A kategóriaelmélet a matematikának egy olyan ága , amely a matematikai objektumok közötti kapcsolatok tulajdonságait vizsgálja , amelyek nem függnek az objektumok belső szerkezetétől.
A kategóriaelmélet központi helyet foglal el a modern matematikában [1] , és a számítástechnikában [2] , a logikában [3] és az elméleti fizikában [4] [5] is alkalmazásra talált . Az algebrai geometria és a homológ algebra modern kifejtése alapvetően a kategóriaelmélet fogalmaira támaszkodik. Az általános kategória fogalmait a Haskell [6] funkcionális programozási nyelv is aktívan használja .
A kategória :
és két axióma teljesül :
Az objektumok egy osztálya nem feltétlenül halmaz az axiomatikus halmazelmélet értelmében . Azt a kategóriát , amelyben halmaz és (a kategória összes morfizmusának halmaza) halmaz, kicsinek nevezzük . Emellett lehetőség van (a definíció enyhe korrekciójával) olyan kategóriákat is figyelembe venni, amelyekben bármely két objektum közötti morfizmusok is osztályt vagy akár nagyobb struktúrát alkotnak [7] . A definíció ezen változatában azt a kategóriát, amelyben két rögzített objektum közötti morfizmusok egy halmazt alkotnak, lokálisan kicsinek mondják .
Más algebrai rendszerek kategóriái is hasonlóan vannak meghatározva .
A kommutatív diagramok a kategóriaelméleti állítások leírásának szokásos módja . A kommutatív diagram egy irányított gráf , amelynek csúcsaiban objektumok vannak , morfizmusai pedig nyilak , és a nyilak összetételének eredménye nem függ a választott útvonaltól. Például a kategóriaelmélet axiómái (az összetétel asszociativitása és az azonosságmorfizmus tulajdonsága) diagramok segítségével írhatók fel:
Egy kategóriához megadhat egy kettős kategóriát , amelyben:
A dualitás elve kimondja, hogy a kategóriaelméleti bármely állításhoz lehetséges duális állítás a nyilak megfordításával, miközben az állítás igazsága nem változik. A kettős fogalmat gyakran ugyanazzal a kifejezéssel jelölik a co- előtaggal (lásd az alábbi példákat).
Egy morfizmust izomorfizmusnak nevezünk, ha létezik olyan morfizmus , amely és . Két objektumot, amelyek között izomorfizmus van, izomorfnak mondjuk . Különösen az azonosságmorfizmus izomorfizmus, tehát minden objektum izomorf önmagával szemben.
Azokat a morfizmusokat, amelyekben a kezdet és a vége egybeesik, endomorfizmusoknak nevezzük . Az endomorfizmusok halmaza az identitáselemmel való kompozíció működése szempontjából monoid .
Azokat az endomorfizmusokat, amelyek egyben izomorfizmusok is, automorfizmusoknak nevezzük . Bármely objektum automorfizmusai összetétel szerint automorfizmuscsoportot alkotnak.
A monomorfizmus olyan morfizmus, amelyből bármelyikbőlazkövetkezik, hogy. A monomorfizmusok összetétele monomorfizmus.
Az epimorfizmus olyan morfizmuskövetkezőkbármelyikérevonatkozik. Az epimorfizmusok összetétele epimorfizmus.
A bimorfizmus olyan morfizmus, amely egyszerre monomorfizmus és epimorfizmus. Minden izomorfizmus bimorfizmus, de nem minden bimorfizmus izomorfizmus.
A monomorfizmus, az epimorfizmus és a bimorfizmus az injektív , a szürjektív és a bijektív leképezés fogalmainak általánosításai. Bármely izomorfizmus monomorfizmus és epimorfizmus; ennek ellenkezője általában nem igaz minden kategóriára.
A kategória kezdeti (kezdeti, univerzálisan taszító) tárgya egy olyan objektum, amelytől a kategória bármely objektumához egyedi morfizmus van.
Ha egy kategóriában léteznek kezdeti objektumok, akkor mindegyik izomorf.
Kettős módon egy terminális vagy univerzálisan vonzó objektum kerül meghatározásra - ez egy olyan objektum, amelyhez a kategória bármely objektumától egyedi morfizmus van.
Egy kategória objektumot nullának nevezünk, ha mind kezdeti, mind terminális.
Példa: A Set kategóriában a kezdeti objektum egy üres halmaz , a terminálobjektum pedig egy elem bármely halmaza . Példa: Van egy null objektum a Grp kategóriában – ez egy elemből álló csoport.Az A és B objektumok szorzata (párja) egy olyan objektum, amely morfizmusokkalésolyan, hogy bármelymorfizmussal rendelkező objektum esetébenlétezik olyan egyedi morfizmus,amelyszerint a jobb oldalon látható diagram kommutatív. A morfizmusokat projekcióknak nevezzük.
Az objektumok összege vagy együttterméke és kettős definíciója . A megfelelő morfizmusokat beágyazásoknak nevezzük . A nevük ellenére általában nem lehetnek monomorfizmusok .
Ha létezik egy termék és egy társtermék, akkor ezek az izomorfizmusig egyedileg meghatározottak.
Példa: A Halmaz kategóriában A és B szorzata a halmazelmélet értelmében közvetlen szorzat, az összeg pedig diszjunkt unió . Példa: A Gyűrű kategóriában az összeg a tenzorszorzat , a szorzat pedig a gyűrűk közvetlen összege . Példa: A Vect K (véges) kategóriában a szorzat és az összeg izomorf - ez a vektorterek közvetlen összege .Könnyű bármilyen objektumcsalád szorzatát hasonló módon meghatározni . A végtelen termékek általában sokkal bonyolultabbak, mint a véges termékek. Például, míg a Vect K véges szorzatai és kotermékei izomorfak a közvetlen összegekkel, a végtelen szorzatok és koszorzatok nem izomorfak. Egy végtelen szorzat elemei tetszőleges végtelen elemsorozatok , míg a végtelen együttszorzat elemei olyan sorozatok, amelyekben csak véges számú tag nem nulla.
A függvények szerkezetmegőrző kategórialeképezések. Pontosabban,
A (kovariáns) funktor minden kategória objektumot egy kategória objektumhoz , és minden morfizmust egy morfizmushoz társít úgy, hogy
Egy kontravariáns funktor vagy kofunktor egy kovariáns függvényként értelmezhető től -ig (vagy -tól -ig ), azaz "nyilakat megfordító funktorként". Ugyanis minden morfizmushoz hozzárendeli a morfizmust , és ennek megfelelően megfordítja a kompozíciós szabályt: .
A természetes átalakulás fogalma két funkcionális kapcsolatát fejezi ki. A függvények gyakran „természetes konstrukciókat” írnak le, ebben az értelemben a természetes átalakulások az ilyen konstrukciók „természetes morfizmusait” írják le.
Ha és kovariáns funktorok a kategóriától a -ig , akkor a természetes transzformáció a kategória minden objektumához hozzárendel egy morfizmust oly módon, hogy a kategória bármely morfizmusára a következő diagram kommutatív:
Két funktorról azt mondjuk , hogy természetesen izomorf , ha van közöttük olyan természetes átalakulás, amely bármelyik esetén izomorfizmus .
A matematika ágai | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
"Tudomány" portál | ||||||||||
A matematika alapjai halmazelmélet matematikai logika logikai algebra | ||||||||||
Számelmélet ( aritmetika ) | ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
|