Poisson-eloszlás

Poisson-eloszlás
Valószínűségi függvény
elosztási függvény
Kijelölés	${\mathrm {P}}(\lambda )$
Lehetőségek	$\lambda \in (0,\infty )$
Hordozó	$k\in \{0,1,2,\ldots\}$
Valószínűségi függvény	${\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!)}}$
elosztási függvény	${\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!)))$
Várható érték	$\lambda$
Középső	$\kb \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor$
Divat	$\lfloor \lambda \rfloor$
Diszperzió	$\lambda$
Kurtosis együttható	$\lambda ^{-1}$
Differenciál entrópia	$\lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!e^{{-\lambda }}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {\ lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}$
Pillanatok generáló függvénye	$\exp(\lambda (e^{t}-1))$
jellemző funkció	$\exp(\lambda (e^{it}-1))$

A Poisson -eloszlás egy olyan valószínűségi változó diszkrét típusú eloszlása, amely egy fix idő alatt bekövetkezett események számát reprezentálja , feltéve, hogy ezek az események valamilyen rögzített átlagos intenzitással és egymástól függetlenül következnek be.

A Poisson-eloszlás kulcsszerepet játszik a sorelméletben .

Definíció

Válasszunk egy fix számot , és határozzunk meg egy diszkrét eloszlást , amelyet a következő valószínűségi függvény adja : $\lambda>0$

p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }

ahol

$k$ - rendezvények száma,
$\lambda$ - egy valószínűségi változó matematikai elvárása (az események átlagos száma meghatározott időtartamra),
$k!$ egy szám faktoriálisát jelöli , $k$
$e=2{,}718281828\lpont$ a természetes logaritmus alapja .

Az a tény, hogy egy valószínűségi változó Poisson-eloszlású matematikai elvárásokkal , a következőképpen írható: . $Y$ $\lambda$ $Y\sim ~{\mathrm {P}}(\lambda )$

Pillanatok

A Poisson-eloszlás momentumgeneráló függvényének alakja:

E_{Y}(t)=e^{{\lambda \left(e^{t}-1\right)}}

ahol

{\mathbb {M}}[Y]=\lambda

{\mathbb {D}}[Y]=\lambda

Az eloszlás faktoriális momentumaira az általános képlet érvényes:

\mathbb {M} Y^{[k]}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}\left\{{\begin{matrix}k\\i\end {mátrix}}\jobbra\}

ahol a göndör zárójelek a második típusú Stirling-számokat jelölik . $k=1,2,...$

És mivel a momentumok és a faktoriális momentumok lineárisan kapcsolódnak egymáshoz, gyakran a faktoriális momentumokat vizsgáljuk a Poisson-eloszláshoz, amelyekből szükség esetén közönséges momentumok is származtathatók.

A Poisson-eloszlás tulajdonságai

A független Poisson valószínűségi változók összegének is van Poisson-eloszlása. Hadd . Akkor $Y_{i}\sim {\mathrm {P}}(\lambda _{i}),\;i=1,\ldots ,n$

Y=\sum \limits _{{i=1}}^{n}Y_{i}\sim {\mathrm {P}}\left(\sum \limits _{{i=1}}^{n} \lambda _{i}\right)

Hagyjuk , és . Ekkor a feltételes eloszlás binomiális. Pontosabban: $Y_{i}\sim {\mathrm {P}}(\lambda _{i}),\;i=1,2$ ${\displaystyle Y=Y_{1}+Y_{2))$ $Y_{1}$ $Y=y$

Y_{1}\mid Y=y\sim {\mathrm {Bin}}\left(y,{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}} \jobb)

Ahogy a Poisson-eloszlás növekszik , a Gauss-eloszlásra hajlamos szórással és eltolódással . Ennek bizonyításához Stirling képletét kell alkalmaznunk a faktoriálisra, majd a Taylor sorozat kiterjesztését kell használni az eloszlás közelében és csúcsán belül . Aztán kiderül $\lambda$ $\sigma=\sqrt{\lambda}$ $\lambda$ $\ln(\lambda/k)^k$ $k=\lambda$ $\sqrt{k}\approx\sqrt{\lambda}$

p(k)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi\lambda}}\exp\left(-\frac{(k-\lambda)^2}{2\lambda}\jobbra)

Aszimptotikus eloszlási tendencia

A valószínűségszámításban gyakran nem magát a Poisson-eloszlást veszik figyelembe, hanem azzal aszimptotikusan egyenlő eloszlások sorozatát. Formálisabban tekintsünk olyan valószínűségi változók sorozatát, amelyek egész számokat vesznek fel úgy , hogy bármelyikre teljesüljön . $\xi _{1},\xi _{2},\pontok$ $k$ $P\{\xi _{n}=k\}\sim {\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!)}}$ $n\to\infty$

A legegyszerűbb példa az, amikor binomiális eloszlású, és mindegyik kísérletben a siker valószínűsége van . $\xi _{n}$ ${\frac {\lambda }{n}}$ $n$

Visszajelzés faktorális pillanatokkal

Tekintsünk véletlenszerű változók sorozatát, amelyek nem negatív egész értékeket vesznek fel. Ha for és for bármely fix (hol van a -edik faktoriális momentum ), akkor bármely for -ra van . $\xi _{1},\xi _{2},\dots ,$ $\mu _{r}({\xi _{n)))\sim \lambda ^{r}$ $n\to\infty$ $r$ $\mu _{r}({\xi _{n)))$ $r$ $k$ $n\to\infty$ $P\{\xi _{n}=k\}\sim {\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!)}}$

