Tenzor

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. június 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

A tenzor (a lat. tensus szóból : „feszítő”) a lineáris algebra matematikában és fizikában használt objektuma , amelyet véges dimenziójú vektortéren határoznak meg . A fizikában általában a fizikai háromdimenziós tér vagy a négydimenziós téridő működik tenzorként, és a tenzor összetevői egymással összefüggő fizikai mennyiségek koordinátái. $V$ $n$ $V$

A tenzorok használata a fizikában lehetővé teszi a fizikai törvények és egyenletek jobb megértését, leegyszerűsítheti írásukat sok kapcsolódó fizikai mennyiség egyetlen tenzorba történő redukálásával, és az egyenleteket olyan formában is felírhatja, amely nem függ a választott vonatkoztatási rendszertől .

A tenzorok rangja különbözik, amit egy természetes számpár határoz meg , ahol kontravariáns és kovariáns rang (és azt mondják , egyszer kontravariáns és egyszer kovariáns tenzor), és az összeget egyszerűen a tenzor rangjának nevezik . ${\megjelenítési stílus (s,r)}$ $s$ $r$ $s$ $r$ $s+r$

A rangtenzorok egy lineáris tér vektorai, amelyek polilineárisan kapcsolódnak a térhez , és vagy jelöléssel vannak ellátva . A dimenzió megegyezik a tenzorkomponensek számával, és maguk a komponensek a bázisban lévő tenzor koordinátái, „csatlakozva” a téralaphoz . A tenzor rangja a tér dimenziójával együtt meghatározza a tenzor komponenseinek számát, a kovariáns és kontravariáns rang pedig a térbeli bázis alapján határozza meg függőségük jellegét . ${\megjelenítési stílus (s,r)}$ $V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $T_{r}^{s}(V)$ $\otimes _{r}^{s}V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $V$ $V$ $n^{s+r}$ $V$

A és a multilineáris kapcsolat az , amely lehetővé teszi a vektorok azonosítását tenzorként , és nem csak egy tér vektorait, mivel amikor az in bázis megváltozik, akkor az in bázis és a tenzor koordinátái ennek a térnek a vektoraként. is változni. Ezért beszélünk a tenzor koordinátaábrázolásáról a téralapban . Annak ellenére, hogy az alap megváltoztatásakor a tenzorkomponensek megváltoznak, a tenzorok, mint algebrai és geometriai objektumok, nem függenek az alaptól - a különböző bázisokban különböző koordinátakészletek felelhetnek meg ugyanannak az objektumnak. $V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $V$ $V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $V$

A fix bázisú tenzor komponensei dimenziós táblázat formájában strukturálhatók . A 0. helyen a táblázat egyetlen szám, az 1. helyen egy rendezett halmaz (oszlop vagy sorvektor), a 2. helyen egy négyzetmátrix, a 3. helyen egy háromdimenziós kocka és így tovább. nagy rangok vizuális ábrázolása nehéz. $V$ ${\megjelenítési stílus (n+r)}$ $n\times n\times \cdots \times n$

Így az 1-es rangú tenzorok a tér vektorai , valamint a lineáris funkcionálisok ( kovektorok ) -on , amelyek az azonos dimenziójú duális teret alkotják. A 2. rangú tenzorok bilineáris formák , lineáris operátorok és on bivektorok , amelyek a megfelelő lineáris tereket is alkotják. A (0. rangú) tenzorok közé tartoznak a skalárok is – a mező elemei, amelyen a tér adott (általában valós vagy komplex számok). A skalárok nem változnak (invariáns) az alap megváltoztatásakor. $V$ $V$ $V^*$ $V$ $V$

A rangtenzor komponenseket felső (kontravariáns) és alsó (kovariáns) indexekkel írjuk fel : . Például a tenzor jelölésű vektorok egy felső indexszel, a lineáris operátorok alsó és felső indexszel vannak írva: , a bilineáris formák (kettős kovariáns tenzorok) két alsó indexszel . Egy típusú tenzort (például a Riemann görbületi tenzort) így kell felírni . ${\megjelenítési stílus (s,r)}$ $s$ $r$ $T_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}$ $x^i$ ${\displaystyle a_{j}^{i))$ $F_{{ij}}$ $(1,3)$ ${\displaystyle R_{jkl}^{i))$

Az alkalmazások gyakran használnak tenzormezőket , amelyek különböző tenzorokat rendelnek a tér különböző pontjaihoz (például egy objektumon belüli feszültségtenzorhoz). Ezeket azonban gyakran leegyszerűsítve tenzoroknak is nevezik.

A tenzorokat 1900-ban Tullio Levi-Civita és Gregorio Ricci-Curbastro népszerűsítette , akik Bernhard Riemann és Alvin Bruno Christoffel korábbi munkáját folytatták . A "tenzor" szót W. Vogt német fizikus alkotta meg 1898-ban [1] .

Előzetes

Einstein szabálya

A cikk szövegében itt és a továbbiakban főként az általánosan elfogadott konvenciót alkalmazzuk - az úgynevezett Einstein-szabályt , amely szerint, ha a rekordban felső és alsó indexek vannak, ugyanazzal a betűvel (az ún. "néma" indexnek nevezzük), akkor az összegzést feltételezzük. Például a bejegyzés ugyanazt jelenti, mint . Ez leegyszerűsíti a képletírást, mivel nem ad meg összegző jeleket. A különböző betűkkel jelölt indexeknél az összegzés nem várható. A némítási index ennek hatására "eltűnik", míg a többi index megmarad, például: vagy . Lásd még ennek a cikknek a konvolúciós műveletnek szentelt alfejezetét. ${\displaystyle x^{i}e_{i))$ ${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x^{i}e_{i))$ ${\displaystyle y^{j}=c_{i}^{j}x^{i}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{j}x^{i))$ $a_{i}^{j}=b_{k}^{j}c_{i}^{k}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{j}c_ {i}^{k}$

A vektorok kontravarianciája

Legyen egy vektorhalmaz bázis egy vektortérben . Ekkor ennek a térnek az adott bázis bármely vektorát bázisvektorok lineáris kombinációjaként ábrázoljuk: . A (rendezett) számok halmazát (oszlopvektor) a vektor koordinátáinak vagy összetevőinek nevezzük az adott bázisban, vagy a vektor koordinátaábrázolásának. $\{e_{i}\}=(e_{1},e_{2},...,e_{n})$ $V$ $x$ ${\displaystyle x=x^{i}e_{i))$ ${\displaystyle \{x^{i}\}=(x^{1},x^{2},...,x^{n})^{T))$

Tekintsünk egy másik vektorhalmazt , amely szintén bázis. Az új bázis minden vektora a "régi" bázisban (valamint bármely vektorban) ábrázolható: , vagyis a koordinátákkal . Ennek megfelelően az a mátrix, amelynek oszlopai az új bázis koordinátáit reprezentálják a régiben, a régi bázis transzformációs mátrixa az újba. Az inverz mátrix lehetővé teszi, hogy a régi bázist vegyük le az újból. Ezenkívül az inverz mátrix segítségével egy tetszőleges vektor koordinátaábrázolását kaphatjuk meg egy új bázisban. Valóban, , vagyis az új koordináták (az új bázisban) egyenlőek (mátrix-vektor formában ezt úgy írjuk, hogy ). Vagyis a vektor koordinátáit visszakonvertáljuk a bázisra. A koordinátatranszformációnak ezt a tulajdonságát kontravarianciának nevezzük . $\{e'_{i}\}=(e'_{1},e'_{2},...,e'_{n})$ ${\displaystyle e'_{i}=e_{i'}=c_{i'}^{i}e_{i))$ ${\displaystyle (c_{i'}^{1},c_{i'}^{2},...,c_{i'}^{n})^{T))$ $C=\{c_{i'}^{i}\}$ $C^{-1}=\{c_{i}^{i'}\}$ $x=x^{i}e_{i}=x^{i}c_{i}^{i'}e_{i'}=(x^{i}c_{i}^{i'} )e'_{i}$ $x^{i'}=x^{i}c_{i}^{i'}$ $x'=C^{-1}x$

Lineáris funkcionálok kovarianciája

Ha bármely objektum koordinátáit bázisként transzformáljuk, vagyis a bázistranszformációs mátrix segítségével, akkor ezt kovarianciának nevezzük . Példa a kovariáns objektumokra az úgynevezett kovektorok - ezek lineáris funkcionálisok ( lineáris formák ) a térben . Ez magyarázatot igényel. A linearitás miatt az összes ilyen funkcionális halmaza egy vektorteret is alkot , amelyet duálisnak nevezünk , és amelynek mérete megegyezik a -val . Így a lineáris funkcionálok (formák) a duális tér vektorai. Kovektorokká (1. rangú kovariáns tenzorok) válnak a főtérhez való kötődés révén , nevezetesen a duális tér bázisának konkrét megválasztása révén, amelyet egyedileg a tér alapja határoz meg . Adott térbázisban egy tetszőleges lineáris alak egyenlő -val A vektorkoordináták értelmezhetők olyan lineáris függvényekként is, amelyek minden vektort a megfelelő koordinátához rendelnek: . Ezek a lineáris funkcionálisok bázisok a duális térben, és duális (vagy duális) bázisnak (az alaptér bázisának) nevezik. Ennek megfelelően egy tetszőleges lineáris alakot a következőképpen ábrázolunk: , azaz koordináták halmazaként is (ezeket sorvektorként írjuk, ellentétben a fő térvektorok koordinátáinak oszlopvektorával). $V$ $V^*$ $V$ $V$ $V$ $V$ $V$ ${\displaystyle f(x)=f(x^{i}e_{i})=f(e_{i})x^{i}=f_{i}x^{i))$ $x^i$ $x^{i}=e^{i}(x)$ ${\displaystyle f(x)=f_{i}e^{i))$ $(f_{1},f_{2},...,f_{n})$

Az új bázisban van: , hol vannak a lineáris alak koordinátái az új duális bázisban . Átalakításuk ugyanazzal az átmeneti mátrixszal történik a régi térbázisról az újra . Ez képletek nélkül magyarázható: a lineáris funkcionális egy vektor a térben , ezért a benne lévő bázis megváltoztatásakor a koordinátái visszaváltoznak a bázisukra, ez a duális bázis viszont fordítottan változik a térbeli bázis változásával ( mivel ezek valójában a vektorok koordinátái) . Ennek eredményeként a lineáris függvény koordinátái ugyanúgy átalakulnak, mint a főtér alapja. Ezért a főtérhez képest kovektoroknak nevezik őket. $f(x)=f(x^{i'}e_{j'})=f(e_{i'})x^{i'}=f(c_{i'}^{i}e_ {i})e^{i'}(x)=f(e_{i})c_{i'}^{i}e^{i'}=(f_{i}c_{i'}^{i })e^{i'}=f_{i'}e^{i'}$ ${\displaystyle f_{i'}=f_{i}c_{i'}^{i))$ $\{e^{i'}(x)\}$ $C=\{c_{i'}^{i}\}$ $V$ $f'=fC$ $V^*$ $V$

Jegyzetek

1. Ortonormális bázisok esetén a bázis inverz transzformációs mátrixát egyszerűen transzponáljuk: , tehát , vagyis ha a lineáris forma koordinátáit nem sorvektorként, hanem oszlopvektorként írjuk fel, akkor a szabály a lineáris forma koordinátáinak transzformációjához nem fog eltérni a szabályvektor transzformációktól. Így az ortonormális bázisok közötti átmenetek (forgatások vagy az alap orientációjának megváltozása) során a kovariáns transzformáció nem tér el az ellentéttől. ${\displaystyle C^{T}=C^{-1))$ ${\displaystyle (fC)^{T}=C^{T}f^{T}=C^{-1}f^{T))$

2. A (pszeudo) skaláris szorzatú terekben ((pszeudo) euklideszi terek) a tér kanonikusan izomorf a térrel , azaz azonosíthatók (minden lineáris függvény egy fix vektor skaláris szorzataként van ábrázolva, ill . függvény vektorargumentuma , azaz a és között van egy-egy megfelelés). Ezért egy vektor és egy kovektor lényegében egy objektumnak tekinthető. Ebben a tekintetben úgy gondolják, hogy ugyanaz a vektor (általános esetben tenzor) egyszerűen ábrázolható mind kontravariáns, mind kovariáns koordinátákkal. Ezt gyakran megteszik például a fizikában, ahol a tenzorokat általában vagy geometriai háromdimenziós térben vagy négydimenziós téridőben veszik figyelembe. $V^*$ $V$ $a\in V$ $x \ V-ben$ $f(x)=(a,x)$ $a$ $f$

Példák a koordináták újraszámítására az alap megváltoztatásakor

Példa egy vektor koordinátáinak újraszámítására a bázis megváltoztatásakor

Tekintsünk néhány vektort valamilyen kétdimenziós euklideszi térben ( Euklideszi sík ), amelyet a jobb oldali ábra egy irányított zöld nyílként ábrázol. Valamelyik bázisban (az ábrán pirossal van jelölve) egy és vektorokból álló síkon , ennek a vektornak vannak koordinátái , azaz (maga a vektor nem függ a bázis megválasztásától és attól függetlenül van beállítva). $v$ ${\color {red}e_{1}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ${\color {red}e_{2}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ ${\color {limegreen}v}={\color {red}e_{1}}+2\color {red}e_{2}$ $v$

Most egy új alapot vezetünk be , amelyet az elsőből a pozitív irányba történő bekapcsolással kaptunk. Bővítsük ki a , vektorokat a bázis szempontjából , és jelöljük a vektor -edik koordinátájával , akkor $\color {blue}f_{1}$ $\color {blue}f_{2}$ ${\displaystyle 45^{\circ ))$ $\color {blue}f_{1}$ $\color {blue}f_{2}$ $\color {red}e_{1}$ $\color {red}e_{2}$ ${\displaystyle c_{i}^{j))$ $j$ $\color {blue}f_{i}$

f én = c én egy e egy + c én 2 e 2 = c én j e j , én = egy , 2 , {\displaystyle {\color {blue}f_{i}}=c_{i}^{1}{\color {red}e_{1}}+c_{i}^{2}{\color {red}e_ {2}}=c_{i}^{j}{\color {red}e_{j}},\quad i=1,2,}

{\color {blue}f_{i}}=c_{i}^{1}{\color {red}e_{1}}+c_{i}^{2}{\color {red}e_ {2}}=c_{i}^{j}{\color {red}e_{j}},\quad i=1,2,

Nyilvánvalóan . _ Ennek megfelelően a bázisról bázisra átmenet mátrix alakja . ${\color {blue}f_{1}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}} }\end{pmatrix}}$ ${\color {blue}f_{2}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2} }}\end{pmatrix}}}$ $(c_{i}^{j})$ $\color {red}e_{1}$ $\color {red}e_{2}$ $\color {blue}f_{1}$ $\color {blue}f_{2}$ $C=\{c_{i}^{j}\}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt { 2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$

