Az elliptikus egyenletek az álló folyamatokat leíró parciális differenciálegyenletek egy osztálya .
Tekintsük egy másodrendű skaláris parciális differenciálegyenlet általános alakját a függvényre vonatkozóan :
Ebben az esetben az egyenletet szimmetrikus formában írjuk fel, azaz: . Ezután az ekvivalens egyenlet másodfokú alakban :
,ahol .
A mátrixot főegyütthatók mátrixának nevezik .
Ha a mátrix összes sajátértéke azonos előjelű, akkor az egyenlet elliptikus típusú [1] .
Egy másik, ekvivalens definíció: egy egyenletet elliptikusnak nevezünk, ha a következőképpen ábrázolható:
hol van egy elliptikus operátor .
Az elliptikus egyenletek ellentétesek a parabolikus és hiperbolikus egyenletekkel , bár ez a besorolás nem teljes.
Az elliptikus egyenletek adott peremfeltételek melletti analitikus megoldásához a Fourier-változós elválasztási módszert, a Green-függvény módszert és a potenciálmódszert alkalmazzuk .
A matematikai fizikában az elliptikus egyenletek olyan problémákban merülnek fel, amelyek csak térbeli koordinátákra redukálódnak: vagy semmi sem függ az időtől (stacionárius folyamatok), vagy ez valahogy kizárt.
Valamint a hiperbolikus és parabolikus egyenletek sok más stacionárius analógja.
Matematikai fizika | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Az egyenletek típusai | |||||||||||
Egyenletek típusai | |||||||||||
Peremfeltételek | |||||||||||
A matematikai fizika egyenletei |
| ||||||||||
Megoldási módszerek |
| ||||||||||
Egyenletek tanulmányozása | |||||||||||
Kapcsolódó témák |