Parabola egyenlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. április 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A parabola egyenletek a parciális differenciálegyenletek egy osztálya . A nem stacionárius folyamatokat leíró egyenlettípusok egyike .

Definíció

Tekintsük egy másodrendű skaláris parciális differenciálegyenlet általános alakját a függvényre vonatkozóan : $u:R^{n}\jobbra nyíl R$

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_ {i}\partial x_{j}}}+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu= f(x_{1},\lpontok,x_{n})

Ebben az esetben az egyenletet szimmetrikus formában írjuk fel, azaz: . Ezután az ekvivalens egyenlet másodfokú alakban : $a_{{ij}}=a_{{ji}}$

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

ahol . A mátrixot főegyütthatók mátrixának nevezik . Ha a kapott forma aláírása , azaz a mátrixnak egy sajátértéke nullával egyenlő, és a sajátértékek előjele megegyezik, akkor az egyenletet parabolatípusnak nevezzük [1] . Egy másik, ekvivalens definíció: egy egyenletet parabolának nevezünk, ha a következőképpen ábrázolható: $A=A^{T}$
$A$
$(n-1,0)$ $A$ $n-1$

Lu+a{\frac {\partial u}{\partial t}}=f(x_{1},\ldots ,x_{{n-1}},t)

ahol: egy elliptikus operátor , . $L$ $a \neq 0$

Parabola egyenletek megoldása

Az egyedi megoldás megtalálásához az egyenletet a kezdeti és a peremfeltételekkel együtt kell figyelembe venni . Mivel az egyenlet időben elsőrendű, a kezdeti feltételt egy: a kívánt függvényre szabjuk.

Parabola egyenletek megoldására, beleértve az absztrakt parabola egyenleteket is, az operátor félcsoportok elméletének módszerei használhatók .
Parabola egyenletek analitikus megoldására egy végtelen tartományban ( a parabolaegyenlet Cauchy -feladata) egy speciális integrálképletet használnak [2] .
Parabola egyenletek véges tartományban történő analitikus megoldására a Fourier változós elválasztási módszer alkalmazható .
A parabolaegyenletek numerikus megoldásához a végeselem módszer , a véges differencia módszer , a véges térfogat módszer , valamint ezek kombinációi és egyéb, a megoldandó feladatra alkalmas numerikus módszerek használatosak.

A maximum elv

Az alak parabola egyenletéhez:

-a^{2}\Delta u+\partial _{t}u=0\ (x_{1},\ldots \,x_{{n-1}})\in \Omega

A megoldás a maximális értékét a tartomány határán vagy a tartomány határán veszi fel . $u(x_{1},\ldots ,x_{{n-1}},t)$ $t=0$ $\Omega$

Példák parabola egyenletekre

A konvekciós és diffúziós folyamatokat leíró egyenletek , beleértve a diffúziós egyenletet és annak speciális esetét - a hőegyenletet .
A folyadékok és gázok mozgását leíró Navier-Stokes egyenletrendszer parabola egyenletrendszer, divergens kényszerekkel.
Egyes közegtípusok esetében lehetőség nyílik parabola egyenletekre a vektorok vagy a Maxwell -egyenletek alapján . [3] $\mathbf {A}$ $\mathbf {E}$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Tikhonov A.N. , Szamarszkij A.A. Matematikai fizika egyenletek (5. kiadás) - Moszkva: Nauka, 1977.
↑ L.K. Martinson , Yu.I. Malov. A matematikai fizika differenciálegyenletei. - Moszkva: MSTU az N.E. Bauman, 2002. - 368 p. — ISBN 5-7038-1270-4 .
↑ Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Végeselem módszer skaláris és vektoros problémákra. - Novoszibirszk: NGTU, 2007. - 896 p. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák