4-tenzoros

4-tenzorok , négy -tenzorok – a matematikai objektumok osztálya, amelyet a relativisztikus fizika egyes fizikai mezőinek leírására használnak, egy négydimenziós téridőn definiált tenzor [1] .

Megjegyzés: a szakirodalomban a 4-tenzorokat gyakran egyszerűen tenzoroknak nevezik, és a vektortér (sokaság) dimenziója és természete, amelyen ebben az esetben meghatározásra kerülnek, kifejezetten meg van adva, vagy nyilvánvaló a kontextusból.

Általában a 4 tenzoros objektum indexkészlettel rendelkezik:

A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\ldots j_{m)),

ráadásul mindegyik index négy értéket vesz fel (általában nullától háromig vagy egytől négyig, azaz stb.). $i_{1}=0,1,2,3,i_{2}=0,1,2,3$

A referenciarendszer megváltoztatásakor ennek az objektumnak a komponensei a következőképpen alakulnak át [2] :

A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{\prime j_{1}j_{2}\ldots j_{m}}=\beta _{j_{1}k_{ 1}}\beta _{j_{2}k_{2}}\ldots \beta _{j_{m}k_{m}}\alpha _{i_{1}l_{1}}\alpha _{i_{ 2}l_{2}}\ldots \alpha _{i_{n}l_{n}}A_{l_{1}l_{2}\ldots l_{n}}^{k_{1}k_{2}\ ldots k_{m}}

ahol a forgási mátrix négydimenziós téridőben ( a Lorentz-csoport mátrixa ), és ennek inverze. $\alpha _{ij}$ $\beta _{ij}$

A felső indexeket kontravariánsnak, az alacsonyabb indexeket kovariánsnak nevezzük. Az indexek teljes száma határozza meg a tenzor rangját . A 4-vektor az első rangú 4-tenzor.

Általában a fizikában az azonos természetű, különböző számú kovariáns és kontravariáns indexű tenzorokat ugyanazon objektum különböző reprezentációinak tekintik. Az index csökkentése vagy növelése a metrikus tenzor használatával történik , például egy második rangú 4 tenzor esetén ${\hat {g))$

{\displaystyle A^{ij}=g^{jk}A_{k}^{i))

A külső szorzatalgebra lehetővé teszi az antiszimmetrikus tenzorokhoz kapcsolódó kettős tenzorok bevezetését is .

A 4D jelölés előnyei

A relativitáselmélet egyenlete , az elektrodinamika és számos modern alapvető elmélet, amelyek magukban foglalják ezeket, különösen kényelmes 4-vektorok és 4-tenzorok használatával. Ennek a jelölésnek az a fő előnye, hogy ebben a formában az egyenletek automatikusan Lorentz-invariánsak , azaz nem változnak, amikor az egyik inercia koordinátarendszerből a másikba lépnek.

Példák

4-tenzorok az általános relativitáselméletben

metrikus tenzor (a gravitációs mezők hiányában is játszik bizonyos technikai szerepet, azaz gyakran az általános relativitáselméleten kívül használják , de ebben az esetben - általában - a Lorentzi-metrika egy nagyon sajátos formája van ).
görbületi tenzor
Ricci tenzor
energia-impulzus tenzor (elég széles körben alkalmazható az általános relativitáselméleten kívül ).

Az elektromágneses tér 4-tenzora

A megfelelő 4-tenzor is létezik az elektromágneses mező leírására . Ez a második rangú 4-tenzor. Használata során az elektromágneses tér alapegyenletei: a Maxwell-egyenlet és a töltött részecske mozgásegyenlete egy térben különösen egyszerű és elegáns formát mutat.

A 4-es potenciál meghatározása

A 4-tenzort a 4-es potenciál származékaival határozzuk meg [3] :

F_{ik}={\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}} }

. Definíció 3D vektorokkal

A 4- tenzort a szokásos háromdimenziós összetett feszültségvektorok segítségével definiáljuk az alábbiak szerint:

F_{ik}=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y }\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{mátrix}}\jobbra)

F^{ik}=\left({\begin{mátrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_ {z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{mátrix}}\jobbra )

Az első alak a kovariáns tenzor, a második pedig a kontravariáns tenzor.

Lorentz erő

4 vektoros formában írva egy töltött részecske mozgásegyenlete elektromágneses térben a következő alakot ölti:

mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {q}{c}}F^{ik}u_{k}

ahol a 4-es sebesség , q a részecske elektromos töltése , c a fénysebesség és m a tömege . Ennek az egyenletnek a jobb oldala a Lorentz-erő . ${\displaystyle u^{k))$

Lásd még

Jegyzetek

↑ referenciarendszer - forgatások , amelyekben mind a háromdimenziós térben előforduló közönséges forgások, mind a referenciarendszerek közötti átmenetek, amelyek egymáshoz képest különböző sebességgel mozognak ( Lorentz-transzformációk ).
↑ Itt a relativitáselméletben megszokott módon az összeg előjele kimarad - az index alatti és feletti ismétlése összegzést jelent; lásd Einstein összegzési konvencióját .
↑ Az ezen az oldalon található képletek az SGSG rendszerben vannak írva

Külső linkek

8. fejezet Relativisztikus dinamika 8.8. A részecske tenzorainak és impulzusimpulzusának tulajdonságai (elérhetetlen link - történelem ) . Letöltve: 2009. június 10. (határozatlan) (elérhetetlen link)
20. ELŐADÁS II. rangú négydimenziós vektorok és tenzorok. (nem elérhető link) . Az A.F. Ioffe-ról elnevezett Fizikotechnikai Intézet Tudományos és Oktatási Központja (2002. február 22.). Letöltve: 2009. június 10. Az eredetiből archiválva : 2004. november 29.. (határozatlan)