Taylor sorozat

A Taylor sorozat egy függvény kiterjesztése hatványfüggvények végtelen összegére . A nullapontnál a Taylor-sorozattá való bővítés egy speciális esetét Maclaurin - sorozatnak nevezzük .

A Taylor-sorozat már jóval Brooke Taylor [1] publikációi előtt ismert volt – Indiában már a 14. században [2] , valamint a 17. században Gregory és Newton is használták .

A Taylor-sorokat a függvény polinomokkal való közelítésekor alkalmazzuk . Konkrétan, az egyenletek linearizálása Taylor-sorozattá való kiterjesztéssel és az első sorrend feletti összes tag levágásával történik .

A funkcionális elemzésben a Taylor-sorozat fogalmának általánosítása a Fantapie-sorozat .

Definíció

1. Valós változó függvényének Taylor - polinomja egy pontban differenciálható idők véges összege $f(x)$ $x$ $k$ $a$

f(x)=\sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(xa)^{n}=f (a)+f'(a)(xa)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(xa)^{2}+\lpontok +{\frac {f^ { (k)}(a)}{k!}}(xa)^{k}

közelítő számításokban használják a Lagrange-tétel következményének egy differenciálható függvény átlagértékére vonatkozó általánosításaként :

amikor igaz .

xa=h\to 0

f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h+O(h^{2})\körülbelül f(a)+f'(a)\ cdot h=f(a)+f'(a)\cdot(xa)

Az összeg írásakor az üres halmaz feletti szorzatra vonatkozó jelölést és konvenciót használtuk: , . $f^{(0)}(x)=f(x)$ $0!=1$ $(xa)^{0}=1$

2. Egy olyan valós változó függvényének pontjában lévő Taylor-sort, amely a pont szomszédságában végtelenül differenciálható, formális hatványsornak nevezzük . $a$ $f(x)$ $x$ $a$

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(xa)^{n} = \sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)

paramétertől függően közös taggal .

\varphi _{n}(x;a)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}\cdot (xa)^{n}

a

Más szavakkal, egy függvény Taylor-sora egy pontban a függvény bővítési sorozata a binomiális pozitív hatványaiban : $f(x)$ $a$ $(xa)$

f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+{\frac {f''(a)}{2!}}(xa)^{2}+\ldots +{ \frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(xa)^{n}+\lpontok \,

. [3]

Amint az alábbi példákban is látható, egy pont közelében végtelenül differenciálható függvény nem elegendő ahhoz, hogy a Taylor-sor magához a függvényhez konvergáljon bárhol, csak magában a pontban . $f(x)$ $a$ $a$

3. Hatványsornak nevezzük azt a Taylor -sort egy komplex változó függvényének pontjában, amely a pont valamely környezetében kielégíti a Cauchy-Riemann-feltételeket . $a$ $F z)$ $z$ $U\subseteq \mathbb {C}$ $a$

f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(za)^{n}

A valós esettel ellentétben a feltételekből az következik, hogy a sugárnak van olyan értéke, amely sorozatban konvergál a függvényhez . $R>0$ $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}\subseteq U$ $F z)$

4. Ügysor $a=0$

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!)}}x^{n}

Maclaurin sorozatnak hívják .

Analitikus függvény

1. Egy valós változó függvényét analitikusnak nevezzük egy pontban , ha van ilyen sugár és olyan együtthatók , , amely egy : , azaz , intervallumon konvergáló hatványsorként ábrázolható . $f(x)$ $x$ $x=a$ $R>0$ $c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,$ $k=0,1,2,\pontok \,$ $f(x)$ $(aR;a+R)$ $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(xa)}^{k}}}\,$ $\forall x\in (aR;a+R)$ $\Jobb nyíl$ $\lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(xa)}^{k}}}= f(x)$

Egy függvényt analitikusnak nevezünk egy intervallumon (egy halmazon), ha az adott intervallum (halmaz) minden pontján analitikus.

