Vektor termék

Két vektor vektorszorzata a háromdimenziós euklideszi térben mindkét eredeti vektorra merőleges vektor, amelynek hossza számszerűen megegyezik az eredeti vektorok által alkotott paralelogramma területével , és a két irány megválasztása meghatározott. hogy a szorzatban és a kapott vektorban a sorrendben lévő vektorok hármasa helyes legyen . A kollineáris vektorok vektorszorzatát (különösen, ha legalább az egyik tényező nulla vektor ) egyenlőnek tekintjük a nulla vektorral.

Így két vektor keresztszorzatának meghatározásához meg kell adni a tér orientációját , vagyis meg kell mondani, hogy melyik vektorhármas a jobb és melyik a bal. Ebben az esetben nem kötelező semmilyen koordinátarendszert beállítani a vizsgált térben . Konkrétan egy adott térorientáció esetén a vektorszorzat eredménye nem függ attól, hogy a vizsgált koordinátarendszer jobbra vagy balra esik. Ebben az esetben a vektorszorzat koordinátáinak az eredeti vektorok koordinátáival való kifejezésére szolgáló képletek a jobb és a bal ortonormális derékszögű koordinátarendszerben előjelben különböznek.

A vektorszorzat nem rendelkezik a kommutativitás és az asszociativitás tulajdonságaival . Ez antikommutatív , és a vektorok pontszorzatával ellentétben az eredmény ismét egy vektor.

Hasznos a vektorok merőlegességének "mérésére" - két vektor keresztszorzatának modulusa egyenlő a modulusuk szorzatával, ha merőlegesek, és nullára csökken, ha a vektorok kollineárisak .

Széles körben használják számos műszaki és fizikai alkalmazásban. Például a szögimpulzus és a Lorentz-erő matematikailag keresztszorzatként van felírva.

Történelem

A vektorszorzatot W. Hamilton vezette be 1846 -ban [1] a kvaterniókhoz kapcsolódó skaláris szorzattal egyidejűleg - két kvaternió szorzatának vektor- és skaláris részeként, amelyek skaláris része nullával egyenlő [2 ] .

Definíció

A háromdimenziós euklideszi tér vektorának vektorszorzata egy olyan vektor , amely megfelel a következő követelményeknek: ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$

a vektor hossza egyenlő a vektorok hosszának szorzatával és a közöttük lévő szög szinuszával (azaz a és a vektorok által alkotott paralelogramma területével ); ${\vec {c}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
a vektor ortogonális az és a vektorok mindegyikére ; ${\vec {c}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
a vektort úgy irányítjuk, hogy a vektorok hármasa helyes legyen . ${\vec {c}}$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Megnevezések:

{\vec {c}}=[{\vec {a}}{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\ vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\wedge {\vec {b}}.

Jegyzetek

Definícióként használhatja az alább leírt keresztszorzat kifejezést a jobb (vagy bal) téglalap alakú koordinátarendszer koordinátáiban .

A vektorszorzat algebrai tulajdonságainak halmazát is fel lehet venni kezdeti definíciónak.

Vektorok jobb és bal hármasai a háromdimenziós euklideszi térben

Tekintsünk nem komplikáris ( lineárisan független ) vektorok rendezett hármasát a háromdimenziós euklideszi térben. Egy orientált térben a vektorok ilyen hármasa vagy "jobbra" vagy "balra". ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Geometriai meghatározás

Összevonjuk a vektorok origóját egy pontban. A nem egysíkú vektorok rendezett hármasát háromdimenziós térben jobbnak nevezzük , ha a vektor végétől a legrövidebb fordulat vektorról vektorra a megfigyelő számára az óramutató járásával ellentétes irányban látható . Ezzel szemben, ha a legrövidebb fordulatot az óramutató járásával megegyező irányban látjuk, akkor a hármat balnak nevezzük . ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ ${\vec {c}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Kéz definíció

Egy másik meghatározás egy személy jobb kezéhez kapcsolódik, amelyből a név származik. Az ábrán a , vektorok hármasa helyes . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$

Algebrai definíció

Van egy analitikus módszer is a vektorok jobb és bal hármasának meghatározására, amihez a vizsgált térben a jobb vagy bal oldali koordinátarendszert kell beállítani, és nem feltétlenül derékszögű és ortonormális .

