Véletlenszerű érték

A valószínűségi változó olyan változó, amelynek értékei valamilyen véletlenszerű jelenség vagy kísérlet számszerű eredményeit reprezentálják. Más szóval, ez egy véletlenszerű esemény eredményének numerikus kifejezése. A valószínűségi változó a valószínűségszámítás egyik alapfogalma . [1] Szokásos a görög "xi" betűt használni egy valószínűségi változó jelölésére a matematikában . Ha egy valószínűségi változót szigorúbban definiálunk, akkor ez egy olyan függvény, amelynek értékei számszerűen kifejezik egy véletlenszerű kísérlet eredményét. Ennek a függvénynek az egyik követelménye a mérhetősége lesz , amely arra szolgál, hogy kiszűrje azokat az eseteket, amikor ennek a függvénynek az értékei végtelenül érzékenyek egy véletlenszerű kísérlet eredményének legkisebb változására. Sok gyakorlati esetben egy valószínűségi változó tetszőleges függvénynek tekinthető [2]-ből . $\xi$ $y=\xi (\omega )$ $y$ $\omega$ $\xi (\omega )$ $\Omega$ $\mathbb {R}$

Függvényként a valószínűségi változó nem az esemény bekövetkezésének valószínűsége , hanem az eredmény numerikus kifejezését adja vissza . A valószínűségi változók fontos jellemzői a matematikai elvárás és a variancia [3] . $\xi (\omega )$ $\omega$ $\omega$

A kvantummechanika által leírt mikroszkopikus objektumok példái azokra az objektumokra, amelyek állapotuk megjelenítéséhez valószínűségi változók használatát igénylik . Véletlen változók írják le az örökletes tulajdonságok szülőszervezetről leszármazottaira való átvitelének eseményeit (lásd Mendel törvényei ). A véletlenszerű események közé tartozik az atommagok radioaktív bomlása . [egy]

A matematikai elemzésnek és számelméletnek számos problémája van, amelyek megfogalmazásában részt vevő függvényeket célszerű megfelelő valószínűségi tereken meghatározott valószínűségi változóknak tekinteni [4] .

Történelem

A valószínűségi változó szerepét, mint a valószínűségszámítás egyik alapfogalmát, először P. L. Csebisev ismerte fel egyértelműen , aki alátámasztotta a jelenleg általánosan elfogadott álláspontot ezzel a fogalommal kapcsolatban (1867) [5] . A valószínűségi változó megértése a függvény általános fogalmának speciális eseteként sokkal később, a 20. század első harmadában jelent meg. Először A. N. Kolmogorov (1933) [6] dolgozta ki a valószínűségszámítás alapjainak teljes formalizált reprezentációját a mértékelmélet alapján , amely után világossá vált, hogy a valószínűségi változó egy valószínűségi téren definiált mérhető függvény . Az ismeretterjesztő irodalomban ezt a nézőpontot először következetesen W. Feller valósította meg (lásd a [7] előszavát , ahol az előadás az elemi események tere fogalmán alapul, és hangsúlyozzák, hogy csak ebben az esetben egy valószínűségi változó ábrázolása válik értelmessé).

Definíció

A formális matematikai definíció a következő: legyen egy valószínűségi tér , akkor a valószínűségi változó egy függvény és a Borel σ-algebra -on mérhető függvény . Egy különálló (másoktól független) valószínűségi változó valószínűségi viselkedését teljes mértékben leírja az eloszlása . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ ${\mathcal {F}}$ $\mathbb {R}$

Egy valószínűségi változó más ekvivalens módon is definiálható [8] . Valószínűségi változónak nevezzük a függvényt, ha bármely valós számhoz és eseményhalmazhoz tartozik , ha a -hoz tartozik . $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ $a$ $b$ $\omega$ $\xi (\omega )\in (a,b)$ ${\mathcal {F}}$

Küldetésmódszerek

Beállíthat egy valószínűségi változót, amely minden valószínűségi tulajdonságát külön valószínűségi változóként írja le, az eloszlásfüggvény , a valószínűségi sűrűség és a karakterisztikus függvény segítségével, meghatározva lehetséges értékeinek valószínűségét. Az eloszlásfüggvény egyenlő annak a valószínűségével, hogy egy valószínűségi változó értéke kisebb, mint egy valós szám . Ebből a definícióból következik, hogy annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéke az [a, b) intervallumba esik , egyenlő . Az eloszlásfüggvény használatának előnye, hogy segítségével diszkrét, folytonos és diszkrét-folytonos valószínűségi változók egységes matematikai leírása érhető el. Vannak azonban különböző valószínűségi változók, amelyeknek ugyanaz az eloszlási függvénye. Például, ha egy valószínűségi változó a +1 és -1 értékeket azonos 1/2 valószínűséggel veszi fel, akkor a és a valószínűségi változókat ugyanaz az F(x) eloszlásfüggvény írja le. $F(x)$ $x$ $F(b)-F(a)$ $\xi$ $\xi$ $\xi ^{3}$

