Szimmetria a matematikában

A szimmetria nemcsak a geometriában , hanem a matematika más területein is megtalálható. A szimmetria egyfajta változatlanság , az a tulajdonsága, hogy bizonyos átalakítások során változatlan .

Legyen adott egy X valamilyen strukturált objektum, a szimmetria az objektum önmagába való leképezése, megőrzi az objektum szerkezetét. A szimmetria többféle formában létezik. Például, ha X egy további szerkezetű halmaz, akkor a szimmetria a halmaz bijektív leképezése önmagára, ami permutációs csoportokat eredményez . Ha az X objektum egy síkon lévő pontok halmaza a metrikus szerkezetével vagy bármely más metrikus térrel, a szimmetria a halmaz önmagára való bijektálása , amely megőrzi a távolságot bármely pontpár között ( izometria ).

Általánosságban elmondható, hogy a matematikában minden struktúrának megvan a saját szimmetriája, és ezek közül sokat szerepel ebben a cikkben.

Szimmetria a geometriában

Az elemi geometria szimmetriáit (például a visszaverődést és az elforgatást) a szimmetriáról szóló fő cikk ismerteti .

Absztrakt szimmetria

Klein nézőpontja

Felix Klein minden geometriatípushoz egy mögöttes szimmetriacsoportot társított . A geometriák hierarchiáját ezután e csoportok hierarchiája és invariánsaik hierarchiája reprezentálja . Például a hosszúságok, szögek és területek megmaradnak az euklideszi szimmetriacsoportban, míg az általánosabb projektív transzformációkban csak a beesési struktúra és a kettős arány marad meg . A párhuzamosság fogalmának , amely az affin geometriában megmarad, a projektív geometriában nincs értelme . Így a szimmetriacsoportok geometriáktól való elválasztásával a szimmetriák közötti kapcsolatok csoportszinten hozhatók létre. Mivel az affin geometria csoportja a projektív geometria egy alcsoportja, a projektív geometriában lévő invariánsok bármely fogalma a priori értelmet nyer az affin geometriában, ami ellenkező irányban nem igaz. Ha összeadjuk a szükséges szimmetriákat, akkor erősebb elméletet kapunk, de kevesebb fogalmat és tételt (ami mélyebb és általánosabb lesz).

Thurston nézőpontja

William Thurston a szimmetriák hasonló változatát vezette be a geometriában. A geometriai modell egy egyszerűen csatlakoztatott sima X elosztó , valamint egy tranzitív Lie csoport G művelet X - en kompakt stabilizátorokkal. A Lie csoport a geometria szimmetriacsoportjának tekinthető.

Egy geometriai modellt akkor mondunk maximálisnak , ha G maximális az X -en kompakt stabilizátorokkal simán és tranzitívan ható csoportok között , vagyis ha maximális szimmetriacsoportról van szó. Néha ez a meghatározás szerepel a geometriai modell definíciójában.

Egy geometriai struktúra egy M sokaságon egy differenciálható morfizmus M -től X /Γ-ig valamilyen X geometriai modell esetén, ahol Γ G diszkrét részcsoportja, amely szabadon hat X -re . Ha egy adott sokaság megenged egy geometriai struktúrát, akkor olyan struktúrát fogad be, amelynek modellje maximális.

Az X geometria háromdimenziós modellje geometriázási tételre vonatkozik, ha az maximális, és ha van legalább egy geometriai szerkezetű sokaság az X -en . Thurston 8 geometriai modellt sorolt be, amelyek kielégítik ezeket a feltételeket. Ezeket a szimmetriákat néha Thurston geometriáknak is nevezik . (Végtelenül sok kompakt stabilizátor geometriájú modell is létezik.)

Függvénygráfok szimmetriái

Páros és páratlan függvények

Páros függvények

Legyen f ( x ) egy valós értékű valós változó függvénye . f akkor is, ha f tartományában van

f(x)=f(-x)

Geometriai értelemben egy páros függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre, ami azt jelenti, hogy az y tengelyre tükrözve nem változik .

Példák a páros függvényekre: | | x | , x 2 , x 4 , cos ( x ) és cosh ( x ).

Páratlan függvények

Legyen f ( x ) egy valós változó függvénye valós értékekkel. f páratlan , ha f tartományában van

-f(x)=f(-x)\,,

vagy

f(x)+f(-x)=0\,.

Geometriailag egy páratlan függvény gráfja forgásszimmetriával rendelkezik az origó körül , abban az értelemben, hogy a függvény grafikonja nem változik, ha 180 fokkal elforgatjuk az origó körül.

A páratlan függvények az x , x 3 , sin ( x ), sinh ( x ) és erf ( x ).

Integrálok

Egy − A és + A közötti páratlan függvény integrálja nulla (ahol A véges, és a függvénynek nincsenek függőleges aszimptotái − A és A között ).

Egy páros függvény integrálja − A -tól + A -ig egyenlő a 0-tól + A -ig terjedő integrál kétszeresével (ahol A véges, és a függvénynek nincsenek függőleges aszimptotái − A és A között. Ez a végtelen A - ra is igaz , de csak ha az integrál konvergál) .

Sorok

A páros függvény Maclaurin sorozata csak páros hatványokat tartalmaz.
A páratlan függvény Maclaurin sorozata csak páratlan hatványokat tartalmaz.
A periodikus páros függvény Fourier sorozata csak koszinuszokat tartalmaz .
A periodikus páratlan függvény Fourier-sora szinuszokat tartalmaz .

Szimmetria a lineáris algebrában

Mátrixok szimmetriája

A lineáris algebrában a szimmetrikus mátrix olyan négyzetmátrix , amely nem változik transzponálva . Formálisan egy A mátrix szimmetrikus, ha

A=A^{\top }

és a mátrixegyenlőség definíciója szerint a mátrixok méreteinek egyeznie kell, hogy csak egy négyzetes mátrix legyen szimmetrikus.

A szimmetrikus mátrix elemei szimmetrikusak a főátlóra . Így, ha a mátrix elemei A = ( a ij ), akkor a ij = a ji minden i és j indexre .

A következő 3x3-as mátrix szimmetrikus:

{\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&-5\\3&-5&6\end{bmátrix}}.

Bármely négyzetes átlós mátrix szimmetrikus, mert minden átlón kívüli bejegyzése nulla. A ferde-szimmetrikus mátrix minden átlós elemének nullának kell lennie, mivel meg kell egyeznie a negatív értékükkel.

A lineáris algebrában egy valós szimmetrikus mátrix egy önadjungált operátort reprezentál egy valós unitárius tér felett . Az összetett unitárius tér megfelelő objektuma egy Hermitiánus mátrix összetett bejegyzésekkel, amely megegyezik a Hermitiánus konjugált mátrixával . Így a komplex számok feletti lineáris algebrában a szimmetrikus mátrix gyakran valós elemekkel rendelkező mátrixot jelent. A szimmetrikus mátrixok természetesen megjelennek a különféle alkalmazásokban, és általában a lineáris algebrai csomagok rendelkeznek erre a célra szolgáló eljárásokkal.

Szimmetria az absztrakt algebrában

Szimmetrikus csoportok

Az S n szimmetrikus csoport egy véges n szimbólumból álló halmazon egy olyan csoport , amelynek elemei n szimbólum permutációi, és a művelet ebben a csoportban az ilyen permutációk összetétele . Ezeket a műveleteket a szimbólumkészlet önmagára vonatkozó bijektív függvényeiként kezeljük. [1] . Attól, hogy vannak n ! ( n faktoriális ) egy n szimbólumból álló halmaz lehetséges permutációit , ebből következik, hogy az S n szimmetrikus csoport csoportsorrendje (elemszáma) n !.

Szimmetrikus polinomok

A szimmetrikus polinom egy P ( X 1 , X 2 , …, X n ) polinom n változóban, amely nem változik, ha a változóit átrendezzük. Formálisan P szimmetrikus polinom , ha az 1, 2, …, n indexek bármely σ permutációjára P ( X σ ( 1 ) , X σ(2) , …, X σ( n ) ) = P ( X 1 , X 2 , …, X n ).

A szimmetrikus polinomok természetesen megjelennek, ha egy változóban lévő polinom gyökerei és együtthatói közötti kapcsolatot vizsgáljuk, mivel az együtthatók polinomokkal fejezhetők ki a gyökökben, és ezekben a kifejezésekben minden gyök ugyanazt a szerepet tölti be. Ebből a szempontból az alapvető szimmetrikus polinomok a legalapvetőbb szimmetrikus polinomok. A szimmetrikus polinomokra vonatkozó alaptétel kimondja, hogy bármely szimmetrikus polinom kifejezhető alapszimmetrikus polinomokkal, ami azt jelenti, hogy a normalizált polinom gyökei felett bármely szimmetrikus polinomi kifejezést ábrázolhatjuk így. egy polinomiális kifejezés az együtthatók polinomja felett.

Példák

Két X 1 , X 2 változó esetén szimmetrikus polinomok

$X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7$
$4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_ {2})^{4}$

Három X 1 , X 2 , X 3 változó esetén szimmetrikus lesz, pl.

${\displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3))$

Szimmetrikus tenzorok

A matematikában a szimmetrikus tenzor olyan tenzor , amely nem változik, ha argumentumait átrendezzük :

T(v_{1},v_{2},\dots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\dots ,v_{\sigma r})

az {1,2,…, r } indexek bármely σ permutációjára . Egy szimmetrikus tenzort is ábrázolhatunk r as vegyértékkel

T_{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}.

Az r vegyértékű szimmetrikus tenzorok véges dimenziós tér feletti tere természetesen izomorf a V -n lévő r fokú homogén polinomok kettős terével . Egy karakterisztikus nullával rendelkező mező felett az összes szimmetrikus tenzor fokozatos vektortere természetesen azonosítható a V-n lévő szimmetrikus algebrával . Egy rokon fogalom az antiszimmetrikus tenzor, vagy az alternáló forma . A szimmetrikus tenzorok gyakoriak a mérnöki tudományokban , a fizikában és a matematikában .

Galois elmélet

Ha adott egy polinom, lehetséges, hogy egyes gyököket különböző algebrai egyenletek kapcsolnak össze . Például kiderülhet, hogy két gyökérre, mondjuk, A és B , . A Galois-elmélet központi gondolata az a tény, hogy amikor a gyökereket átrendezik , továbbra is kielégítik ezeket az egyenleteket. Fontos, hogy ennek során olyan algebrai egyenletekre szorítkozzunk, amelyek együtthatói racionális számok . Így a Galois-elmélet az algebrai egyenletekből örökölt szimmetriákat vizsgálja. $A^{2}+5B^{3}=7$

Algebrai objektumok automorfizmusai

Az általános algebrában az automorfizmus egy matematikai objektum önmagára való izomorfizmusa . Így bizonyos értelemben ez az objektum szimmetriája és egy módja annak , hogy az objektumot önmagára leképezzük, miközben megtartjuk a belső szerkezetet. Egy objektum összes automorfizmusának halmaza egy automorfizmuscsoportnak nevezett csoportot alkot . Ez durván szólva az objektum szimmetriacsoportja.

Példák

A halmazelméletben egy X halmaz elemeinek tetszőleges permutációja automorfizmus. Az X automorfizmus-csoportot X -en szimmetrikus csoportnak is nevezik .
Az elemi aritmetikában a Z egész számok halmazának , ha összeadás alapján csoportnak tekintjük, egyetlen nem triviális automorfizmusa van – a szám negatív értéke. Ha gyűrűnek tekintjük , akkor csak triviális automorfizmusa lesz. Általánosságban elmondható, hogy a negáció bármely Abel-csoport automorfizmusa , de nem gyűrű vagy mező.
A csoportautomorfizmus egy csoport egy csoportjának önmagára való izomorfizmusa. Informálisan ez a csoport elemeinek permutációja, amelyben a csoport szerkezete változatlan marad. Bármely G csoporthoz létezik egy G → Aut( G ) természetes csoporthomomorfizmus, amelynek képe az Inn( G ) belső automorfizmuscsoport , és amelynek magja G középpontja . Így ha G -nek van egy triviális középpontja, akkor beágyazható a saját automorfizmus csoportjába [2] .
A lineáris algebrában egy V vektortér endomorfizmusa V → V lineáris operátor . Az automorfizmus invertálható lineáris operátor V -n . Ha a vektortér véges dimenziós, akkor az V csoport automorfizmusa megegyezik a GL( V ) teljes lineáris csoporttal .
A mező automorfizmus egy mező önmagára való bijektív homomorfizmusa Racionális számok ( Q ) és valós számok ( R ) esetén nincsenek nem triviális mezőautomorfizmusok. R egyes részmezejei nem triviális automorfizmusokkal rendelkeznek, amelyek azonban nem terjeszthetők ki a teljes R mezőre (mert nem őrzik meg egy számnak azt a tulajdonságát, hogy R -ben négyzetgyöke legyen ). A C komplex számok esetében egyetlen nem triviális automorfizmus van, amely R -t R -be viszi – a szám konjugációja , de végtelen sok ( megszámlálhatatlanul ) „vad” automorfizmus is létezik (ha a választás axiómáját elfogadjuk ). [3] A mezőautomorfizmusok fontos szerepet játszanak a mezőbővítések elméletében , különösen a Galois kiterjesztések elméletében . Az L / K Galois-bővítések esetében az L összes automorfizmusának azt a részcsoportját, amely megőrzi K -t pontszerűen , a kiterjesztés Galois-csoportjának nevezzük .

Szimmetria a reprezentációelméletben

Szimmetria a kvantummechanikában: bozonok és fermionok

A kvantummechanikában a bozonok reprezentációi szimmetrikusak az operátorok permutációja tekintetében, míg a fermionok antiszimmetrikus reprezentációkkal rendelkeznek.

Ez magában foglalja a Pauli-féle kizárási elvet a fermionokra. Valójában a Pauli-kizárási elv sok részecske egyetlen hullámfüggvényével egyenértékű azzal a követelménnyel, hogy a hullámfüggvény antiszimmetrikus legyen. Két részecske állapotának antiszimmetriája azoknak az állapotoknak az összege, amelyekben az egyik részecske állapotban van , a másik pedig : $\scriptstyle |x\rangle$ $\scriptstyle |y\rangle$

|\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle

a változók cseréjében az antiszimmetria pedig azt jelenti, hogy A ( x , y ) = − A ( y , x ). Ebből következik, hogy A ( x , x ) = 0, ami a Pauli kivétel. Az állítás minden bázisban igaz, hiszen a bázis egységnyi változása az antiszimmetrikus mátrixokat antiszimmetrikusan tartja, bár szigorúan véve az A ( x , y ) mennyiség nem mátrix, hanem másodrendű antiszimmetrikus tenzor .

Ezzel szemben, ha A ( x , x ) átlós elemei bármely bázisban nullák , akkor a hullámfüggvény összetevője

A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |(|x\rangle \otimes |y\rangle )

szükségszerűen antiszimmetrikus. Ennek ellenőrzéséhez vegyük figyelembe a mátrix elemét

\langle \psi |((|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ))

Nulla, mert két részecske nulla valószínűséggel van egyidejű állapotban . De ez egyenértékű $\scriptstyle |x\rangle +|y\rangle$

\langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle

A jobb oldalon lévő első és utolsó tag átlós elemek, és egyenlők nullával, a teljes összeg pedig nulla. Így a hullámfüggvény mátrixának elemeire

\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0

vagy

A(x,y)=-A(y,x)

Szimmetria a halmazelméletben

Szimmetrikus reláció

Egy relációt akkor nevezünk szimmetrikusnak, ha minden alkalommal teljesül A-ból B-be, B-ből A-ba is érvényes. Megjegyezzük, hogy a szimmetria nem az antiszimmetria ellentéte .

Szimmetria metrikus terekben

Izometria a térben

Az izometria a metrikus terek távolságmegtartó leképezése . Legyen adott egy metrikus tér, vagy egy halmaz, és egy séma a halmaz elemei közötti távolság kiszámításához. Az izometria egy olyan transzformáció, amely az elemeket egy másik metrikus térbe képezi le úgy, hogy az elemek közötti távolság az új metrikus térben egyenlő az eredeti térben lévő elemek közötti távolsággal. A kétdimenziós vagy háromdimenziós térben két geometriai alakzat egybevágó , ha izometria köti össze őket – akár egy abszolút merev test mozgása , akár a mozgás és a tükröződés kompozíciója révén .

Differenciálegyenletek szimmetriája

A differenciálegyenletek szimmetriája olyan transzformáció, amely a differenciálegyenletet változatlanul hagyja. Az ilyen szimmetriák ismerete segíthet a differenciálegyenlet megoldásában.

A differenciálegyenletrendszer Lie szimmetriája differenciálegyenletek folytonos szimmetriája. A hazugság-szimmetria ismerete segíthet a közönséges differenciálegyenletek egyszerűsítésében az sorrend csökkentésével . [négy]

A közönséges differenciálegyenleteknél a Lie szimmetriák megfelelő halmazának ismerete lehetővé teszi az első integrálok explicit megszerzését, ami azonnal megoldást ad az egyenlet integrálása nélkül.

A szimmetriákat közönséges differenciálegyenletek csatolt halmazának megoldásával találhatjuk meg. [4] Ezen egyenletek megoldása gyakran sokkal könnyebb, mint az eredeti differenciálegyenlet-rendszer megoldása.

Szimmetria a valószínűségszámításban

Véges számú lehetséges esemény esetén a permutációkat figyelembe vevő szimmetria (átszámozás) diszkrét egyenletes eloszlást ad .

Abban az esetben, ha az események valós számok intervallumát képviselik, az egyenlő hosszúságú részintervallumok permutációit figyelembe vevő szimmetria folyamatos egyenletes eloszlásnak felel meg .

Más esetekben, mint például "véletlenszerű egész szám kiválasztása" vagy "véletlen valós szám kiválasztása", nincs szimmetria a valószínűségi eloszlásban, ami lehetővé teszi a számok vagy egyenlő hosszúságú intervallumok permutációját. Más elfogadható szimmetriák nem vezetnek meghatározott eloszláshoz, vagyis nincs olyan egyedi valószínűségi eloszlás, amely maximális szimmetriát biztosítana.

Az egydimenziós izometriának van egy típusa , amely a valószínűségi eloszlást változatlanul tudja tartani, ez egy pontról való reflexió, például nulla.

A pozitív valószínűségű véletlen értékek lehetséges szimmetriája az, amely a logaritmusokra vonatkozik, vagyis amikor az esemény és annak reciproka azonos eloszlású. Ez a szimmetria azonban nem vezet határozott valószínűségi eloszláshoz.

Egy síkban vagy térben lévő "véletlen ponthoz" választhatunk egy középpontot, és figyelembe vehetjük a valószínűségi eloszlás szimmetriáját egy körhöz vagy gömbhöz.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Nathan Jacobson. Alapalgebra. - New York: WH FREEMAN AND COMPANY, 2009. - Vol. 1. - P. 31. - ISBN 0-7167-1480-9 (v1).
↑ PJ Pahl, R. Damrath. § 7.5.5 Automorfizmusok // A számítástechnika matematikai alapjai. - Springer, 2001. - P. 376. - ISBN 3-540-67995-2 .
↑ Paul B. Yale. A komplex számok automorfizmusai // Mathematics Magazine. - 1966. május - T. 39 , 1. sz. 3 . – S. 135–141 . - doi : 10.2307/2689301 . — .
↑ 12 Peter J. Olver . Hazugságcsoportok alkalmazása differenciálegyenletekre. - New York: Springer Verlag, 1986. - ISBN 978-0-387-95000-6 .

Bibliográfia

Hermann Weyl , Szimmetria. Az 1952-es eredeti újranyomtatása. Princetoni Tudományos Könyvtár. Princeton University Press , Princeton, NJ, 1989. viii+168 pp. ISBN 0-691-02374-3
Mark Ronan, Symmetry and the Monster , Oxford University Press , 2006. ISBN 978-0-19-280723-6 (Tömör bevezető laikus olvasóknak)
Marcus du Sautoy , Holdfény keresése: A matematikus utazása a szimmetrián keresztül , Negyedik birtok , 2009

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz
Bibliográfiai katalógusokban	J9U : 987007544712605171 LCCN : sh2006001303