Mivel a régi koordináták az újakhoz mátrix alakban vagy formában kapcsolódnak, az új bázis koordinátáinak inverz függése a régi koordinátáitól úgy néz ki, mint a tenzor jelölésben , és a mátrix jelölésben: . A mátrix inverze ebben az esetben könnyen megtalálható: . Ennek megfelelően a vektor koordinátái az új bázisban az ${\color {limeggreen}v}={\tilde {v}}^{i}{\color {blue}f_{i}}={\tilde {v}}^{i}c_{i} ^{j}{\color {red}e_{j}}=v^{j}{\color {red}e_{j}}$ $v^{j}=c_{i}^{j}{\tilde {v}}^{i}$ $v=C{\tilde {v}}$ ${\tilde {v}}^{i}=c_{j}^{i}v^{j}$ ${\tilde {v}}=C^{-1}v$ $C^{-1}=C^{T}=\{c_{j}^{i}\}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2))}& {\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix }}$

v ~ = ( egy 2 egy 2 − egy 2 egy 2 ) ( egy 2 ) = ( 3 2 egy 2 ) = ( 3 2 2 2 2 ) {\displaystyle {\tilde {v}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{ \frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}} ={\begin{pmatrix}{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} {\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}} ${\tilde {v}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{ \frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}} ={\begin{pmatrix}{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} {\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}$

Látható, hogy az új bázis vektorának koordinátái valóban eltérnek a régi bázis koordinátáitól (ami már az ábrán is látható volt), míg maga a vektor , mint a tér eleme, nem függ a választástól. az alap (geometriailag a zöld nyíl semmit sem változott) . $\color {limegreen}v$

Példa egy lineáris függvény koordinátáinak újraszámítására

A lineáris funkcionálok kovektorok (1. rangú kovariáns tenzorok), ezért a bázis megváltoztatásakor koordinátáikat ugyanúgy transzformálják, mint a bázist (ugyanazon mátrix segítségével). Vegyük például ugyanazt a kétdimenziós euklideszi teret, ugyanazzal a kezdeti vörös bázissal és zöld vektorral.

Legyen ezen az alapon (pontosabban a duálban) valamilyen lineáris függvénynek (1,1) koordinátája (megmutatható, hogy egy ilyen függvény talál egy vetületet az (1,1) vektor irányára, és megszorozza azt Például az ábrán látható zöld vektornál a függvény értéke 1 + 2 = 3. A függvény értéke nem függhet a bázistól. Mutassuk meg ezt egy új bázis példáján, amelyben a tengelyt az óramutató járásával ellentétes 45 fokkal elforgatva kapjuk meg, és a tengelyt változatlanul hagyjuk.A bázis transzformációs mátrixa így fog kinézni: , és a lineáris függvény új koordinátái egyenlők lesznek .A bázis inverz transzformációs mátrixa a . azt, az új bázisban megtaláljuk a v vektor koordinátáit. Ennek megfelelően a vektor lineáris függvényének értéke az új bázisban a következő lesz: , azaz ugyanazt az értéket kaptuk, mint az eredeti bázisban . $\varphi(x)$ ${\sqrt {2}}$ $v$ ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ $x$ $y$ $C=\{c_{i}^{j}\}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&1\end{pmatrix}}$ $\varphi =(1,1){\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&1\ end{pmatrix}}=({\frac {2}{\sqrt {2}}},1)$ $C^{-1}={\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\-1&1\end{pmatrix}}$ $v={\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\begin{ pmatrix}{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}$ $({\frac {2}{\sqrt {2}}},1){\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}=3$

A lineáris funkcionális értéke nem függ a választott bázistól, hanem csak a vektor argumentumtól függ, ami szintén nem függ a bázistól, ennek ellenére a koordináta jelölésben a vektor és a kovektor is a bázistól függ.

Definíciók

A tenzoroknak több, lényegében egyenértékű definíciója létezik. Egyenértékűségük abból adódik, hogy a definíciók által generált objektumok halmazai között (beleértve a tenzorműveleteket és a köztük lévő relációkat) egy az egyhez megfeleltetés állapítható meg (ezek az objektumok terei izomorfak egymással). .

Tenzor mint összetevők halmaza (többindexes objektum)

Általános meghatározás. Koordináta transzformációs szabály

A típustenzor egy vektortérben (dimenzió ) egy tetszőleges bázison számkészlettel meghatározott objektum ( mindegyik index értéke 1-től ig terjedhet ), amely egy másik bázisra való áttéréskor a a következő törvény (az Einstein-szabályt alkalmazzák): $(_{r}^{s})$ $V$ $n$ $\{e_{i}\}$ $T_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}$ $n$ ${\displaystyle \{e_{i}^{'}\))$

T_{j'_{1}j'_{2}\dots j'_{r}}^{i'_{1}i'_{2}\dots i'_{s}}= T_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}c_{i_{1}}^{i'_{1}} c_{i_{2}}^{i'_{2}}\dots c_{i_{s}}^{i'_{s}}c_{j'_{1}}^{j_{1}} c_{j'_{2}}^{j_{2}}\dots c_{j'_{r}}^{j_{r}}

azaz egyszer a bázis transzformációs mátrixának inverz mátrixával , egyszer pedig a bázis transzformációs mátrixával. Vagyis e definíció keretein belül a tenzor komponensek tömbje + a komponensek átalakulásának törvénye a bázis megváltoztatásakor. $s$ $r$

A számot a tenzor vegyértékének vagy rangjának nevezzük, - kontravariáns vegyértéknek, - kovariáns vegyértéknek. Azt is mondják - szor kontravariáns és - szor kovariáns tenzor. A tenzorkomponensek száma (egy adott bázis tenzorát reprezentáló számok halmaza) . $s+r$ $s$ $r$ $s$ $r$ $n^{s+r}$

Ennek megfelelően ebből a definícióból az következik, hogy egy tér vektora típusú tenzor, ennek a térnek a kovektora pedig egy típusú tenzor . A kényelem kedvéért úgy gondoljuk, hogy a típustenzor maga a valós számok mezője, vagyis olyan skalárok, amelyek nem változnak, amikor az alap változik. $V$ $(_{0}^{1})$ $(_{1}^{0})$ $(_{0}^{0})$

Koordináta transzformációk bizonyos esetekben

Egy térvektornál , amely 1. rangú kontravariáns tenzor , a koordináta-transzformációs képlet a bázis megváltoztatásakor a következő alakú lesz , vagy mátrix alakban: , ahol az x vektor koordinátáinak oszlopvektorai a régi bázisban és az új alap. $x$ $V$ $x^i$ ${\displaystyle x^{i'}=x^{i}c_{i}^{i'}=c_{i}^{i'}x^{i))$ $\mathbf {x} '=C^{-1}\mathbf {x}$ $\mathbf {x} ,\mathbf {x} '$

Lineáris alaknál - 1. rangú kovariáns tenzornál a koordináta-transzformációs képlet így fog kinézni: , vagy mátrix formában , ahol a lineáris forma koordinátáinak sorvektorai vannak a régi és az új bázisban. $f(x)$ $f_{i}$ ${\displaystyle f'_{i}=f_{i'}=f_{i}c_{i'}^{i))$ $\mathbf {f} '=\mathbf {f} C$ $\mathbf {f} ,\mathbf {f} '$ $f$

Egy bilineáris alak (kétszeresen kovariáns tenzor ) esetén a koordináta-transzformációs képlet a következő: $B:V^{2}\rightarrow R$ $B_{ij}$

$B'_{ij}=B_{i'j'}=B_{ij}c_{i'}^{i}c_{j'}^{j}=c_{i'}^{i} B_{ij}c_{j'}^{j}=C^{T}BC$

Lineáris operátor esetén (egyszer kovariáns és egyszer kontravariáns tenzor ) a koordináta-újraszámítási képlet a következő: $A:V\rightarrow V$ ${\displaystyle A_{i}^{j))$

$A_{i'}^{j'}=A_{i}^{j}c_{i'}^{i}c_{j}^{j'}=c_{j}^{j'} A_{i}^{j}c_{i'}^{i}=C^{-1}AC$

Pszeudotenzorok

Az áltenzorok olyan algebrai objektumok, amelyek koordinátáit a tenzorokhoz hasonlóan transzformálják, kivéve a bázis orientációjának változását - ebben az esetben a pszeudotenzorok előjelet váltanak, ellentétben a valódi tenzorokkal. Formálisan ez azt jelenti, hogy a koordináta-transzformációs törvényben a bázistranszformációs mátrix determinánsának előjelével megegyező tényezőt kell hozzáadni: . $sign(det(C))$

A pszeudotenzorok speciális esetei a pszeudoskalárok és a pszeudovektorok . Pszeudoskalárra példa az úgynevezett orientált térfogat . Pszeudovektorra példa egy keresztszorzat eredménye a 3D térben, például a szögimpulzusvektor . A Levi-Civita szimbólumok is pszeudotenzorok .

Többindexes objektumok, amelyek nem tenzorok

A számok bármely halmaza (például mátrix), ha a tér alapja a koordináta-transzformáció tenzortörvényével megváltozik, akkor nem tenzor, ha nincs vagy nem következetes. Azok a többindexes objektumok, amelyek legalább egy bázisban nullával egyenlőek (ebben a bázisban minden koordináta nullával egyenlő), szintén nem tenzorok.

Vannak olyan objektumok, amelyek hasonlóak a tenzorokhoz (a tenzorokkal végzett szabványos műveletek alkalmazhatók rájuk, például a konvolúció vektorokkal vagy más tenzorokkal), de amelyek transzformációjának törvénye az alap megváltoztatásakor nem tenzor. Klasszikus, de összetett példa az ilyen objektumokra a Christoffel-szimbólumok , amelyek a Riemann-sokaságokban az úgynevezett kapcsolat (a vektor végtelenül kicsiny párhuzamos lefordítása) összetevőit jelölik - transzformációs törvényük nem tenzoriális. Az összekapcsolt komponensek vektorral való konvolúciója azonban valós vektort ad, és különbségük valós tenzor ( torziós tenzor ). A Christoffel-szimbólumok, mint a köteg bármely kapcsolódási együtthatója , egy összetettebb tér elemei, mint a tenzor- sugár kötegek tere . ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i))$

A tenzorok nem tartalmazzák magukat a koordináta transzformációs mátrixokat ( Jacobi mátrixok ), amelyek két sokaság közötti difeomorfizmus speciális esetei , amelyek segítségével bevezetik a tenzor klasszikus definícióját, bár sok tulajdonságukban hasonlítanak. egy tenzor. Számukra felső- és alsóindexeket, szorzási, összeadási és konvolúciós műveleteket is megadhat. Ellentétben a tenzorral, amelynek összetevői csak az adott sokaság koordinátáitól függenek, a Jacobi-mátrix komponensei a sokaság-kép koordinátáitól is függenek. Ez a különbség nyilvánvaló abban az esetben, ha két tetszőleges sokaság difeomorfizmusának Jacobi-mátrixait vesszük figyelembe, de ha a sokaságot önmagába leképezzük, akkor ez figyelmen kívül hagyható, mivel a kép és az előkép érintőtere izomorf (nem kanonikus) . Ez azonban továbbra is fennáll. A Jacobi-mátrixok és a tenzorok közötti analógia úgy alakítható ki, hogy egy sokaságon tetszőleges vektorkötegeket és azok szorzatait veszünk figyelembe , nem csak az érintő- és kotangens kötegeket.

Tenzor mint multilineáris függvény

Általános meghatározás

A típustenzor egy multilineáris függvény (multilineáris forma) , vagyis a következő formájú argumentumok numerikus függvénye , ahol a lineáris funkcionálisok és térvektorok . $(_{r}^{s})$ $T\colon (V^{*})^{s}\times V^{r}\to R$ $s+r$ $T(f_{1},f_{2},...,f_{s},x_{1},x_{2},...,x_{r})$ $f_{i}$ $V$ $x_{j}$ $V$

A tenzorkoordináták bizonyos bázison a multilineáris függvény értékei lesznek az alapvektorok különféle kombinációin: $T_{j_{1}j_{2}...j_{r}}^{i_{1}i_{2}...i_{s}}=T(e^{i_{1}} ,e^{i_{2}},...,e^{i_{s}},e_{j_{1}},e_{j_{2}},...,e_{j_{r}} )$

Multilineáris függvények V-n, mint kovariáns tenzorok

Egy téren a multilineáris függvények a tér több vektorargumentumának numerikus függvényei, amelyek mindegyik argumentumban lineárisak: . Az egyes argumentumokra vonatkozó linearitás azt jelenti, hogy ezek a függvények minden argumentum tekintetében lineáris funkcionálisnak tekinthetők, ha a többi argumentum rögzített. $V$ $f(v_{1},v_{2},...,v_{r})$

A térbeli vektorargumentumok multilineáris függvényei a típusú tenzorok , azaz -szoros kovariáns tenzorok (a kovektorok az ilyen típusú tenzorok sajátos esetei). Valójában, ha egy ilyen tenzort függvénynek tekintünk , akkor ha az egyes vektorokat a téralap vektorainak lineáris kombinációjaként ábrázoljuk, a függvény multilinearitása miatt a következőt kapjuk: $r$ $V$ $(_{r}^{0})$ $r$ $T(v_{1},v_{2},...,v_{r})$

$T(x_{1}^{i_{1}}e_{i_{1}},x_{2}^{i_{2}}e_{i_{2}},...,x_{r }^{i_{r}}e_{i_{r}})=x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{ r}}T(e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{r}})=T_{i_{1}i_{2}...i_{r }}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{r}}$

ahol a multilineáris függvény koordináta-kifejezése, a szorzatok pedig a duál tér duális alapjai . Azaz a multilineáris függvények duális vektorteret alkotnak -hez . A duális térben a főtérben a bázis megváltoztatásakor a bázis visszaváltozik, és magának a duális térnek a vektorai (vagyis jelen esetben a multilineáris függvények) visszaváltoznak a bázisukra, ezért, valamint a a főtér alapja. Így a térben lévő multilineáris függvények kovariánsan átalakulnak a koordináta-reprezentációban, és -szoros kovariáns tenzorok. $T_{i_{1}i_{2}...i_{r))$ $x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{r}}$ $(V^{*})^{r}$ ${\megjelenítési stílus (V)^{r))$ ${\megjelenítési stílus (V)^{r))$ $V$ $r$

Az ilyen típusú tenzorok klasszikus példája (kétszeresen kovariáns tenzor) a bilineáris formák - két argumentum numerikus függvényei - a térvektorok, amelyek mindegyik argumentumban lineárisak. A koordinátaábrázolásban komponensek mátrixaként van felírva - bilineáris értékek bázisvektorpárokon. A bázis megváltoztatásakor a bilineáris alak mátrixa a következőképpen alakul át , ahol C a bázis transzformációs mátrixa. $(_{2}^{0})$ $g(x,y)$ $A$ $A'=C^{T}AC$

Multilineáris függvények V*-on, mint kontravariáns tenzorok

Hasonlóképpen kimutatható, hogy a duális térben lévő multilineáris függvények a koordináta-transzformáció kontravariáns jellege miatt típusú tenzorok . ${\displaystyle (V^{*})^{s))$ $(_{0}^{s})$

Ebben a definícióban valamivel nehezebb megérteni, hogy a típus kontravariáns tenzorai a tér vektorai . A lényeg az, hogy a téren lévő lineáris funkcionálisok a k-hez duális teret is alkotják – a második duális teret, amelyet jelöl . Kimutatható azonban, hogy véges dimenziós vektorterek esetén a második duális tér kanonikusan izomorf az eredeti vektortérrel , azaz a terekkel és azonosítható. Ezért a duális térben lévő lineáris funkcionálisok azonosíthatók a tér vektoraival , ezek a tenzorok $(_{0}^{1})$ $V$ $V^{*}$ $V^{*}$ $V^{**}$ $V^{**}$ $V$ $V$ $V^{**}$ $V^{*}$ $V$ $(_{0}^{1})$

Multilineáris függvények lineáris leképezésként

Hasonlóképpen kimutatható, hogy az általános multilineáris függvények transzformációs törvénye is megfelel a tenzorosnak.

