Szinguláris eloszlás

A szinguláris eloszlás (a mértékhez képest ) olyan valószínűségi eloszlás , amely egy halmazra összpontosul , hogy . Azonban gyakran használnak egy szűkebb definíciót, amely szerint egy térbeli eloszlást szingulárisnak neveznek , amely egy nulla Lebesgue -mérték halmazára koncentrálódik, és minden egypontos halmazhoz nulla valószínűséget rendel [1] . Fontos megjegyezni, hogy az általános definíció szerint minden diszkrét eloszlás szinguláris a Lebesgue-mértékhez képest, de egy adott definícióban a diszkrét eloszlások a szingulárisok halmazából származnak. $\mu$ $M$ $\mu (M)=0$ $\mathbb {R} ^{n}$

Egydimenziós tér esetén az is vitatható, hogy az eloszlás szinguláris, ha az eloszlásfüggvény növekedési pontjainak halmaza nulla mértékû.

Tulajdonságok

Egy szinguláris eloszlás nem lehet abszolút folytonos ( a Radon-Nikodim tétel szerint ).

Bármely valószínűségi eloszlás a következő összeggel ábrázolható: $F$

F=pF_{s}+qF_{ac}

ahol , , , az eloszlás szinguláris a mértékhez képest , és az eloszlás abszolút folytonos ugyanahhoz a mértékhez képest [2] . $\quad p\geqslant 0$ $q\geqslant 0$ $p+q=1$ ${\displaystyle F_{s))$ $\mu$ ${\displaystyle F_{ac))$

Példák

A szinguláris eloszlás legegyszerűbb példája egy Cantor-halmazra épülő eloszlás (eloszlási függvénye a Cantor-létra ).

Gyakorlati problémákban gyakoribb szinguláris eloszlás a véletlen irányok eloszlása egy kétdimenziós euklideszi térben [2] . A véletlenszerű irány a vektorhoz képest véletlenszerű szögben elforgatott egységvektornak felel meg . A véletlenszerű irány kiválasztása egyenértékű egy véletlenszerű pont kiválasztásával az egységkörön, amelynek viszont nulla területe van, ezért ez az eloszlás szinguláris. $(1,0)$

Jegyzetek

↑ Szinguláris eloszlás // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Fejezet. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1977-1985.
↑ 1 2 Feller V. Bevezetés a valószínűségelméletbe és alkalmazásaiba. - 2. kiadás - M . : Mir, 1964. - T. 2. - S. 177-179.