Valószínűségi sűrűség

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. augusztus 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

A valószínűségi sűrűség a valószínűségi változó eloszlásának meghatározásának egyik módja . Sok gyakorlati alkalmazásban a "valószínűségi sűrűség" és a "valószínűségi változó sűrűsége (eloszlása) " vagy " valószínűségi eloszlási függvény " fogalmak valójában szinonimák.valós függvényt jelentenek, amely egy valószínűségi változó (változók) bizonyos értékeinek megvalósulásának összehasonlító valószínűségét jellemzi.

A fogalom alkalmazott leírása

Az egydimenziós folytonos valószínűségi változó eloszlási sűrűsége egy numerikus függvény , amelynek értékeinek aránya a pontokban , és beállítja annak valószínűségét , hogy a mennyiség egyforma szélességű keskeny intervallumokra essen ezekhez a pontokhoz közel. $\xi$ $f(x)$ $f(x_{1})/f(x_{2})$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\xi$ $[x_{1},x_{1}+\Delta x]$ $[x_{2},x_{2}+\Delta x]$

Az eloszlási sűrűség nem negatív, és normalizált, azaz $x$

\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,{\mbox{d}}x=1

Ha a függvényt adjuk meg , a függvény nullára hajlik. Az eloszlássűrűség dimenziója mindig inverz egy valószínűségi változó dimenziójával - ha méterben számoljuk, akkor a dimenzió m -1 lesz . $x$ $\,\pm \infty$ $f(x)$ $\xi$ $f$

Ha a for kifejezés ismert egy adott helyzetben , akkor kiszámítható annak valószínűsége, hogy az érték a következő intervallumba esik . $f(x)$ $\xi$ $[a,b]$

P(\xi \in [a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\,{\mbox{d}}x

A valószínűségi sűrűség ismeretében egy valószínűségi változó legvalószínűbb értékét ( módusát ) is meghatározhatjuk maximumként . A valószínűségi sűrűség felhasználásával egy valószínűségi változó átlagos értékét is megtaláljuk: $f(x)$

E\xi =\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\,{\mbox{d}}x

és egy valószínűségi változó mérhető függvényének középértéke : $g(\xi )$

\langle g(\xi )\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)\,{\mbox{d}}x

Ahhoz, hogy egy másik valószínűségi változó eloszlássűrűségére áttérhessünk , vegyük ${f}_{\chi }(y)$ $\chi =z(\xi )$

{f}_{\chi }(y)=f(z^{-1}(y))\cdot \left|{\frac {{\mbox{d}}z^{-1}( y)}{{\mbox{d}}y}}\right|

ahol az inverz függvény ( feltételezzük, hogy z egy az egyhez leképezése ). $z^{-1}(y)$ $y=z(x)$

Az eloszlássűrűség értéke nem annak a valószínűsége, hogy az értéket valószínűségi változónak vesszük . Tehát annak a valószínűsége, hogy egy folytonos valószínűségi változó értéket vesz fel , nullával egyenlő. Egy valószínűségi változó folytonos eloszlásával feltehető a kérdés, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy egy bizonyos tartományba esik, és nem az, hogy milyen valószínűséggel realizálódik a konkrét érték. $f(x_{1})$ $x_{1}$ $\xi$ $x_{1}$ $\xi$

Integrál

\int _{-\infty }^{x}f(t)\,{\mbox{d}}t=F(x)

eloszlásfüggvénynek nevezzük ( illetve a valószínűségi eloszlássűrűség az eloszlásfüggvény deriváltja ). A függvény nem csökkenő, és 0- ról 1-re változik a esetén . $F$ $x\to -\infty$ $x\to +\infty$

A legegyszerűbb eloszlás az egyenletes eloszlás az intervallumon . Számára a valószínűségi sűrűség: $[a,b]$

f(x)=\left\{{\begin{mátrix}{1 \over ba},&x\in [a,b]\\0,&x\not \in [a,b]\end{ mátrix}}\jobbra..

Egy jól ismert eloszlás a „ normál ” eloszlás, ami szintén Gauss-eloszlás, melynek sűrűségét a következőképpen írjuk fel.

f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{ 2\sigma ^{2}}}\jobbra]

hol és vannak a paraméterek: matematikai elvárás és szórás . További példák az eloszlási sűrűségre az egyoldalú laplaci ( ): $\mu$ $\sigma$ $\lambda>0$

f(x)=A\exp \left[-\lambda \,x\right]\,\,(x\geq 0)

és ,

f(x)=0\,\,(x<0)

és Maxwellian ( ): $\alpha >0$

f(x)=Ax^{2}\exp \left[-\alpha x^{2}\right]\,\,(x\geq 0)

és .

f(x)=0\,\,(x<0)

Az utolsó két példában a tényezőt a paramétertől függően választjuk ki, vagy úgy, hogy biztosítsuk a valószínűségi sűrűség integráljának normalizálását. A Laplace-eloszlás esetében kiderül, hogy . $A$ $\lambda$ $\alpha$ $A=\lambda$

Mind ezeket, mind más eloszlásokat széles körben használják a fizikában. Például a Maxwell-eloszlás esetében a valószínűségi változó szerepét általában egy molekula sebességének abszolút értéke játssza ideális gázban . Ugyanakkor gyakran ugyanazt a szimbólumot használják a függvény argumentumára, mint a fizikai feladatban figyelembe vett valószínűségi változóra (mintha mindenhol fent lenne ). Tehát a Maxwell-féle eloszlássűrűség kifejezésébe nem formális változót írnak , hanem sebesség szimbólumot . A legegyszerűbb helyzetekben az ilyen jelölési szabadságjogok nem vezetnek félreértésekhez. $f$ $\xi$ $x$ $x$ $v$

Csökkenő, ahogy az argumentum hajlik, vagy a valószínűségi sűrűséggráf egy része azokon a területeken, ahol , az úgynevezett farok . Az említett eloszlások közül a normál és a laplaci két (bal és jobb oldali), a Maxwell-féle írásbeli eloszlásnak pedig egy (jobb oldalon) van. $+\infty$ $-\infty$ $f(x)$ ${\displaystyle f\ll f_{max))$

A "valószínűségi sűrűség" fogalmának lényegét fentebb megfogalmaztuk. Az ilyen bemutatás azonban nem szigorú – a sűrűség gyakran több mennyiség függvénye, az implicit módon feltételezett érvelés nem mindig garantálja a függvények folytonosságát és differenciálhatóságát, és így tovább. $f$

A valószínűségi sűrűség meghatározása a mértékelméletben

A valószínűségi sűrűséget úgy tekinthetjük, mint az euklideszi tér valószínűségi mértékének meghatározását . Legyen egy valószínűségi mérték -on , azaz egy valószínűségi tér van definiálva , ahol a Borel σ-algebrát jelöli -on . Jelölje a Lebesgue mértéket a -n . A valószínűséget abszolút folytonosnak nevezzük (a Lebesgue-mértékhez képest) ( ), ha bármely nulla Lebesgue-mérték Borel-halmazának valószínűsége is nulla: $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\jobb)$ $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $m$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P}$ $\mathbb{P} \ll m$

\forall B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\; ( m(B) = 0 ) \jobbra nyíl ( \mathbb{P}(B) = 0 ) .

Ha a valószínűség abszolút folytonos, akkor a Radon-Nikodym-tétel szerint létezik olyan nemnegatív Borel-függvény , $\mathbb {P}$ $f\colon\mathbb{R}^n \to [0,\infty)$

\mathbb{P}(B) = \int\limits_{B} f(x)\, dx

ahol a hagyományos rövidítést használjuk , és az integrált Lebesgue értelmében értjük . $m(dx) \equiv dx$

Általánosabban, legyen egy tetszőleges mérhető tér , és legyen és két mérték ezen a téren. Ha van egy nemnegatív , amely lehetővé teszi a mérték kifejezést az ütemben a formában $(X, \mathcal F)$ $\mu$ $\nu$ $f$ $\nu$ $\mu$

\nu(A) = \int_A fd\mu,

akkor az ilyen függvényt a mérték sűrűségének nevezzük a mértékhez képest $\nu$ $\mu$ , vagy a mérték Radon-Nikodym deriváltjának a mértékhez képest $\nu$ $\mu$ , és jelöljük

f=\frac{d\nu}{d\mu}

Egy valószínűségi változó sűrűsége

Legyen egy tetszőleges valószínűségi tér , és egy valószínűségi változó (vagy egy véletlen vektor). valószínűségi mértéket indukál a -n , amelyet a valószínűségi változó eloszlásának neveznek . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $x$ $\mathbb {P} ^{X}$ $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\jobb)$ $x$

Ha az eloszlás abszolút folytonos a Lebesgue-mértékhez képest, akkor annak sűrűségét a valószínűségi változó sűrűségének nevezzük . Magát a valószínűségi változót abszolút folytonosnak mondjuk. $\mathbb {P} ^{X}$ $f_X = \frac{d\mathbb{P}^X}{dx}$ $x$ $x$

Így egy abszolút folytonos valószínűségi változóhoz a következőt kapjuk:

\mathbb{P}(X \in B) = \int\limits_{B} f_X(x)\, dx

. Jegyzetek

Nem minden valószínűségi változó abszolút folytonos. Bármely diszkrét eloszlás például nem abszolút folytonos a Lebesgue-mértékhez képest, ezért a diszkrét valószínűségi változóknak nincs sűrűsége.

Egy abszolút folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye folytonos , és sűrűségben a következőképpen fejezhető ki: $x$

F_X(x_1,\ldots, x_n) = \mathbb{P}\left(X \in \prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right) = \int\limits_{-\ infty}^{x_n} \!\!\ldots \!\!\int\limits_{-\infty}^{x_1} f_X(x'_1,\ldots, x'_n)\, dx'_1\ldots dx '_n

Egydimenziós esetben:

F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(x')\, dx'

Ha , akkor , és $f_X \in C(\mathbb{R}^n)$ $F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$

\frac{\partial^n}{\partial x_1 \ldots \partial x_n} F_X(x_1,\ldots, x_n) = f_X(x_1,\ldots, x_n)

Egydimenziós esetben:

\frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x)

Egy függvény matematikai elvárása abszolút folytonos valószínűségi változóból a következőképpen írható fel:

\mathbb{E}[g(X)] = \int\limits_{\mathbb{R}^n} g(x) \, \mathbb{P}^X(dx) = \int\limits_{\mathbb{ R}^n} g(x)\, f_X(x)\, dx

ahol egy Borel-függvény, tehát ez definiált és véges. $g\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ $\mathbb{E}[g(X)]$

Egy valószínűségi változó sűrűségtranszformációja

Legyen egy abszolút folytonos valószínűségi változó, és legyen egy injektív folytonosan differenciálható függvény úgy, hogy , ahol a függvény Jacobi -függvénye a pontban . Ekkor a valószínűségi változó is abszolút folytonos, és sűrűsége a következő: $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $g\colon\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ $J_g(x) \not=0,\; \forall x\in \mathbb{R}^n$ $J_g(x)$ $g$ $x$ $Y = g(X)$

f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \vert J_{g^{-1}}(y) \vert

Egydimenziós esetben:

f_Y(y) = f_X\left(g^{-1}(y)\right) \left\vert \frac{dg^{-1}}{dy}(y)\right\vert

Valószínűségi sűrűség tulajdonságai

A valószínűségi sűrűség szinte mindenhol definiálva van . Ha egy valószínűségi sűrűség és szinte mindenhol a Lebesgue-mértékhez képest, akkor a függvény is valószínűségi sűrűség. / $f$ $\mathbb {P}$ $f(x)=g(x)$ $g$ $\mathbb {P}$

A sűrűség integrálja a teljes térben egyenlő az egységgel:

\mathbb{P}\left(\mathbb{R}^n\right) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1

Ezzel szemben, ha egy nemnegatív függvény szinte mindenhol úgy, hogy , akkor létezik egy abszolút folytonos valószínűségi mérték az ilyenen, amely a sűrűsége. $f(x)$ $\int\limits_{\mathbb{R}^n}f(x)\, dx = 1$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f(x)$

Mértékváltozás a Lebesgue-integrálban:

\int\limits_{\mathbb{R}^n} \varphi(x)\, \mathbb{P}(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^n}\varphi(x)\, f (x)\, dx

ahol bármely Borel-függvény integrálható a valószínűségi mértékhez képest . $\varphi ::\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${}\mathbb {P}$

Példák abszolút folytonos eloszlásokra

Lásd még

Irodalom

Valószínűségi sűrűség // Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.