Kategória elmélet

A kategóriaelmélet a matematikának egy olyan ága , amely a matematikai objektumok közötti kapcsolatok tulajdonságait vizsgálja , amelyek nem függnek az objektumok belső szerkezetétől.

A kategóriaelmélet központi helyet foglal el a modern matematikában [1] , és a számítástechnikában [2] , a logikában [3] és az elméleti fizikában [4] [5] is alkalmazásra talált . Az algebrai geometria és a homológ algebra modern kifejtése alapvetően a kategóriaelmélet fogalmaira támaszkodik. Az általános kategória fogalmait a Haskell [6] funkcionális programozási nyelv is aktívan használja .

Definíció

A kategória : ${\mathcal {C}}$

objektum osztály ; $\mathrm {Ob} _{\mathcal {C))$
minden tárgypárhoz morfizmusok (vagy nyilak) halmaza van megadva , és minden morfizmus megfelel az egyetlennek és ; $A$ $B$ ${\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}}}(A,B)$ $A$ $B$
egy morfizmuspárra és az összetétel definiálva van ; $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g\in {\mathrm {Hom}}(B,C)$ $g\circ f\in {\mathrm {Hom}}(A,C)$
minden objektum esetében megadva van az azonosság morfizmusa ; $A$ $\mathrm {id} _{A}\in \mathrm {Hom} (A,A)$

és két axióma teljesül :

a kompozíciós művelet asszociatív : és $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
az identitásmorfizmus triviálisan hat: azért $f\circ \mathrm {id} _{A}=\mathrm {id} _{B}\circ f=f$ $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$

Kis kategória

Az objektumok egy osztálya nem feltétlenül halmaz az axiomatikus halmazelmélet értelmében . Azt a kategóriát , amelyben halmaz és (a kategória összes morfizmusának halmaza) halmaz, kicsinek nevezzük . Emellett lehetőség van (a definíció enyhe korrekciójával) olyan kategóriákat is figyelembe venni, amelyekben bármely két objektum közötti morfizmusok is osztályt vagy akár nagyobb struktúrát alkotnak [7] . A definíció ezen változatában azt a kategóriát, amelyben két rögzített objektum közötti morfizmusok egy halmazt alkotnak, lokálisan kicsinek mondják . ${\mathcal {C}}$ $\mathrm {Ob} _{\mathcal {C))$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})$

Kategória példák

A készlet a készletek kategóriája . Az ebbe a kategóriába tartozó objektumok halmazok , a morfizmusok halmazok leképezései .
A grp csoportok kategóriája . Az objektumok csoportok, a morfizmusok a csoportszerkezetet megőrző leképezések (csoporthomomorfizmusok ) .
A Vect K a vektorterek kategóriája a K mező felett . A morfizmusok lineáris leképezések .
Modulok kategóriája .

Más algebrai rendszerek kategóriái is hasonlóan vannak meghatározva .

A Top a topológiai terek kategóriája . A morfizmusok folyamatos leképezések .
Bármilyen poszethez létrehozhatunk egy kis kategóriát, amelynek objektumai a halmaz elemei , és az x és y elemek között akkor és csak akkor van egyedi morfizmus, ha x ≤ y (természetesen ezt a kategóriát meg kell különböztetni a kategóriától részben megrendelt készletekből!).
A Met olyan kategória , amelynek objektumai metrikus terek , morfizmusai pedig rövid leképezések .

Kommutatív diagramok

A kommutatív diagramok a kategóriaelméleti állítások leírásának szokásos módja . A kommutatív diagram egy irányított gráf , amelynek csúcsaiban objektumok vannak , morfizmusai pedig nyilak , és a nyilak összetételének eredménye nem függ a választott útvonaltól. Például a kategóriaelmélet axiómái (az összetétel asszociativitása és az azonosságmorfizmus tulajdonsága) diagramok segítségével írhatók fel:

Kettősség

Egy kategóriához megadhat egy kettős kategóriát , amelyben: ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}^{{op}}$

a tárgyak megegyeznek az eredeti kategória objektumaival;
A morfizmusokat a "nyilak megfordításával" kapjuk meg: ${\mathrm {Hom}}_{{\mathcal {C}}^{{op}}}}(B,A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}} }(A,B)$

A dualitás elve kimondja, hogy a kategóriaelméleti bármely állításhoz lehetséges duális állítás a nyilak megfordításával, miközben az állítás igazsága nem változik. A kettős fogalmat gyakran ugyanazzal a kifejezéssel jelölik a co- előtaggal (lásd az alábbi példákat).

Alapvető definíciók és tulajdonságok

Izomorfizmus, endomorfizmus, automorfizmus

Egy morfizmust izomorfizmusnak nevezünk, ha létezik olyan morfizmus , amely és . Két objektumot, amelyek között izomorfizmus van, izomorfnak mondjuk . Különösen az azonosságmorfizmus izomorfizmus, tehát minden objektum izomorf önmagával szemben. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g\in {\mathrm {Hom}}(B,A)$ $g\circ f=\mathrm {id} _{A}$ $f\circ g=\mathrm {id} _{B}$

Azokat a morfizmusokat, amelyekben a kezdet és a vége egybeesik, endomorfizmusoknak nevezzük . Az endomorfizmusok halmaza az identitáselemmel való kompozíció működése szempontjából monoid . ${\mathrm {End}}(A)={\mathrm {Hom}}(A,A)$ $\mathrm {id} _{A}$

Azokat az endomorfizmusokat, amelyek egyben izomorfizmusok is, automorfizmusoknak nevezzük . Bármely objektum automorfizmusai összetétel szerint automorfizmuscsoportot alkotnak. ${\mathrm {Aut}}(A)$

Monomorfizmus, epimorfizmus, bimorfizmus

A monomorfizmus olyan morfizmus, amelyből bármelyikbőlazkövetkezik, hogy. A monomorfizmusok összetétele monomorfizmus. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g_{1},g_{2}\in {\mathrm {Hom}}(X,A)$ $f\circ g_{1}=f\circ g_{2}$ $g_{1}=g_{2}$

Az epimorfizmus olyan morfizmuskövetkezőkbármelyikérevonatkozik. Az epimorfizmusok összetétele epimorfizmus. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g_{1},g_{2}\in {\mathrm {Hom}}(B,X)$ $g_{1}\circ f=g_{2}\circ f$ $g_{1}=g_{2}$

A bimorfizmus olyan morfizmus, amely egyszerre monomorfizmus és epimorfizmus. Minden izomorfizmus bimorfizmus, de nem minden bimorfizmus izomorfizmus.

A monomorfizmus, az epimorfizmus és a bimorfizmus az injektív , a szürjektív és a bijektív leképezés fogalmainak általánosításai. Bármely izomorfizmus monomorfizmus és epimorfizmus; ennek ellenkezője általában nem igaz minden kategóriára.

Kezdeti és terminális objektumok

A kategória kezdeti (kezdeti, univerzálisan taszító) tárgya egy olyan objektum, amelytől a kategória bármely objektumához egyedi morfizmus van.

Ha egy kategóriában léteznek kezdeti objektumok, akkor mindegyik izomorf.

Kettős módon egy terminális vagy univerzálisan vonzó objektum kerül meghatározásra - ez egy olyan objektum, amelyhez a kategória bármely objektumától egyedi morfizmus van.

Egy kategória objektumot nullának nevezünk, ha mind kezdeti, mind terminális.

Példa: A Set kategóriában a kezdeti objektum egy üres halmaz , a terminálobjektum pedig egy elem bármely halmaza .

\varnothing

\{\cdot \}

Példa: Van egy null objektum a Grp kategóriában – ez egy elemből álló csoport.

Az objektumok szorzata és összege

Az A és B objektumok szorzata (párja) egy olyan objektum, amely morfizmusokkalésolyan, hogy bármelymorfizmussal rendelkező objektum esetébenlétezik olyan egyedi morfizmus,amelyszerint a jobb oldalon látható diagram kommutatív. A morfizmusokat projekcióknak nevezzük. $A\-szer B$ $p_{1}:A\-szor B\-től A-ig$ $p_{2}:A\-szor B\-től B-ig$ $C$ $f_{1}:C\–A$ $f_{2}:C\-B$ $g:C\-től A\-ig B$ $p_{1}:A\-szor B\-től A-ig$ $p_{2}:A\-szor B\-től B-ig$

Az objektumok összege vagy együttterméke és kettős definíciója . A megfelelő morfizmusokat beágyazásoknak nevezzük . A nevük ellenére általában nem lehetnek monomorfizmusok . $A+B$ $A$ $B$ $\imath _{A}:A\–A+B$ $\imath _{B}:B\A+B-be$

Ha létezik egy termék és egy társtermék, akkor ezek az izomorfizmusig egyedileg meghatározottak.

Példa: A Halmaz kategóriában A és B szorzata a halmazelmélet értelmében közvetlen szorzat, az összeg pedig diszjunkt unió .

A\-szer B

A \sqcup B

Példa: A Gyűrű kategóriában az összeg a tenzorszorzat , a szorzat pedig a gyűrűk közvetlen összege .

A\otime B

A\oplus B

Példa: A Vect K (véges) kategóriában a szorzat és az összeg izomorf - ez a vektorterek közvetlen összege .

A\oplus B

Könnyű bármilyen objektumcsalád szorzatát hasonló módon meghatározni . A végtelen termékek általában sokkal bonyolultabbak, mint a véges termékek. Például, míg a Vect K véges szorzatai és kotermékei izomorfak a közvetlen összegekkel, a végtelen szorzatok és koszorzatok nem izomorfak. Egy végtelen szorzat elemei tetszőleges végtelen elemsorozatok , míg a végtelen együttszorzat elemei olyan sorozatok, amelyekben csak véges számú tag nem nulla. $\prod _{{i\in I}}A_{i}$ $\prod _{{i\in I}}V_{i}$ $v_{i}\in V_{i}$ $\coprod _{{i\in I}}V_{i}$

Funktorok

A függvények szerkezetmegőrző kategórialeképezések. Pontosabban,

A (kovariáns) funktor minden kategória objektumot egy kategória objektumhoz , és minden morfizmust egy morfizmushoz társít úgy, hogy ${\mathcal {F}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ $f:A\–B$ $F(f):{\mathcal {F}}(A)\to {\mathcal {F}}(B)$

${\displaystyle F(\mathrm {id} _{A})=\mathrm {id} _{F(A)))$ és
$F(g)\circ F(f)=F(g\circ f)$ .

Egy kontravariáns funktor vagy kofunktor egy kovariáns függvényként értelmezhető től -ig (vagy -tól -ig ), azaz "nyilakat megfordító funktorként". Ugyanis minden morfizmushoz hozzárendeli a morfizmust , és ennek megfelelően megfordítja a kompozíciós szabályt: . ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}^{{op}}$ ${\mathcal {C}}^{{op}}$ ${\mathcal {D}}$ $f:A\–B$ $F(f):{\mathcal {F}}(B)\to {\mathcal {F}}(A)$ $F(g)\circ F(f)=F(f\circ g)$

Természetes átalakulások

A természetes átalakulás fogalma két funkcionális kapcsolatát fejezi ki. A függvények gyakran „természetes konstrukciókat” írnak le, ebben az értelemben a természetes átalakulások az ilyen konstrukciók „természetes morfizmusait” írják le.

Ha és kovariáns funktorok a kategóriától a -ig , akkor a természetes transzformáció a kategória minden objektumához hozzárendel egy morfizmust oly módon, hogy a kategória bármely morfizmusára a következő diagram kommutatív: $F$ $G$ $C$ $D$ $\eta$ $x$ $C$ $\eta_X: F(X)\ to G(X)$ $f:X\Y-ig$ $C$

Két funktorról azt mondjuk , hogy természetesen izomorf , ha van közöttük olyan természetes átalakulás, amely bármelyik esetén izomorfizmus . $\eta _{X}$ $x$

Néhány kategóriatípus

Lásd még

Jegyzetek

↑ Helemsky, 2004 .
↑ Rydeheard, Burstall, 1988 .
↑ Goldblatt, 1983 .
↑ Rodin, 2010 .
↑ Ivanov .
↑ Kategóriaelmélet a Haskellben .
↑ J. Adámek, H. Herrlich, GE Strecker Absztrakt és konkrét kategóriák: A macskák öröme Archiválva : 2010. március 25., a Wayback Machine , - New York: John Wiley and Sons, - 1990.

Linkek

„Kategóriaelmélet” a Stanford Encyclopedia of Philosophy -ben (angolul) .
I. Ivanov. Kell a fizikusoknak kategóriaelmélet? . Elemek (2008. szeptember 10.). (Orosz)
Kategóriaelmélet a Haskellben . Letöltve: 2011. március 13. Az eredetiből archiválva : 2011. augusztus 23..

Irodalom

S. Maclane [Maclane S.] Kategóriák a dolgozó matematikus számára . - Moszkva: Fizmatlit, 2004. (Orosz)
S. Maclane [Maclane S.] Homológia . - Moszkva: Mir , 1966. - T. 114. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Orosz)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Kategóriák . - 1969. - T. 06. - (VINITI - Tudomány és technika eredményei, Algebra-Topológia-Geometria). (Orosz)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Előadások a kategóriaelméletről . - Moszkva: Nauka , 1970. (Orosz)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. A kategóriaelmélet alapjai . - Moszkva: Nauka , 1974. (Orosz)
Bucur I., Deleanu A. Bevezetés a kategóriák és funktorok elméletébe . - Moszkva: Mir , 1972. - S. 259. (Orosz)
Faith [Faith C.] 1. kötet // Algebra - gyűrűk, modulok és kategóriák . - Moszkva: Mir , 1977. - T. 190. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Orosz)
Faith [Faith C.] 2. kötet // Algebra - gyűrűk, modulok és kategóriák . - Moszkva: Mir , 1977. - T. 191. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Orosz)
Gabriel [Gabriel P.], Zisman [Zisman M.] A hányadosok kategóriái és a homotópiaelmélet . - Moszkva: Mir , 1977. - T. 35. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Orosz)
Goldblatt [Goldblatt R.] Topoi - a logika kategorikus elemzése . - 1983. - T. 98. - ( Logikai tanulmányok és matematika alapjai ). (Orosz)
Fulton E, MacPherson R. Kategorikus megközelítés a szingularitásokkal rendelkező terek vizsgálatához / szerk. Buchstaber V. M .. - 1983. - T. 33. - ( Új a külföldi tudományban, matematikában ). (Orosz)
Artamonov V. A., Salii V. N., Skornyakov L. A., Shevrin L. N., Shulgeifer E. G. General Algebra . - Moszkva: Nauka , 1991. - T. 2. - 480 p. - ( Újdonság a külföldi tudományban, matematikában ). — 25.500 példány. — ISBN 5-02-014427-4 . (Orosz)
DE Rydeheard, RM Burstall. Számítási kategóriaelmélet . - New York: Prentice Hall, 1988. - 257 p. — ISBN 0-13-162736-8 .
Helemsky A. Ya. Előadások a funkcionális elemzésről . - Moszkva: MTSNMO , 2004. - ISBN 5-94057-065-8 . (Orosz)
R. Goldblatt. Topoi. A logika kategorikus elemzése = Topoi. A logika kategoriális elemzése . - Moszkva: Mir , 1983. - 488 p. (Orosz)
Rodin A. V. Kategóriaelmélet és a fizika új matematikai alapjainak keresése // A filozófia kérdései . - 2010. - 7. sz . - S. 67 .

A matematika ágai

"Tudomány" portál

A matematika alapjai halmazelmélet matematikai logika logikai algebra

Számelmélet ( aritmetika )

Algebra
Elemi algebra	Egyenlet megoldás
Lineáris algebra	Vektorszámítás mátrixok Tenzorszámítás Multilineáris algebra
Általános algebra	Kommutatív algebra Reprezentációs elmélet Differenciálalgebra Homológiai algebra Univerzális algebra Kategória elmélet

Elemzés
Klasszikus elemzés	Differenciálszámítás Integrálszámítás
Függvényelmélet	Harmonikus elemzés Quaternion elemzés Komplex elemzés mértékelmélet Valós változó függvényeinek elmélete funkcionális elemzés Variációszámítás
Differenciál- és integrálegyenletek	Dinamikus rendszerek és ergodikus elmélet Differenciál egyenletek rendes részleges származékokban Integrálegyenletek
Vektor elemzés Globális elemzés Katasztrófaelmélet Egyéni elemzés Sima infinitezimális elemzés

Geometria és topológia
Geometria	Algebrai geometria Analitikus geometria Euklideszi geometria Nem euklideszi geometria Planimetria Sztereometria
Topológia	Általános topológia Algebrai topológia Differenciálgeometria és topológia

Diszkrét matematika
Kombinatorika gráfelmélet

Alkalmazott matematika
Matematikai fizika Matematikai kémia matematikai biológia Matek statisztika Matematikai modellezés Algoritmusok elmélete Numerikus módszerek matematikai közgazdaságtan pénzügyi matematika Valószínűségi elmélet Operációkutatás Játékelmélet

"Matematika" portál
"Matematika" kategória