Integrál

∫

Kép

◄

∧

∨

∩

∪

∫

∬

∭

∮

∯

►

Jellemzők

Név

integrál

Unicode

U+222B

HTML kód

∫ vagy ∫

UTF-16

0x222B

URL kód

%E2%88%AB

Mnemonika

&∫;

Integrál (a lat. egész számból - szó szerint egész) [1] - a matematikai elemzés egyik legfontosabb fogalma , amely problémák megoldása során merül fel:

a görbe alatti terület megtalálásáról;
az egyenetlen mozgással megtett távolságot;
inhomogén test tömegei és hasonlók;
valamint a függvény deriváltjából ( határozatlan integrál ) való visszaállításának problémájában [2] .

Leegyszerűsítve az integrál ábrázolható végtelen számú végtelenül kicsi tag összegének analógjaként. Attól függően, hogy milyen térben van megadva az integrandus, az integrál lehet double , triple , curvilinear , surface , stb. az integrál meghatározásának is különböző megközelítései vannak - vannak Riemann , Lebesgue , Stieltjes és mások integráljai [3] .

Egy változó függvényének integrálja

Határozatlan integrál

Legyen egy valós változó függvénye . Egy függvény határozatlan integrálja vagy antideriváltja olyan függvény , amelynek deriváltja egyenlő -val , azaz . Így van jelölve: $f(x)$ $f(x)$ $F(x)$ $f(x)$ $F'(x)=f(x)$

F(x)=\int f(x)dx

Ebben a jelölésben az integrál jelét integrandusnak nevezzük , és ez az integráció eleme . $\int$ $f(x)$ $dx$

Nem minden funkcióhoz létezik antiderivált. Könnyen kimutatható, hogy legalább minden folytonos függvénynek van antideriválta. Mivel két olyan függvény deriváltja, amelyek egy konstansban különböznek egymástól, egybeesnek, egy tetszőleges állandó szerepel a határozatlan integrál kifejezésében , pl. $C$

\int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C,\qquad \int \cos(x)dx=\sin(x)+C

Az integrál megtalálásának műveletét integrációnak nevezzük . Az integráció és a differenciálás műveletei fordítottak egymással a következő értelemben:

{\frac {d}{dx}}\int f(x)dx=f(x),\qquad \int {\frac {df(x)}{dx}}dx=f(x)+ C

Határozott integrál

A határozott integrál fogalma a görbe vonalú trapéz területének megtalálásának problémájával kapcsolatban merül fel, ismert sebességgel, egyenetlen mozgással stb.

Tekintsünk egy ábrát, amelyet az x tengely , egyenesek és egy függvénygráf határol , amelyet görbe vonalú trapéznek neveznek (lásd az ábrát). Ha az időt az abszcissza tengely mentén, a test sebességét pedig az ordináta tengely mentén ábrázoljuk, akkor a görbe vonalú trapéz területe a test által megtett út. $x=a$ $x=b$ $y=f(x)$

Az ábra területének kiszámításához természetes a következő módszer alkalmazása. Osszuk fel a szakaszt kisebb szakaszokra pontokkal úgy, hogy , magát a trapézt pedig a szakaszok felett elhelyezkedő keskeny csíkok sorozatára . Vegyünk egy tetszőleges pontot minden szegmensben . Tekintettel arra, hogy a -edik szakasz hossza kicsi, a rajta lévő függvény értékét megközelítőleg állandónak és egyenlőnek fogjuk tekinteni . A görbe vonalú trapéz területe megközelítőleg megegyezik az ábrán látható lépcsős ábra területével: $[a;b]$ $x_{i}$ $a=x_{0}<...<x_{i}<x_{i+1}<...<x_{n}=b$ $[x_{i};x_{i+1}]$ $\xi _{i}\in [x_{i};x_{i+1}]$ $én$ ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i))$ $f(x)$ $y_{i}=f(\xi _{i})$

S\approx \sum _{i=0}^{n-1}y_{i}\Delta x_{i}\qquad (*)

Ha most megnöveljük a felosztási pontok számát úgy, hogy az összes szegmens hossza korlátlanul csökken ( ), akkor a lépcsős ábra területe egyre közelebb kerül a görbe vonalú trapéz területéhez. $\max \Delta x_{i}\to 0$

Elérkeztünk tehát ehhez a definícióhoz:

Ha a szakasz és a pontok felosztási pontjainak megválasztásától függetlenül létezik az összeg határa (*), amikor az összes szakasz hossza nullára hajlik, akkor ezt a határt határozott integrálnak nevezzük ( Riemann értelmében ) egy függvény egy szegmens felett, és jelöljük $\xi _{i}$ $f(x)$ $[a;b]$

\int \limits _{a}^{b}f(x)dx

Magát a függvényt integrálhatónak nevezzük (Riemann értelmében) a szegmensben . A (*) alakú összegeket integrálösszegeknek nevezzük . $[a;b]$

Példák integrálható függvényekre:

folyamatos funkciók
olyan függvények, amelyeknek csak véges számú első típusú szakadása van
monoton funkciók .

Példa egy nem integrálható függvényre: a Dirichlet-függvény (1 a racionális , 0 az irracionális ). Mivel a racionális számok halmaza mindenütt sűrű -ben van , a pontok kiválasztásával 0-tól tetszőleges integrálösszegeket kaphatunk . $x$ ${\mathbb {R} }$ $\xi _{i}$ $ba$

A határozott és határozatlan integrálok között egyszerű kapcsolat van. Mégpedig ha

\int f(x)dx=F(x)+C

akkor

\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)

Ezt az egyenlőséget Newton-Leibniz képletnek nevezik .

Integrál nagyobb dimenziójú terekben

Kettős és többszörös integrálok

A kettős integrál fogalma egy hengeres rúd térfogatának kiszámításakor merül fel , ahogy a határozott integrált egy görbe vonalú trapéz területének kiszámításához társítják. Tekintsünk egy kétdimenziós ábrát a síkon , és két változó függvényét, amely rajta van . Ezt a függvényt magasságként egy adott pontban értelmezve felvetjük a kapott test térfogatának megtalálásának kérdését (lásd az ábrát). Az egydimenziós esethez hasonlóan az ábrát kellően kis területekre osztjuk , mindegyikbe veszünk egy pontot, és összeállítjuk az integrál összeget $D$ $XY$ $f(x,y)$ $D$ $d_{i}$ $\xi _{i}=(x_{i},y_{i})$

\sum _{i}f(x_{i},y_{i})S(d_{i})

hol van a régió területe . Ha a partíció és a pontok megválasztásától függetlenül létezik ennek az összegnek a határa, mivel a régiók átmérője nullára hajlamos, akkor ezt a határértéket a függvény kettős integráljának (Riemann értelmében) nevezzük a tartomány felett. és azt jelöljük $S(d_{i})$ $d_{i}$ $\xi _{i}$ $f(x,y)$ $D$

\int \limits _{D}f(x,y)dS

, , vagy

\int \limits _{D}f(x,y)dxdy

\iint \limits _{D}f(x,y)dxdy

Egy hengeres rúd térfogata egyenlő ezzel az integrállal.

Görbevonalas integrál

Felületi integrál

Alkalmazás

Az inhomogén test tömegének problémája is természetesen az integrál fogalmához vezet. Így egy vékony, változó sűrűségű rúd tömegét az integrál adja $\rho (x)$

M=\int \rho (x)dx

síkfigura analóg esetében

M=\iint \rho (x,y)dxdy

és egy háromdimenziós testre

M=\iiiint \rho (x,y,z)dxdydz

Általánosítások

Lebesgue integrál

A Lebesgue-integrál meghatározása az -additív mérték fogalmán alapul . A mérték a hosszúság, terület és térfogat fogalmának természetes általánosítása. $\sigma$

A mértékkel definiált függvény Lebesgue integrálját jelöljük $f$ $x$ $\mu$

\int \limits _{X}f\mu

, vagy ,

\int \limits _{x\in X}f(x)\mu

\int \limits _{X}f(x)\mu (dx)

az utolsó két elnevezést akkor használjuk, ha hangsúlyozni kell, hogy az integráció a változó felett történik . A következő, nem egészen helyes jelöléseket azonban gyakran használják $x$

\int \limits _{X}fd\mu .

Feltéve, hogy egy szakasz (téglalap, paralelepipedon) mértéke megegyezik a hosszával (területe, térfogata), a nem metsző szakaszok (téglalapok, paralelepipedonok) véges vagy megszámlálható uniójának mértéke pedig azok összegével mértékeket, és ezt a mértéket kiterjesztve a mérhető halmazok szélesebb osztályára , megkapjuk a t. naz. Lebesgue mérték a vonalon (in , in . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2))$ ${\mathbb {R} }^{3})$

Természetesen ezeken a tereken a Lebesgue-itól eltérő intézkedések is bevezethetők. Bármely absztrakt halmazra is bevezethető egy mérték. A Riemann-integráltól eltérően a Lebesgue-integrál definíciója minden esetben ugyanaz marad. Elképzelése az, hogy az integrálösszeg megalkotásakor az argumentum értékeit nem egymáshoz való közelségük szerint csoportosítjuk (mint a Riemann-féle definícióban), hanem a függvényértékek közelsége szerint, amelyeknek megfelelő. őket.

Legyen valamilyen halmaz , amelyen -additív mérték van megadva , és egy függvény . A Lebesgue integrál megalkotásakor csak a mérhető függvényeket veszik figyelembe , vagyis azokat, amelyekre a halmazok $x$ $\sigma$ $\mu$ $f:X\to {\mathbb {R} }$

E_{a}=\{x\in X:f(x)<a\}

bármelyikre mérhetőek (ez megegyezik bármely Borel halmaz inverz képének mérhetőségével ). $a\in {\mathbb {R} }$

Először is, az integrált lépésfüggvényekhez definiáljuk , vagyis azokhoz, amelyek véges vagy megszámlálható számú értéket vesznek fel : $a_{i}$

\int \limits _{X}f\mu =\sum _{i}a_{i}\mu (f^{-1}(a_{i}))

ahol a pont teljes előképe ; ezek a halmazok a függvény mérhetősége miatt mérhetők. Ha ez a sorozat abszolút konvergál , akkor a lépésfüggvényt a Lebesgue - i értelemben integrálhatónak nevezzük . Továbbá egy tetszőleges függvényt Lebesgue értelmében integrálhatónak nevezünk, ha létezik integrálható lépésfüggvények sorozata, amelyek egyenletesen konvergálnak -hez . Ráadásul integráljaik sorrendje is konvergál; határértékét a függvény Lebesgue-integráljának nevezzük a mértékre vonatkozóan : $f^{-1}(a_{i})$ $a_{i}$ $f$ $f$ $f_n$ $f$ $f$ $\mu$

\int \limits _{X}f\mu =\lim \int \limits _{X}f_{n}\mu

Ha a Lebesgue-mértéken lévő függvényeket és a feletti integrált tekintjük , akkor a Riemann-féle értelemben integrálható függvények Lebesgue-i értelemben is integrálhatóak lesznek. Ennek a fordítottja nem igaz (például a Dirichlet-függvény nem Riemann, hanem Lebesgue integrálható, mivel szinte mindenhol egyenlő nullával ). Valójában minden korlátos mérhető függvény Lebesgue-val integrálható. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$

Történelmi háttér

Az integrálszámítás alapfogalmait Newton és Leibniz művei a 17. század végén vezették be (az első publikációk 1675-ben jelentek meg). Leibniz tulajdonában van az integrál jelölése , amely az integrál összegére emlékeztet, akárcsak maga a szimbólum , az ſ (" hosszú s ") betűből - a latin summa szó első betűje (majd ſumma , sum) [4] . Magát az „integrál” kifejezést Johann Bernoulli , Leibniz tanítványa javasolta. Az integráció határainak jelölését az alakban Fourier vezette be 1820-ban. $\int ydx$ $\int$ $\int _{a}^{b}$

Osztrogradszkij módszerének megjelenése (1844), amely szinte minden későbbi matematikust inspirált, jelentős hatással volt az integrálszámítás és a racionális függvények integrálásának tanulmányozására.

Az integrál szigorú definícióját folytonos függvények esetén Cauchy 1823-ban, tetszőleges függvényekre Riemann 1853-ban fogalmazta meg. A Lebesgue-i értelemben vett integrál definícióját először Lebesgue adta meg 1902-ben (egy változó függvényének és a Lebesgue-mértéknek az esetére).

Lásd még

Jegyzetek

↑ Idegen szavak szótára. - M .: " Orosz nyelv ", 1989. - 624 p. ISBN 5-200-00408-8
↑ Integrál // Kazahsztán. Nemzeti Enciklopédia . - Almati: Kazah enciklopédiák , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Orosz) (CC BY SA 3.0)
↑ Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.
↑ Florian Cajori. A matematikai jelölések története . - Courier Dover Publications, 1993. - 203. o . — 818p. - (Dover matematikai könyvek). — ISBN 9780486677668 .

Irodalom

Vinogradov I. M. (főszerkesztő). Integrál // Mathematical Encyclopedia . - M. , 1977. - T. 2.
Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - M . : Nauka, 1969.
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - M .: Nauka, 1976.

Linkek

Weisstein, Eric W. Integral (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Wolfram Integrator – integrálok online számítása a Mathematica segítségével
" Integrál mint szorzás " - a cikk fordítása A Calculus Analogy: Integrals as Multiplication | Jobban megmagyarázva _

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég Nagy orosz V. Dahl Britannica (online) Britannica (online) Treccani
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 119395946 J9U : 987007555515105171 LCCN : sh85067099 NKC : ph121136

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái