Szimmetria a kvantummechanikában

A kvantummechanika szimmetriái a téridő és a részecskék átalakulásai, amelyek a kvantummechanika egyenleteit változatlanul hagyják . A kvantummechanika számos ágában kezelik, beleértve a relativisztikus kvantummechanikát, a kvantumtérelméletet , a standard modellt és a kondenzált anyag fizikáját . Általánosságban elmondható, hogy a szimmetria a fizikában , az invariancia és a megmaradás törvényei alapvető korlátai a fizikai elméletek és modellek megfogalmazásának. A gyakorlatban ezek hatékony módszerek a problémák megoldására és a történések előrejelzésére. A természetvédelmi törvények ugyan nem mindig adják meg a probléma végső megoldását, de számos probléma megoldásához megfelelő megszorításokat, körvonalakat alkotnak.

Ez a cikk leírja a kapcsolatot a folytonos szimmetriák klasszikus formái és azok kvantumoperátorai között, amelyek Lie-csoportokhoz , valamint a Lorentz-csoport és a Poincaré-csoport relativisztikus transzformációihoz kapcsolják .

Jelölés

A cikkben használt konvenciók a következők. A félkövér szöveg vektorokat , 4 vektorokat , mátrixokat és vektoroperátorokat jelöl, míg a kvantumállapotokat zárójelek (bra és ket jelölések) jelölik. A széles kalapok az operátorok , a keskeny kalapok az egységvektorok (beleértve azok összetevőit a tenzorindexekben). Hacsak másképp nem jelezzük, az ismétlődő tenzorindexek összegzésének konvencióját alkalmazzuk . A Minkowski-tér metrikus aláírása (+ −−−).

A hullámfüggvény szimmetriai transzformációi a nemrelativisztikus kvantummechanikában

Folyamatos szimmetriák

Általában a folytonos szimmetriák és a megmaradási törvények közötti megfelelést a Noether-tétel kvantumanalógja adja meg .

Az alapvető kvantumoperátorok formája, mint például az energia mint parciális derivált az időhöz képest, és az impulzus mint gradiens (a térbeli koordinátákból), világossá válik, ha figyelembe vesszük a kezdeti állapotot, majd kissé megváltoztatjuk valamelyik paraméterét. Ez a megközelítés az elmozdulás (hossz), az időtartam (idő) és a szögek (forgás) esetében működik. Ezen túlmenően, egyes mennyiségek invarianciája látható a hosszúságok és szögek transzformációival, ami ezeknek a mennyiségeknek a megmaradását jelzi.

A következőkben csak az alábbi alakú egyrészecske hullámfüggvények transzformációit vesszük figyelembe:

{\widehat {\Omega ))\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t')

ahol az egységes operátort jelöli . A tér, az idő és a spin transzformációit reprezentáló operátorok esetében általában az egységre van szükség, mivel az állapotnormának (amely azt a teljes valószínűséget jelenti, hogy valamilyen spinnel rendelkező részecskét találunk bizonyos tértérfogatban) ezeknél a transzformációknál invariánsnak kell lennie. Az inverz transzformációt a hermitiánus ragozás adja meg . Ezek az eredmények kiterjeszthetők a sokrészecskés hullámfüggvényekre. A kvantumállapotok transzformációinak Dirac - jelölésében : ${\widehat {\Omega ))$ ${\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\tőr }$

{\widehat {\Omega }}\left|\mathbf {r} (t)\right\rangle =\left|\mathbf {r} '(t')\right\rangle

Az operátorművelet ezután a ψ ( r , t ) hullámfüggvényt ψ ( r ′, t ′)-vé alakítja, így az inverz operátor a ψ ( r ′, t ′)- t ψ ( r , t )-re cseréli , így bármelyik operátor lesz invariáns a megadott átalakítás tekintetében ${\widehat {\Omega ))$ ${\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\tőr }$ ${\widehat {A}}$ ${\widehat {\Omega ))$

{\widehat {A}}\psi ={\widehat {\Omega }}^{\dagger }{\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi \quad \Rightarrow \quad { \widehat {\Omega }}{\widehat {A}}\psi ={\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi

és ezért:

[{\widehat {\Omega )),{\widehat {A}}]\psi =0

bármely ψ állapotra . A megfigyelhetőnek megfelelő kvantumoperátoroknak is hermitikusaknak kell lenniük ahhoz, hogy sajátértékeik valós számok legyenek , azaz az operátor egyenlő a hermitiánus konjugátumával , . ${\widehat {A}}={\widehat {A}}^{\tőr }$

A hazugság-csoportelmélet áttekintése

Az alábbiakban a kvantumelmélethez kapcsolódó csoportelmélet legfontosabb rendelkezései találhatók, és a cikkben példák is találhatók. Egy alternatív megközelítés mátrixcsoportokat használ (lásd Hall könyveit) [1] [2]

Legyen G egy Lie-csoport , amelyet lokálisan egy véges számú N valós , folyamatosan változó ξ 1 , ξ 2 , paraméterrel lokálisan parametrizálunk . . . ξ N. Más nyelven ez azt jelenti, hogy G egy sima sokaság , amely egyben csoport is, sima csoportműveletekkel.

A csoport dimenziója egyenlő N -nel, azaz egyenlő a csoport paramétereinek számával.
a g csoport elemei G -ben a paraméterek függvényei :

g=G(\xi _{1},\xi _{2},\cdots )

és ha minden paraméter nullára van állítva, akkor ez a csoport semleges elemének felel meg :

I=G(0,0\cdots )

Egy csoport elemeit gyakran vektorokra ható mátrixokként vagy függvényekre ható transzformációkként ábrázolják.

A csoportgenerátorok a csoportelemek részleges származékai a csoportparaméterek tekintetében azon a ponton, amikor a paraméter nulla, azaz

{\displaystyle X_{j}=\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j))}\right|_{\xi _{j}=0))

A sokaságok nyelvén egy csoport generátorai az azonosságnál lévő G -hez tartozó érintőtér elemei. A generátorokat infinitezimális csoport elemeiként vagy egy G csoport Lie algebrájának elemeiként is ismerik. (Lásd a kommutátor leírását alább.) A generátorok egyik előnye az elméleti fizikában, hogy ezeknek az operátoroknak szimmetriájuk van, amelyek mátrixként vagy differenciáloperátorként írhatók fel. A kvantumelméletben egységes csoportreprezentációk esetén a generátorokat megszorozzuk i -vel :

{\displaystyle X_{j}=i\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j))}\right|_{\xi _{j}=0))

A csoportgenerátorok vektorteret alkotnak , ami azt jelenti, hogy a generátorok lineáris kombinációi is generátort alkotnak.

A generátorok (mátrixok vagy differenciáloperátorok) kielégítik a kommutációs relációkat :

{\displaystyle \left[X_{a},X_{b}\right]=if_{abc}X_{c))

ahol f abc (alaptól függően) a csoport szerkezeti állandói . A csoport generátorai a vektortér tulajdonságaival együtt meghatározzák a Lie algebra alapját . A zárójelek (a kommutátor) antiszimmetriája miatt a csoport szerkezeti állandói az első két indexben antiszimmetrikusak.

A csoportreprezentációk azt a módot írják le, ahogyan egy G csoport (vagy Lie-algebra) hat a vektortérre. (A vektorteret felvehetjük például egy G- vel szimmetriacsoportot tartalmazó Hamilton-féle sajátvektorok tereként.) A reprezentációkat nagy D -vel jelöljük. Ekkor D -t megkülönböztetve egy Lie algebrai reprezentációt kapunk, amelyet gyakran szintén jelölnek. írta: D. Ez a két ábrázolás a következőképpen kapcsolódik egymáshoz:

{\displaystyle D[g(\xi _{j})]\equiv D(\xi _{j})=e^{i\xi _{j}D(X_{j)))))

az ismételt index j összegzése nélkül . A csoportreprezentációk a csoport egyes elemeihez hozzárendelt lineáris operátorok, amelyekre teljesül a kompozíciós szabály:

D(\xi _{a})D(\xi _{b})=D(\xi _{a}\xi _{b}).

Az olyan reprezentációt, amely nem bontható fel más reprezentációk közvetlen összegére, irreducibilisnek nevezzük . Szokásos az irreducibilis reprezentációkat zárójelben lévő n felső indexszel jelölni, mint a D ( n ) -nél , vagy ha több szám van, akkor D ( n , m , ... ) -t írunk .

Egy további finomság merül fel a kvantumelméletben: két skaláris tényezővel eltérő vektor ugyanazt a fizikai állapotot határozza meg. Ekkor az ábrázolás megfelelő fogalma egy projektív reprezentáció, amely csak egy skaláris tényezőig elégíti ki az összetétel törvényét. A kvantummechanikai spin kontextusában az ilyen reprezentációkat spinor reprezentációknak nevezzük .

A lendület és az energia, mint a közlekedés, az időbeli evolúció és a forgás generátorai

A térbeli transzláció operátora a hullámfüggvényre hat, és a térbeli koordinátákat végtelenül kicsi Δ r eltolással tolja el . Az operátorra egy explicit kifejezést kaphatunk a Taylor sorozat ψ ( r + Δ r , t ) kiterjesztésével r szomszédságában , majd (megőrizve az első rendű tagot, figyelmen kívül hagyva a második és magasabb rendű tagokat) lecseréljük a térbeli deriváltokat. (gradiens) a momentum operátorral . Hasonlóképpen, az időparaméterre ható időeltolás operátor esetében a Taylor-sor kiterjesztésében ψ ( r , t + Δt ) t szomszédságában az időderivált az energiaoperátorral helyettesítjük . ${\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )$ ${\widehat {T}}$ ${\widehat {\mathbf {p} }}$ ${\widehat {E}}$

Név	Műsorszórási operátor ${\widehat {T}}$	Time Evolution Operator ${\widehat {U}}$
Művelet a hullámfüggvényen	${\widehat {T))(\Delta \mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} ,t)$	${\widehat {U}}(\Delta t)\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ,t+\Delta t)$
Infinitezimális operátor	${\widehat {T))(\Delta \mathbf {r} )=I+{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}$	${\widehat {U}}(\Delta t)=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}$
végső operátor	$\lim _{N\rightarrow \infty }\left(I+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{N}}\cdot {\widehat { \mathbf {p} }}\right)^{N}=\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} } }\right)={\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )$	$\lim _{N\rightarrow \infty }\left(I-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta t}{N}}\cdot {\widehat {E}} \right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}\right)={\widehat {U}}(\Delta t )$
Generátor	Momentum operátor ${\widehat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$	Energia Üzemeltető ${\widehat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))$

Az exponenciális függvények az Euler által adott definíció szerint keletkeznek , és fizikai és matematikai jelentésüket a következőképpen értjük. A tiszta átvitel sok kis eltolásból áll, ezért a végső növekmény shift operátorának megszerzéséhez Δ r -t Δ r / N -re , Δ t -t Δ t / N -re kell cserélni , ahol N egy pozitív, nem nulla egész szám. Ekkor az N növekedésével Δ r és Δ t értéke még kisebb lesz, miközben értékeik változatlanok maradnak. Az infinitezimális operátorok hatása az N -szeres hullámfüggvényre és a határértékre való áthaladás, amikor N a végtelenbe hajlik, véges operátorok alakjához vezet.

A tér és idő fordításai ingáznak, ami egyben operátoraik és generátoraik kommutációját is jelenti.

Kapcsolók

Üzemeltetők	$\left[{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{1}),{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{2})\right]\psi (\ mathbf {r} ,t)=0$	$\left[{\widehat {U}}(t_{1}),{\widehat {U}}(t_{2})\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0$
Generátorok	$\left[{\widehat {p}}_{i},{\widehat {p}}_{j},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0$	$\left[{\widehat {E}},{\widehat {p}}_{i},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0$

Egy nem kifejezetten az időtől függő Hamilton-féle esetében az energia időben megmarad, és a kvantumállapotokat stacionárius állapotoknak nevezzük : a Hamilton-féle sajátállapotai az E energia sajátértékei :

{\widehat {U}}(t)=\exp \left(-{\frac {i\Delta tE}{\hbar }}\right)

és minden stacionárius állapot olyan formát ölt

\psi (\mathbf {r} ,t+t_{0})={\widehat {U}}(t-t_{0})\psi (\mathbf {r} ,t_{0})

ahol t 0 a kezdeti idő, általában egyenlők nullával, mivel a kezdeti időpont megválasztása nem szakítja meg a folytonosságot.

Más jelöléssel írhat . ${\widehat {U}}(t-t_{0})\equiv U(t,t_{0})$

A szögimpulzus mint forgásgenerátor

Orbitális szögimpulzus

A forgatás operátora úgy hat a hullámfüggvényre, hogy a részecske térbeli koordinátái állandó Δ θ szöggel elfordulnak :

{R}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t)

ahol r ′ a tengely körül elforgatott koordinátákat jelöli. A tengelyt egységvektor állítja be , a forgást pedig a Δ θ szögnövekmény határozza meg, amelyet a következő képlet határoz meg : ${\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})$

\mathbf {r} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {r} \,.

ahol a forgási mátrix a tengelytől és a szögtől függően. A csoportok nyelvén a forgatási mátrixok a csoport elemei, a szögek és a tengely pedig az SO(3) háromdimenziós speciális ortogonális csoport paraméterei. Forgatási mátrixok a Descartes-rendszer standard bázisa körül a Δ θ szöggel , és a megfelelő J = ( J x , J y , J z ) forgásgenerátorok : ${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})$ $\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}=\Delta \theta (a_{1},a_{2},a_{3})$ ${\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}$

${\widehat {R}}_{x}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{ pmatrix}1&0&0\\0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{x}\equiv J_{1}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R))(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x} )}{\partial \theta }}\right\|_{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\\\end{pmátrix}}\,,$
${\widehat {R}}_{y}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{ pmatrix}\cos \Delta \theta &0&\sin \Delta \theta \\0&1&0\\-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{y}\equiv J_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R))(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y} )}{\partial \theta }}\right\|_{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\\\end{pmátrix}}\,,$
${\widehat {R}}_{z}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{ pmatrix}\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta &0\\\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{z}\equiv J_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R))(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z} )}{\partial \theta }}\right\|_{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.$

Általánosabb értelemben a vektor által meghatározott tengely körüli elforgatásokhoz a forgatási mátrix elemei adottak [3] ${\hat {\mathbf {a} ))$

[{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]_{ij}=(\delta _{ij}-a_{i}a_{j}) \cos \theta -\varepsilon _{ijk}a_{k}\sin \theta +a_{i}a_{j}

ahol δ ij a Kronecker szimbólum és ε ijk a Levi-Civita szimbólum .

Nem egyértelmű, hogyan definiáljuk a forgatási operátort a tér és idő fordításaihoz képest. Tekinthetünk egy speciális esetet (forgás az x , y vagy z tengely körül ), majd levezethetjük az általános eredményt, vagy közvetlenül használhatjuk az általános elforgatási mátrixot és a tenzorindexeket δ ij és ε ijk értékekkel . Egy kis Δ θ -nek megfelelő infinitezimális forgatási operátor származtatásához a sin (Δ θ ) ≈ Δ θ és cos (Δ θ ) ≈ 1 kis szög közelítéseket, valamint a Taylor-kiterjesztést r vagy r i körül használjuk, miközben csak az elsőt tartjuk meg. sorrendben és in Végül behelyettesítjük a szögmomentum operátor komponenseit.

	fordulj meg ${\hat {\mathbf {e} }}_{z}$	fordulj meg ${\hat {\mathbf {a} ))$
Művelet a hullámfüggvényen	${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})\psi (x,y,z,t)=\psi (x-\ Delta \theta y,\Delta \theta x+y,z,t)$	${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (r_{i},t)=\psi (R_{ij}r_{j} ,t)=\psi (r_{i}-\varepsilon _{ijk}a_{k}\Delta \theta r_{j},t)$
Infinitezimális operátor	${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\widehat {L}}_{z}$	${\begin{aligned}{\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})&=I-(-\Delta \theta a_{k}\varepsilon _{kij}r_{j}){\frac {\partial }{\partial r_{i))}\\&=I-(\Delta \theta a_{k}\varepsilon _{kji}r_{j} ){\frac {\partial }{\partial r_{i))}\\&=I-\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot (\mathbf {r} \times \nabla )\\&=I-{\frac {i\Delta \theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\\\end {igazított}}$
Infinitezimális forgások	${\widehat {R}}=1-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} ))\,,\quad {\widehat {\mathbf {L} }}=i\hbar {\hat {\mathbf {a} }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}$	hasonlóképpen
Fordulatok vége	$\lim _{N\rightarrow \infty }\left(1-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta \theta }{N}}{\hat {\mathbf {a } }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\ mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\right)={\widehat {R}}$	hasonlóképpen
Generátor	z -a szögmomentum operátor komponense ${\widehat {L}}_{z}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}$	Teljes szögimpulzus-operátor . ${\widehat {\mathbf {L} }}$

A szögimpulzus operátor z komponense helyettesíthető a vektor által meghatározott tengely menti vetülettel a pontszorzat segítségével . ${\hat {\mathbf {a} ))$ ${\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}$

Ismét egy véges forgatás elvégezhető sok kis elforgatással, Δθ -t Δθ / N -re cserélve, és elmegy a határig, mivel N a végtelenbe megy . Ez egy forgatási operátort eredményez a végső forgatáshoz.

Az azonos tengely körüli elforgatások ingáznak, például az i tengely körüli θ 1 és θ 2 szögeken keresztüli elforgatás felírható

R(\theta _{1}+\theta _{2},\mathbf {e} _{i})=R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i})R( \theta _{2}\mathbf {e} _{i})\,,\quad [R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i}),R(\theta _{2}\ mathbf {e} _{i})]=0\,.

A különböző tengelyek körüli forgások azonban nem ingáznak. A szögimpulzus operátorok kommutációjának általános szabályai

[L_{i},L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k}.

Ebben az értelemben az orbitális szögimpulzus forgásokat ír le. A fenti kommutátorok mindegyike könnyen elképzelhető, ha veszünk egy hétköznapi tárgyat, és egymás után azonos szögben elforgatjuk az 1. és 2. tengely körül, vagy fordítva a 2. és 1. tengely körül – a test végső helyzete eltérő lesz.

A kvantummechanikában létezik egy másik forgási forma is, amely matematikailag hasonlónak tűnik a pályaesethez, de eltérő tulajdonságokkal rendelkezik (lásd alább).

Spin

Minden korábbi mennyiségnek klasszikus analógja van. A spin a kvantummechanika részecskéinek klasszikus analógja nélküli mennyisége, amelynek mérete a szögimpulzus egysége. A spin vektor operátort jelöli . Összetevőinek sajátértékei a spin mérésének lehetséges értékei (egységekben) a bázisvektorokra vetítve. ${\widehat {\mathbf {S} }}=({\widehat {S_{x}}},{\widehat {S_{y}}},{\widehat {S_{z}}})$ $\hbar$

A (közönséges tér) egy tengely körüli elforgatását egy θ szöggel egy térbeli egységvektorhoz képest , amely többkomponensű hullámfüggvényre (spinor) hat a tér egy pontjában, a következőképpen ábrázolható: ${\hat {\mathbf {a} ))$ ${\hat {a}}$

Centrifugálási kezelő ( véges )

${\widehat {S}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat { \mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {S} }}\jobbra)$

Ellentétben az orbitális szögimpulzussal, amelyben az l kvantumszám csak pozitív vagy negatív egész értékeket vehet fel (beleértve a nullát is), az s spinkvantumszám minden pozitív és negatív fél egész értéket felvehet. Minden spinkvantumszámhoz vannak rotációs mátrixok.

Adott s spinkvantumszámú z - vetület kitevőjének kiszámítása (2s + 1)-dimenziós spinmátrixot kap. Mi alapján definiálhatunk egy spinort 2 s + 1 komponensű oszlopvektorként, amely a koordinátarendszer spinmátrix szerinti forgatásával a tér egy fix pontjában transzformálódik.

Az s = 1/2 állapotú állapot legegyszerűbb nemtriviális esetére a spin operátor alakja

{\widehat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}

hol vannak a Pauli-mátrixok a standard ábrázolásban:

\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{2}=\sigma _{y }={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&- 1\end{pmatrix}}

Teljes szögimpulzus

A teljes szögimpulzus-operátor a keringési és forgási nyomatékok összege

{\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}

és nagy jelentőséggel bír a sokrészecskés rendszerekben, különösen a magfizikában és a sokelektronos atomok és molekulák kvantumkémiájában.

Hasonló forgási mátrix

{\widehat {J}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat { \mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {J} }}\jobbra)

Megőrzött mennyiségek a kvantumharmonikus oszcillátorhoz

Egy n - dimenziós kvantumharmonikus oszcillátor dinamikus szimmetriacsoportja az SU ( n ) speciális unitárius csoport. Például a megfelelő Lie-algebrák infinitezimális generátorainak száma az SU(2) és SU(3) csoportokhoz három, illetve nyolc. Ez pontosan három és nyolc független konzervált mennyiséghez vezet (a Hamiltontól eltérő) ezekben a rendszerekben.

A 2D kvantumharmonikus oszcillátor rendelkezik a várt megmaradt mennyiségekkel, mint például a Hamilton- és a szögimpulzus, de további rejtett megőrzött mennyiségekkel is rendelkezik, mint például az energiaszint-különbségek és a szögimpulzus egy másik formája.

A Lorentz-csoport a relativisztikus kvantummechanikában

Az alábbiakban a Lorentz-csoportot vesszük figyelembe (a téridő növekedései és elforgatásai). Ebben a részben lásd: [4] [5]

A Lorentz-transzformációk paraméterezhetők a φ sebességgel a 3D egységvektor irányában történő növeléshez és a 3D egységvektor körüli θ elforgatási szöggel , amely meghatározza a tengely irányát. Ezután és együtt határozzuk meg a Lorentz-csoport hat paraméterét (hármat a forgatásokhoz és három növeléshez). A Lorentz-csoportnak hat dimenziója van. ${\hat {\mathbf {n} }}=(n_{1},n_{2},n_{3})$ ${\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ $\varphi {\hat {\mathbf {n} }}=\varphi (n_{1},n_{2},n_{3})$ $\theta {\hat {\mathbf {a} }}=\theta (a_{1},a_{2},a_{3})$

Tiszta forgások a téridőben

A fentebb vizsgált forgatási mátrixok és forgásgenerátorok egy négydimenziós mátrix térszerű részét alkotják, ami egy tiszta forgatás. A Lorentz-csoport három eleme és a J = ( J 1 , J 2 , J 3 ) generátorok tiszta forgások esetén: ${\widehat {R}}_{x},{\widehat {R}}_{y},{\widehat {R}}_{z}$

${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{x}=J_{1}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{pmatrix))\,,$
${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &0& \sin \Delta \theta \\0&0&1&0\\0&-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{y}=J_{2}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{pmatrix))\,,$
${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta & -\sin \Delta \theta &0\\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{z}=J_{3}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix))\,.$

A forgatási mátrixok bármely 4-vektorra hatnak A = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) és forgatják a térszerű komponenseket a képlet szerint

\mathbf {A} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A}

az időkoordinátát változatlanul hagyva. A mátrixábrázolásban az A vektort oszlopvektorként kezeljük.

Tiszta téridő-növelés

A c tanh φ sebességű növelés x , y vagy z irányban , amelyet a bázisú derékszögű koordinátarendszer ad meg , a boost transzformációs mátrix. Ezek a mátrixok és a megfelelő K = ( K 1 , K 2 , K 3 ) generátorok a csoport maradék három eleme és a Lorentz-csoport generátorai: ${\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}$ ${\widehat {B}}_{x},{\widehat {B}}_{y},{\widehat {B}}_{z}$

${\widehat {B}}_{x}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix} \cosh \varphi &\sinh \varphi &0&0\\\sinh \varphi &\cosh \varphi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$K_{x}=K_{1}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B))(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x}) }{\partial \varphi }}\right\|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {B}}_{y}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix} \cosh \varphi &0&\sinh \varphi &0\\0&1&0&0\\\sinh \varphi &0&\cosh \varphi &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$K_{y}=K_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B))(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y}) }{\partial \varphi }}\right\|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {B}}_{z}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix} \cosh \varphi &0&0&\sinh \varphi \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh \varphi &0&0&\cosh \varphi \\\end{pmatrix}}\,,$	$K_{z}=K_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B))(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z}) }{\partial \varphi }}\right\|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.$

A boost mátrixok bármely 4-vektorra hatnak A = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) és keverik az időbeli és térbeli komponenseket a képlet szerint

\mathbf {A} '={\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A}

A "növelés" kifejezés a két referenciakeret közötti relatív sebességre utal, és nem kombinálható a lendülettel, mint fordítási generátorral , amint azt alább kifejtjük.

Erősítések és pörgetések kombinációja

Az elforgatások szorzata egy másik elforgatást ad (egy alcsoport gyakori példája), míg az emelések vagy a fellendítések és a forgatások szorzata nem fejezhető ki sem tiszta emelésekkel, sem tiszta forgatásokkal. Általánosságban elmondható, hogy bármely Lorentz-transzformáció kifejezhető egy tiszta forgás és egy tiszta emelkedés szorzataként. További információkért lásd [6] és a benne található hivatkozásokat.

A boost és a forgatás generátor reprezentációit D ( K ) és D ( J ) jelöléssel jelöljük , ahol a nagy D ebben az összefüggésben csoportreprezentációt jelöl .

A Lorentz-csoport esetében a K és J generátorok D ( K ) és D ( J ) reprezentációi megfelelnek a következő kommutációs szabályoknak.

Kapcsolók

	Nettó fordulat	Tiszta lendület	Lorentz transzformáció
Generátorok	${\displaystyle \left[J_{a},J_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}J_{c))$	${\displaystyle \left[K_{a},K_{b}\right]=-i\varepsilon _{abc}J_{c))$	${\displaystyle \left[J_{a},K_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}K_{c))$
Reprezentáció	${\displaystyle \left[{D(J_{a})},{D(J_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(J_{c)))))$	${\displaystyle \left[{D(K_{a})},{D(K_{b})}\right]=-i\varepsilon _{abc}{D(J_{c)))))$	${\displaystyle \left[{D(J_{a})},{D(K_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(K_{c)))))$

Az összes kommutátorban az emelések keverednek pörgésekkel, bár a csak pörgést végző kommutátorok eltérő pörgetést eredményeznek. A csoportgenerátorok exponenciális leképezése boost és rotation operátorokat ad, melyeket egy általános Lorentz-transzformációba vonnak össze, melyben a téridő koordinátákat egy nyugalmi keretből a másikba boost-ok és/vagy elforgatások segítségével alakítják át. Hasonlóan a generátorok reprezentációinak exponenciális leképezése adja a boost és rotation operátorok reprezentációit, amelyek szerint a részecske spinormezeje átalakul.

Az átalakulás törvényei

	Tiszta lendület	Nettó fordulat	Lorentz transzformáció
Átváltozások	${\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi {\hat { \mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} \jobbra)$	${\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat { \mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \jobbra)$	$\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} )),\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left[-{\frac {i}{ \hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \jobbra )\jobb]$
Reprezentáció	$D[{\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi { \hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )\right)$	$D[{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta { \hat {\mathbf {a} }}\cdot D(\mathbf {J} )\right)$	$D[\Lambda (\theta ,{\hat {\mathbf {a} )),\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left[-{\frac { i}{\hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )+\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot D (\mathbf {J} )\jobbra)\jobbra]$

A szakirodalomban a K erősítő generátorokat és a J forgásgenerátorokat néha egyetlen generátorban egyesítik az M Lorentz-transzformációkhoz , amely egy antiszimmetrikus négydimenziós mátrix, amely bejegyzésekkel rendelkezik:

M^{0a}=-M^{a0}=K_{a}\,,\quad M^{ab}=\varepsilon _{abc}J_{c}\,.

és ennek megfelelően az emelések és elforgatások paramétereit egy másik antiszimmetrikus négydimenziós mátrixba gyűjtjük ω elemekkel:

\omega _{0a}=-\omega _{a0}=\varphi n_{a}\,,\quad \omega _{ab}=\theta \varepsilon _{abc}a_{c}\, ,

Tehát az általános Lorentz-transzformáció a következő:

\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} )),\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{ 2))\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left[-{\frac {i}{2))\left(\varphi {\hat {\ mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]

α és β ismétlődő mátrixindexek összegzésével . A Λ mátrixok bármely A = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) 4-vektorra hatnak, és a képlet szerint keverik az időszerű és térbeli komponenseket.

\mathbf {A} '=\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} )),\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {A}

Spinor hullámfüggvények transzformációi a relativisztikus kvantummechanikában

A relativisztikus kvantummechanikában a hullámfüggvények már nem egykomponensű skalárterek, hanem 2 (2 s + 1) komponensből álló spinormezők, ahol s a részecske spinje. Az alábbiakban ezeknek a függvényeknek a tér-időben történő átalakulásait mutatjuk be.

A Minkowski-térben a helyes ortokron Lorentz - transzformáció ( r , t ) → Λ( r , t ) mellett minden ψ σ egyrészecskés kvantumállapot lokálisan transzformálódik valamilyen D reprezentációban a Lorentz-csoportra a következő képlet szerint [7] [ 8]

\psi _{\sigma }(\mathbf {r} ,t)\rightarrow D(\Lambda )\psi _{\sigma }(\Lambda ^{-1}(\mathbf {r} ,t) )

ahol D (Λ) véges dimenziós ábrázolás, más szóval egy (2 s + 1) × (2 s + 1 ) méretű négyzetmátrix , a ψ pedig olyan oszlopvektornak tekinthető, amely a (2 s + ) komponenseket tartalmazza. 1) a σ spin megengedett értékei :

\psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =s- 1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =-s} (\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _ {\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }& \cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r}, t)}^{\csillag }\end{bmátrix}}

Irreducibilis valós reprezentációk és spin

A D ( K ) és D ( J ) irreducibilis reprezentációkat felhasználhatjuk a Lorentz-csoport spin-reprezentációinak megalkotására. Az új operátorok meghatározása:

\mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}}\,,\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}\,,

tehát A és B egymás összetett konjugátumai . Ebből következik, hogy kielégítik a szimmetrikusan írt kommutátorokat:

\left[A_{i},A_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}A_{k}\,,\quad \left[B_{i},B_{j}\right]= \varepsilon _{ijk}B_{k}\,,\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0\,,

és ezek lényegében azok a kommutátorok, amelyeket az orbitális és a spin szögmomentum-operátorok kielégítenek. Ezért A és B a szögimpulzussal analóg operátoralgebrákat alkot; ugyanazok a létraoperátorok , z -projekciók stb. egymástól függetlenül, mivel mindegyik komponensük ingázik egymással. A spinkvantumszám analógiájára bevezetjük az a, b pozitív egész vagy fél egész számokat a megfelelő m = a , a - 1, ... - a + 1, - a és n = b sajátérték-halmazokkal. , b − 1, ... − b + 1, − b . A fenti kommutációs relációkat kielégítő mátrixok, ugyanúgy, mint az a és b spineknél, a Kronecker-delta értékeket a szögimpulzus mátrixelemekkel megszorozva kapnak komponenseket :

\left(A_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{x}^{(m)}\right)_{m 'm}\,\quad \left(B_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{x}^{(n)}\jobb )_{n'n}

\left(A_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{y}^{(m)}\right)_{m 'm}\,\quad \left(B_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{y}^{(n)}\jobb )_{n'n}

\left(A_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m 'm}\,\quad \left(B_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{z}^{(n)}\jobb )_{n'n}

ahol az m ′ n ′ sorszámot és az mn oszlopszámot minden esetben vessző választja el. Akkor

\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{m'm}\,\quad \left(J_{x}^{(m) )}\pm iJ_{y}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{a',a\pm 1}{\sqrt {(a\mp m)(a\ délután p+1)}}

és hasonlóképpen J ( n ) esetén [1. megjegyzés] . Három négyzetmátrix J (m) - mindegyik mérete ( 2 m + 1) × (2 m + 1) , és három J (n) (2 n + 1) × (2 n + 1) . Az m és n egész vagy fél egész számok az összes irreducibilis reprezentációt felsorolják az itt használt ekvivalens jelöléssel: D ( m , n ) ≡ ( m , n ) ≡ D ( m ) ⊗ D ( n ) , amelyek mindegyike négyzet alakú. [(2 m + 1)(2 n + 1)]×[(2 m + 1)(2 n + 1)] méretű mátrixok .

Alkalmazzuk ezt az érvelést az s spinű részecskékre ;

balkezes (2s + 1) -komponensű spinorok transzformációja a D ( s , 0) irreducibilis valós reprezentációkhoz képest ,
jobb (2 s + 1) -komponensű spinorok transzformálódnak a D (0, s ) irreducibilis valós reprezentációkhoz képest ,
direkt összegeket véve , amelyeket ⊕ -vel jelölünk (lásd a mátrixok egyszerűbb fogalmát , mátrixok közvetlen összege ), 2(2 s + 1) -komponensű spinorokat transzformáló reprezentációkat kapunk : D ( m , n ) ⊕ D ( n , m ) ahol m + n = s . Ezek is irreducibilis valós reprezentációk, de, mint fentebb látható, összetett konjugátumokra bomlanak.

Ezekben az esetekben D a D ( J ) , D ( K ) vagy a D (Λ) teljes Lorentz-transzformáció bármelyikére utal .

Relativisztikus hullámegyenletek

A Dirac-egyenlet és a Weyl- egyenlet összefüggésében a Weyl-egyenletet kielégítő Weyl-spinorok a Lorentz-csoport legegyszerűbb irreducibilis spin-reprezentációi alatt transzformálódnak, mivel a spinkvantumszám ebben az esetben a lehető legkisebb nullától eltérő szám: 1/ 2. Egy 2-komponensű bal oldali Weyl-spinor D -vel (1/2, 0) , egy 2-komponensű jobboldali Weyl-spinor pedig D -vel (0, 1/2) alakul . A Dirac-egyenletet kielégítő Dirac-spinorokat a D (1/2, 0) ⊕ D (0, 1/2) reprezentáció szerint transzformáljuk – a Weyl-spinorok irreducibilis valós reprezentációinak közvetlen összege.

A Poincare-csoport a relativisztikus kvantummechanikában és a térelméletben

A térbeli fordítások , az időbeli fordítások, a forgatások és a növelések együttesen alkotják a Poincaré -csoportot . A csoport elemei három forgatási mátrix és három boost mátrix (mint a Lorentz-csoportban), egy az időbeli, három pedig a téridőbeli transzlációhoz. Minden elemhez van egy generátor. Ezért a Poincaré-csoport 10 dimenziós.

A speciális relativitáselméletben a tér és az idő összegyűjthető egy X = ( ct , − r ) négyes vektorba , és ehhez hasonlóan az energia és az impulzus egy négydimenziós P = ( E / c , − p ) impulzusvektorba . Figyelembe véve a relativisztikus kvantummechanikát, az időintervallum és a térbeli elmozdulás paraméterei (összesen négy paraméter, egy az időre és három a térre) a Δ X = ( c Δ t , −Δ r ) tér-idő eltolódásba kombinálódnak. , és az energia- és impulzusoperátorokat 4D-s lendületre cseréljük, hogy 4D-s operátort kapjunk

{\widehat {\mathbf {P} }}=\left({\frac {\widehat {E}}{c}},-{\widehat {\mathbf {p} }}\right)=i \hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t)),\nabla \right)\,,

amelyek tér-idő fordítások generátorai (összesen négy generátor, egy az időre és három a térre):

{\widehat {X}}(\Delta \mathbf {X} )=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {X} \cdot {\widehat { \mathbf {P} }}\right)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\Delta t{\widehat {E}}+\Delta \mathbf {r} \ cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)\right]\,.

Írjuk fel a Poincaré-algebrát meghatározó 4 impulzus P (tér-idő transzláció generátorok) és M szögmomentum (Lorentz-transzformációk generátorai) komponensei közötti kommutációs összefüggéseket : [9] [10]

$[P_{\mu },P_{\nu }]=0\,$
${\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,$
${\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,$

ahol η a metrikus Minkowski tenzor . (A kommutációs relációkban a 4 momentumú operátoroknál általában leveszik a kalapot). Ezek az egyenletek tartalmazzák a tér és az idő alapvető tulajdonságait, amennyire ma ismertek. Ezeknek az összefüggéseknek van egy klasszikus megfelelőjük, amelyben a kommutátorokat Poisson zárójelek helyettesítik .

A relativisztikus kvantummechanika spinjének leírására a Pauli-Lubansky pszeudovektort használják

W_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },

a Casimir operátor állandó spin-hozzájárulás a teljes szögimpulzushoz. A P és W , valamint az M és W közötti kommutációs relációt így írhatjuk fel

\left[P^{\mu },W^{\nu }\right]=0\,,

\left[J^{\mu \nu },W^{\rho }\right]=i\left(\eta ^{\rho \nu }W^{\mu }-\eta ^{\ rho \mu }W^{\nu }\right)\,,

\left[W_{\mu },W_{\nu }\right]=-i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }W^{\rho }P^{\sigma }\, .

A W - ből szerkesztett invariánsok , a Casimir invariánsok felhasználhatók a Lorentz-csoport irreducibilis reprezentációinak osztályozására.

Szimmetriák a kvantumtérelméletben és a részecskefizikában

Egységes csoportok a kvantumtérelméletben

A csoportelmélet a szimmetriák matematikai elemzésének absztrakt módja. A kvantumelméletben kiemelkedő jelentőséggel bírnak az unitárius operátorok, így a részecskefizikában is fontosak az unitárius csoportok . Az N -dimenziós egységes négyzetmátrixok csoportját U( N ) jelöljük . Az unitárius operátorok megőrzik a belső szorzatot, ami azt jelenti, hogy a valószínűségek is megmaradnak, így bármely rendszer kvantummechanikájának invariánsnak kell lennie unitáris transzformációk esetén. Legyen unitárius operátor, és legyen a Hermiti adjunktus , amely ingázik a Hamilton-operátorral: ${\widehat {U}}$ ${\widehat {U}}^{-1}={\widehat {U}}^{\tőr }$

\left[{\widehat {U}),{\widehat {H}}\right]=0

Ekkor az operátornak megfelelő megfigyelt érték megmarad, és a Hamilton-féle invariáns a transzformáció alatt . ${\widehat {U}}$ ${\widehat {U}}$

Mivel a kvantummechanika előrejelzéseinek invariánsnak kell lenniük egy csoport hatására, a tudósok egységes transzformációkat keresnek a csoport reprezentálására.

Minden U( N ) csoport fontos alcsoportjai azok az egységes mátrixok, amelyek azonosságdeterminánssal rendelkeznek (vagy "unimodulárisak"): ezeket speciális unitárius csoportoknak is nevezik, és SU( N ) jelöléssel.

U(1)

A legegyszerűbb egységcsoport az U(1), ami egyszerűen a modulo 1 komplex számok. Az egydimenziós mátrix ezen elemét a következőképpen írjuk:

{\displaystyle U=e^{-i\theta ))

ahol θ egy csoportparaméter. Ez a csoport Abel-féle, mivel az egydimenziós mátrixok mindig mátrixszorzás alatt ingáznak. A kvantumtérelméletben összetett skalárterekre vonatkozó Lagrangianusok gyakran invariánsak U(1) transzformáció esetén. Ha van egy a kvantumszám , amely az U(1) szimmetriához kapcsolódik, például egy barion- és három leptonszám az elektromágneses kölcsönhatásokban, akkor

{\displaystyle U=e^{-ia\theta ))

U(2) és SU(2)

Az U(2) csoportelem általános alakját két a és b komplex szám paraméterezi :

U={\begin{pmatrix}a&b\\-b^{\star }&a^{\star }\\\end{pmatrix))

és az SU(2) esetében a determináns 1:

\det(U)=aa^{\star }+bb^{\star }={|a|}^{2}+{|b|}^{2}=1

A csoportelmélet nyelvén a Pauli-mátrixok egy speciális unitárius csoport generátorai két dimenzióban, amelyet SU(2)-vel jelölünk. Kommutátoruk megegyezik az orbitális szögimpulzuséval, kivéve a 2-es tényezőt:

{\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\hbar \varepsilon _{abc}\sigma _{c))

Az SU(2) csoportelem felírható:

U(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=e^{i\theta \sigma _{j}/2}

ahol σ j a Pauli-mátrix, a csoportparaméterek pedig a vektor által megadott tengely körüli elforgatási szögek . ${\hat {\mathbf {e} }}_{j}$

Egy kétdimenziós izotróp kvantumharmonikus oszcillátor SU(2) szimmetriacsoporttal rendelkezik, míg az anizotróp oszcillátor szimmetria-algebra az u(2) nemlineáris kiterjesztése. [tizenegy]

U(3) és SU(3)

A nyolc λ n Gell-Mann mátrix (lásd a cikket és a szerkezeti állandókat) fontos a kvantumkromodinamika szempontjából . Eredetileg az SU(3) ízelméletben jelentek meg, amelyet ma is használnak a magfizikában. Meghatározzák az SU(3) csoport generátorait, így az SU(3) csoport eleme ugyanúgy felírható, mint az SU(2) csoport eleme:

U(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\sum _{n=1}^ {8}\theta _{n}\lambda _{n}\right)

ahol θ n nyolc független paraméter. A λ n mátrixok kielégítik a kommutátort:

{\displaystyle \left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]=2if_{abc}\lambda _{c))

ahol az a , b , c indexek 1, 2, 3 ... 8 értékeket vesznek fel. Az f abc szerkezeti állandók minden indexben teljesen antiszimmetrikusak, hasonlóan az SU (2) indexekhez. A szabványos színdíj alapon ( r piros, g zöld, b kék):

|r\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad |g\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}}\,,\quad |b\rangle ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}

a színállapotok a λ 3 és λ 8 mátrixok sajátállapotai , míg a többi mátrix a színállapotok keveréséért felelős.

A nyolc gluon állapotai (8 dimenziós oszlopvektorok) az SU(3) adjungált csoportreprezentáció sajátállapotai , egy 8 dimenziós reprezentáció, amely a saját Lie algebrájára su(3) hat a λ 3 és λ 8 mátrixokra . . A reprezentációk (a standard reprezentáció és duális) tenzorszorzatait képezve és a megfelelő arányokat felvéve a protonok, neutronok és egyéb hadronok különböző SU(3) színreprezentációk sajátállapotaiként jelennek meg. Az SU(3) ábrázolások a „maximális tömeg tétellel” írhatók le. [12]

Anyag és antianyag

A relativisztikus kvantummechanikában a relativisztikus hullámegyenletek figyelemreméltó szimmetriával rendelkeznek a természetben: minden részecskének van megfelelő antirészecskéje . Matematikailag ezt a spinormezők fejezik ki, amelyek relativisztikus hullámegyenletek megoldásai.

A töltéskonjugáció felcseréli a részecskéket és az antirészecskéket. A művelet eredményeként változatlan fizikai törvények és kölcsönhatások C-szimmetriával rendelkeznek.

Diszkrét tér-idő szimmetriák

A paritás a térbeli koordináták bal és jobb tájolását tükrözi . Informálisan a tér "tükröződik" a tükörben. A művelet eredményeként változatlan fizikai törvények és kölcsönhatások P-szimmetriával rendelkeznek .
Az időfordítás megfordítja az időkoordinátát, vagyis a jövőből a múltba futó idő van. Az idő különös tulajdonsága, amely nem létezik a térben, hogy egyirányú: az időben előre haladó részecskék egyenértékűek az időben visszafelé haladó antirészecskékkel. Az ezzel a művelettel megváltoztathatatlan fizikai törvények és kölcsönhatások T-szimmetriával rendelkeznek .

C , P , T szimmetriák

Mértékelmélet

A kvantumelektrodinamikában van egy U(1) szimmetriacsoportja, ami Abel -féle . A kvantumkromodinamikában a megfelelő SU(3) szimmetriacsoport nem Abel-féle.

Az elektromágneses kölcsönhatást fotonok hajtják végre , amelyeknek nincs elektromos töltése. Az elektromágneses tér tenzorát 4-potenciális elektromágneses térben határozzák meg, mérőszimmetriával.

Az erős (szín) kölcsönhatást a gluonok biztosítják , amelyek nyolc színtöltésben különböznek egymástól . Nyolc gluon térerősség-tenzor létezik a megfelelő 4-gluon potenciálmezőkkel , amelyek mindegyikének van egy mérőszimmetriája.

Erős (szín) kölcsönhatás

Színes töltés

A spin operátorral analóg módon a λ j Gell-Mann mátrixok tekintetében léteznek színtöltési operátorok :

{\hat {F}}_{j}={\frac {1}{2}}\lambda _{j}

és mivel a színtöltés megmarad, minden színtöltet-operátornak a Hamilton-jellel kell ingáznia:

\left[{\hat {F}}_{j},{\hat {H}}\right]=0

Isospin

Az Isospin erős kölcsönhatások hatására konzervált.

Gyenge és elektromágneses kölcsönhatások

Dualitás transzformáció

Mágneses monopólusok elméletileg létezhetnek, bár a jelenlegi megfigyelések és elmélet összhangban vannak a monopólus létezésének vagy nemlétének mindkét kimenetelével. Az elektromos és mágneses töltések hatékonyan „átalakíthatók egymásba” a kettős transzformációval .

Electroweak symmetry

Szuperszimmetria

A Lie-szuperalgebra olyan algebra, amelyben a (megfelelő) alapelemek vagy engedelmeskednek a kommutációs vagy antikommutációs szabályoknak. Szuperszimmetriában minden fermionos részecskének bozonikus megfelelői vannak, és fordítva. Ez a szimmetria elméletileg vonzó, mivel nem tesznek további feltevéseket (például a húrok létezésére vonatkozóan), amelyek megakadályozzák a szimmetriát. Ráadásul a szuperszimmetria feltételezésével számos rejtélyes probléma is megoldható. Ezeket a szimmetriákat, amelyeket a Lie szuperalgebrák képviselnek, kísérletileg nem igazolták. Most úgy gondolják, hogy ha léteznek, akkor ez a szimmetria megszakadt. Feltételezzük, hogy a sötét anyag egy gravitino , egy részecske spinnel 3/2 (fermion) és tömeggel, szuperszimmetrikus partnere pedig egy graviton spin 2-vel (bozon).

Permutációs szimmetria

A permutációs szimmetria fogalma a kvantumstatisztika alapvető posztulátumából származik , amely kimondja, hogy egyetlen megfigyelhető fizikai mennyiség sem változhat, miután két azonos részecske kicserélődik egymással. Azt mondja, hogy mivel az azonos részecskék rendszerében minden megfigyelhető a hullámfüggvény négyzetével arányos , akkor a hullámfüggvénynek vagy változatlannak kell maradnia, vagy meg kell változtatni az előjelét egy ilyen csere során. Általánosabban, n azonos részecskéből álló rendszer esetén a hullámfüggvénynek az S n véges szimmetrikus csoport irreducibilis reprezentációjaként kell átalakulnia . A statisztikáról szóló Pauli-tétel szerint a fermionos állapotok irreducibilis S n antiszimmetrikus reprezentációként , a bozonikus állapotok pedig szimmetrikus irreducibilis reprezentációként alakulnak át. A molekulák rovibronos állapotainak szimmetriájának osztályozására Longuet-Higgins [13] bevezette a molekuláris szimmetriacsoportot megkülönböztethetetlen magok megfelelő permutációinak és térbeli inverziós permutációinak csoportjaként. ${\displaystyle \left|\psi \right|^{2))$ $\psi$ $\psi$

Mivel két megkülönböztethetetlen részecske kicserélődése matematikailag egyenértékű az egyes részecskék 180 fokkal történő elforgatásával (és így egy részecske vonatkoztatási rendszerének 360 fokkal történő elforgatásával) [14] , a hullámfüggvény szimmetrikus jellege a hullámfüggvény spinétől függ . a részecske a forgatási operátor ráhelyezése után . Az egész spinű részecskék 360 fokkal elforgatva nem változtatják meg hullámfüggvényük előjelét, így a teljes rendszer hullámfüggvényének előjele nem változik. A félegész spinű részecskék 360 fokkal elforgatva megváltoztatják hullámfüggvényük előjelét (a részletekért lásd Pauli tételét ).

Azokat a részecskéket, amelyek hullámfüggvénye nem változtat előjelet a csere során, bozonoknak vagy szimmetrikus hullámfüggvényű részecskéknek nevezzük. Azokat a részecskéket, amelyeknek a rendszer hullámfüggvénye a permutáció hatására előjelet vált, fermionoknak vagy antiszimmetrikus hullámfüggvényű részecskéknek nevezzük.

Így a fermionok más statisztikának engedelmeskednek (az úgynevezett Fermi–Dirac statisztikának ), mint a bozonok (amelyek a Bose–Einstein statisztikának engedelmeskednek ). A Fermi-Dirac statisztika egyik következménye a fermionokra vonatkozó Pauli-elv : nincs két egyforma fermionnak egyforma kvantumállapota (más szóval, két azonos állapotú fermion hullámfüggvénye nulla). Ez viszont a fermionok degenerációs nyomásához vezet – a fermionok erős ellenállásához az összehúzódással szemben. Ez az ellenállás a közönséges atomi anyag "merevségét" vagy "keménységét" eredményezi (mivel az atomok elektronokat tartalmaznak, amelyek fermionok).

Kommentár

↑ Néha a következő megnevezéseket használják: $\left(\mathbf {A} \right)_{m'n',mn}\equiv \left[\left(A_{x}\right)_{m'n',mn},\left (A_{y}\jobbra)_{m'n',mn},\left(A_{z}\jobbra)_{m'n',mn}\jobbra]$ $\left(\mathbf {B} \right)_{m'n',mn}\equiv \left[\left(B_{x}\right)_{m'n',mn},\left (B_{y}\jobbra)_{m'n',mn},\left(B_{z}\jobbra)_{m'n',mn}\jobbra]$ $\left(\mathbf {J} ^{(m)}\right)_{m'm}\equiv \left[\left(J_{x}^{(m)}\right)_{m 'm},\bal(J_{y}^{(m)}\jobb)_{m'm},\left(J_{z}^{(m)}\jobb)_{m'm}\ jobb]$ .

Jegyzetek

↑ Hall, Brian C. Hazugságcsoportok, Hazugság-algebrák és reprezentációk: Elemi bevezetés. — 2. - Springer, 2015. - Vol. 222.
↑ Hall, Brian C. Kvantumelmélet matematikusoknak. — Springer, 2013.
↑ C. B. Parker. McGraw Hill Fizikai Enciklopédia . — 2. - McGraw Hill, 1994. - 1333. o . — ISBN 0-07-051400-3 .
↑ T. Ohlsson. Relativisztikus kvantumfizika: a fejlett kvantummechanikától a bevezető kvantumtérelméletig . - Cambridge University Press, 2011. - P. 7-10. — ISBN 978-1-13950-4324 .
↑ E. Abers. Kvantummechanika. - Addison Wesley, 2004. - P. 11, 104, 105, 410-411. - ISBN 978-0-13-146100-0 .
↑ H. L. Berk . A megfelelő homogén Lorentz transzformációs operátor e L = e − ω S − ξ K , Hol tart, mi a csavar ? Az eredetiből archiválva : 2013. október 29. Letöltve: 2020. december 7.
↑ Weinberg, S. (1964). „Feynman szabályok minden pörgetésre” (PDF) . Phys. Rev. _ 133 (5B): B1318-B1332. Irodai kód : 1964PhRv..133.1318W . DOI : 10.1103/PhysRev.133.B1318 . Archivált (PDF) az eredetiből ekkor: 2020-12-04 . Letöltve: 2020-12-07 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó ); Weinberg, S. (1964). Feynman szabályok minden pörgetésre. II. Tömeg nélküli részecskék” (PDF) . Phys. Rev. _ 134 (4B): B882-B896. Bibcode : 1964PhRv..134..882W . DOI : 10.1103/PhysRev.134.B882 . Archivált (PDF) az eredetiből ekkor: 2022-03-09 . Letöltve: 2020-12-07 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó ); Weinberg, S. (1969). Feynman szabályok minden pörgetésre. III” (PDF) . Phys. Rev. _ 181 (5): 1893-1899. Irodai kód : 1969PhRv..181.1893W . DOI : 10.1103/PhysRev.181.1893 . Archivált (PDF) az eredetiből ekkor: 2022-03-25 . Letöltve: 2020-12-07 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
↑ K. Masakatsu (2012). „Bozonok és fermionok szupersugárzási problémája forgó fekete lyukak esetén a Bargmann–Wigner formulában.” arXiv : 1208.0644 .
↑ N. N. Bogolubov. A kvantumtérelmélet általános elvei . — 2. - Springer, 1989. - P. 272. - ISBN 0-7923-0540-X .
↑ T. Ohlsson. Relativisztikus kvantumfizika: a fejlett kvantummechanikától a bevezető kvantumtérelméletig . - Cambridge University Press, 2011. - P. 10. - ISBN 978-1-13950-4324 .
↑ D. Bonastos (1994), A síkbeli anizotrop kvantumharmonikus oszcillátor szimmetria algebra racionális frekvenciaaránnyal, arΧiv : hep-th/9402099 .
↑ D. Bonastos (1994), A síkbeli anizotrop kvantumharmonikus oszcillátor szimmetria algebra racionális frekvenciaaránnyal, arΧiv : hep-th/9402099 .
↑ Longuet-Higgins, H.C. (1963). „A nem merev molekulák szimmetriacsoportjai”. Molekuláris fizika . 6 (5): 445-460. Bibcode : 1963MolPh...6..445L . DOI : 10.1080/00268976300100501 .
↑ Feynman, Richard. Az 1986-os Dirac-emlékelőadások. - Cambridge University Press, 1999. július 13. - P. 57. - ISBN 978-0-521-65862-1 .

További olvasnivaló

KJ Barnes. Csoportelmélet a standard modellhez és azon túl . — Taylor és Francis, 2010. — ISBN 978-142-007-874-9 .
M. Chaichian. Szimmetria a kvantummechanikában: a szögimpulzustól a szuperszimmetriáig. - Fizikai Intézet (Bristol és Philadelphia), 1998. - ISBN 0-7503-0408-1 .
Hall (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-1461471158
Hall (2015), Hazugságcsoportok, Hazugságalgebrák és Ábrázolások: Elemi bevezetés , Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3319134666
S. Haywood. Szimmetriák és megmaradási törvények a részecskefizikában: Bevezetés a csoportelméletbe részecskefizikusok számára . - World Scientific, 2011. - ISBN 978-184-816-703-2 .
MFC Ladd. Szimmetria molekulákban és kristályokban . - Ellis Horwood sorozat a fizikai kémiából, 1989. - ISBN 0-85312-255-5 .
W. Ludwig. Szimmetriák a fizikában. - Springer, 1996. - ISBN 3-540-60284-4 .
B. R. Martin, G. Shaw. részecskefizika . – Manchester Physics Series, John Wiley & Sons. - ISBN 978-0-470-03294-7 .
D. McMahon. Kvantummező elmélet. - Mc Graw Hill, 2008. - ISBN 978-0-07-154382-8 .
Moretti. Spektrálelmélet és kvantummechanika; A kvantumelméletek matematikai alapjai, a szimmetriák és az algebrai megfogalmazás bevezetése 2. kiadás. - Springer, 2018. - ISBN 978-3-319-70705-1 .