A valószínűségi változó megadásának másik módja a valószínűségi változó funkcionális transzformációja . Ha egy Borel-függvény , akkor az is egy valószínűségi változó. Például, ha egy szabványos normál valószínűségi változó , akkor a valószínűségi változó khi -négyzet eloszlású egy szabadságfokkal. Sok eloszlás, köztük a Fisher - eloszlás, a Student-eloszlás normál valószínűségi változók funkcionális transzformációinak eloszlása. $\xi$ $f(x)$ $\eta =f(\xi )$ $\xi$ $\chi ^{2}=\xi ^{2}$

Ha egy valószínűségi változó diszkrét, akkor eloszlásának teljes és egyértelmű matematikai leírását a valószínűségi változó összes lehetséges értékének valószínűségi függvényének megadásával határozzuk meg. Példaként tekintsük a binomiális és a Poisson-eloszlási törvényeket. $p_{k}=P(\xi =x_{k}),\;k\in \mathbb {N}$

A binomiális eloszlás törvénye olyan valószínűségi változókat ír le, amelyek értéke határozza meg a „sikerek” és „kudarcok” számát, amikor a kísérletet többször megismétlik. Minden kísérletben a "siker" valószínűséggel , a "kudarc" - valószínűséggel fordulhat elő . Az elosztási törvényt ebben az esetben a Bernoulli-képlet határozza meg : $N$ $p$ $q=1-p$

P_{k,n}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{nk}

Ha a szorzat állandó marad a végtelenhez közeledve , akkor a binomiális eloszlási törvény konvergál a Poisson-törvényhez , amelyet a következő képlettel írunk le: $n$ $np$ $\lambda>0$

p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }

ahol

a " " szimbólum a faktoriálist jelöli , $!$
$e=2,7182818284\ldots$ a természetes logaritmus alapja .

Valószínűségi változók numerikus jellemzői

Egy valószínűségi változó matematikai elvárását vagy átlagértékét egy lineáris normált X térben az elemi események terén , integrálnak nevezzük. $\xi =\xi (\omega )$ $(\Omega ,{\mathfrak {A}),\mathbb {P} )$

\mathop {\mathbb {E} } \xi =\int \limits _{\Omega }\xi (\omega )\,\mathbb {P} (d\omega )=\int \limits _{\ Omega }x\mathbb {P_{\xi }} (d\omega )

(feltételezve, hogy a függvény integrálható). $\xi =\xi (\omega )$

Egy valószínűségi változó varianciája egy olyan mennyiség, amely egyenlő: $\xi$

\operatorname {D} \xi =\mathop {\mathbb {E} } (\xi -\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}=\mathop {\mathbb {E} } \xi ^{2}-(\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}~.

A statisztikában az eltérést gyakran vagy jelöli . Érték egyenlő ${\displaystyle \sigma _{\xi }^{2))$ $\sigma ^{2}$ $\sigma$

\sigma ={\sqrt {\operátornév {D} \xi }}

szórásnak , szórásnak vagy szórásnak nevezzük .

A valószínűségi változók kovarianciája a következő változó: $\xi$ $\eta$

\mathrm {cov} (\xi ,\eta )

\operátornév {E} (\xi -\operátornév {E} {\xi })({\eta }-\operátornév {E} {\eta })

(feltételezzük, hogy a matematikai elvárások meghatározottak).

Ha = 0, akkor a és valószínűségi változókat korrelálatlannak nevezzük . A független valószínűségi változók mindig nem korrelálnak egymással, de ennek a fordítottja nem igaz [9] . $\mathrm {cov} (\xi ,\eta )$ $\xi$ $\eta$

Valószínűségi változók függvényei

Ha egy Borel-függvény és egy valószínűségi változó, akkor a funkcionális transzformációja is valószínűségi változó. Például, ha egy szabványos normál valószínűségi változó , akkor a valószínűségi változó khi - négyzet eloszlású , egy szabadságfokkal. Sok eloszlás, köztük a Fisher -eloszlás és a Student-eloszlás , normál valószínűségi változók funkcionális transzformációinak eloszlása. $f(x)$ $\xi$ $\eta =f(\xi )$ $\xi$ $\chi ^{2}=\xi ^{2}$

Ha és közös eloszlással , és valamilyen Borel-függvény, akkor [ 10] esetén : $\xi$ $\eta$ $F_{\xi \eta }(x,y)$ $\phi =\phi (x,y)$ $\zeta =\phi (\xi ,\eta )$

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{\{x,y:\phi (x,y)\leqslant z\}}\,dF_{\xi \eta }(x,y )~.

