Konformális leképezés

A konformális leképezés olyan folytonos leképezés , amely megőrzi a görbék közötti szögeket, és ezáltal az infinitezimális alakzatok alakját.

Definíció

A D tartomány egy az egyhez leképezését egy D * tartományra ( euklideszi tér vagy Riemann-féle sokaság ) konformálisnak ( lat. conformis - hasonló) nevezzük, ha bármely D pont szomszédságában ennek a transzformációnak a differenciálja a egy ortogonális transzformáció és egy homothety összetétele .

Ez a kifejezés a komplex elemzésből származik , amelyet eredetileg csak síkrégiók konformális leképezéseihez használtak.

Ha az orientáció konformális leképezés mellett megmarad, akkor az első típusú konformális leképezésről beszélünk ; ha az ellenkezőjére változik, akkor a második típusú konformális leképezésről vagy az antikonformális leképezésről beszélünk .
Egy sima sokaságon lévő két metrikát konforman egyenértékűnek mondjuk, ha létezik olyan sima függvény , hogy . Ebben az esetben a függvényt konform tényezőnek nevezzük . $g,{\tilde g}$ $M$ $\psi :M\to \mathbb{R}$ ${\tilde {g}}=e^{2\cdot \psi }g$ $e^{\psi }$ ${\tilde g}$

A konformális leképezés megőrzi az infinitezimális alakzatok formáját;
A konformális leképezés megőrzi a görbék közötti szögeket metszéspontjaiknál ( szögmegőrző tulajdonság ).
- Ez a tulajdonság egy konform leképezés definíciójaként is felfogható.
Riemann tétel : Bármely egyszerűen csatlakoztatott nyílt tartomány a síkban, kivéve a teljes síkot, konform bijekciót enged az egységlemezre.
Liouville tétele : Az euklideszi tér tartományának bármely konform leképezése ábrázolható véges számú inverzió szuperpozíciójaként . $\mathbb {R} ^{n}$ $n\geq 3$
A Weil-görbület konformális leképezés mellett megmarad, vagyis ha és konforman ekvivalens metrikus tenzorok , akkor ${\tilde g}$ $g$ ${\tilde W}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,$

ahol és jelöli a és a Weyl - tenzorokat .

{\tilde W}

W

{\tilde g}

g

A kapcsolatokat a következő képlet kapcsolja össze: ${\tilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+(X\psi ){\cdot }Y+(Y\psi ){\cdot }Xg(X,Y){ \cdot }\nabla \psi .$
A görbületeket a következő képlet kapcsolja össze: $g({\tilde R}(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-$ $-Hess_{\psi }(X,X)-Hess_{\psi }(Y,Y)-|\nabla \psi |^{2}+(Y\psi )^{2}$

g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,X\psi =0

Hess_{\psi}

\psi

Kétdimenziós esetben tehát a képlet így írható fel ${\displaystyle |\nabla \psi |^{2}=(Y\psi )^{2))$

e^{2\cdot \psi }\cdot {\tilde {K}}=K-\háromszög _{g}\psi

ahol a laplacit jelöli a tekintetében .

{\megjelenítési stílus \háromszög _{g}}

g

Egy ortonormális és vektorpár esetén az irányú metszeti görbület a következőképpen írható fel: $x$ $Y$ $X\wedge Y$ ${\tilde {K}}_{X,Y}=f^{2}{\cdot }K_{X,Y}+f{\cdot }[Hess_{f}(X,X)+Hess_ {f}(Y,Y)]-|\nabla f|^{2},$

ahol .

f=e^{{-\psi }}

Egy -dimenziós Riemann-sokaság skaláris görbületének számításakor kényelmesebb a konformális tényezőt az alakba írni . Ebben az esetben: $n$ ${\tilde {g}}=u^{\tfrac {4}{n-2}}{\cdot }g$ ${\tilde {Sc}}=\left({Sc}-{\frac {4(n-1)}{n-2}}{\cdot }\Delta u\right)\cdot u^{ \frac {n-2}{n+2}}$

A legegyszerűbb példa a hasonlósági transzformációk , amelyek a teljes euklideszi tér összes konformális leképezését kimerítik önmagára;
Az inverzió a második típusú konformális leképezés;
Bármely holomorf függvény , amelynek inverze is holomorf, meghatározza a komplex sík megfelelő tartományának első fajtájának konform leképezését ;
Sztereografikus vetítés .

Aleshkov Yu. Z. Előadások egy komplex változó függvényének elméletéről, Szentpétervár: St. Petersburg State University kiadója, 1999;
Ivanov V. I. Konformális leképezések és alkalmazásaik (rövid történelmi esszé). // Történeti és matematikai kutatás . - M. : Janus-K, 2001. - 41. szám (6) . — S. 255-266. .
Carathéodory K. Konformális leképezés. M.-L.: ONTI Állami Műszaki és Elméleti Könyvkiadó, 1934 / Per. angolról. M. V. Keldysha
Lavrentiev M.A. Konformális leképezések. M.-L.: Gostekhizdat, 1946. 160 p.
Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. - M .: Nauka , 1969 . — 577 p.
Yanushauskas AI Konformális leképezések háromdimenziós analógjai. Novoszibirszk: Nauka, 1982. 173 p., 2650 példány.
Radygin V. M. , Polyansky I. S. Methods of conformal mappings of polyhedra in // Vestn. Udmurtszk. egyetemi Mat. Szőrme. Számítógép. Nauki, 27:1 (2017), 60–68. $\mathbb {R} ^{3}$

↑ Rogowski W. Die elektrische Festigkeit am l ande des Plaltenkondensators. (német) // Archiv ftir Elektrotechnik. - 1923. - Bd. 12 . — S. 1-15 . - doi : 10.1007/BF01656573 .