Konformális csoport

A tér konformális csoportja a tér önmagába való átalakulásának csoportja , a szögek megőrzése mellett. Formálisabban ez a transzformációk egy csoportja, amely megőrzi az tér konform geometriáját .

Néhány speciális konformális csoport különösen fontos:

• Konformális ortogonális csoport . Ha V egy Q másodfokú alakú  vektortér , akkor a konformális ortogonális csoport a V tér T lineáris transzformációinak csoportja úgy, hogy V -ben minden x - re létezik olyan skalár , Egy előjel-definit másodfokú alak esetén (vagyis pozitív-definit vagy negatív-definit) a konformális ortogonális csoport egyenlő az ortogonális csoport és a dilatációs csoport szorzatával .

• A körökhöz viszonyított inverziók által generált gömb konform csoportja . Ezt a csoportot Möbius csoportnak is nevezik .
• Az euklideszi térben n > 2 a konformális csoportot a hipergömbökhöz viszonyított inverziók generálják .
• Pszeudoeuklideszi térben a konformális csoport [1] .

Minden konformális csoport Lie csoport .

Szögelemzés

Az euklideszi geometriában azt várnánk, hogy a karakterisztika a standard szög , de az pszeudoeuklideszi térben is van hiperbolikus szög . A speciális relativitáselméletben a sebesség más vonatkoztatási pontokhoz viszonyított változásának különböző vonatkoztatási pontjai a gyorsasághoz , a hiperbolikus szöghez kapcsolódnak. A Lorentz-növelés leírásának egyik módja a  hiperbolikus forgatás , amely megőrzi a sebességek közötti szögkülönbséget. Így ezek konform transzformációk a hiperbolikus szögekhez képest.

A megfelelő konformális csoport leírásának egyik módja a Möbius-csoport utánzása a közönséges komplex sík konformális csoportjaként . A pszeudoeuklideszi geometria alternatív komplex síkoknak felel meg, ahol a pontok a szokásos komplex számok helyett felosztott komplex számok vagy dupla számok. Ahogy a Möbius-csoport egy Riemann-gömböt , egy kompakt teret igényel a teljes leíráshoz, úgy az alternatív komplex síkok egy konformális leképezés tömörítését igénylik a teljes leíráshoz. A konformális csoportot minden esetben lineáris-tört transzformációkkal adjuk meg megfelelő síkon [2] .

A konform tér-idő csoport

1908-ban Harry Bateman és Ebenezer Cunningham [3] , a Liverpooli Egyetem két fiatal kutatója bejelentette egy konformális tér-idő csoport ötletét [4] [5] [6] (ma általában ) [ 4]. 7] . Azzal érveltek, hogy a kinematikai csoportok konformálisak, mert megőrzik a téridő másodfokú formáját, és így rokonok az ortogonális transzformációkkal , amelyeket izotróp kvadratikus alaknak tekintenek . Az elektromágneses tér szabadságai nem terjednek ki a kinematikai mozgásokra, hanem csak lokálisan arányosnak kell lenniük a négyzetmegtartó transzformációkkal. Harry Bateman 1910- es cikkében egy olyan transzformáció Jacobi-mátrixát tanulmányozza, amely megőrzi a fénykúpot , és megmutatja, hogy az átalakulásnak megvan a konformitás tulajdonsága [8] . Bateman és Cunningham kimutatta, hogy ez a konformális csoport "a transzformációk legnagyobb csoportja, amelyek a Maxwell-egyenleteket szerkezetileg invariánsan hagyják" [9] .

Isaac Moiseevich Yaglom hozzájárult a téridő matematikájához azáltal, hogy konformális transzformációkat vett figyelembe kettős számokban [10] . Mivel a duplák rendelkeznek egy gyűrű tulajdonságaival , de nem egy mezővel , a lineáris-tört transzformációk megkövetelik , hogy a gyűrű feletti projektív egyenes bijektív leképezés legyen.

Hagyományosan, Ludwik Silberstein tanulmánya (1914) nyomán, bikvaterniógyűrűt használnak a Lorentz-csoport ábrázolására . Konformális tér-idő csoport esetén elegendő a lineáris-tört transzformációkat figyelembe venni a projektív vonalon ezen a gyűrűn. A tér-idő konformális csoport elemeit Bateman a hullám gömbtranszformációjának nevezi . A téridő kvadratikus formájának sajátos vizsgálatát Lie-féle gömbgeometria nyelte el .

Jegyzetek

1. ↑ Vaz, da Rocha, 2016 , p. 140.
2. ↑ Takasu, 1941 , p. 330–8.
3. ↑ Kosyakov könyvében - Harry Bateman és Ebenezer Canningham
4. ↑ Bateman, 1908 , p. 70–89.
5. ↑ Bateman, 1910 , p. 223–264.
6. ↑ Cunningham, 1910 , p. 77–98.
7. ↑ Kosyakov, 2017 , p. 225.
8. ↑ Warwick, 2003 , p. 416–24.
9. ↑ Gilmore, 1994 , p. 349.
10. ↑ Yaglom, 1969 .

Irodalom

• Jayme Vaz Jr., Roldão da Rocha Jr. Bevezetés a Clifford-algebrákba és a spinorokba. - Oxford University Press, 2016. - P. 140. - ISBN 9780191085789 .
• Tsurusaburo Takasu. Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen DifferentialgeometriA császári akadémia közleményei . - 1941. - T. 17.
• Harry Bateman . A négydimenziós tér konformális transzformációi és alkalmazásaik a geometriai optikában // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1908. - T. 7 . - doi : 10.1112/plms/s2-7.1.70 .
• Harry Bateman . Az elektrodinamikai egyenletek transzformációja // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1910. - T. 8 . - doi : 10.1112/plms/s2-8.1.223 .
• Ebenezer Cunningham. A relativitás elve az elektrodinamikában és annak kiterjesztése // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1910. - T. 8 . – 77–98 . - doi : 10.1112/plms/s2-8.1.77 .
• Kosyakov B.P. Bevezetés a részecskemezők klasszikus elméletébe. - Moszkva, Izhevsk, 2017. - ISBN 978-5-4344-0450-1 .
• Andrew Warwick. Az elmélet mesterei: Cambridge és a matematikai fizika felemelkedése. - Chicago: University of Chicago Press , 2003. - ISBN 0-226-87375-7 .
• Robert Gilmore. Hazugságcsoportok, hazugságalgebrák és néhány alkalmazásuk. - Robert E. Krieger Kiadó, 1994. - ISBN 0-89464-759-8 . Első kiadás 1974
• Galilei relativitáselve és nemeuklideszi geometria. - Moszkva: "Nauka", 1969. - (Matematikai Kör könyvtára).

Olvasás további olvasáshoz

• Kobayashi Sh . Transzformációs csoportok differenciálgeometriában. - "Tudomány", 1986.
• Isaev A.P., Rubakov V.A. Csoportok és szimmetriák elmélete. végcsoportok. Hazugságcsoportok és algebrák. - URSS Kiadó. 2018. 491 s
• Sharpe RW differenciálgeometria: A Klein-féle Erlangen-program Cartan-féle általánosítása. - New York: Springer-Verlag, 1997. - ISBN 0-387-94732-9 .
• Peter Sherk. A konformális geometria néhány fogalma // American Mathematical Monthly . - 1960. - T. 67 , sz. 1 . — S. 1−30 . - doi : 10.2307/2308920 .