Elliptikus egyenlet

Az elliptikus egyenletek az álló folyamatokat leíró parciális differenciálegyenletek  egy osztálya .

Definíció

Tekintsük egy másodrendű skaláris parciális differenciálegyenlet általános alakját a függvényre vonatkozóan :

Ebben az esetben az egyenletet szimmetrikus formában írjuk fel, azaz: . Ezután az ekvivalens egyenlet másodfokú alakban :

,

ahol . A mátrixot főegyütthatók mátrixának nevezik . Ha a mátrix összes sajátértéke azonos előjelű, akkor az egyenlet elliptikus típusú [1] . Egy másik, ekvivalens definíció: egy egyenletet elliptikusnak nevezünk, ha a következőképpen ábrázolható:


,

hol  van egy elliptikus operátor .

Az elliptikus egyenletek ellentétesek a parabolikus és hiperbolikus egyenletekkel , bár ez a besorolás nem teljes.

Elliptikus egyenletek megoldása

Az elliptikus egyenletek adott peremfeltételek melletti analitikus megoldásához a Fourier-változós elválasztási módszert, a Green-függvény módszert és a potenciálmódszert alkalmazzuk .

Példák elliptikus egyenletekre

A matematikai fizikában az elliptikus egyenletek olyan problémákban merülnek fel, amelyek csak térbeli koordinátákra redukálódnak: vagy semmi sem függ az időtől (stacionárius folyamatok), vagy ez valahogy kizárt.

Valamint a hiperbolikus és parabolikus egyenletek sok más stacionárius analógja.

Lásd még

Jegyzetek

  1. Tikhonov A.N. , Szamarszkij A.A. A matematikai fizika egyenletei. - 5. kiadás - Moszkva: Nauka, 1977.