Tehetetlenségi tenzor

A tehetetlenségi tenzor az abszolút merev test mechanikájában egy olyan tenzormennyiség , amely a test impulzusimpulzusát és forgásának kinetikus energiáját a szögsebességgel hozza összefüggésbe :

\ {\vec {L}}=J{\vec {\omega }}

ahol a tehetetlenségi tenzor, a szögsebesség, a szögimpulzus $\J$ $\ {\vec {\omega ))$ ${\vec {L}}$

\ E_{kin\ rot}={1 \over 2}\ {\vec {\omega }}^{\,T}\cdot J\cdot {\vec {\omega }}

\ E_{{kin}}=E_{{kin\ rot}}+{p^{2} \több mint 2 m}

komponensekben így néz ki:

\ L_{i}=\sum _{j}J_{{ij}}\omega _{j}

\ E_{{kin\ rot}}={1 \over 2}\sum _{{ij}}\omega _{i}J_{{ij}}\omega _{j}

Egy N anyagpontból álló rendszer szögimpulzusának definícióját használva (az alábbi képletekben átszámozva a k indexszel ):

\ {\vec {L}}=\sum _{k=1}^{N}[\ {\vec {r}}_{k}\times (\ m_{k}\ {\vec { v}}_{k}\ )\ ]

és a sebesség kinematikai kifejezése a szögsebességben:

\ {\vec {v}}=[\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]

és összehasonlítva a szögnyomatékot a tehetetlenségi tenzorral és a szögsebességgel kifejező képlettel (ebben a cikkben az első), nem nehéz kifejezni a tehetetlenségi tenzor kifejezést:

\ J_{ij}=\sum _{k}\ m_{k}\ (\delta _{ij}r_{k}^{2}-r_{i_{k}}r_{j_{k} })\

vagy folyamatos formában:

\ J_{ij}=\int (\delta _{ij}r^{2}-r_{i}r_{j})\ dm=\int (\delta _{ij}r^{2} -r_{i}r_{j})\ \rho dV

ahol r a pontok távolsága a középponttól, amelyhez viszonyítva a tehetetlenségi tenzort számítjuk, és r i a megfelelő szakaszok koordinátakomponensei, i és j a koordinátaszámok (1-től 3-ig), míg az index k (1-től N-ig) a diszkrét képletben felsorolja a rendszer pontjait vagy az azt alkotó kis részeit.

Már ezekből a képletekből is jól látható, hogy bármely test tehetetlenségi tenzora attól a ponttól függ, amelyhez viszonyítva számítjuk. Általában a kiválasztott szerepet a test tömegközéppontjához viszonyított tehetetlenségi tenzor játssza (akkor a harmadik képletben p csak a test lendülete ). Kényelmes lehet a test egy rögzített (rögzített) pontjához vagy egy rögzített forgástengelyen elhelyezkedő ponthoz viszonyított tehetetlenségi nyomaték alkalmazása is. Az új középpont tehetetlenségi tenzorának újraszámítása a régihez viszonyított ismeretében megkönnyíti a Steiner-tétel végrehajtását (ezt is lehetővé teszi újraszámítás formájában, például a mozgási energia képletével, így lehetővé teszi csak a tömegközépponthoz viszonyított tehetetlenségi tenzorral kell működnie).

Ugyanezen képletekből látható, hogy ez egy szimmetrikus tenzor, azaz J ij =J ji .

Folyamatos formában a képlet a következőképpen származtatható:

{\vec {L}}=\int \limits _{(m)}[\ {\vec {r}}\times (\ {\vec {v}}dm\ )\ ]=\rho \ int \limits _{(V)}[\ {\vec {r}}\times [\ {\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\ ]\ ]dV

Ahonnan a Lagrange-képlet szerint kapunk

{\vec {L}}=\rho \int \limits _{(V)}[\ {\vec {\omega }}\cdot r^{2}-{\vec {r}}({ \vec {\omega )),\ {\vec {r)))\ ]dV

A vektorok dekompozícióját és ortonormális alapon írjuk le: $\ {\vec {v))$ $\ {\vec {r))$

\ {\vec {r}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}

\ {\vec {\omega }}=\omega _{x}{\vec {i}}+\omega _{y}{\vec {j}}+\omega _{z}{\vec {k}}

A skaláris szorzat tulajdonságai alapján

{\displaystyle \ ({\vec {\omega )),\ {\vec {r)))=x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z))

Figyelembe véve, hogy a szögimpulzusvektor vetületeit felírhatjuk a tengelyre: ${\displaystyle \ r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2))$

L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-x (x\omega _{x}+y\omega _{y}+z\omega _{z})\jobbra)dV

Vagy hasonló feltételeket hozva

L_{x}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{x}(y^{2}+z^{2})-\omega _{y}xy -\omega _{z}xz\right)dV

Hasonlóképpen

L_{y}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{y}(x^{2}+z^{2})-\omega _{x}yx -\omega _{z}yz\right)dV

L_{z}=\rho \int \limits _{(V)}\left(\omega _{z}(x^{2}+y^{2})-\omega _{x}zx -\omega _{y}zy\right)dV

Bemutatjuk a jelölést:

J_{xx}=\rho \int \limits _{(V)}(y^{2}+z^{2})dV

J_{yy}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+z^{2})dV

J_{zz}=\rho \int \limits _{(V)}(x^{2}+y^{2})dV

J_{xy}=J_{yx}=-\rho \int \limits _{(V)}xydV

J_{xz}=J_{zx}=-\rho \int \limits _{(V)}xzdV

J_{yz}=J_{zy}=-\rho \int \limits _{(V)}yzdV

Ezekből összeállíthatjuk a tehetetlenségi tenzort mátrix formában:

J={\begin{vmatrix}J_{xx}&J_{xy}&J_{xz}\\J_{yx}&J_{yy}&J_{yz}\\J_{zx}&J_{zy}&J_{zz }\\\end{vmátrix}}

Könnyen ellenőrizhető, hogy jelölésünk szerint a tenzorkapcsolat igaz-e:

\left\{{\begin{aligned}L_{x}=J_{xx}\omega _{x}+J_{xy}\omega _{y}+J_{xz}\omega _{z} \\L_{y}=J_{yx}\omega _{x}+J_{yy}\omega _{y}+J_{yz}\omega _{z}\\L_{z}=J_{zx} \omega _{x}+J_{zy}\omega _{y}+J_{zz}\omega _{z}\\\end{aligned}}\right.

Mint minden szimmetrikus tenzor, a tehetetlenségi tenzor is diagonalizálható, azaz három egymásra merőleges koordinátatengelyt ( sajáttengelyeket , amelyek ortjai sajátvektorok és a tehetetlenségi tenzor saját bázisát képezik ) találhatjuk - természetesen merev testtel mereven összekapcsolva - amely a tehetetlenségi tenzor mátrixa átlós , és sajátértékei (a tehetetlenségi tenzor sajátértékei) határozzák meg a test fő tehetetlenségi nyomatékait [1] .

Könnyen belátható, hogy a fő tehetetlenségi nyomatékok egybeesnek a fő tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokkal:

\ J_{{xx}}=\int (y^{2}+z^{2})dm=\int r_{{yz}}^{2}dm

\ J_{{yy}}=\int (x^{2}+z^{2})dm=\int r_{{xz}}^{2}dm

\ J_{{zz}}=\int (x^{2}+y^{2})dm=\int r_{{xy}}^{2}dm

(Megjegyzés: x, y és z ezekben a képletekben pontosan a főtengelyeket jelenti, ha egybe akarunk esni a főpontokkal).

Ebben a cikkben az összes képlet ortonormális bázist feltételez , ezért csak alsó tenzorindexeket használunk, mivel ebben az esetben nincs különbség a felső és az alsó indexek között.
A tehetetlenségi tenzor a tengely körüli tehetetlenségi nyomaték fogalmának általánosításának tekinthető ; ezeknek a mennyiségeknek a kapcsolata - lásd a Tehetetlenségi nyomaték cikket ( itt a tehetetlenségi tenzor sajátértékeit jelöljük ). A cikk hivatkozási olvasásakor szem előtt kell tartani bizonyos jelölési különbségeket, így abban a cikkben nem a tehetetlenségi tenzor megfelelő összetevői vannak feltüntetve, hanem a centrifugális tehetetlenségi nyomatékok, amelyek abszolút értékben egybeesnek a megfelelő összetevőkkel. a tenzort, de az ellenkező előjellel rendelkeznek. ${\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z))$ ${\displaystyle J_{xy},J_{yz},J_{zx))$

A kifejezés egyéb felhasználásai

Néha a tehetetlenségi tenzor kifejezést matematikailag hasonló szerkezetekre alkalmazzák, amelyeknek nincs közvetlen mechanikai jelentése, például ha a képletekben ρ nem a tömegsűrűség, hanem más mennyiségek sűrűsége, például a statisztikai adat sűrűsége. elosztás ; és az a tér, amelyben a számítás történik, elvileg tetszőleges lehet, bár az összes tengely azonos jellegű (vagyis azok mentén azonos mértékegységek) esete a legértelmesebb. A kifejezés ezen használata közvetlen geometriai analógia, akárcsak az olyan kifejezések használata, mint a tömegközéppont vagy a súlypont hasonló kontextusban.

Abban az esetben, ha a tehetetlenségi tenzor kifejezést az eloszlássűrűségre alkalmazzuk, különösen, ha azt a "súlyponthoz" viszonyítva tekintjük, lényegében a kovarianciamátrixról beszélünk , amelynek sajátvektorai és sajátértékei megtalálásának problémája is felmerülhet. a "főtengelyek" és a "főnyomatékok" fogalmai szerint kell tárgyalni, ami nemcsak a tehetetlenségi nyomatékkal való analógiának felel meg, hanem egy többdimenziós eloszlás (többváltozós valószínűségi változó) második nyomatékának meglehetősen szigorú terminológiájának is a statisztikában. (itt a lényeg és a terminológia is nagyon közel állhat). Ugyanakkor a kétdimenziós esetben a tehetetlenségi tenzor és a kovariancia mátrix a megfelelő tengelyekben teljesen egybeesik - a tengelyek permutációjáig , és nagyobb dimenziók esetén nem egybeesésről beszélünk, hanem csak formailag és jelentésben szorosan összefüggő mátrixokról, amelyek ebben az esetben egy és ugyanazon (azonos saját tengelyekkel rendelkező) alapon diagonalizálnak.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Shakhoval S. N., Melnikov G. I.// TESTEK TEhetetlenségi TENZORÁNAK PARAMETRIKUS AZONOSÍTÁSA SZÉRIKUS MOZGÁSOKBAN LASSÚ SAJÁT FORGÁSSAL Archív másolat 2015. szeptember 19-én a Wayback Machine -nél .- Cikk. - Az ITMO tudományos és műszaki közleménye. - 2012. január-február. - 1. szám (77). - UDC 681,5 + 531