Bizonyíték Lemma

Először is bizonyítsuk be az általános képletet egy valószínűségi változó meghatározott értékének faktoriális momentumokban kifejezett előfordulási valószínűségének kiszámításához. Legyen néhány , akit ismerünk , és . Akkor $\xi$ $\mu _{r}(\xi )$ $\mu _{r}(\xi )\ 0-ra$ $r\to\infty$

$\sum \limits _{r=k}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {\mu _{r}(\xi )}{k!(rk)!} }}=\sum \limits _{r=k}^{\infty }{\sum \limits _{s=r}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {s!} {k!(rk)!(sr)!}}P\{\xi =s\}}}.$

Az összegzés sorrendjének megváltoztatásával ez a kifejezés konvertálható a következőre

$\sum \limits _{s=k}^{\infty }{P\{\xi =s\}\sum \limits _{r=k}^{s}{\frac {(-1) ^{rk}s!}{k!(rk)!(sr)!}}}=\sum \limits _{s=k}^{\infty }{P\{\xi =s\}{\frac {s!}{k!}}\sum _{t=0}^{sk}{\frac {(-1)^{t}}{t!((sk)-t)!}}}.$

Továbbá a jól ismert képletből azt kapjuk, hogy at és ugyanez a kifejezés at -vé degenerálódik . $\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{(-1)^{k}C_{n}^{k}}=0$ ${\frac {s!}{k!}}\sum _{{t=0}}^{{sk}}{{\frac {(-1)^{t}}{t!((sk)- t)!}}}=0$ $s>k$ $egy$ $s=k$

Így bebizonyosodott, hogy $P\{\xi =k\}=\sum \limits _{r=k}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {\mu _{r}(\xi )}{k!(rk)!}}}.$

A tétel bizonyítása

A lemma és a tétel feltételei szerint a . $P\{\xi _{n}=k\}\sim \sum \limits _{{r=k}}^{{\infty }}{(-1)^{{rk}}{\frac {\ lambda ^{r}}{k!(rk)!}}}=\sum \limits _{{r=0}}^({\infty }}{(-1)^{r}{\frac {\ lambda ^{{r+k}}}{k!r!}}}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\sum \limits _{{r=0}}^{{ \infty )){{\frac {(-\lambda )^{r}}{r!}}}={\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!} }$ $n\to\infty$

QED

E tétel nem triviális következményének példájaként megemlíthetjük például az izolált élek (két csúcsponttal összefüggő komponensek) számának eloszlására vonatkozó aszimptotikus tendenciát egy véletlen- csúcs gráfban, ahol az egyes élek valószínűséggel szerepel a gráfban . [egy] ${\mathrm {P}}(\lambda )$ $n$ $p_{n}\sim {\frac {2\lambda }{n^{2))}$

Történelem

Siméon Denis Poisson "Studies on the Probability of Sentencing in Criminal and Civil Case" [2] című műve, amelyben ezt az elosztást bevezették, 1837-ben jelent meg [3] . Példák más helyzetekre, amelyek modellezhetők ezzel az elosztással: berendezések meghibásodása, egy stabil alkalmazott karbantartási ideje, nyomtatási hiba, baktériumok elszaporodása Petri-csészében , hosszú szalag vagy lánc hibái, sugárzásszámláló impulzusok, lőtt gólok száma egy futballcsapat és mások [4]

Lásd még

Jegyzetek

↑ Videó előadás az Adatelemző Iskolától . Hozzáférés dátuma: 2014. december 7. Az eredetiből archiválva : 2014. április 8. (határozatlan)
↑ Poisson, 1837 .
↑ Chukova Yu. P. Poisson-eloszlás // "Kvantum" : tudományos pop. Fiz.-Matek. magazin - M . : "Nauka" , 1988. - 8. sz . — P. 15‒18 . — ISSN 0130-2221 .
↑ Vince, 2012 , p. 370.

Irodalom

Ventzel E. S. , Ovcharov L. A. Valószínűségelmélet és mérnöki alkalmazásai. 2. kiadás - M . : Felsőiskola , 2000. - 480 p. - ISBN 978-5-406-00565-1 . - S. 135.
Vince, Ralph. A pénzkezelési kockázatelemzési technikák matematikája kereskedők számára. — M .: Alpina Kiadó , 2012. — 400 p. - ISBN 978-5-9614-1894-1 .
Poisson S. D. Tanulmányok az ítélethozatal valószínűségéről büntető- és polgári ügyekben = Poisson S.-D. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. - Berlin: NG Verlag (Viatcheslav Demidov Inhaber), 2013. - 330 p. — ISBN 978-3-942944-29-8 . [Poisson.pdf ] . Az eredetiből archiválva : 2014. november 1. (határozatlan)
Guerriero V. Hatalomtörvény-eloszlás: Többléptékű következtetési statisztika módszere . – Journal of Modern Mathematics Frontier , 2012, 1 . - P. 21-28. Archiválva : 2018. február 21. a Wayback Machine -nél

Linkek

Poisson Distribution - Online kalkulátor

Szótárak és enciklopédiák	Nagy norvég Nagy orosz Nagy Szovjet (1 kiadás) Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4253010-6 J9U : 987007558217205171 LCCN : sh85103956 NDL : 00569122

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó