2}(M)$ $M$

\mathrm {d} F=0\quad {\text{and))\quad \mathrm {d} {\star }F=0.

hol van a Hodge csillag . $\star$

Kaluza-Klein geometriája

A Kaluza-Klein elmélet megalkotásához egy invariáns metrikát választunk a körön , azaz az elektromágnesesség U(1)-kötegének szálán. Ebben a megbeszélésben az invariáns metrika egyszerűen olyan metrika, amely körforgások alatt invariáns. Tegyük fel, hogy ez a mérőszám megadja a kör teljes hosszát . Ezután a rendszer figyelembe veszi a köteg azon mérőszámait , amelyek összhangban vannak a szál metrikával és az alapul szolgáló elosztó metrikájával is . Konzisztencia feltételek: $S^{1}$ $\lambda$ ${\widehat {g))$ $P$ $M$

A függőleges altérbe történő vetítésnek összhangban kell lennie az elosztó pontja feletti réteg metrikájával . ${\widehat {g))$ ${\mbox{Vert}}_{p}P\subset T_{p}P$ $M$
Az érintőtér vízszintes alterébe való vetítésnek egy pontban izomorfnak kell lennie a ponton lévő metrikával . ${\widehat {g))$ ${\mbox{Hor}}_{p}P\subset T_{p}P$ $p\in P$ $g$ $M$ $\pi (P)$

A Kaluza-Klein műveletet egy ilyen mérőszámhoz a

S({\widehat {g)))=\int _{P}R({\widehat {g)))\;{\mbox{vol))({\widehat {g)))\,

A komponensekbe írt skaláris görbület ezután a következőre bővül

R({\widehat {g)))=\pi ^{*}\left(R(g)-{\frac {\Lambda ^{2}}{2}}\vert F\vert ^{ 2}\jobbra),

ahol a szálköteg vetületének kodifferenciális . A köteg rétegén lévő kapcsolat az elektromágneses tér tenzorához kapcsolódik $\pi ^{*}$ $\pi :P\to M$ $A$

\pi ^{*}F=\mathrm {d} A

Az, hogy ilyen kapcsolat mindig létezik, még tetszőlegesen összetett topológiájú kötegeknél is, a homológia és különösen a K-elmélet eredménye . A Fubini-tételt alkalmazva a rétegre integrálva megkapjuk

S({\widehat {g)))=\Lambda \int _{M}\left(R(g)-{\frac {1}{\Lambda ^{2))}\vert F\vert ^{2}\jobbra)\;{\mbox{vol}}(g)

A műveletet a komponenshez képest változtatva a Maxwell-egyenletekhez jutunk. A variációs elvet az alapmetrikára alkalmazva megkapjuk az Einstein-egyenleteket $A$ $g$

R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R={\frac {1}{\Lambda ^{2}}}T_{ij}

a megadott energia-impulzus tenzorral

T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{\frac {1}{4}}g^{ij}\vert F\vert ^{2},

amelyet néha Maxwell-féle feszültségtenzornak is neveznek .

Az eredeti elmélet egy rétegmetrikával határozza meg , és lehetővé teszi, hogy rétegenként változzon. Ebben az esetben a gravitáció és az elektromágneses tér közötti kapcsolat nem állandó, hanem megvan a maga dinamikus tere - radionikus . $\lambda$ $g_{55}$ $\lambda$

Általánosítások

Fent a hurok mérete csatolási állandóként működik a gravitációs tér és az elektromágneses tér között. Ha az alapelosztó négydimenziós, akkor a Kaluza-Klein P elosztó ötdimenziós. Az ötödik dimenzió egy kompakt tér , amelyet kompakt dimenziónak neveznek . A kompakt méretek bevezetésének módszerét többdimenziós elosztócső előállításához tömörítésnek nevezzük . A tömörítés nem hajt végre csoportos műveleteket királis fermionokon, kivéve nagyon speciális eseteket: a teljes tér méretének 2 mod 8-nak kell lennie, és a kompakt tér Dirac operátorának G-indexének nullától eltérőnek kell lennie [54] . $\lambda$

A fenti fejlemény többé-kevésbé közvetlenül általánosít az általános fő G -kötegekre néhány tetszőleges Lie csoportra , amely az U(1) helyét foglalja el . Ebben az esetben az elméletet gyakran Yang-Mills elméletnek nevezik . Ha a mögöttes sokaság szuperszimmetrikus , akkor a kapott elmélet egy szuperszimmetrikus Yang–Mills elmélet.

Kísérleti ellenőrzés

Nem érkeztek hivatalos jelentések további dimenziók kísérleti vagy megfigyelési jeleiről. Számos elméleti keresési módszert javasoltak a Kaluza–Klein rezonanciák kimutatására az ilyen rezonanciák és a felső kvark tömeges kölcsönhatásának felhasználásával . Ilyen rezonanciák megfigyelése azonban a Nagy Hadronütköztetőnél nem valószínű. Az LHC-eredmények 2010 decemberi elemzése erősen korlátozza az elméleteket, nagy többletdimenziókkal [55] .

A Higgs-típusú bozon megfigyelése az LHC-ben új empirikus tesztet hoz létre, amely Kaluza-Klein rezonanciák és szuperszimmetrikus részecskék keresésében alkalmazható. A Higgs-kölcsönhatásokban létező Loop Feynman diagramok lehetővé teszik, hogy bármely elektromos töltésű és tömegű részecske mozogjon egy ilyen hurok mentén. A felső kvarkon és a W -bozonon kívüli Standard Modell részecskék nem járulnak hozzá nagy mértékben a H → γγ -ban megfigyelt keresztmetszethez , de ha új részecskék jelennek meg a Standard Modellen kívül, akkor potenciálisan megváltoztathatják a megjósolt H → γγ szabványos modell arányát. a kísérletileg megfigyelt szakaszra. Ezért a H → γγ szabványos modell által előre jelzett hirtelen változásának mérése kritikus fontosságú a fizika határain túlmutató tanulmányozása szempontjából.

Egy másik, 2018 júliusában megjelent cikk [56] némi reményt ad ehhez az elmélethez; a cikkben vitatják, hogy a gravitáció magasabb dimenziókba is behatol, mint a bránelméletben. A cikk azonban azt mutatja, hogy az elektromágneses térnek és a gravitációnak ugyanannyi dimenziója van, és ez a tény megerősíti a Kaluza-Klein elméletet; hogy a dimenziók száma valójában 3 + 1 vagy valójában 4 + 1, az további vita tárgya.

Lásd még

Univerzális kiegészítő méretek

Jegyzetek

↑ A. A. Sztarobinszkij. Kaluza - Klein elmélet // Fizikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1990. - T. 2: Minőségi tényező - Magneto-optika. - 704 p. — 100.000 példány. — ISBN 5-85270-061-4 .
↑ Kalutsy - Klein elmélet / A. A. Starobinsky // Great Russian Encyclopedia [Elektronikus forrás]. – 2004.
↑ Vladimirov, 2009 , p. tizenegy.
↑ Vladimirov, 2009 , p. tizenöt.
↑ Vladimirov, 2009 , p. 16.
↑ Vladimirov, 2009 , p. 17.
↑ Vladimirov, 2009 , p. 19.
↑ Vladimirov, 2009 , p. 21-22.
↑ Wesson, 2006 , p. egy.
↑ Wesson, 2006 , p. 1-2.
↑ Overduin & Wesson, 1997 , p. 307.
↑ Nordström, Gunnar (1914). „A gravitációs és elektromágneses mezők egyesítésének lehetőségéről”. Phys. Zeitschr . 15 , 504-506. arXiv : physics/0702221 .
↑ Keskinen, Raimo. Gunnar Nordström & Suomen Einstein (fin.) (nem elérhető link) (2007. június 25.). Letöltve: 2021. július 10. Az eredetiből archiválva : 2016. március 3.
↑ Pais, Ábrahám. Finom az Úr...: Albert Einstein tudománya és élete . - 1982. - P. 329-330 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Kaluza, Theodor (1921). „Zum Unitätsproblem in der Physik”. Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. (Math. Phys.) : 966-972. Bibcode : 1921SPAW.......966K .
↑ Wesson, 2006 , p. 3-4.
↑ 1 2 Klein, Oskar (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift fur Physik A . 37 (12): 895-906. Bibcode : 1926ZPhy...37..895K . DOI : 10.1007/BF01397481 .
↑ 1 2 3 Klein, Oskar (1926). "Az elektromosság atomitása mint kvantumelméleti törvény." természet . 118 (2971): 516. Bibcode : 1926Natur.118..516K . DOI : 10.1038/118516a0 .
↑ 12. Wesson , 2006 , p. 5.
↑ Overduin & Wesson, 1997 , p. 308.
↑ Wesson, 2006 , p. 6.
↑ 1 2 3 Goenner, H. (2012). "Néhány megjegyzés a skalár-tenzor elméletek geneziséhez." Általános relativitáselmélet és gravitáció . 44 (8): 2077-2097. arXiv : 1204.3455 . Iránykód : 2012GReGr..44.2077G . DOI : 10.1007/s10714-012-1378-8 .
↑ Lichnerowicz, A. (1947). „Problèmes de calcul des variations liés à la dynamique classicique et à la théorie unitaire du champ.” Compt. Rend. Acad. sci. Párizs . 224 , 529-531.
↑ 1 2 3 4 Thiry, Y. (1948). "Les équations de la theorie unitaire de Kaluza". Compt. Rend. Acad. sci. Párizs . 226 , 216-218.
↑ Thiry, Y. (1948). „Sur la regularité des champs gravitationnel et electromagnétique dans les theories unitaires”. Compt. Rend. Acad. sci. Párizs . 226 , 1881-1882.
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1946). „Relativistische Gravitationstheorie mit variabler Gravitationskonstante”. Naturwissenschaften . 11 (8): 250-251. Bibcode : 1946NW.....33..250J . DOI : 10.1007/BF01204481 .
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1947). "Über die Feldgleichungen der Gravitation bei variabler "Gravitationslonstante " ". Z.Naturforsch . 2a (1): 1-2. Bibcode : 1947ZNatA...2...1J . DOI : 10.1515/zna-1947-0102 .
↑ Ludwig, G. (1947). „Der Zusammenhang zwischen den Variationsprinzipien der projektiven und der vierdimensionalen Relativitätstheorie” . Z.Naturforsch . 2a (1): 3-5. Bibcode : 1947ZNatA...2....3L . DOI : 10.1515/zna-1947-0103 . Archiválva az eredetiből, ekkor: 2020-10-04 . Letöltve: 2021-07-10 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1948). Funfdimensionale Kosmologie. Astron. Nachr . 276 (5-6): 193-208. Bibcode : 1948AN....276..193J . DOI : 10.1002/asna.19482760502 .
↑ Ludwig, G. (1948). "Ein Modell des Kosmos und der Sternentstehung". Annalen der Physik . 2 (6): 76-84. Bibcode : 1948AnP...437...76L . DOI : 10.1002/andp.19484370106 .
↑ Scherrer, W. (1941). "Bemerkungen zu meiner Arbeit: "Ein Ansatz für die Wechselwirkung von Elementarteilchen " ". Helv. Phys. Acta . 14 (2):130.
↑ Scherrer, W. (1949). „Über den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Matriefeld”. Helv. Phys. Acta . 22 , 537-551.
↑ Scherrer, W. (1950). „Über den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Matriefeld (2. Mitteilung)”. Helv. Phys. Acta . 23 , 547-555.
↑ Brans, CH (1961. november 1.). „Mach-elv és a gravitáció relativisztikus elmélete” . Fizikai áttekintés . 124 (3): 925-935. Bibcode : 1961PhRv..124..925B . DOI : 10.1103/PhysRev.124.925 .
↑ 1 2 3 Williams, LL (2015). „Tenzoralgebra szoftverrel kiértékelt Kaluza-metrika mezőegyenletek és Lagrange-féle” (PDF) . Journal of Gravity . 2015 . DOI : 10.1155/2015/901870 . Archivált (PDF) az eredetiből ekkor: 2021-06-30 . Letöltve: 2021-07-10 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
↑ Ferrari, JA (1989). „Egy töltött objektum hozzávetőleges megoldásáról és a Kaluza-Klein elmélet kísérleti bizonyítékairól”. Gen. relatív. Gravit . 21 (7). Bibcode : 1989GReGr..21..683F . DOI : 10.1007/BF00759078 .
↑ Coquereaux, R. (1990). „Kaluza-Klein-Jordan-Thiry elmélete újragondolva”. Annales de l'Institut Henri Poincare . 52 .
↑ Williams, LL (2020). „Mezőegyenletek és a Kaluza energia-impulzus tenzor Lagrange”. Előrelépések a matematikai fizika terén . 2020 . DOI : 10.1155/2020/1263723 .
↑ 12. Wesson , 2006 , p. 13.
↑ Wesson, 2006 , p. tizennégy.
↑ Appelquist, Thomas. Modern Kaluza–Klein elméletek / Thomas Appelquist, Chodos, Alan, Freund, Peter GO. – Menlo Park, Cal. : Addison-Wesley, 1987. - ISBN 978-0-201-09829-7 .
↑ Wesson, Paul S. Tér–Idõ–Anyag, Modern Kaluza–Klein elmélet . - Szingapúr: World Scientific, 1999. - ISBN 978-981-02-3588-8 .
↑ Vladimirov, 2012 , p. 16.
↑ Nugayev Rinat M. Tér-idő dimenziós probléma mint az inflációs kozmológia botlásköve // Metauniverzum, tér, idő / Vadim V. Kazutinsky, Elena A. Mamchur, Alexandre D. Panov & VD Erekaev (szerk.). - RAS Filozófiai Intézet, 2013. - P. 52-73. (Orosz)
↑ Pauli, Wolfgang. Relativitáselmélet . - 1958. - P. 23. melléklet.
↑ Gross, DJ (1983). "Mágneses monopólusok a Kaluza-Klein elméletekben". Nucl. Phys. b . 226 (1): 29-48. Bibcode : 1983NuPhB.226...29G . DOI : 10.1016/0550-3213(83)90462-5 .
↑ Gegenberg, J. (1984). „A töltött részecskék mozgása a Kaluza–Klein tér–időben”. Phys. Lett . 106A (9). Bibcode : 1984PhLA..106..410G . DOI : 10.1016/0375-9601(84)90980-0 .
↑ Wesson, PS (1995). „A mozgásegyenlet a Kaluza–Klein kozmológiában és következményei az asztrofizikára.” Csillagászat és asztrofizika . 294 . Bibcode : 1995A&A...294....1W .
↑ Williams, LL (2012). "A téridő és a gravitáció elektromágneses szabályozásának fizikája" . A 48. AIAA Joint Propulsion Conference anyaga . AIAA 2012-3916. DOI : 10.2514/6.2012-3916 .
↑ Vladimirov, 1987 , p. 45-46.
↑ David Bleecker, " Guge Theory and Variational Principles Archivált : 2021. július 9. a Wayback Machine -nél " (1982) D. Reidel Publishing (Lásd a 9. fejezetet )
↑ Ravndal, F., Oskar Klein és az ötödik dimenzió, arXiv:1309.4113 [physics.hist-ph]
↑ 5Dstm.org . Letöltve: 2021. július 10. Az eredetiből archiválva : 2013. augusztus 21. (határozatlan)
↑ L. Castellani et al., Supergravity and superstrings, 2. kötet, V.11. fejezet
↑ CMS Collaboration, "Mikroszkópos fekete lyuk aláírások keresése a nagy hadronütköztetőnél", https://arxiv.org/abs/1012.3375 Archiválva : 2017. augusztus 10. a Wayback Machine -nél
↑ A téridő dimenziók számának korlátai a GW170817 -ből , https://arxiv.org/abs/1801.08160 Archiválva : 2019. november 3. a Wayback Machine -nél

Irodalom

Vladimirov Yu. S. A fizikai tér-idő dimenziója és a kölcsönhatások társulása. - M. : Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1987. - 215 p.
Vladimirov Yu. S. A gravitáció klasszikus elmélete. - M . : Knizhny dom LIBROKOM, 2009. - 264 p. - ISBN 978-5-397-00884-6 .
Vladimirov Yu. S. Geometrofizika. - 2. kiadás, Rev. - M . : Binom. Tudáslaboratórium, 2012. - 536 p. - ISBN 978-5-9963-0303-8 .
Hodos, A. Kaluza-Klein elméletek: általános áttekintés // Phys . - 1985. - T. 146 . - S. 647-654 . - doi : 10.3367/UFNr.0146.198508d.0647 .
Wesson, Paul S. Ötdimenziós fizika: a Kaluza-Klein kozmológia klasszikus és kvantumkövetkezményei . — Hackensack, NJ: World Scientific, 2006. — ISBN 9812566619 .
Overduin JM, Wesson PS Kaluza-Klein gravitáció // Fizikai jelentések. - 1997. - T. 283 . - S. 303-378 . - doi : 10.1016/S0370-1573(96)00046-4 . - arXiv : gr-qc/9805018 .
Kaluza, Theodor (1921). „Zum Unitätsproblem in der Physik”. Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. (Math. Phys.) : 966-972. Bibcode : 1921SPAW.......966K . https://archive.org/details/sitzungsberichte1921preussi
Klein, Oskar (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift fur Physik A . 37 (12): 895-906. Bibcode : 1926ZPhy...37..895K . DOI : 10.1007/BF01397481 .
Witten, Edward (1981). „Reális Kaluza–Klein elmélet keresése”. Nukleáris fizika B . 186 (3): 412-428. Bibcode : 1981NuPhB.186..412W . DOI : 10.1016/0550-3213(81)90021-3 .
Duff, MJ Kaluza–Klein elmélet perspektívában // Az Oskar Klein centenáriumának szimpózium anyaga / Lindström, Ulf. - Singapore : World Scientific, 1994. - P. 22–35. — ISBN 978-981-02-2332-8 .
Overduin, JM (1997). Kaluza-Klein Gravitáció. Fizikai jelentések . 283 (5): 303-378. arXiv : gr-qc/9805018 . Bibcode : 1997PhR...283..303O . DOI : 10.1016/S0370-1573(96)00046-4 .
Wesson, Paul S. Ötdimenziós fizika: A Kaluza–Klein kozmológia klasszikus és kvantumkövetkezményei . - Szingapúr: World Scientific, 2006. - ISBN 978-981-256-661-4 .
A CDF Együttműködés, Extra dimenziók keresése a hiányzó energia felhasználásával a CDF-nél , (2004 )
John M. Pierre Extra Dimensions , (2003).
Chris Pope, Előadások a Kaluza–Klein elméletről .
Edward Witten (2014). "Megjegyzés Einsteinről, Bergmannról és az ötödik dimenzióról", arXiv : 1401.8048
Lee Smolin baj a fizikával: A húrelmélet felemelkedése, a tudomány hanyatlása és azon túl

A gravitáció elméletei

A gravitáció standard elméletei

Alternatív gravitációs elméletek

A gravitáció kvantumelmélete

Egységes mezőelméletek

klasszikus fizika

Newton gravitációs elmélete

Relativisztikus fizika

Általános relativitáselmélet
- Matematikai megfogalmazás
- Hamiltoni megfogalmazás

Alapelvek

Klasszikus

Relativisztikus

Többdimenziós

Húrok

Egyéb

Mindennek kivételesen egyszerű elmélete

Fizika a standard modellen túl
Bizonyíték	A szelvényhierarchia problémája Sötét anyag sötét energia A kozmológiai állandó problémája Erős CP probléma Neutrinó rezgések
elméletek	Technicolor Ötödik Erő Kaluza-Klein elmélet Nagy egységes elméletek Mindennek elmélete Húrelmélet
szuperszimmetria	MSSM szuperhúr elmélet szupergravitáció
kvantumgravitáció	Húrelmélet Hurok kvantumgravitáció Oksági dinamikus háromszögelés Kanonikus kvantumgravitáció
Kísérletek	ANNIE Sasso INO TARTÁLY SNO Szuper-K Tevatron Muon g- NOvA