Egy mátrixot kell készíteni, amelynek első sora a vektor koordinátái , a második - a vektor - , a harmadik - a vektor koordinátái lesznek . Ezután ennek a mátrixnak a determinánsának előjelétől függően a következő következtetéseket vonhatjuk le: ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$

Ha a determináns pozitív, akkor a vektorhármas iránya megegyezik a koordinátarendszerrel .
Ha a determináns negatív, akkor a vektorhármas orientációja ellentétes a koordinátarendszerével .
Ha a determináns nulla, akkor a vektorok koplanárisak (lineárisan függőek).

Jegyzetek

A vektorok „jobb” és „bal” hármasának meghatározása a tér orientációjától függ , de nem igényel koordinátarendszert a vizsgált térben , ahogyan maga a vektorszorzat meghatározása sem. ez. Ebben az esetben a vektorszorzat koordinátáit az eredeti vektorok koordinátáin keresztül kifejező képletek előjelben különböznek a jobb és bal téglalap alakú koordinátarendszerben .

Az egymáshoz képest jobbra (és balra) a vektorok hármasait egyformán orientáltnak nevezzük .

Adott térorientáció esetén a koordinátarendszert jobbnak (bal) nevezzük, ha a , , koordinátájú vektorok hármasa jobbra (balra). $(1,0,0)$ $(0,1,0)$ $(0,0,1)$

A geometriai definíció és a kéz segítségével történő meghatározás maguk határozzák meg a tér orientációját. Az algebrai definíció megadja a módját, hogy a nem egysíkú vektorok hármasait két azonos orientációjú vektorosztályra bontsuk, de nem adja meg a tér orientációját, hanem a már megadott - azt, amelyik alapján az adott koordinátát - használja. rendszer jobbnak vagy balnak tekinthető. Ebben az esetben, ha a koordináta-rendszer tájolása ismeretlen, a determináns előjelét összehasonlíthatja egy másik, nem egysíkú vektorok hármasának determinánsának előjelével, amelynek tájolása ismert - ha az előjelek azonosak , akkor a hármasok egyformán orientáltak, ha az előjelek ellentétesek, akkor a hármasok ellentétesek.

Tulajdonságok

A vektorszorzat geometriai tulajdonságai

Két nem nulla vektor kollinearitása szükséges és elégséges feltétele , hogy vektorszorzatuk egyenlő legyen nullával.
A keresztszorzat modulja megegyezik a paralelogramma területével , amely a közös origóra redukált vektorokra épül és (lásd az 1. ábrát). $[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]$ $S$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
Ha egy egységvektor merőleges a és és vektorokra , és úgy van megválasztva, hogy a hármas helyes legyen, és a rájuk épített paralelogramma területe (közös origóra redukálva), akkor a vektorszorzatra igaz a következő képlet : $\vec{e}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {e}}$ $S$

[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=S\cdot {\vec {e}}.

Ha bármely vektor, bármely sík, amely tartalmazza ezt a vektort, egységvektor, amely a síkban fekszik és merőleges -re , egy egységvektor, amely merőleges a síkra , és úgy van irányítva, hogy a vektorok hármasa helyes legyen, akkor bármely vektorra , amely a síkban érvényes a képlet ${\vec {c}}$ $\pi$ $\vec{e}$ $\pi$ ${\vec {c}}$ ${\vec {g}}$ $\pi$ ${\vec {e}},{\vec {c}},{\vec {g}}$ $\pi$ ${\vec {a}}$

[{\vec {a)],\;{\vec {c}}]=\mathrm {Pr} _{\vec {e}}{\vec {a}}\cdot |{\vec { c}}|\cdot {\vec {g}}.

Vektor és skaláris szorzatok használatakor kiszámítható az a , b és c vektorokra épített paralelepipedon térfogata közös origóra redukálva (lásd 2. ábra). Három vektor ilyen szorzatát vegyesnek nevezzük .

V=|\langle {\vec {a)],\;[{\vec {b)],\;{\vec {c))]\rangle |.

Az ábrán látható, hogy ez a térfogat kétféleképpen is megtalálható: a geometriai eredmény akkor is megmarad, ha a „skaláris” és a „vektor” szorzatot felcseréljük:

V=\langle [{\vec {a)],\;{\vec {b))],\;{\vec {c))\rangle =\langle {\vec {a)),\ ;[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]\rangle .

A keresztszorzat értéke az eredeti vektorok közötti szög szinuszától függ , így a keresztszorzat felfogható a vektorok "merőlegességének" fokaként, ahogy a pontszorzat is felfogható a vektorok közötti szög mértékének. "párhuzamosság". Két egységvektor keresztszorzata egyenlő 1-gyel (egységvektor), ha a kezdeti vektorok merőlegesek, és egyenlő 0-val (nulla vektor), ha a vektorok párhuzamosak vagy antiparallelek.

A keresztszorzat algebrai tulajdonságai

Továbbá , és jelöli rendre a vektorok és a vektorok skaláris szorzatát . $[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]$ $\langle {\vec {a)],\;{\vec {b}}\rangle$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Teljesítmény	Leírás
$[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=-[{\vec {b}},{\vec {a}}]$	Antikommutativitás .
$[\alpha \cdot {\vec {a)],\;{\vec {b))]=[{\vec {a)],\;\alpha \cdot {\vec {b))] =\alpha \cdot [{\vec {a)],\;{\vec {b}}]$	A skalárral való szorzás asszociativitása .
$[{\vec {a}}+{\vec {b)],\;{\vec {c}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {c}}] +[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]$	Eloszlás az összeadás tekintetében.
$[[{\vec {a)],\;{\vec {b))],\;{\vec {c}}]+[[{\vec {b)],\;{\vec {c}}],\;{\vec {a}}]+[[{\vec {c}},{\vec {a}}],\;{\vec {b}}]={\vec {0}}$	Jacobi identitás .
$[{\vec {a)],\;{\vec {a}}]={\vec {0}}$
$[{\vec {a)],\;[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]]={\vec {b}}\cdot \langle {\vec { a)),\;{\vec {c}}\rangle -{\vec {c}}\cdot \langle {\vec {a)],\;{\vec {b}}\rangle$	"BAC mínusz CAB" képlet, Lagrange identitása .
$\|[{\vec {a)],\,{\vec {b))]\|^{2}+\langle {\vec {a)),\,{\vec {b))\rangle ^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}\cdot \|{\vec {b}}\|^{2}$	A kvaterniós norma multiplicativitásának speciális esete .
$\langle [{\vec {a)],\,{\vec {b))],\,{\vec {c))\rangle =\langle {\vec {a)),\,[ {\vec {b)],\,{\vec {c}}]\rangle$	Ennek a kifejezésnek az értékét a , , vektorok vegyes szorzatának nevezzük . $a$ $b$ $c$

Kifejezés koordinátában

Jobb ortonormális alapon

Ha két és vektort a jobb oldali ortonormális bázisban ábrázolnak a koordináták $\vec a$ ${\vec {b))$

{\vec {a}}=(a_{x},\;a_{y},\;a_{z}),

{\vec {b}}=(b_{x},\;b_{y},\;b_{z}),

akkor a vektorszorzatuknak vannak koordinátái

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},\;a_{z}b_{ x}-a_{x}b_{z},\;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}).

Ennek a képletnek a megjegyezéséhez kényelmes a mnemonikus determináns használata :

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{ x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}},

ahol , , , vagy $\mathbf {i} =(1,0,0)$ $\mathbf {j} =(0,1,0)$ $\mathbf {k} =(0,0,1)$

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j }b_{k},

hol van a Levi-Civita szimbólum . $\varepsilon_{{ijk}}$

Bal oldali ortonormális alapon

Ha az alap ortonormális, akkor a koordinátákban megadott vektorszorzat alakja

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=(a_{z}b_{y}-a_{y}b_{z},\;a_{x}b_{ z}-a_{z}b_{x},\;a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y}).

Emlékezzünk, hasonlóan:

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_ {x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}},

vagy

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]_{i}=-\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\cdot a_{j}\cdot b_{k}.

A bal oldali koordináta-rendszer képleteit a jobb oldali koordináta-rendszer képleteiből kaphatjuk meg, ha ugyanazokat a vektorokat írjuk be a jobb oldali segédkoordináta-rendszerbe ( ): $\vec a$ ${\vec {b))$ ${\mathbf i}'={\mathbf i},{\mathbf j}'={\mathbf j},{\mathbf k}'=-{\mathbf k}$

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\ \a'_{x}&a'_{y}&a'_{z}\\b'_{x}&b'_{y}&b'_{z}\end{vmatrix}}={\begin{ vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &-\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&-a_{z}\\b_{x}&b_{y}&-b_{ z}\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_ {x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.

Tetszőleges affin koordinátarendszerben

Egy tetszőleges affin koordináta-rendszer vektorszorzatának vannak koordinátái $O{\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}$

$[{\vec {a)],\;{\vec {b))]={\begin{vmatrix}[{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e} }_{3}]&[{\vec {e}}_{3},\;{\vec {e}}_{1}]&[{\vec {e}}_{1},\; {\vec {e}}_{2}]\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.$

Változatok és általánosítások

Quaternions

A jobb ortonormális bázisban lévő vektorszorzat koordinátái kvaterniós formában is felírhatók , így a , , betűk a szabványos jelölések a -ben lévő ortoknál : képzeletbeli kvaternióként kezelik őket. ${\mathbf i}$ ${\mathbf j}$ ${\mathbf k}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Ne feledje, hogy a , és közötti keresztszorzat relációk megfelelnek a és a kvaterniók szorzási szabályainak . Ha egy vektort kvaternióként ábrázolunk , akkor két vektor vektorszorzatát úgy kapjuk meg, hogy a megfelelő kvaterniók szorzatának vektoros részét vesszük. Ezeknek a vektoroknak a pontszorzata az ellentéte ezen kvaterniók pontszorzatának. ${\mathbf i}$ ${\mathbf j}$ ${\mathbf k}$ $én$ $j$ $k$ $(a_{1},\;a_{2},\;a_{3})$ $a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$

Átalakítás mátrix formába

Két jobb ortonormális bázis koordinátájában lévő vektor vektorszorzata felírható egy ferde-szimmetrikus mátrix és egy vektor szorzataként:

[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=[{\vec {a}}]_{\times }{\vec {b}}={\begin{bmátrix }\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\, a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}},

[{\vec {b)],\;{\vec {a}}]={\vec {b}}^{T}[{\vec {a}}]_{\times }={ \begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2} \\\,\,\,a_{3}&\,0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmátrix}},

ahol

[{\vec {a}}]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}& \,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\ ,\,0\end{bmatrix}}.

Legyen egyenlő a vektorszorzattal: ${\vec {a}}$

{\vec {a}}=[{\vec {c}},\;{\vec {d}}],

akkor

[{\vec {a}}]_{\times }=({\vec {c}}{\vec {d}}^{T})^{T}-{\vec {c}} {\vec {d}}^{T}.

Ez a jelölési forma lehetővé teszi a vektorszorzat magasabb dimenziókra való általánosítását, amelyek pszeudovektorokat ( szögsebesség , indukció stb.) ilyen ferde-szimmetrikus mátrixokként reprezentálnak. Nyilvánvaló, hogy az ilyen fizikai mennyiségeknek független komponensei lesznek a -dimenziós térben. A háromdimenziós térben három független komponenst kapunk, így az ilyen mennyiségek ennek a térnek a vektoraiként ábrázolhatók. $n(n-1)/2$ $n$

Ezzel a jelölési formával gyakran könnyebb is dolgozni (például az epipoláris geometriában ).

A vektorszorzat általános tulajdonságaiból az következik

[{\vec {a}}]_{\times }\,{\vec {a}}={\vec {0}}

és

{\vec {a}}^{T}\,[{\vec {a}}]_{\times }={\vec {0}},

és mivel ferde-szimmetrikus, akkor $[{\vec {a}}]_{\times }$

{\vec {b}}^{T}\,[{\vec {a}}]_{\times }\,{\vec {b}}=0.

Ebben a jelölési formában a Lagrange-azonosság könnyen igazolható (a "BAC mínusz CAB" szabály).

Kiterjesztés mátrixokra

Háromdimenziós esetben koordinátákban tetszőleges alapon definiálhatjuk a mátrixok vektorszorzatát és a mátrix szorzatát egy vektorral. Ez nyilvánvalóvá teszi a fenti izomorfizmust , és lehetővé teszi számos számítás egyszerűsítését. Ekkor ábrázoljuk a mátrixot vektorok oszlopaként $A$

{\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\\{\vec {a}}_{2}\\{\vec {a}}_{3}\end{bmatrix }}\times {\vec {b}}={\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\times {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{2 }\times {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{3}\times {\vec {b}}\end{bmatrix}},

{\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\\{\vec {a}}_{2}\\{\vec {a}}_{3}\end{bmatrix }}\cdot {\vec {b}}={\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\cdot {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{2 }\cdot {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{3}\cdot {\vec {b}}\end{bmatrix}}.

A bal oldali mátrix-vektor szorzást hasonlóan definiáljuk, ha vektorok sorozataként ábrázoljuk. Egy mátrix transzponálása a vektorok sorát vektoroszloppá fordítja, és fordítva. Könnyű sok vektorrelációt általánosítani vektorok és mátrixok relációira, például ( mátrix, , vektorok): $A$ $A$ ${\vec x}$ ${\vec {y}}$

A\cdot ({\vec {x))\times {\vec {y)))=(A\times {\vec {x)))\cdot {\vec {y)),

A\times ({\vec {x}}\times {\vec {y}})={\vec {x}}(A\cdot {\vec {y}})-{\vec {y }} }}(A\cdot {\vec {x}}).

Ezt követően megváltoztathatja a vektorszorzat jelölését:

{\vec {x}}\times {\vec {y}}=E\cdot ({\vec {x}}\times {\vec {y}})=(E\times {\vec { x)))\cdot {\vec {y)),

$E$ az identitásmátrix. Ebből nyilvánvaló a bal oldali vektorral való szorzásnak megfelelő mátrix létezése és formája. Hasonlóképpen, a szorzómátrix kifejezését megkaphatjuk a jobb oldali vektorral. A vektorokon végzett műveletek komponensenkénti mátrixokra való kiterjesztésével, "vektorvektorokként" ábrázolva, a vektorok standard relációi könnyen általánosíthatók mátrixokra. Például a Stokes-tétel a következő formában jelenik meg: $\mathbb {R} ^{3}$

\int \limits _{{\Sigma }}\operátornév {rot}\,{\mathbf {A^{T}}}\,{\mathbf {d\Sigma }}=\int \limits _{{\partial \Sigma }}{\mathbf {A}}\cdot \,d{\mathbf {r}},

ahol a mátrix görbületét a mátrix és a bal oldali Hamilton-operátor vektorszorzataként számítjuk ki (az alapot jobbra ortonormálisnak tekintjük). Ebben a jelölésben nagyon könnyű bizonyítani például a Stokes-tétel alábbi formáit: $A$ $A$

\int \limits _{{\Sigma }}\operátornév {grad}\,u\times \,{\mathbf {d\Sigma }}=\int \limits _({\partial \Sigma }}u\,d {\mathbf {r}),

\int \limits _{{\Sigma }}\left[{\mathbf {d\Sigma }};\left[\nabla ;{\mathbf a}\right]\right]=\int \limits _{{\ részleges \Sigma }}{\mathbf a}\times d{\mathbf {r}}.

A méretek nem egyenlők hárommal

Legyen a tér mérete . $n$

Olyan vektorszorzat, amely egy közönséges háromdimenziós vektorszorzat összes tulajdonságával rendelkezik, azaz egy bináris bilineáris antiszimmetrikus, nem degenerált leképezés , csak a 3. és 7. dimenzióhoz vezethető be . ${\mathbb {R}}^{n}\szer {\mathbb {R}}^{n}\ to {\mathbb {R}}^{n}$

Van azonban egy egyszerű általánosítás más természetes dimenziókra, a 3-tól kezdve, és ha szükséges, a 2-es dimenzióig (ez utóbbi azonban viszonylag specifikus módon). Ekkor ezt az általánosítást, a fentebb leírt lehetetlentől eltérően, nem egy vektorpárra, hanem csak faktorvektorok halmazára vezetjük be . Meglehetősen analóg a vegyes szorzattal , amely természetesen általánosítható a -dimenziós térben a faktorokkal végzett műveletre. Ha a Levi-Civita szimbólumot indexekkel használjuk, akkor kifejezetten írhatunk olyan -valens keresztterméket, mint pl. $(n-1)$ $n$ $n$ $\varepsilon _{{i_{1}i_{2}i_{3}\ldots i_{n}}}$ $n$ $(n-1)$

P_{i}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\dotsc )=\sum _{j,k,m,\dotsc =1}^{n}\ varepsilon _{ijk\ldots }a_{j}b_{k}c_{m}\ldots =\det \left({\begin{pmatrix}\mathbf {e_{1}} \\\vdots \\\mathbf { e_{n}} \end{pmatrix}},\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\ldots \right)\cdot \mathbf {e_{i}} ,

$\mathbf {P} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n-1}} )=\det \left({\begin {pmatrix}\mathbf {e_{1}} \\\vdots \\\mathbf {e_{n}} \end{pmatrix}},\mathbf {a_{1}},\mathbf {a_{2}}, \ldots ,\mathbf {a_{n-1}} \right)={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\cdots &\mathbf {e_{n }} \\a_{1_{1}}&a_{1_{2}}&\cdots &a_{1_{n}}\\a_{2_{1}}&a_{2_{2}}&\cdots &a_{2_ {n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n-1_{1}}&a_{n-1_{2}}&\cdots &a_{n-1_{n}}\ end{vmatrix}}.$

Az ilyen általánosítás egy hiperdimenziós területet eredményez . $n-1$

Ha csak két tényezőre kell bevezetni egy műveletet, amelynek geometriai jelentése rendkívül közel áll egy vektorszorzat jelentéséhez (vagyis egy orientált területet reprezentál), akkor az eredmény többé nem lesz vektor, mivel tényezőket. Bevezethetünk egy bivektort , amelynek összetevői megegyeznek a paralelogramma orientált területének vetületeivel, amelyeket egy vektorpár feszül a koordinátasíkra: $n\neq 3$

\ P_{{ij))({\mathbf {a,b))=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}

Ezt a konstrukciót külső terméknek nevezzük .

A kétdimenziós esetnél a művelet

\ P({\mathbf {a,b}})=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}

pszeudoszkaláris szorzatnak nevezzük , mert a kapott tér egydimenziós, és az eredmény egy pszeudoszkaláris . (A fent leírt kétindexű külső szorzat kétdimenziós térre is bevezethető, de nyilvánvalóan elég triviálisan kapcsolódik a pszeudoszkaláris szorzathoz, vagyis a külső szorzatot ebben az esetben egy mátrix képviseli, amelynek átlóján nullák vannak. , és a fennmaradó két nem diagonális elem egyenlő a pszeudoszkaláris szorzattal, és mínusz a pszeudoszkaláris szorzat.)

Vektorok hazug algebra

A vektorszorzat bemutatja a Lie algebra szerkezetét (mert mindkét axiómát kielégíti - az antiszimmetriát és a Jacobi-azonosságot ). Ez a struktúra megfelel a háromdimenziós tér ortogonális lineáris transzformációinak Lie- csoportjához tartozó Lie-algebrával való azonosulásnak. ${\mathbb {R}}^{{3}}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $szóval (3)$ $SO(3)$

Lásd még

A vektorok szorzatai

Pszeudoskaláris szorzat (csak repülőn!)
Vektorok pontszorzata
A vektorok vegyes (skalárvektoros) szorzata (csak -ben ) ${\mathbb {R}}^{{3}}$
A vektorok kettős (vektor-vektor) szorzata (csak -ben ) ${\mathbb {R}}^{{3}}$
Vektor termék hétdimenziós térben

Egyéb

Jegyzetek

↑ Crowe MJ A vektoranalízis története – A vektoros rendszer eszméjének fejlődése . - Courier Dover Publications, 1994. - S. 32. - 270 p. — ISBN 0486679101 .
↑ Hamilton WR On Quaternions; vagy egy új képzeletrendszerről az algebrában // Filozófiai Magazin. 3. sorozat. - London, 1846. - T. 29 . - S. 30 .

Irodalom

1. Kochin N.E. Vektorszámítás és a tenzorszámítás kezdetei. Szovjetunió Tudományos Akadémia: "NAUKA" kiadó, M. 1965.

Linkek

Többdimenziós vektorművészet archiválva 2015. szeptember 5-én a Wayback Machine -nél
Vektortermék és tulajdonságai. Problémamegoldási példák archiválva 2011. február 23-án a Wayback Machine -nél
V. I. Gervids. Forgatás jobbra és balra . NRNU MEPhI (2011.03.10.). - Fizikai bemutatók. Letöltve: 2011. május 3. Az eredetiből archiválva : 2015. december 23.. (határozatlan)

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb