Huygens-Steiner tétel

A Huygens-Steiner- tétel ( Huygens - tétel, Steiner -tétel ): egy test tehetetlenségi nyomatéka egy tetszőleges rögzített tengely körül egyenlő a test tehetetlenségi nyomatékának egy vele párhuzamos tengely körüli tehetetlenségi nyomatékának összegével. a test tömegközéppontja és a test tömegének szorzata a tengelyek közötti távolság négyzetével [1] : $J$ $J_{C}$ $m$ $d$

{\displaystyle J=J_{C}+md^{2))

A tétel nevét Jakob Steiner svájci matematikusról és Christian Huygens holland matematikusról, fizikusról és csillagászról kapta .

Következtetés

Egy abszolút merev testet fogunk tekinteni , amelyet anyagi pontok halmaza alkot [2] .

Az és tehetetlenségi nyomaték meghatározása szerint írhatunk $J_{C}$ $J$

J_{C}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2},

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} '_{i})^{2},

ahol a test azon pontjának sugárvektora a koordinátarendszerben, amelynek origója a tömegközéppontban van, és az új koordináta-rendszerben annak a pontnak a sugárvektora, amelyen az új tengely áthalad. $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} '$

A sugárvektor két vektor összegeként írható fel: ${\displaystyle \mathbf {r'} _{i))$

\mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} ,

ahol a régi (tömegközépponton áthaladó) és új forgástengelyek közötti távolság sugárvektora. Ekkor a tehetetlenségi nyomaték kifejezése formát ölt $\mathbf {d}$

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\sum _{i=1}^{n} m_{i}\mathbf {r} _{i}\mathbf {d} +\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {d} )^{2}.

Kivesszük az összeget, megkapjuk $\mathbf {d}$

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\mathbf {d} \sum _{i=1 }^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}.

A tömegközéppont meghatározása szerint annak sugárvektorához , $\mathbf {r} _{c}$

\mathbf {r} _{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i)){\sum \limits _{i}m_{ én}}}.

Mivel egy koordinátarendszerben, amelynek origója a tömegközéppontban van, a tömegközéppont sugárvektora nulla, akkor az összeg egyenlő nullával . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i))$

Akkor

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+d^{2}\sum _{i=1} ^{n}m_{i},

ahonnan a kívánt képlet következik:

J=J_{C}+md^{2},

ahol a test tömegközéppontján átmenő tengely körüli ismert tehetetlenségi nyomaték. $J_{C}$

Ha a test nem anyagi pontokból áll, hanem folytonosan eloszló tömegből áll, akkor az összes fenti képletben az összegzést integráció váltja fel. A gondolatmenet változatlan marad.

Következmény . A kapott képletből nyilvánvaló, hogy . Ezért vitatható, hogy a testnek a test tömegközéppontján átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomatéka a legkisebb a testnek az adott irányú tengelyekre ható összes tehetetlenségi nyomatéka között. ${\displaystyle J\geq J_{C))$

Példa

A rúd tehetetlenségi nyomatéka a középpontján átmenő és a rúdra merőleges tengely körül (nevezzük tengelynek ) egyenlő $C$

J_{C}={\frac {mL^{2}}{12}}.

Ekkor a Steiner-tétel szerint tetszőleges párhuzamos tengely körüli nyomatéka egyenlő lesz

J=J_{C}+md^{2},

hol van a távolság e tengely és a tengely között . Különösen a rúd tehetetlenségi nyomatéka a végén áthaladó és a rúdra merőleges tengelyhez képest az utolsó képlet beírásával határozható meg : $d$ $C$ $d=L/2$

J=J_{C}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{12}}+{\frac {mL^{2}}{4}}={\frac {mL^{2}}{3}}.

A tehetetlenségi tenzor újraszámítása

A Huygens-Steiner-tétel megengedi a tehetetlenségi nyomaték tenzorának általánosítását , amely lehetővé teszi, hogy tetszőleges ponthoz képest tenzort kapjunk a tömegközépponthoz viszonyított tenzorból. Legyen tehát a tömegközépponttól való elmozdulás ${\hat {J}}_{ij}$ ${\hat {I}}_{ij}$ ${\mathbf {a}}$

{\hat {J}}_{ij}={\hat {I}}_{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j}) ,

ahol

\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})

az eltolási vektor a tömegközépponttól, és a Kronecker szimbólum .

\delta _{{ij}}

Amint látható, a tenzor átlós elemeire (at ) a képlet a Huygens-Steiner tétel alakja az új tengelyre vonatkozó pillanatban. $i=j$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Targ S. M. Az elméleti mechanika rövid kurzusa. - 11. kiadás - M . : " Felsőiskola ", 1995. - S. 268-269. — 416 p. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ Az anyagi pontok halmazából alkotott abszolút merev test olyan mechanikai rendszer, amelyben az alkotó pontjai közötti távolság állandó.