Ha , és függetlenek, akkor . A Fubini-tételt alkalmazva a következőt kapjuk: $\phi (x,y)=x+y$ $\xi$ $\eta$ $F_{\xi \eta }(x,y)=F_{\xi }(y)F_{\eta }(y)$

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\eta }(zx)dF_{\xi }(x)

és hasonlóan:

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\xi }(zy)dF_{\eta }(y)~.

If és eloszlásfüggvények, akkor a függvény $F$ $G$

H(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F(zx)dG(x)

konvolúciónak nevezzük és és jelöljük . A független valószínűségi változók összegének karakterisztikus függvénye és az eloszlásfüggvények konvolúciójának Fourier-transzformációja, és egyenlő a karakterisztikus függvények és a szorzatával : $F$ $G$ $F*G$
$\zeta =\xi +\eta$ $\xi$ $\eta$ $F*G$ $F$ $G$ $\xi$ $\eta$

\phi _{\zeta }(u)=\phi _{\xi }(u)\phi _{\eta }(u)~.

Példák

Diszkrét valószínűségi változó

A diszkrét valószínűségi változó például a sebességmérő leolvasása vagy a hőmérsékletmérés meghatározott időpontokban [11] .

Érmefeldobás

Az érmefeldobás összes lehetséges kimenetele leírható az elemi események fejek, farok vagy röviden mezővel . Legyen a valószínűségi változó egyenlő az érme feldobásából származó kifizetéssel. Legyen a nyeremény 10 rubel minden alkalommal, amikor feljön az érme, és −33 rubel, ha feljön. Matematikailag ez a kifizetési függvény a következőképpen ábrázolható: $\Omega =\{$ $\}$ $\{op,pe\}$ $\xi$

\xi (\omega )={\begin{cases}10,&{\text{if }}\omega ={\text{op)),\\[6pt]-33,&{\text{ if }}\omega ={\text{pe}}.\end{cases}}

Ha az érme tökéletes, akkor a nyerés valószínűsége a következő: $\xi$

P(\xi =y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2)),&{\text{if }}y=10,\\[6pt]{\tfrac {1 }{2}},&{\text{if }}y=-33,\end{cases}}

hol van annak a valószínűsége, hogy egy pénzfeldobás során rubelt nyernek.

P(\xi =y)

y

Kockadobás

Valószínűségi változó is használható a kockadobás folyamatának leírására, valamint az ilyen dobások egy adott kimenetelének valószínűségének kiszámítására. Ennek a kísérletnek az egyik klasszikus példája két dobókockát és -t használ , amelyek mindegyike értéket vehet fel az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazból (a kocka oldalán lévő pontok száma). A kockára dobott pontok teljes száma a valószínűségi változónk értéke lesz , amelyet a függvény ad meg: $n_{1}$ $n_{2}$ $\xi$

{\displaystyle \xi ((n_{1}, n_{2}))=n_{1}+n_{2))

és (ha a kocka tökéletes) a valószínűségi függvény a következőképpen adódik: $\xi$

P(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36)),{\text{ for }}S\in \{2,3,4,5,6 ,7,8,9,10,11,12\}

, hol van a dobott kockán lévő pontok összege.

S

Egy pakli kártya

Hagyja, hogy a kísérletező véletlenszerűen húzzon egyet a kártyapakliból . Ezután az egyik kihúzott kártya lesz; itt nem egy szám van, hanem egy térkép - egy fizikai objektum, amelynek nevét a szimbólum jelöli . Ekkor a függvény az objektum „nevét” argumentumként véve visszaadja azt a számot, amellyel a térképet tovább társítjuk . Rajzolja le a kísérletező esetünkben a klubok királyát, azaz , akkor miután ezt az eredményt behelyettesítettük a függvénybe , máris egy számot kapunk, például 13. Ez a szám nem a király kihúzásának valószínűsége a pakliból, ill. bármilyen más kártya. Ez a szám egy tárgynak a fizikai világból a matematikai világ tárgyába történő átvitelének eredménye, mivel a 13-as számmal már matematikai műveleteket is lehet végezni, míg ezeket a műveleteket nem lehetett elvégezni a tárggyal. $\omega$ $\omega$ $\omega$ $\xi (\omega )$ $\omega$ ${\displaystyle \omega =K_{\clubsuit ))$ $\xi (K_{\clubsuit })$ ${\displaystyle K_{\clubsuit ))$

Abszolút folytonos valószínűségi változó

A valószínűségi változók másik osztálya azok, amelyekre létezik egy nem negatív függvény , amely kielégíti bármely . Azokat a véletlen változókat, amelyek ezt a tulajdonságot kielégítik, abszolút folytonosnak, a függvényt pedig valószínűségi eloszlássűrűségnek nevezzük. $p(x)$ $x$ $P(\omega \mid \xi (\omega )\leq x)=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{x}\displaystyle p(z)dz$ $p(x)$

Egy abszolút folytonos valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma végtelen. Példa egy abszolút folytonos valószínűségi változóra: bármilyen típusú szállítás vagy hőmérséklet mozgási sebességének mérése egy adott időintervallumban. [tizenegy]

Egy járókelő növekedése

Tegyük fel, hogy az egyik kísérletben véletlenszerűen kell kiválasztani egy személyt (jelöljük -nek ) az alanyok csoportjából, majd a valószínűségi változó fejezze ki az általunk kiválasztott személy növekedését. Ebben az esetben matematikai szempontból egy valószínűségi változót olyan függvényként értelmezünk, amely minden alanyt számmá alakít át - növekedése . Annak a valószínűségének kiszámításához, hogy egy személy magassága 180 cm és 190 cm közé esik, vagy annak valószínűsége, hogy magassága meghaladja a 150 cm-t, ismernie kell a valószínűségi eloszlást , amely a valószínűségek kiszámításával együtt lehetővé teszi a valószínűségek kiszámítását. véletlenszerű kísérletek bizonyos eredményeiről. $\omega$ $\xi$ $\xi$ $y=\xi (\omega )$ $\omega$ $y$ $\xi$ $\xi$

A legegyszerűbb általánosítások

Egy valószínűségi változó általánosságban elmondható, hogy bármilyen mérhető térben értéket vehet fel. Aztán gyakran véletlen vektornak vagy véletlen elemnek nevezik. Például,

A mérhető függvényt -dimenziós véletlen vektornak nevezzük (a Borel -algebrához képest ). $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $n$ $\sigma$ $\mathbb {R} ^{n}$
A mérhető függvényt -dimenziós komplex véletlen vektornak nevezzük (a megfelelő Borel -algebrához képest is ). $\xi \colon \Omega \to \mathbb {C} ^{n}$ $n$ $\sigma$
Azt a mérhető függvényt, amely egy valószínűségi teret valamilyen (véges) halmaz részhalmazainak terébe képez le, (véges) véletlenhalmaznak nevezzük.

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Prokhorov Yu. V. Véletlenszerű változó // Mathematical Encyclopedia / Szerk. Vinogradova I. M. - M .: Szovjet Enciklopédia, 1985.-V.5.- Pp. 9.- 623 p.
↑ Csernova, 2007 , p. 49-50.
↑ Véletlenszerű változó - cikk a Great Soviet Encyclopedia- ból .
↑ Katz M., Statisztikai függetlenség a valószínűségszámításban, elemzésben és számelméletben, ford. angolból, M., 1963.
↑ Chebisev P. L., Átlagos értékek, a könyvben: Teljes. Sobr. Soch., 2. v., M.-L., 1947
↑ Kolmogorov A. N., A valószínűségszámítás alapfogalmai, 2. kiadás, M., 1974
↑ V. Feller, Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba, ford. angolból, 2. kiadás, 1. kötet, M., 1967
↑ Chernova N. I. 6. fejezet. Véletlenszerű változók és eloszlásaik § 1. Véletlenszerű változók // Valószínűségszámítás . - Oktatóanyag. - Novoszibirszk: Novoszibirszki Állami Egyetem. un-t, 2007. - 160 p.
↑ Joseph P. Romano, Andrew F. Siegel. Ellenpéldák a valószínűségszámításban és a statisztikákban. - Belmont, California: Wadsworth, Inc., 1986. - 326 p. — ISBN 0534055680 .
↑ Shiryaev A.N. Valószínűség. — M:. : A tudomány. Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1989. - 640 p. — ISBN 5-02-013995-6 .
↑ 1 2 TSU oktatási portál . edu.tltsu.ru . Hozzáférés időpontja: 2020. június 26. (határozatlan)

Irodalom

Gnedenko B. V. Valószínűségelmélet tanfolyam. - 8. kiadás add hozzá. és helyes. - M. : Szerkesztői URSS, 2005. - 448 p. — ISBN 5-354-01091-8 .
Matematikai enciklopédikus szótár / Ch. szerk. Prokhorov Yu. V .. - 2. kiadás. - M . : "Szovjet Enciklopédia", 1998. - 847 p.
Tikhonov V.I., Kharisov V.N. Rádiótechnikai eszközök és rendszerek statisztikai elemzése és szintézise. — Tankönyv egyetemek számára. - M . : Rádió és kommunikáció, 1991. - 608 p. — ISBN 5-256-00789-0 .
Chernova N.I. Valószínűségelmélet . - Oktatóanyag. - Novoszibirszk: Novoszibirszki Állami Egyetem. un-t, 2007. - 160 p.

Linkek

Többváltozós valószínűségi változók