Ebből a definícióból nem nyilvánvaló, hogy a lineáris operátorok típusú tenzorok . Mindazonáltal, ha egy multilineáris függvényt tekintünk , ahol egy térvektor, és egy lineáris függvény (a duális tér vektora), akkor egy fix esetén egy ilyen függvény egyszerűen egy lineáris függvény a téren , azaz egy elem a térből . Amint fentebb megjegyeztük, ez a tér megegyezik az eredeti térrel , ami azt jelenti, hogy ugyanannak a térnek egy másik vektora van társítva ehhez a függvényhez egy fixhez, és ugyanakkor egy ilyen leképezés lineáris. Következésképpen a típusú multilineáris függvényeket a lineáris operátorokkal azonosítjuk . $V$ $(_{1}^{1})$ $T(f,x)$ $x$ $f$ $x$ $V^*$ $V^{**}$ $V$ $x$ $y$ $T(f,x)$ $V$

Hasonló érveléssel kimutatható, hogy a lineáris leképezések típusú tenzorok, és általánosabban a lineáris leképezések a típusú tenzorok . $L:V^{r}\rightarrow V$ $(_{r}^{1})$ $L:V^{r}\rightarrow V^{s}$ $(_{r}^{s})$

A tenzor mint vektorterek tenzorszorzatának eleme

Általános meghatározás

A -dimenziós vektortér feletti rangtenzor a terek és a konjugált terek tenzorszorzatának eleme (vagyis a lineáris funkcionálisok ( kovektorok ) terei -on ) ${\megjelenítési stílus (s,r)}$ $n$ $V$ $s$ $V$ $r$ $V^*$ $V$

\tau \in \underbrace {V\otimes \ldots \otimes V} _{s}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \ldots \otimes V^{*}} _{r}= \left(\bigotimes _{i=1}^{s}V\right)\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{r}V^{*}\right)=(\otimes ^{ s}V)\otimes (\otimes ^{r}V^{*})=\otimes _{r}^{s}V=T_{r}^{s}(V).

Magyarázatok a tenzorszorzatról

Ez a definíció modernnek tekinthető, de előzetes magyarázatot igényel a vektorterek tenzorszorzatának bonyolult fogalmára. A vektorterek tenzorszorzata egy olyan vektortér , amely ezekhez a vektorterekhez multilineáris leképezésen keresztül van társítva, vagyis a vektorterek derékszögű (közvetlen) szorzatának minden eleme hozzá van rendelve egy térelemhez és minden polilineáris alakhoz ezeken. vektorterek egy térbeli lineáris alaknak felel meg . $W$ $W$ $W$

A vektorok tenzorszorzata könnyebben definiálható koordináta-reprezentációban: ez egy olyan vektor, amelynek koordinátái a "szorzott" vektorok koordinátáinak összes lehetséges szorzata. Például, ha a dimenziótér két x és y vektorát „szorozzuk” , akkor a tenzorszorzatuk egy olyan dimenzióvektor , amelynek koordinátái megegyeznek a számokkal , ahol az indexek minden lehetséges értéken átfutnak 1-től (ez kényelmes ezeket a koordinátákat négyzetmátrixként írni ). Vektoros formában ennek a mátrixtenzor szorzatnak a megszerzése a szorzás sorrendjének megfelelően vagy attól függően lesz felírva (nem tévesztendő össze a vagy - ezekben az esetekben csak egy számot kapunk). A tenzorszorzat nem kommutatív, vagyis a szorzott vektorok sorrendje befolyásolja az eredményt (a számkészlet ugyanaz, de rendezett számhalmazokként különböznek). Valójában a vektorok tenzorszorzata néhány tenzor (a szorzott vektorok nem függnek a bázistól, így a tenzorszorzat attól függetlenül kerül meghatározásra, míg a bázis bármilyen változása megváltoztatja a szorzott vektorok és szorzataik koordináta-reprezentációját). $V$ $n$ $z$ $n^{2}$ ${\displaystyle x^{i}y^{j))$ $i,j$ $n$ $n\szer n$ $xy^{T}$ $yx^{T}$ $x^{T}y$ $y^{T}x$

Tenzor koordinátaábrázolása

A térben egy bázist választunk , és ennek megfelelően a duális térben egy duális bázist (vagyis ahol a Kronecker szimbólum van ). $V$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}\))$ ${\displaystyle \{\mathbf {f} ^{1},\mathbf {f} ^{2},\ldots ,\mathbf {f} ^{n}\))$ $V^*$ $(\mathbf{e}_a \cdot \mathbf{f}^b) = \delta_a^b$ $\delta_a^b$

Ekkor a tenzorok terében természetesen alap keletkezik $\mathrm {T} _{r}^{s}(V)=\otimes _{r}^{s}V$

\{\mathbf {e} _{i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\ mathbf {e} _{i_{s}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\ otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{r}}\},\quad 1\leqslant i_{a},j_{b}\leqslant n

Egy tetszőleges tenzor felírható az alapvető tenzorszorzatok lineáris kombinációjaként : $\tau \in \mathrm {T} _{r}^{s}(V)$

\tau =\sum _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}} {\tau _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}}\mathbf {e} _ {i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{s}} \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \, \mathbf {f} ^{j_{r}}.

Az Einstein-egyezményt használva ez a kiterjesztés így írható fel

\tau ={\tau _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}} \mathbf {e} _{i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} _ {i_{s}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{r}}.

A számokat a tenzor összetevőinek nevezzük . A tenzorkomponensek alsó indexeit kovariánsnak , a felső indexeket kontravariánsnak nevezzük. Például egy duplán kovariáns tenzor kiterjesztése a következő lenne: $\tau _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}$ $\tau$ $h$

h = \sum_{j,k} h_{jk} \mathbf{f}^j \otimes \mathbf{f}^k

Tenzormező

Az úgynevezett sima sokaságok esetében, amelyek nem általános vektorterekben vannak, a sokaság egy pontjára az úgynevezett érintőtéren adható tenzor , mivel az érintőtér vektortér. Ennek megfelelően a tenzor adottnak tekinthető a sokaság egy pontjában. Ennek megfelelően egy sima függvény (tenzorértékű), amely a sokaság minden pontjához egy tenzort rendel, egy tenzormező . $M$ $T_{p}M$ $p$

A tenzormező klasszikus példája, amelyet általában egyszerűen tenzornak neveznek, a metrikus tenzor a Riemann-féle sokaságban (terekben), és az általános relativitáselméletben is használják.

Példák és alkalmazások tenzorokra

Példák a tenzorokra vegyérték szerint csoportosítva

Kontravariáns rang (felsõ indexek száma)

kovariáns rang (alindexek száma)	0	egy	2	3	s
0	Skalár , vektorhossz , térköz (relativitáselmélet ) , skaláris görbület	Vektor (algebra) , 4-vektorok SRT-ben, pl. 4-energiás-impulzus vektor (4-impulzus)	Energia-impulzus tenzor az általános relativitáselméletben, bivektor, inverz metrikus tenzor	Spin tenzor a kvantumtérelméletben	Polivector
egy	Kovektor , lineáris forma , skaláris függvény gradiens	Lineáris operátor , Kronecker delta $L:V\rightarrow V$
2	Bilineáris forma , Pontszorzat , Metrikus tenzor , Ricci tenzor , Torziós tenzor , Elektromágneses tér tenzor , Feszültségtenzor , Húzás tenzor , Kvadrupól momentum	Lineáris kijelző $L:V^{2}\rightarrow V$	Rugalmassági (merevségi) tenzor
3	Levi-Civita Tensor	Riemann görbületi tenzor
r	Vonalvonal alakja , térfogatalakja	Lineáris kijelző $L:V^{r}\rightarrow V$			Lineáris kijelző $L:V^{r}\rightarrow V^{s}$

Példák tenzorokra a matematika és a fizika különböző területein

A tenzorokat széles körben használják a matematika és a fizika különböző ágaiban. A fizika és a matematika számos egyenlete a tenzorjelölés használatakor rövidebbé és kényelmesebbé válik. A tenzorok használata lehetővé teszi a fizikai mennyiségek, egyenletek és modellek különféle szimmetriáinak megtekintését, valamint azok általános kovariáns formában történő felírását (egy adott vonatkoztatási rendszertől függetlenül).

A matematikában a tenzorok a tenzorszámítás tárgyát képezik , amely magában foglalja a tenzoralgebrát és a tenzoranalízist is . A sima (beleértve a Riemann-féle) sokaságokat vizsgáló differenciáltopológiában és -geometriában különféle tenzorokat vesznek figyelembe: érintővektor , bilineáris forma , metrikus tenzor , skalárfüggvény gradiense , kapcsolat vagy kovariáns derivált , torziós tenzor , Riemann görbülettenzor és konvolúciói - a Ricci tenzor és skaláris görbület stb.

A fizikában a tenzor kifejezés általában csak a közönséges fizikai 3-dimenziós tér vagy 4-dimenziós téridő feletti tenzorokra vonatkozik, vagy legalábbis e terek legegyszerűbb és legközvetlenebb általánosításaira (bár az alkalmazás elvi lehetősége van általánosabb esetekben marad ). Például a kvantummechanika lineáris operátorai értelmezhetők egyes absztrakt terek (állapotterek) feletti tenzorokként, de hagyományosan a tenzor kifejezés ilyen alkalmazását gyakorlatilag nem használják, és általában rendkívül ritkán használják a lineáris operátorok leírására. végtelen dimenziós terek. A fizika tenzorait széles körben használják olyan elméletekben, amelyek geometriai természetűek (például az általános relativitáselmélet ), vagy lehetővé teszik a teljes vagy jelentős geometriázást (gyakorlatilag minden modern alapvető elmélet nagymértékben ezeknek tulajdonítható - elektrodinamika , relativisztikus mechanika stb. .), valamint az anizotróp közegek elméletében is (amely kezdetben lehet anizotróp, mint a kis szimmetriájú kristályok , vagy mozgásuk vagy feszültségeik következtében, mint áramló folyadék vagy gáz , vagy mint egy deformált szilárd test). Ezenkívül a tenzorokat széles körben használják a merev test mechanikájában . A legtöbb fizika tenzor (a skalárokat és a vektorokat figyelmen kívül hagyva) a második rangú (két indexszel). A nagy vegyértékû tenzorok (például a Riemann-tenzor az általános relativitáselméletben) általában csak az elég bonyolultnak tartott elméletekben fordulnak elõ, és gyakran még akkor is fõleg alacsonyabb vegyértékû konvolúcióik formájában jelennek meg. A fizikában a legtöbb tenzor szimmetrikus vagy antiszimmetrikus.

Az alábbiakban egy táblázat található a tenzorok fizikában történő alkalmazásáról irányonként.

Tudományos rész	Tenzorok és alkalmazásaik
Speciális relativitáselmélet (SRT)	4-vektorok , beleértve a koordináták 4-vektorát a 4-dimenziós Minkowski-téridőben, metrikus tenzor , intervallum (relativitáselmélet) ("hosszúság" ebben a térben); A 4-tenzorok a négydimenziós téridő bármely tenzorának jelölésére szolgálnak, amelyben a keretforgatások magukban foglalják a háromdimenziós tér szokásos forgását és az egymáshoz képest eltérő sebességgel mozgó referenciakeretek közötti átmenetet. Ez egy tenzor a 4 vektoros tér felett , egy tenzor, amelynek indexe négy értéket vesz fel: egy "idő" és három "térbeli". Példa erre a 4-impulzus ( 4-energia-impulzus vektor );
Általános relativitáselmélet (GR)	metrikus tenzor egy pszeudo-Riemann-féle 4-dimenziós sokaság felett, amely az általános relativitáselméletben a newtoni gravitációs potenciál fogalmának és az ebből eredő Riemann-féle görbületi tenzor konvolúcióinak - a Ricci-tenzornak és a skaláris görbületnek (a Ricci-tenzor), amely ugyanabban az elméletben a gravitációs tér energiájához kapcsolódik, és közvetlenül szerepel az elmélet fő egyenletében (az Einstein-egyenlet bal oldalán együtt alkotják az ún. Einstein-tenzort ), az energia-impulzus az Einstein-egyenlet jobb oldalán szereplő anyagmezők tenzora
Klasszikus elektrodinamika	A Minkowski tér feletti elektromágneses tér tenzor , amely tartalmazza az elektromos és mágneses mezők erősségeit, és a klasszikus elektrodinamika fő tárgya 4 dimenziós jelöléssel. Különösen a Maxwell-egyenletek egyetlen 4-dimenziós egyenletként vannak felírva.
Rugalmasságelmélet és kontinuummechanika	Második rangú tenzorok a 3-dimenziós fizikai tér felett A deformációs tenzor és a feszültségtenzor , amelyek a 4. rangú rugalmassági tenzoron keresztül kapcsolódnak egymáshoz . Rugalmassági modulokat is alkalmaznak .
kvantumtér elmélet	A relativisztikus térelméletben az energia-impulzus tenzor és a spin-tenzor keletkezik , amelyek a QFT-ben lineáris operátorok formáját öltik az állapotvektor felett.
Merev test kinematikája	A legfontosabb szerepet a tehetetlenségi tenzor játssza , amely összeköti a szögsebességet a szögimpulzussal és a forgás mozgási energiájával. Ez a tenzor abban különbözik a legtöbb fizikai tenzortól, amelyek általában véve tenzormezők, mivel egy tenzor egy abszolút merev testet jellemez, és a tömeggel együtt teljesen meghatározza annak tehetetlenségét.
Mezőelmélet	A kvadrupólmomentum és általában a többpólusú kiterjesztésben szereplő tenzorok : csak egy tenzor reprezentálja teljes egészében a megfelelő sorrendű töltések eloszlásának pillanatát egy adott időpontban.
egyéb szakaszok	Sok mennyiség, amely egy anyag skaláris jellemzője az utóbbi izotrópiája esetén, egy anizotróp anyag esetében tenzor . Pontosabban, ez a vektormennyiségeket összekötő vagy a vektorok szorzatai (különösen négyzetei) előtt álló lényeges együtthatókra vonatkozik . Ilyen például az elektromos vezetőképesség (a fordított ellenállása is ), a hővezetőképesség , a dielektromos szuszceptibilitás és a permittivitás , a hangsebesség (iránytól függően) stb. A fizikában gyakran hasznos a Levi-Civita pszeudotenzor , amely pl. a vektor koordináta jelölésében és a vektorok vegyes szorzataiban. Ennek a tenzornak a komponensei mindig majdnem ugyanúgy vannak felírva (a metrikától függően skaláris tényezőig), és a jobb ortonormális alapon mindig pontosan megegyeznek (mindegyik egyenlő 0, +1 vagy -1) .

Szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorok

Különféle alkalmazásokban a tenzorok gyakran bizonyos szimmetriatulajdonságokkal rendelkeznek .

Egy tenzort szimmetrikusnak nevezünk két ko-(kontra-)variáns indexhez képest, ha nem változik ezen indexek permutációjától:

{T_{{\underline {j_{1},j_{2}}},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}} }={T_{{\aláhúzás {j_{2},j_{1}}},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}} ,\quad \forall j_{1},j_{2}=1..n

vagy

{T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{{\underline {i_{1},i_{2}}},\ldots ,i_{s}} }={T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{{\aláhúzás {i_{2},i_{1}}},\ldots ,i_{s}}} ,\quad \forall i_{1},i_{2}=1..n.

Ha a tenzort multilineáris függvénynek tekintjük, ez azt jelenti, hogy a függvény értéke nem változik, ha ezt a két argumentumot felcseréljük.

A ferde szimmetrikus ( ferde szimmetria ) vagy antiszimmetrikus két ko-(kontra-)variáns indexhez képest egy tenzor, amely előjelet vált, ha ezeket az indexeket felcseréljük:

T_{{\underline {j_{1},j_{2}}},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}= -T_{{\aláhúzás {j_{2},j_{1}}},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}},\quad \forall j_{1},j_{2}=1..n

vagy

T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^({\aláhúzás {i_{1},i_{2}}},\ldots ,i_{s}}= -T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{{\aláhúzás {i_{2},i_{1}}},\ldots ,i_{s}},\quad \forall i_{1},i_{2}=1..n.

Ha a tenzort multilineáris függvénynek tekintjük, ez azt jelenti, hogy a függvény értéke előjelet vált, ha a két argumentum felcserélődik.

Ezek a meghatározások természetesen kettőnél több index esetére általánosítanak. Egy tenzor szimmetrikus egy indexhalmazhoz képest, ha a tenzor nem változik az ebből a halmazból származó indexek permutációja esetén. Egy tenzor antiszimmetrikus egy indexhalmazhoz képest , ha páratlan permutációra változtat előjelet (ezt két index páratlan számú permutációja kapja), és nem változtat előjelet az indexek páros permutációinál.

A szimmetriának vagy antiszimmetriának nem kell csak szomszédos indexeket lefednie, bármilyen indexet tartalmazhat, azonban figyelembe véve a következőket: szimmetria vagy antiszimmetria csak azonos típusú indexekre vonatkozhat: ko- vagy kontravariáns. A ko- és kontravariáns tenzorindexeket keverő szimmetriáknak általában nincs sok értelme, hiszen még ha a komponensekben megfigyelhetők is, egy másik referenciabázisra való áttéréskor megsemmisülnek (vagyis nem invariánsak). A metrikus tenzor jelenlétében azonban az index növelő vagy csökkentő műveletek jelenléte kiküszöböli ezt a kellemetlenséget, és az erre vonatkozó korlátozás lényegében megszűnik, ha a tenzort megfelelő módon ábrázoljuk (például a Riemann görbületi tenzor antiszimmetrikus az első két és az utolsó két index). $R_{mjkl}=g_{im}R^i_{jk\ell}$

Vannak bonyolultabb szimmetriák is, például a görbületi tenzor első Bianchi-azonossága .

Tenzorműveletek

Szabványos lineáris műveletek

Az azonos vegyértékű tenzorok valamilyen lineáris tér elemei, és lehetővé teszik az összegzést és a skalárral való szorzást , hasonlóan egy tetszőleges lineáris téren végzett műveletekhez. Skalárral való szorzáskor a tenzor minden komponensét megszorozzuk vele (hasonlóan egy vektor skalárral való szorzásához). Tenzorok összeadásakor ezeknek a tenzoroknak a komponensei összeadódnak (a vektorokhoz hasonlóan).

Tensor termék

A tenzorszorzat művelet tetszőleges vegyértékű tenzorok között van definiálva .

A koordinátaábrázolásban a tenzorszorzat komponensei lényegében a szorzott tenzorok megfelelő komponenseinek összes lehetséges szorzata, például . $P^{ij}_{\ \ kl}\ = A^{ij} B_{kl}$

Ha a tenzorokat többlineáris függvénynek tekintjük, a tenzorszorzat egy multilineáris függvény, amely megegyezik a szorzó-multilineáris függvények szorzatával. Ennek megfelelően, ha az egyik tényező argumentumokat tartalmaz, a második - , akkor ezek szorzata az argumentumok függvénye: ${\megjelenítési stílus (s,r)}$ $(s',r')$ $(s+s',r+r')$

$\varphi _{r+r'}^{s+s'}=\sigma _{r}^{s}\otimes \tau _{r'}^{s'}=\varphi (f_{ 1},..f_{s+s'},x^{1},..,x^{r+r'})=\sigma (f_{1},..,f_{s},x^ {1},..,x^{r})\tau (f_{s+1},..,f_{s+s'},x^{r+1},..,x^{r+ r '})$

Ennek megfelelően a rangtenzor és a rangtenzor szorzata a teljes rangtenzor . ${\megjelenítési stílus (s,r)}$ $(s',r')$ $(s+s',r+r')$

Ez még nyilvánvalóbb, ha a tenzor definícióját a tenzorszorzat elemeként használjuk, vagyis ha és akkor a szorzatuk $\sigma \in T_{r}^{s}=\otimes _{r}^{s}V$ $\tau \in T_{r'}^{s'}=\otimes _{r'}^{s'}V$

\sigma \otimes \tau \in T_{r+r'}^{s+s'}=T_{r}^{s}\otimes T_{r'}^{s'}=(\otimes _{r}^{s}V)\otimes (\otimes _{r'}^{s'}V)=\otimes _{r+r'}^{s+s'}V

Így a tenzorszorzat művelet egy adott vektortér összes tenzorterének halmazát úgynevezett nagyméretű algebrává teszi . $\otimes V$

Konvolúció

Az Einstein-féle jelölésben szereplő, úgynevezett csendes index általi összegzés szabálya (amikor néhány felső és alsó indexet ugyanazzal a betűvel jelölünk a jelölésben) valójában egy konkrét tenzorműveletet határoz meg, amelyet konvolúciónak neveznek.

Tenzorkonvolúció

Tenzorkonvolúció - egy tenzor vegyértékét csökkentő művelet, amelyet úgy számítanak ki, hogy összeadunk egy pár indexet (felső és alsó, ha különböznek), és átfutjuk egymással egyenlők maradva az összes értéküket, például:

{\displaystyle A_{jkl}^{ji}=\sum _{j}A_{jkl}^{ji}=A_{kl}^{i))

A végső tenzort általában ugyanazzal a betűvel jelölik, annak ellenére, hogy ez már más rangú tenzor (az indexek száma), amely 2-vel kisebb, mint az eredeti tenzor rangja.

Egy (1,1) típusú tenzor esetén a konvolúció egyetlen számot eredményez, amelyet a tenzor nyomának nevezünk ( a mátrix nyomának analógiájára ). A nyom egy invariáns (alapfüggetlen) mennyiség, egy skalár (néha tenzorinvariánsnak is nevezik ) .

Több tenzor konvolúciója

A konvolúciós művelet két vagy több tenzorra is vonatkozik (beleértve a tenzort és a vektort is), például:

B_{m}^{i}A_{jk}^{m}=\sum _{m}B_{m}^{i}A_{jk}^{m}=C_{jk}^{i }

Ez a művelet redukálható e tenzorok egymást követő tenzorszorzására , majd a kapott tenzor konvolúciójára . Nyilvánvaló, hogy ez a művelet minden bemeneti csatornában lineáris. Így a tenzorral végzett konvolúció a tenzorterek lineáris vagy multilineáris leképezését valósítja meg tenzortérre (általános esetben egy másikra), különösen vektorokat vektorokra és vektorokat skalárokra. ${\displaystyle B_{l}^{i}A_{jk}^{m}=C_{ljk}^{im))$ ${\displaystyle C_{mjk}^{im}=C_{jk}^{i))$

Egy második rangú tenzorral rendelkező vektor konvolúciója a tenzor által meghatározott lineáris operátor hatása a vektoron:

{\displaystyle A_{j}^{i}v^{j}=\sum _{j}A_{j}^{i}v^{j}=u^{i))

Két vegyértékű tenzor (egyetlen) konvolúciója megvalósítja az ezen tenzorok által meghatározott lineáris operátorok összetételét:

B_{k}^{i}A_{j}^{k}=\sum _{k}B_{k}^{i}A_{j}^{k}=C_{j}^{i }

Egy vektor és egy kovektor összevonása skalárt ad - a vektor hosszának négyzetét: ${\displaystyle x^{i}x_{i))$ $d^{2}$

Az index csökkentése és emelése

A metrikus tenzorral rendelkező terekben (euklideszi és pszeudo-euklideszi terek, Riemann és pszeudo-Riemann sokaságok) az indexek csökkentésének és emelésének műveleteit a metrikus tenzorral való konvolúció határozza meg (az ilyen műveletek megváltoztatják a tenzor vegyértékének természetét, a tenzor teljes rangját változatlanul hagyva):

${\displaystyle x_{j}=g_{ij}x^{i))$ - az index csökkentése (átmenet vektorról kovektorra)

${\displaystyle x^{i}=g^{ij}x_{i))$ - az index felemelése (átmenet kovektorról vektorra) kontravariáns metrikus tenzorral (mátrixa inverz a szokásos kovariáns metrikus tenzorral)

$R_{mjkl}=g_{im}R^i_{jk\ell}$ — az (1,3) típusú Riemann görbületi tenzort egy (0,4) típusú teljesen kovariáns tenzorrá alakítjuk.

Az indexek csökkentésének és emelésének műveletei lehetővé teszik a teljesen kovariáns vagy teljesen kontravariáns tenzorok invariánsainak meghatározását. Például egy kétszeresen kovariáns Ricci-tenzor redukálható vegyes formára , és az így kapott tenzor konvolválható. Ez a két művelet egyszerűen redukálható a Ricci-tenzor konvolúciójára a metrikus tenzorral egy indexpáron egyszerre: . A kapott értéket skaláris görbületnek nevezzük. Ez nem függ a térbeli alap megválasztásától. $R_{j}^{k}=g^{ki}R_{ij}$ $R=g^{ij}R_{ij}$

Szimmetrizáció és antiszimmetrizáció

A szimmetrizáció és az antiszimmetrizáció egy azonos típusú tenzor felépítése, bizonyos fajta szimmetriával. Például egy tenzor szimmetriája szimmetrikus tenzor, az antiszimmetrikus pedig egy antiszimmetrikus tenzor. $T_{ij}$ $\scriptstyle T_{(ij)} = {1\over 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)$ $\scriptstyle T_{[ij]} = {1\over 2}\left(T_{ij}-T_{ji}\right)$

Általános esetben az indexekre vonatkozó szimmetrizációnak van formája $n$

T_{(i_1\ldots i_n)} = {1\over n!}\sum_{\sigma} T_{\sigma(i_1)\ldots \sigma(i_n)},

és antiszimmetrizáció (váltakozás):

T_{[i_1\ldots i_n]} = {1\n felett!}\sum_{\sigma} \mathrm{sign}\,(\sigma) T_{\sigma(i_1)\ldots \sigma(i_n)}

Itt látható az indexek összes lehetséges permutációja , és ez a permutáció paritása . $\sigma$ $i_1,\ldots,i_n,$ $\mathrm{sign}\,(\sigma)$ $\sigma.$

Természetesen nem szükséges a tenzort az összes indexhez képest szimmetrizálni, ez itt csak a jelölés egyszerűsítésére szolgál.

Ha szimmetrikus, akkor ezekre az indexekre vonatkozó szimmetria egybeesik és az antiszimmetria nulla tenzort ad. Hasonlóképpen egyes indexek antiszimmetriája esetén is. $T_{i_1\ldots i_n}$ $i_1\ldots i_n,$ $T,$

Ha akkor Itt egy szimmetrikus , és a vektorterek külső szorzata. $T_{ij} \in V\otimes V,$ $T_{(ij)} \in V \vee V,$ $T_{[ij]} \in V \wedge V.$ $\vee$ $\ék$

Kapcsolódó fogalmak és általánosítások

Tenzorok végtelen dimenziós terekben

A tenzor fogalma formálisan általánosítható a végtelen dimenziós lineáris terek esetére. A tenzorok topológiai terekre történő általánosítása topológiai tenzorszorzat bevezetésével történik.

Az ilyen tereken lévő tenzorok helyes meghatározásához ennek a térnek a reflexiós tulajdonságának teljesülnie kell, vagyis kanonikusan izomorfnak kell lennie a második duális térrel (minden véges dimenziós tér rendelkezik ezzel a tulajdonsággal). Ekkor például a multilineáris függvények formájában lévő definíció helyes jelentéssel bír, és oda vezet, hogy az ilyen tereken lévő vektorok és lineáris operátorok tenzorok.

Különösen a tenzorok vannak definiálva Hilbert-tereken , majd a Hilbert-tereken a lineáris leképezések tenzorok. Az alkalmazásokban (a fizikában) azonban a "tenzor" kifejezést általában nem alkalmazzák az ilyen objektumokra (például a kvantumfizika különféle fizikai mennyiségeket reprezentáló operátorai lényegében tenzorok a Hilbert-térben, de általában nem nevezik őket ilyennek).

Deviátor és golyós rész

Bármely második rangú tenzor ábrázolható az eltérés és a gömbrész összegeként : $\sigma_{ij}$ ${\displaystyle s_{ij))$

\sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+s_{ij},\quad p=-{\frac {\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i }}{N}}.

Itt vannak a tenzor sajátértékei . Az eltérés sajátértékei a tenzor sajátértékeihez kapcsolódnak: . A deviátor fogalmát széles körben használják a kontinuummechanikában. [2] $\sigma_i$ $s_{i}$ $s_{i}=\sigma _{i}+p,\ i=1,\dots ,N$

Lásd még

Tenzor mező
Metrikus tenzor
Görbületi tenzor
Tenzorszámítás (szoftver)

Jegyzetek

↑ Woldemar Voigt, Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung [A kristályok alapvető fizikai tulajdonságai elemi bemutatásban] (Lipcse, Németország: Veit & Co., 1898), p. 20. A 20. oldaltól: "Wir wollen uns deshalb nur darauf stützen, dass Zustände der geschilderten Art bei Spannungen und Dehnungen nicht starrer Körper auftreten, und sie deshalb tensorielle, die für physiber charakteristischen nennne a Tensorielischensorenn." (Ezért] akarjuk a [azokat. tenzorokat".)
↑ Klimov D. M. , Petrov A. G., Georgievskiy D. V. Viskoplasztikus áramlások: dinamikus káosz, stabilitás, keveredés. - M., Nauka, 2005. - p. 21 - ISBN 5-02-032945-2 .

Irodalom

Akivis M. A., Goldberg V. V. Tenzorszámítás . — M .: Nauka, 1969;
Vinberg E. B. Algebra tanfolyam. 3. kiadás - M. : MTSNMO, 2017. - 592 p. - ISBN 978-5-4439-0209-8 .
Dimitrienko Yu. I. Tenzorszámítás: Proc. juttatás. - M . : Felsőiskola, 2001. - 576 p. — ISBN 5-06-004155-7 .
Korenev GV tenzorszámítás: Proc. juttatás. - M . : MIPT Kiadó, 2000. - 240 p. — ISBN 5-89155-047-4 .
Kostrikin A.I. Bevezetés az algebrába. 2. kiadás - M. : MTsNMO, 2012. - II. rész: Lineáris algebra. — 368 p. — ISBN 978-5-94057-888-8 .
Kochin N. E. Vektorszámítás és a tenzorszámítás kezdetei (9. kiadás). - M .: Nauka, 1965.
McConnel A. J. Bevezetés a tenzorelemzésbe, geometriai, mechanikai és fizikai alkalmazásokkal. — M .: Fizmatlit , 1963.
Nomizu K. Hazugságcsoportok és differenciálgeometria. — M. : IL, 1960.
Pobedrya B.E. Előadások a tenzoranalízisről: Proc. juttatás. (3. kiadás). - M . : Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1986.
Rashevsky P. K. Riemann geometria és tenzoranalízis (3. kiadás). - M . : Nauka, 1967.
Sharipov R. A. Gyors bevezetés a tenzoranalízisbe. - BashGU.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy norvég Nagy orosz a világ körül
Bibliográfiai katalógusokban	NDL : 00572865