2. A konvergenciatartomány bármely kompakt részhalmazán lévő hatványsorok tetszőleges számú alkalommal megengedik a tagok közötti differenciálást. ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(za)}^{k))))$ $K$ ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\))$

Ha behelyettesítjük a függvény th deriváltjába , akkor azt kapjuk . $k$ ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(za)}^{k))))$ $z=a$ ${c_{k}}\cdot k!$

Így egy adott pontban analitikus függvény esetében a reprezentáció helyes . $a$ $F z)$ $R>0$ ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\))$ ${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!))(za)^{k))$

Következmény. Egy valós változó függvénye akkor és csak akkor analitikus egy ponton , ha egyenlő a Taylor-sorral egy olyan paraméterrel , amely a pontot tartalmazó nyitott intervallumon van . $f(x)$ $x$ $a$ $a$ $a$

3. Kérdés: egy pontban végtelenül differenciálható valós változó tetszőleges függvénye esetén a Taylor-sora mindenhol konvergál egy intervallumon , azaz reprezentálható- e ezzel a sorozattal? $a$ $f(x)$ $x$ $\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(xa)^{k}$ $f(x)$ $(aR;a+R)$ $f(x)$

Válasz: nem. Vannak végtelenül differenciálható függvényei egy valós változónak, amelynek Taylor-sora konvergál, de különbözik a függvény bármely környezetében található függvénytől . $a$

Példák. Egy valós változó függvényei végtelenül differenciálhatók a pontban , és ezek a deriváltak mindegyike egyenlő nullával. $f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2))))},&x\neq 0 \\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ $f_{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x)))),&x>0\\0,&x \leq 0\end{tömb}}\jobbra.\,$ $f_{\rm {v}}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\ neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ $x=0$

Ezért ezeknek a függvényeknek a Taylor-sorozata egy paraméterrel azonosan egyenlő nullával. Azonban a pont közelében lévő bármely pontnál vannak olyan pontok, amelyekben a függvények eltérnek a -tól . Így ezek a függvények egy ponton nem analitikusak. $a=0$ $R>0$ $(-R;+R)$ $a=0$ $0$ $a=0$

Bizonyíték

Elvégezzük az Augustin-Louis Cauchy által javasolt függvény bizonyítását . $f(x)=f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2))))} ,&x\neq 0\\0,&x=0\end{tömb}}\jobbra.\,$

A függvény egy összetett változó analitikus függvénye mindenki számára . $\exp \left(-{\frac {1}{z^{2))}\right)$ $z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}$

Mert nyilvánvaló, hogy . $z \neq 0$ ${\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{ z^{2}}}\jobbra)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\jobbra)$

A for függvény a "javított" függvény , kiegészítve a pontnál bal és jobb oldali határértékekkel . $f(x)$ $x\in \mathbb {R}$ $\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)$ $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ $\lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)=0$ $\lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)=0$ $x=0$

Keressük meg a függvény deriváltját a pontban . Definíció szerint: . $f(x)$ $x=0$ $f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x) -f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{ h))={\frac {0}{0}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)} {h'}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}$

Mivel a teljesül , be fogjuk bizonyítani, hogy az önkényes igaz . $x\in (0;1)$ ${\displaystyle 0<e^{-{\frac {1}{x^{2))))<e^{-{\frac {1}{x))))$ $\alpha >0$ $\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x)))){x^{\alpha }}}=0$

A L'Hopital szabályának közvetlen alkalmazása az alkatrészekre

\lim _{x\to 0,x>0}e^{-{\frac {1}{x))}=\lim _{x\to 0,x>0}x^{\alpha }=0

nem vezet eredményre.

Változtassuk meg a változót : ${\frac {1}{x}}=t$

${\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x)))){x^{\alpha }}}=\lim _{ t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\lim _{t\to + \infty }{\frac {\alpha t^{\alpha -1}}{e^{t))))$ .

Hadd . A L'Hopital-féle szabályidőket alkalmazva a számlálóban vagy (for ) konstanst , vagy (for ) végtelenül kicsinyt kapunk : $k=\lceil \alpha \rceil$ $k$ $\alpha =k$ $k!$ $\alpha <k$ ${\displaystyle \alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k))$

\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\ ldots =\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k)){e^{t} }}=0

Ily módon

f'(0)=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3 }}}=0

Keresse meg a függvény több kezdeti deriváltját : $x\neq 0$ $f(x)$

{\displaystyle f'(x)={\frac {2f(x)}{x^{3))))

f''(x)=\left({\frac {2f(x)}{x^{3}}}\right)'=2\left({f'(x){\frac {1 }{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2\left({{\frac {2f (x)}{x^{3))}{\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\jobb )'}\right)=2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\jobbra)

f'''(x)=\left({2f(x)\left(({\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4} }}}\right)}\right)'=4f(x)\left({{\frac {2}{x^{9}}}-{\frac {3}{x^{7}}}+ {\frac {6}{x^{5}}}-{\frac {6}{x^{7}}}}\jobbra)

Stb. Nyilvánvalóan minden esetben az eredmény a negatív egész hatványok összegének szorzata . Az infinitezimálisok véges összege végtelenül kicsi. Így, . $f(x)$ $x$ $\lim _{x\to 0,x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}f^{(k)}(x)=0$

A definíció szerint szekvenciálisan kiszámítva (mint fent) a pont deriváltjait , azt találjuk, hogy a pontban lévő összes derivált egyenlő nullával. $f(x)$ $x=0$ $x=0$

A Taylor-sorozat konvergenciájának tartománya

A Taylor-sor, mivel hatványsor, konvergenciaterülete egy kör (a pont közepén van ) komplex változó esetén és egy intervallum (a pontban középen ) a valós változó esetében. $a$ $a$

1. Például egy függvény egy Taylor sorozatban a következőképpen bővíthető: (ez a jól ismert képlet a végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegére). Ha azonban a függvény minden valós számra definiálva van, kivéve a pontot , akkor a sorozat csak a feltétel mellett konvergál . $f(x)={\frac {1}{1-x))$ ${\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ ${\frac {1}{1-x}}$ $x=1$ $\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k))$ $|x|<1$

2. A Taylor-sor konvergencia sugara meghatározható például a d'Alembert-képlet segítségével:

R=\lim _{k\to \infty }\left|{\dfrac {\dfrac {{f^{(k)))(a)}{k!)}{\dfrac {{f^ {(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k) )}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\jobbra|

3. Tekintsük például az exponenciális függvényt . Mivel egy exponenciális függvény bármely deriváltja bármely pontban egyenlő magával a függvénnyel, az exponenciális függvény konvergencia sugara: . Ez azt jelenti, hogy az exponenciális függvény Taylor-sora bármely paraméter esetén a teljes tengelyen konvergál . $e^{x}$ $R=\lim _{k\to \infty }\left|({\frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}\right|=\lim _ {k\to \infty }(k+1)=\infty$ $x$ $a$

4. Konvergenciájának tartománya a paramétertől, a Taylor-sor tágulási pontjától függ. $a$

Például bontsuk ki általános esetben (egy tetszőleges ) Taylor sorozatban a : függvényt . $a$ $f(x)={\frac {1}{1-x))$ $f(x)={\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{ \left({\frac {xa}{1-a}}\right)}^{k}}$

A geometriai progresszió összegének képletével igazolható, hogy az adott sorozat az argumentum függvényében bármely értékre (kivéve a ) azonos alakkal rendelkezik. $x$ $a$ $a=1$

Igazán,

{\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {xa}{1-a}}\right) }^{k))={\frac {1}{1-a}}\cdot {\frac {1}{1-\left({\dfrac {xa}{1-a}}\right))) ={\frac {1}{1-x}}

A sorozatok konvergenciatartománya az egyenlőtlenséggel adható meg . És most ez a terület attól függ . Például: esetén a sorozat a következőhöz konvergál . Számára a sorozat a következőnél konvergál . $\left|{\frac {xa}{1-a}}\right|<1$ $a$ $a=0$ $x\in (-1;1)$ $a=0{,}5$ $x\in (0;1)$

Taylor formula

Tegyük fel, hogy a függvénynek minden deriváltja van a -edik sorrendig, beleértve a pontot tartalmazó intervallumot is . Legfeljebb olyan fokszámú polinomot keresünk , amelynek értéke egy pontban megegyezik a függvény értékével ebben a pontban, és deriváltjai a pontban a -edik rendig bezárólag megegyeznek az értékekkel a függvény megfelelő deriváltjainak ezen a ponton. $f(x)$ $n+1$ $x=a$ ${P_{n}}(x)$ $n$ $x=a$ $f(x)$ $n$ $x=a$ $f(x)$

Meglehetősen könnyű bebizonyítani, hogy egy ilyen polinom alakja , azaz a függvény Taylor-sorának -edik parciális összege . A függvény és a polinom közötti különbséget maradék tagnak nevezzük és jelöljük . A képletet Taylor-képletnek [4] nevezik . A maradék tag differenciálható idők a pont figyelembe vett környezetében . A Taylor-képletet nagyszámú tétel bizonyítására használják a differenciálszámításban . Lazán szólva a Taylor-formula egy függvény viselkedését mutatja egy bizonyos pont közelében . ${P_{n}}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{{\frac {{f^{(k)))(a)}{k!)} } {{(xa)}^{k}}}$ $n$ $f(x)$ $f(x)$ ${P_{n}}(x)$ ${R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)$ $f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)$ $n+1$ $a$

Tétel:

Ha egy függvénynek van deriváltja egy és végű szakaszon , akkor tetszőleges pozitív szám esetén van egy pont és között , úgy, hogy $f(x)$ $n+1$ $a$ $x$ $p$ $\xi$ $a$ $x$

f(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(xa)^{k}+\left({xa \ felett x-\xi }\jobbra)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi ).

Ez a Taylor-képlet, a maradék kifejezéssel általános formában ( Schlömilch - Roche forma ).

A maradék különböző formái

Lagrange formában :

R_{n}(x)={(xa)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (xa)]\qquad p =n+1;\qquad 0<\theta <1

Következtetés Tegye különbséget a Taylor-képlet idők mindkét oldala szerint :

x

n

{\begin{array}{l}1)f(x)'=f(a)'+\sum \limits _{k=2}^{n}{{\frac {{f^{( k)}}(a)}{(k-1)!}}{{(xa)}^{k-1}}}+{R_{n}}(x)'\\2)f(x) ''=f(a)''+\sum \limits _{k=3}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{(k-2)!} }{{(xa)}^{k-2}}}+{R_{n}}(x)''\\...\\n-1)f{(x)^{(n-1) }}=f{(a)^{(n-1)}}+{f^{(n)}}(a)(xa)+{R_{n}}{(x)^{(n-1) )}}\\n)f{(x)^{(n)}}={f^{(n)}}(a)+{R_{n}}{(x)^{(n)}} \end{array}}

(Különösen innen látszik, hogy ez bármilyen formában a többi tag tulajdonsága.)

{R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a) ^{(n)}}=0

Lagrange tétele szerint (mert ez megfelel a tétel feltételeinek) és között van egy olyan pont ( vagyis nem egyenlő egyikkel sem , vagy ), hogy . Innen . Megkülönböztetjük még egyszer az utolsó azonosságot a és a get tekintetében .

f(x)

\xi

x

a

\xi

x

a

f{(x)^{(n)}}-{f^{(n)}}(a)=f{(\xi )^{(n+1)}}(xa)

{R_{n}}{(x)^{(n)}}=f{(\xi )^{(n+1)))(xa)

x

{R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)))

Adjuk meg a maradék tagot a formában . Ekkor először is ez és az összes deriváltja egyenlő nullával a pontban , másodszor pedig . A végén beválthat egy változót is: . Megjelent a képlet.

{R_{n}}(x)={\frac {f{{(\xi )}^{(n+1)}}{{(xa)}^{n+1}}}{( n+1)!}}

x=a

{R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)))

\xi =a+\theta (xa),\qquad 0<\theta <1

Cauchy formában :

R_{n}(x)={(xa)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta ( xa)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1

Integrált formában:

R_{n}(x)={1 \over n!}\int \limits _{a}^{x}(xt)^{n}f^{(n+1)}(t)\ ,dt

Következtetés A részenkénti integráció módszerével megkapjuk

{\begin{array}{l}{R_{n}}(x)={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(xt) )}^{n}}{f^{(n+1)}}(t)dt}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{ (xt)}^{n}}d{f^{(n)}}(t)}={\frac {1}{n!}}\left.{\left({{{(xt)}^ {n}}{f^{(n)}}(t)}\right)}\right|_{a}^{x}-{\frac {1}{n!)}}\int \limits _ { a}^{x}{{f^{(n)}}(t)d}{(xt)^{n}}=\\={\frac {1}{(n-1)!}} \ int \limits _{a}^{x}{{{(xt)}^{n-1}}{f^{(n)}}(t)d}t-{\frac {{{(xa) ) }^{n}}{f^{(n)}}(a)}{n!}}=...=\int \limits _{a}^{x}{f'(t)d} t -\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(xa)}^{k}}}{k!}}= f (x)-\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(xa)}^{k}}}{k! } }\end{tömb}}

ahol

f(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)))(a){{(xa)}^{k))} {k!}}+{R_{n}}(x)

Lazítsunk a feltételezéseken:

Legyen a függvénynek egy deriváltja a pont valamelyik szomszédságában és legyen a deriváltja magában a pontban , akkor: $f(x)$ $n-1$ $a$ $n$ $a$

Aszimptotikus formában ( Peano forma , helyi forma):

R_{n}(x)=o[(xa)^{n}]

Következtetés Mivel , akkor a reláció hajlamos határát L'Hopital szabálya találja meg:

{R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a) ^{(n)}}=0

{\frac {{R_{n}}(x)}{{(xa)}^{n}}}

x

a

\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)}{{(xa)}^{n}}}=\lim _{x\to a}{\ frac {{R_{n}}(x)'}{\left({{(xa)}^{n}}\right)'}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_ {n}}(x)''}{\left({{(xa)}^{n}}\right)''}}=...=\lim _{x\to a}{\frac { {R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{{\left({{(xa)}^{n}}\right)}^{(n)}}}=\ lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{n!)}}=0

Mivel a határérték nulla, ez azt jelenti, hogy a maradék tag egy nagyobb rendű infinitezimális függvény, mint , esetén . És ez az o-small meghatározása.

R_{n}(x)

{\displaystyle (xa)^{n))

x\to a

Egy függvény analitikusságának kritériuma

Tegyük fel, hogy egy Taylor-sorozatban valamikor bizonyos függvényeket ki kell bővíteni . Ehhez először meg kell győződnie arról, hogy a függvény ezen a ponton analitikus (vagyis szó szerint felbontható). Ellenkező esetben nem a függvény Taylor sorozattá való kiterjesztése lesz, hanem egyszerűen egy Taylor sorozat, ami nem egyenlő a funkciójával. Sőt, amint a Cauchy-függvény példájából látható, a függvény tetszőlegesen differenciálható a pontban , és a paraméterrel rendelkező Taylor-sor konvergens lehet, de a Taylor-sor nem feltétlenül egyezik meg a funkciójával. $f(x)$ $x=a$ $a$ $a$

Először is, egy függvény analitikusságának szükséges feltétele a Taylor-sor konvergenciája valamilyen folytonos tartományban. Valóban, ha a Taylor-sorozat csak egy ponton konvergál, akkor ez a lényeg , mert a Taylor-sorozat mindig ott konvergál. De akkor a Taylor-sor csak ezen az egyetlen ponton egyenlő a függvénnyel , ami azt jelenti, hogy ez a függvény nem lesz analitikus. $x=a$ $f(x)$

Másodszor, a Taylor-formula szerint bármely (nem csak analitikus) függvény, amely végtelenül differenciálható a pontot tartalmazó szomszédságban, kibővíthető Taylor-sorozattá egy maradék taggal . Konvergáljon ezen a környéken az ilyen függvény paraméterével rendelkező Taylor-sor . Ha két sorozat mindegyikének van határértéke, akkor ezen sorozatok összegének határa megegyezik a határértékeik összegével. Ezután mindenki számára a környékről a Taylor-képlet segítségével felírhatjuk , hogy hol van a Taylor sorozat. $a$ $a$ $x$ $a$ $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x) -\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$ $\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$

Nyilvánvaló, hogy egy függvény akkor és csak akkor analitikus egy pontban , ha a pont meghatározott szomszédságában van olyan folytonos tartomány , amely a Taylor-formula szerinti kiterjesztésének minden hátralévő tagjában a növekedéssel nullára hajlik : . $f(x)$ $a$ $a$ $x$ $x\X-ben$ $n$ $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0$

Vegyünk példának egy exponenciális függvényt . A Taylor sorozat a teljes tengelyen konvergál bármely paraméter esetében . Most bizonyítsuk be, hogy ez a függvény minden ponton analitikus . $e^{x}$ $x$ $a$ $a$

A függvény kiterjesztésének maradék tagja a Lagrange alakban , ahol a és közé zárt szám (nem tetszőleges, de nem ismert). Akkor nyilván ${R_{n}}(x)={\frac {{(xa)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}$ $\xi _{n}$ $x$ $a$

\lim _{n\to \infty }{R_{n}}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {{(xa)}^{n+1}}{ (n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}\leq M\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {{(xa)}^{n+1} }{(n+1)!}}=0

Itt azt használjuk, hogy egy fix intervallumon a kitevő valamilyen számra korlátozódik $M$

Sőt, amint látható, a maradék tag határa nullával egyenlő bármely és esetén . $x$ $a$

Néhány függvény Maclaurin sorozata

Kiállító : $\displaystyle {\mathrm {e}}^{{x}}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac { x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}{\dfrac {x^{n}}{n!}}, x\in {\mathbb {C}}$
Természetes logaritmus (" Mercator sorozat "): mindenkinek $\displaystyle \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _ {{n=0}}^{{\infty }}{\dfrac {(-1)^{n}x^{{n+1}}}{(n+1)}}=\sum \limits _ {{n=1}}^{{\infty }}{\dfrac {(-1)^{{n-1}}x^{n}}{n}},$ $-1< x\le 1$
Binomiális bővítés : mindenre és minden összetettre, ahol $\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{{n=1}}^({\infty }}{\binom \alpha n}x^{n},$ $\left| x\jobbra| < 1$ $\alpha,$ $\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!)}}$
- Négyzetgyök : mindenkinek $\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\dfrac {x}{2}}-{\dfrac {x^{2}}{8}}+{\dfrac {x^{ 3}}{16}}-{\dfrac {5x^{4}}{128}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^ {n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n},$ $|x|\leq 1$
- ${\dfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =1+\sum \limits _{n=1}^{\ infty }x^{n},$ mindenkinek $|x| < 1$
- Végső geometriai sorozat: mindenkinek $\displaystyle {\dfrac {1-x^{{m+1}}}{1-x}}=\sum \limits _{{n=0}}^{{m}}x^{n},$ ${\displaystyle x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0))$
Trigonometrikus függvények :
- Szinusz: $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7} }{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n }x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
- Koszinusz: $\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\sum _{ n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},x\in \mathbb {C}$
- Érintő: mindenre, ahol Bernoulli-számok vannak $\displaystyle \operátornév {tg}\ x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\sum _{{n =1}}^{{\infty }}{\frac {B_{{2n}}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{{ 2n-1}},$ $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2)),$ $B_{2n}$
- Secant: mindenre, ahol az Euler-számok vannak $\displaystyle \sec x=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}E_{{2n}}}{(2n)!}}x ^{{2n}}$ $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2))$ $E_{2n}$
- Arcsine: mindenkinek [6] $\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{{n=0} }^{{\infty }}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{{2n+1}}$ $\left|x\right|\leq 1$
- Arccosine: mindenkinek $\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{{n=0}}^({\infty }}{\frac {(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}$ $\left|x\right|\leq 1$
- Arctangens: mindenkinek $\displaystyle \operátornév {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\ összeg _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ $\left|x\right|\leq 1$
Hiperbolikus funkciók :
- $\operátornév {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C}$
- $\operátornév {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _ {n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C}$
- $\operátornév {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-\cdots =\sum _{n =1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$ mindenkinek $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2))$
- $\operatorname {arsh} x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots \ =\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{ 2n+1}$ mindenkinek $\left| x\jobbra| < 1$
- $\operatorname {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots =\sum _{n= 0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}$ mindenkinek $\left| x\jobbra| < 1$

Taylor-képlet két változó függvényére

Legyen a függvénynek folytonos deriváltjai a pont valamely szomszédságában a harmadrendig bezárólag . Bemutatjuk a differenciálműködtetőt $f(x,y)$ $(n+1)$ $(x_0, y_0)$

\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}

Ekkor a függvény kibővítése (Taylor-képlet) a pont szomszédságában lévő hatványokban a következő alakot kapja $f(x,y)$ ${\megjelenítési stílus (x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q))$ $p+q\leq n$ $(x_0, y_0)$

f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^kf(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),

hol van a maradék kifejezés a Lagrange alakban: $R_n(x,y)$

R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x ],\ \zeta \in [y_0,y]

Vegye figyelembe, hogy a és operátorok csak a függvényre hatnak , a és/vagy nem . ${\dfrac {\partial }{\partial x))$ ${\dfrac {\partial }{\partial y))$ ${\displaystyle \mathrm {T} ^{k))$ $f(x,y)$ $(x-x_0)$ $(y-y_{0})$

Hasonlóképpen, a képlet tetszőleges számú változóból álló függvényekre épül fel, csak az operátorban szereplő tagok száma változik . $\mathrm{T}$

Egy változó függvénye esetén . $\mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {d}{dx}}\,$

Taylor-képlet sok változóhoz

Ahhoz, hogy megkapjuk a Taylor-képletet a változók függvényére , amely a pont valamely szomszédságában folyamatos deriváltokkal rendelkezik a -edik rendig bezárólag, bevezetjük a differenciáloperátort. $n$ $f(x_1, x_2, ... x_n)$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ $(m+1)$

\mathrm {T} =(x_{1}-a_{1}){\dfrac {\partial }{\partial x_{1))}+(x_{2}-a_{2}){\ dfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+...+(x_{n}-a_{n}){\dfrac {\partial }{\partial x_{n}}}.

Ekkor a pont szomszédságában lévő hatványokban lévő függvény kibővítése (Taylor-formula) alakja $(x_{i}-a_{i})^{k_{i))$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{m}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k }f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{k!}}+R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n }),

hol van a sorrend maradéka . $R_m(x_1, x_2, ... x_n)$ $(m+1)$

A pont valamely környezetében végtelenül differenciálható változók függvényében a Taylor sorozat alakja $n$ $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k_{1}=0}^{\infty }\sum \limits _{k_{ 2}=0}^{\infty }...\sum \limits _{k_{n}=0}^{\infty }C_{k_{1},k_{2},...k_{n} }(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n} )^{k_{n}}

ahol

C_{k_{1},k_{2},...k_{n))={\dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!} }{\dfrac {\partial ^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n))}{\partial x_{1}^{k_{1))\partial x_{2}^ {k_{2}}...\részleges x_{n}^{k_{n}}}}f(x_{1},x_{2},...x_{n})|_{x_{1 }=a_{1},x_{2}=a_{2},...,x_{n}=a_{n}}

Példa a három változós függvény Maclaurin-féle sorozatbővítésére

Keressünk kifejezést három változó függvényének Taylor-soros kiterjesztésére , és a pont közelében egészen a kicsinység második rendjéig. Az operátor úgy fog kinézni $x$ $y$ $z$ $(0,0,0)$ $\mathrm{T}$

\mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}.

A Taylor-sorozat bővítése így írható

f(x,y,z)=\sum \limits _{k=0}^{2}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f_{0}}{k!)}} + R_{2}(x,y,z)=

=\left(1+T+{\frac {T^{2}}{2}}\right)f_{0}+R_{2}(x,y,z);

Tekintettel arra

T^2 = x^2 \dfrac {\partial^2} {\partial x^2}+ y^2 \dfrac {\partial^2} {\partial y^2}+ z^2 \dfrac {\partial ^2} {\partial z^2} + 2xy \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial y} + 2xz \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial z}+ 2yz \dfrac {\partial^2} {\partial y \partial z},

kapunk

f(x,y,z)=f_{0}+x{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial x}}+y{\dfrac {\partial f_{0}}{\ részleges y))+z{\dfrac {\partial f_{0)){\partial z))+{\frac {x^{2)){2)){\dfrac {\partial ^{2}f_{ 0}}{\partial x^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y^{2 ))}+{\frac {z^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial z^{2}}}+

+xy{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial y}}+xz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x \partial z}}+yz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y\partial z}}+R_{2}(x,y,z).

Például itt : $f(x,y,z)=e^{x+y+z}$

f(x,y,z)=1+x+y+z+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}+{ \frac {z^{2}}{2}}+xy+xz+yz+R_{2}(x,y,z).

Jegyzetek

↑ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), 21-23. oldal (VII. állítás, 3. tétel, 2. következmény). Angolra fordította DJ Struik, A Source Book in Mathematics 1200-1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), 329-332. oldal.
↑ Gupta RC A Madhava-Gregory sorozat, Math. Oktatás 7 (1973), B67-B70.
↑ Zaporozhets G. I. "Útmutató a matematikai elemzés problémáinak megoldásához" - 371. o.
↑ N.S. Piskunov. Differenciál- és integrálszámítás. - Mithril, 1996. - S. 1. kötet, 4. fejezet, 6. bekezdés.
↑ N.S. Piskunov. Differenciál- és integrálszámítás műszaki főiskolák számára. - tizenharmadik. - MOSZKVA "NAUKA", 1985. - S. 2. kötet, 16. fejezet, 16. bekezdés.
↑ Ha x értéke közel 1, akkor ez a számítási képlet nagy hibát ad. Ezért használhatja a képletet ahol $\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2},$ $\arccos x = {\pi\over 2}-\arcsin x$

Irodalom

Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov B. Kh. Matematikai elemzés, 1. rész, szerk. 3, szerk. A. N. Tyihonov. M.: Prospekt, 2004.
Kamynin L. I. Matematikai elemzés. T. 1., 2. - 2001.
Kiselev V. Yu., Pyartli A. S., Kalugina T. F. Felső matematika. Első félév, Interaktív számítógépes tankönyv.
Markushevich AI Az analitikus függvények elmélete. 2 kötetben - Szerk. 2. - M .: Nauka , 1967 . - 1. köt.: Az elmélet kezdetei. — 486 p.
Narasimhan R. Valós és összetett sokaság elemzése. - per. angolról. E. M. Chirki. — M .: Mir , 1971 . — 232 p.
Petrova S. S., Romanovska D. A. A Taylor sorozat felfedezésének történetéről. // Történeti és matematikai kutatás . - M . : Nauka , 1980. - 25. sz . - S. 10-24 .
Piskunov N. S. Differenciál- és integrálszámítás műszaki főiskolákhoz. 2 kötetben - Szerk. 13. - M . : Nauka, Fizikai és matematikai irodalom főkiadása , 1985 . - T. 1. - 432 p.
Piskunov N. S. Differenciál- és integrálszámítás műszaki főiskolákhoz. 2 kötetben - Szerk. 13. - M . : Nauka, Fizikai és matematikai irodalom főkiadása , 1985 . - T. 2. - 560 p.
Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. 3 kötetben - Szerk. 8. — M .: FIZMATLIT , 2003 . - T. I. - 680 p. — ISBN ISBN 5-9221-0156-0 .

Sorozatok és sorok
Sorozatok	Numerikus sorozat Alapvető sorrend Lineáris ismétlődő sorozat Fibonacci számok göndör számok Faktoriális Barker sorozat de bruijn sorozat
Sorok, alap	Sor összege A sor többi része Feltételes konvergencia Váltakozó sorozatok Sor több szakasz
Számsorozat ( műveletek számsorokkal )	harmonikus sorozat Leibniz sorozat Inverz négyzetek sorozata Reciprok prímek sorozata Dirichlet sor Mercator sorozat Sor Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkcionális sorok	Taylor sorozat Laurent sorozat Fourier sorozat Trigonometrikus Fourier sorozat trigonometrikus sorozat Wiener sorozat
Egyéb sortípusok	Neumann sorozat Puiseux sor

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák