Elvetemült munka

A Riemann és pszeudo-Riemann sokaságok görbe szorzata a direkt szorzat általánosítása .

Definíció

Legyen és két pszeudo-Riemann-féle sokaság és egy sima pozitív függvény. Ekkor a metrikával rendelkező szorzatot görbe szorzatnak nevezzük és a függvény . Pontosabban, az érintőteret az érintőterek szorzatával azonosíthatjuk, így a másodfokú formák közvetlen összegét tekinthetjük rajta, és egy pontban metrikus tenzorként határozzuk meg . $B=(B,g)$ $F=(F,h)$ $f\colon B\to \mathbb {R}$ $B\times F$ $g\oplus (f^{2}\cdot h)$ $B=(B,g)$ $F=(F,h)$ $f$ $\mathrm {T} _{(b,x)}(B\time F)$ $\mathrm {T} _{b}B\times \mathrm {T} _{x}F$ $g\oplus (f^{2}\cdot h)$ ${\megjelenítési stílus (b,x)}$

A csavart terméket általában jelöli . $(B\times F,g\oplus (f^{2}\cdot h))$ $F{\mathrel {{\times }_{f))}B$

A függvényt warp függvénynek is nevezik . A teret alapnak, a teret pedig az ívelt termék rétegének nevezzük . $f$ $B=(B,g)$ $F=(F,h)$ $F{\mathrel {{\times }_{f))}B$

Tulajdonságok

Minden réteg izometrikus . $b\times F\subset B\times F$ $F{\mathrel {{\times }_{f))}B$ $f(b)\cdot F=(F,f^{2}(b)\cdot h)$
Minden szint globálisan izometrikus az alaphoz képest . $B\times x\subset B\times F$ $B=(B,g)$
A pontok közötti távolságot teljesen meghatározza az alap , két pont , egy függvény, valamint a réteg közötti és a rétegben lévő távolság . $(b_{1},x_{1}),(b_{2},x_{2})\in F{\mathrel {{\times }_{f))}B$ $B=(B,g)$ $b_{1},b_{2}\in B$ $f\colon B\to \mathbb {R}$ $x_{1}$ $x_{2}$ $F$

Példák

Az ívelt szorzat izometrikus a Lobacsevszkij-síkra . $\mathbb {R} {\mathrel {{\times }_{\exp ))}\mathbb {R}$
A forgásfelület mindig izometrikus az elvetemült szorzathoz valamilyen vetemítési függvény és valós intervallum esetén . $\mathbb {S} ^{1}{\mathrel {{\times }_{f))}\mathbb {I}$ ${\mathbb {I}}$
Az Einstein-egyenlet számos megoldása ábrázolható görbe termékként, pl.
- Schwarzschild metrika ,
- Friedman univerzum .

Változatok és általánosítások

Az ívelt szorzat természetes módon általánosít a belső metrikával rendelkező metrikus terek szorzataira . [egy]

Jegyzetek