Elliptikus egyenlet

Az elliptikus egyenletek az álló folyamatokat leíró parciális differenciálegyenletek egy osztálya .

Definíció

Tekintsük egy másodrendű skaláris parciális differenciálegyenlet általános alakját a függvényre vonatkozóan : $u:R^{n}\jobbra nyíl R$

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_ {i}\partial x_{j}}}+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu= f(x_{1},\lpontok,x_{n})

Ebben az esetben az egyenletet szimmetrikus formában írjuk fel, azaz: . Ezután az ekvivalens egyenlet másodfokú alakban : $a_{{ij}}=a_{{ji}}$

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

ahol . A mátrixot főegyütthatók mátrixának nevezik . Ha a mátrix összes sajátértéke azonos előjelű, akkor az egyenlet elliptikus típusú [1] . Egy másik, ekvivalens definíció: egy egyenletet elliptikusnak nevezünk, ha a következőképpen ábrázolható: $A=A^{T}$
$A$
$A$

Lu=f(x_{1},\ldots ,x_{{n}})

hol van egy elliptikus operátor . $L$

Az elliptikus egyenletek ellentétesek a parabolikus és hiperbolikus egyenletekkel , bár ez a besorolás nem teljes.

Elliptikus egyenletek megoldása

Az elliptikus egyenletek adott peremfeltételek melletti analitikus megoldásához a Fourier-változós elválasztási módszert, a Green-függvény módszert és a potenciálmódszert alkalmazzuk .

Példák elliptikus egyenletekre

A matematikai fizikában az elliptikus egyenletek olyan problémákban merülnek fel, amelyek csak térbeli koordinátákra redukálódnak: vagy semmi sem függ az időtől (stacionárius folyamatok), vagy ez valahogy kizárt.

A Laplace - egyenlet és a Poisson -egyenlet különféle stacionárius fizikai tereket ír le.
A Schrödinger-egyenlet stacionárius analógja , ha harmonikus időfüggést feltételezünk.
A Maxwell-egyenletekből származó egyenletek . Ezeket abból a feltételezésből kapjuk, hogy az elektromágneses tér vagy nem változik az időben, vagy egy harmonikus törvény szerint változik. Az egyik ilyen feltevés alapján kapott egyenlet a Helmholtz-egyenlet .
A Stokes-egyenlet a Navier-Stokes egyenletrendszer stacionárius analógja az állandó áramlás érdekében.

Valamint a hiperbolikus és parabolikus egyenletek sok más stacionárius analógja.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Tikhonov A.N. , Szamarszkij A.A. A matematikai fizika egyenletei. - 5. kiadás - Moszkva: Nauka, 1977.

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák