Maxwell stressz tenzor

A Maxwell feszültségtenzor ( James Clerk Maxwellről nevezték el ) egy másodrendű szimmetrikus tenzor , amelyet a klasszikus elektromágnesességben használnak az elektromágneses erők és a mechanikai impulzus közötti kölcsönhatás ábrázolására . Egyszerű esetekben, például egy egyenletes mágneses térben szabadon mozgó ponttöltésnél, könnyen kiszámítható a töltésre ható erők a Lorentz-erőből . Bonyolultabb esetekben ez a szokásos eljárás több egyenest átívelő egyenletekkel gyakorlatilag bonyolulttá válhat. Ezért célszerű ezek közül a kifejezések közül sokat összegyűjteni a Maxwell feszültségtenzorban, és tenzoraritmetikával megtalálni a választ a problémára.

Az elektromágnesesség relativisztikus megfogalmazásában a Maxwell-tenzor az elektromágneses energia-impulzus tenzor részeként jelenik meg , amely a teljes energia-impulzus tenzor elektromágneses összetevője . Ez utóbbi az energia és a lendület sűrűségét és áramlását írja le a téridőben .

Indoklás

Az alábbiakban látható, hogy az elektromágneses erőt E és B formájában írjuk fel . A vektorszámítás és a Maxwell-egyenletek segítségével szimmetriát keresünk az E -t és B -t tartalmazó kifejezésekben , és a Maxwell-feszültségtenzor bevezetése egyszerűsíti az eredményt.

Maxwell-egyenletek SI-egységben vákuumban (referenciaként)

Név	Differenciálforma
Gauss törvénye (vákuumban)	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0))))$
Gauss törvénye a mágnesességre	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
Maxwell-Faraday egyenlet (Faraday indukciós törvénye)	$\nabla \times {\mathbf {E}}=-{\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}$
Ampère körtörvénye (vákuumban) (Maxwell-korrekcióval)	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{ \partial-t}}\$

A Lorentz-erő szerint
F = q ( E + v × B ) {\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )} $\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$ F = ∫ ( E + v × B ) p d τ {\displaystyle \mathbf {F} =\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau } $\mathbf {F} =\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau$ egységnyi térfogatra jutó erő az
f = p E + J × B . {\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \,.} $\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \,.$
Továbbá ρ és J helyettesíthető E és B elektromos és mágneses mezőkkel , Gauss törvénye és Ampère mágneses térkeringési tétele szerint : f = ε 0 ( ∇ ⋅ E ) E + egy μ 0 ( ∇ × B ) × B − ε 0 ∂ ∂ t E × B . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0))}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{ \partial t}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0))}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{ \partial t}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .$
Az időderivált átírható valami fizikailag értelmezhető dologba, nevezetesen a Poynting-vektorba . A szorzatszabály és az elektromágneses indukció Faraday törvénye a következőket adja: ∂ ∂ t ( E × B ) = ∂ ∂ t E × B + E × ∂ ∂ t B = ∂ ∂ t E × B − E × ( ∇ × E ) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t))(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {E} \ alkalommal \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {B} ={\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {E } \times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),} ${\frac {\partial }{\partial t))(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {E} \ alkalommal \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {B} ={\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {E } \times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),$ és most felülírhatjuk az f paramétert mint f = ε 0 ( ∇ ⋅ E ) E + egy μ 0 ( ∇ × B ) × B − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) − ε 0 E × ( ∇ × E ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0))}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{ \partial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {E}).} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0))}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{ \partial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {E}).$ Ezután E -vel és B -vel kombinálva kapjuk f = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E − E × ( ∇ × E ) ] + egy μ 0 [ − B × ( ∇ × B ) ] − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0))}\left[-\mathbf {B} \times \left({\) félkövér szimbólum {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \ mathbf {B} \jobbra).} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0))}\left[-\mathbf {B} \times \left({\) félkövér szimbólum {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \ mathbf {B} \jobbra).$
Úgy tűnik, hogy a kifejezés "hiányzik" E és B szimmetriájából, ami a (∇ ⋅ B ) B beillesztésével érhető el , Gauss elektromágneses törvénye miatt : f = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E − E × ( ∇ × E ) ] + egy μ 0 [ ( ∇ ⋅ B ) B − B × ( ∇ × B ) ] − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\ frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\ frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).$ Távolítsa el a forgószeleket (amelyeket meglehetősen nehéz kiszámítani) a vektorszámítás azonosságával egy 2 ∇ ( A ⋅ A ) = A × ( ∇ × A ) + ( A ⋅ ∇ ) A , {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,} ${\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,$ oda vezet: f = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E + ( E ⋅ ∇ ) E ] + egy μ 0 [ ( ∇ ⋅ B ) B + ( B ⋅ ∇ ) B ] − egy 2 ∇ ( ε 0 E 2 + egy μ 0 B 2 ) − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot { \boldsymbol {\nabla )))\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0))}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B } )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot { \boldsymbol {\nabla )))\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0))}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B } )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).$
Ez a kifejezés az elektromágnesesség és az impulzus minden aspektusát tartalmazza, és viszonylag könnyen kiszámítható. A Maxwell feszültségtenzor bevezetésével tömörebben írható , σ én j ≡ ε 0 ( E én E j − egy 2 δ én j E 2 ) + egy μ 0 ( B én B j − egy 2 δ én j B 2 ) . {\displaystyle \sigma _{ij}\equiv \varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2} \jobbra)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{ 2}\jobbra).} $\sigma _{ij}\equiv \varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2} \jobbra)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{ 2}\jobbra).$ Az utolsó f tag kivételével minden a Maxwell feszültségtenzor tenzordivergenciaként írható fel, ami : ∇ ⋅ σ = f + ε 0 μ 0 ∂ ∂ t S . {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma ))=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\mathbf { S}\,.} $\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma ))=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\mathbf { S}\,.$ Poynting tételéhez hasonlóan a fenti egyenlet jobb oldalán lévő második tag az elektromágneses tér impulzussűrűségének időbeli deriváltjaként értelmezhető, míg az első tag a nagy tömegű részecskék impulzussűrűségének időbeli deriváltja. Így a fenti egyenlet lesz a lendület megmaradásának törvénye a klasszikus elektrodinamikában, ahol a Poynting-vektor kerül bevezetésre. S = egy μ 0 E × B . {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .} $\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .$

A fenti impulzusmegmaradási összefüggésben az impulzus-fluxussűrűség szerepel, és hasonló szerepet játszik, mint a Poynting-tétel . $\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma ))$ $\mathbf {S}$

A fenti levezetés feltételezi a ρ és J paraméterek teljes ismeretét (mind a szabad, mind a korlátozott töltések és áramok). Nemlineáris anyagok (például mágnesvas BH-görbével (fluxussűrűséggörbe)) esetén nemlineáris Maxwell feszültségtenzort kell használni. [egy]

Egyenlet

A fizikában a Maxwell feszültségtenzor egy elektromágneses mező feszültségtenzora . Amint azt fentebb az SI-egységekben megállapítottuk , ez a következőképpen definiálható:

\sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0))}B_{i}B_{j}-{ \frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _ {ij},

ahol ε 0 az elektromos állandó , μ 0 a mágneses állandó , E az elektromos tér , B a mágneses tér és δ ij a Kronecker - delta . Gauss-féle CGS-egységekben ez a következőképpen definiálható:

\sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{ 2}}\left(E^{2}+H^{2}\jobbra)\delta _{ij}\jobbra),

ahol H a mágnesező tér .

Egy másik módja ennek a tenzornak a kifejezésére:

{\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \jobbra],

ahol ⊗ a diád szorzata , az utolsó tenzor pedig az egységdiád: ${\mathbb {I}}$

\mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat { x)) +\mathbf {\hat {y)) \otimes \mathbf {\hat {y)) +\mathbf {\hat {z)) \otimes \mathbf {\hat {z)) \jobbra)

A Maxwell feszültségtenzor ij eleme egységnyi terület egységnyi impulzussal rendelkezik egységnyi idő alatt, és a j -edik tengelyre merőleges felületet (negatív irányban) keresztező i- edik tengellyel párhuzamos lendületi fluxust egységnyi idő alatt.

Ezeket az egységeket úgy is felfoghatjuk, mint az egységnyi területre eső erőegységeket (negatív nyomás), és a tenzor ij eleme az i tengellyel párhuzamos erőként is értelmezhető, amely a j tengelyre merőleges felületre hat, per Mértékegység. terület. Valójában az átlós elemek a területi differenciálelemre ható feszültséget (feszítést, nyújtást) a normál mentén a megfelelő tengelyre állítják be. Ellentétben az ideális gáz nyomása által okozott erőkkel, az elektromágneses térben a területelem is olyan erőt fejt ki, amely nem az elem normálja mentén irányul. Ezt az eltolódást a feszültségtenzor nem diagonális elemei adják.

Csak mágnesesség

Ha a mező csak mágneses (ami nagyrészt igaz például a motorokra), akkor néhány kifejezés kiesik, és az SI-egységben megadott egyenlet így alakul:

\sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}} B^{2}\delta _{ij}\,.

Hengeres objektumok, például motorrotor esetében ez a kifejezés leegyszerűsödik:

\sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}} B^{2}\delta _{rt}\,.

ahol r a radiális (a hengeren kívüli) irányú eltolódás, t a tangenciális (a henger körüli) irányú eltolódás. Ez a motort forgató tangenciális erő. B r a sugárirányú fluxussűrűség, B t pedig a tangenciális irányú fluxussűrűség.

Az elektrosztatikában

Az elektrosztatikában a mágnesesség hatásai hiányoznak. Ebben az esetben a mágneses tér eltűnik, és megkapjuk a Maxwell elektrosztatikus feszültségtenzort . Összetevők formájában adják meg $\mathbf {B} =\mathbf {0}$

\sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ ij}

és szimbolikus formában

{\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} ,

ahol egy megfelelő azonosságtenzor (általában ). $\mathbf {I}$ $3\x3$

Sajátérték

A Maxwell feszültségtenzor sajátértékeit a következő kifejezés határozza meg:

\{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _ {0}}}B^{2}\jobbra),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1 }{2\mu _{0}}}B^{2}\jobbra)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\jobbra)^{2}}}\jobbra\}.

Ezeket a sajátértékeket a mátrix determináns lemma iteratív alkalmazásával kapjuk a Sherman-Morrison formulával kombinálva.

Figyelembe véve, hogy a karakterisztikus egyenletmátrix felírható így ${\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma ))}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} }$

{\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma ))}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\ epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T))+{\frac {1}{\mu _{0))}\mathbf {B} \mathbf {B} ^ {\textsf {T)),

ahol

V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2} \jobb),

telepítünk

\mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}.

A mátrix determináns lemmát egyszer alkalmazva a következőt kapjuk:

\det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma ))}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{ \mu _{0))}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \jobb)}.

Újbóli alkalmazása ad

\det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma ))}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{ \mu _{0))}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\jobbra)\left(-\lambda -V\jobbra)^{3}.

A kifejezés jobb oldalán található utolsó szorzóból azonnal kiderül, hogy ez az egyik sajátérték. $\lambda =-V$

Az inverz meghatározásához a Sherman-Morrison képletet használjuk: $\mathbf {U}$

\mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E } ^{\textsf {T))}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\ textsf {T}}\mathbf {E} }}.

A determináns tag faktorizálása után meg kell találnunk a racionális függvény nulláit: $\left(-\lambda -V\right)$

\left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2} }{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right) }}\jobbra)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \jobbra).

Így ha egyszer eldöntjük

-\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0,

két másik sajátértéket kapunk.

Lásd még

Ricci kalkulus
Elektromos és mágneses mezők energiasűrűsége
Mutató vektor
Elektromágneses energia-impulzus tenzor
mágneses nyomás
Mágneses húzóerő

Linkek

↑ Brauer, John R. Mágneses működtetők és érzékelők : [ eng. ] . — 2014-01-13. — ISBN 9781118754979 .

David J. Griffiths, "Bevezetés az elektrodinamikába", 351–352. o., Benjamin Cummings Inc., 2008
John David Jackson, "Classical Electrodynamics, 3rd Edition", John Wiley & Sons, Inc., 1999.
Richard Becker, "Electromagnetic Fields and Interactions", Dover Publications Inc., 1964.