Konvex szabályos sokszögek mozaikjai az euklideszi síkon

Példák periodikus mozaikokra

A hagyományos burkolólapoknak egyféle normál felülete van.	A félig szabályos vagy egységes csempéknek egy típusú csúcsa van, de két vagy több laptípusa van.
A k - homogén csempézésnek k csúcstípusa és két vagy több szabályos laptípusa van	Azok a csempék, amelyek nincsenek egymáshoz kötve , eltérő normál felületmérettel rendelkezhetnek.

Az euklideszi sík konvex szabályos sokszögekkel való burkolását ősidők óta széles körben alkalmazták. Az első szisztematikus előadást Kepler készítette Harmonices Mundi ( A világ harmóniája , latinul , 1619) című könyvében

Szabályos mozaikok

Grünbaum és Shepard szerint a burkolás szabályosnak mondható, ha a burkolólap szimmetriacsoportja tranzitív módon hat a burkolólap zászlóira , ahol a zászló egy hármas, amely a burkolat egymással szomszédos csúcsaiból , éleiből és lapjaiból áll. csempézés. Ez azt jelenti, hogy bármely jelzőpárhoz létezik egy szimmetriaművelet, amely leképezi az első zászlót a másodikra. Ez egyenértékű az élek közötti egybevágó szabályos sokszögek csempézésével. Minden csúcsban hat szabályos háromszögnek , négy négyzetnek vagy három szabályos hatszögnek kell lennie , amelyekből három szabályos csempét kapunk .

Normál mozaikok (3)

p6m, *632		p4m, *442

3 6 (t=1, e=1)	6 3 (t=1, e=1)	4 4 (t=1, e=1)

Arkhimédeszi, egységes vagy félig szabályos burkolatok

A csúcstranzitivitás azt jelenti, hogy bármely csúcspárra létezik egy szimmetria (a párhuzamos fordítás is benne van a szimmetriákban), amely az első csúcsot leképezi a másodikra [1] .

Ha a zászló tranzitivitási követelményét a csúcstranzitivitásra enyhítik, de a szélek közötti kapcsolat feltétele megmarad, akkor nyolc további csempészet létezik, amelyek archimédeszi , egységes vagy félszabályos néven ismertek . Vegye figyelembe, hogy két tükör (enantiomorf vagy királis ) 3 4 .6 (snub hexagonális) tesszelláció létezik, és mindkettőt az alábbi táblázat mutatja. Az összes többi szabályos és félig szabályos burkolóanyag akirális.

Homogén mozaikok (8)

p6m, *632
3,12 2 (t=2, e=2)	3.4.6.4 (t=3, e=2)	4.6.12 (t=3, e=3)	(3.6) 2 (t=2, e=1)
p4m, *442	p4,442	cm, 2*22	p6,632
4,8 2 (t=2, e=2)	3 2 .4.3.4 (t=2, e=2)	3 3 .4 2 (t=2, e=3)	Snub hatszögletű burkolólap (t=3, e=3)

Grünbaum és Shepard ezeket a csempéket archimédeszinek nevezi , a csempék csúcsok körüli elrendezése tulajdonságának lokális jelzéseként, hogy megkülönböztesse őket a homogénektől , amelyeknél a csúcstranzitivitás globális tulajdonság. Bár minden burkolólap rendelkezik ezzel a két tulajdonsággal a síkban, más terekben vannak olyan arkhimédeszi burkolólapok, amelyek nem homogének.

k -homogén burkolólapok

3-homogén burkolólap 57-es számmal a 61-ből

Mint izotoxál, sárga háromszögek, piros négyzetek	Mint 4-izoéder, 3 szín a háromszögekhez

Az ilyen időszakos burkolólapokat a csúcsok, élek és csempék pályáinak száma alapján lehet osztályozni . Ha vannak csúcspályák , a csempézés -egyenletesnek vagy -izogonálisnak (egyenszögletesnek) minősül. Ha a csempék keringenek, a burkolás -izoédernek mondható. Ha vannak élpályák , a burkolás -izotoxálisnak (éltranzitív) mondható. $k$ $k$ $k$ $t$ $t$ $e$ $e$

Az azonos csúcsalakú k -uniform burkolólapok tapétacsoport szimmetriájuk alapján tovább azonosíthatók .

Az 1-homogén burkolólapok közé tartozik 3 szabályos burkolólap és 8 félig szabályos burkolólap 2 vagy több fajta szabályos sokszögű lappal. 20 db 2-es, 61 db 3 db, 151 db 4 db egyforma, 332 db 5 db egyforma és 673 db 6 db 6 db. Minden burkolóanyag csoportosítható m számú különböző figurával, amelyeket m archimédeszi burkolólapoknak nevezünk [2]

K-homogén m-Archimédeszi burkolólapok száma

	m
k		egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9	Teljes
	egy	tizenegy	0	0	0	0	0	0	0	0	tizenegy
	2	0	húsz	0	0	0	0	0	0	0	húsz
	3	0	22	39	0	0	0	0	0	0	61
	négy	0	33	85	33	0	0	0	0	0	151
	5	0	74	149	94	tizenöt	0	0	0	0	332
	6	0	100	284	187	92	tíz	0	0	0	673
	7	?	?	?	?	?	?	7	0	0	?
	nyolc	?	?	?	?	?	?	húsz	0	0	?
	9	?	?	?	?	?	?	?	nyolc	0	?
	tíz	?	?	?	?	?	?	?	27	0	?
	tizenegy	?	?	?	?	?	?	?	?	egy	?

Más típusú csúcsok az euklideszi sík csempékben

Éltől élig tartó euklideszi burkolólapoknál a sokszögek belső szögeinek 360°-nak kell lennie. A szabályos -gonnak belső szöge van . Tizenhét olyan szabályos sokszög kombinációja létezik, amelyek belső szögeinek összege 360°, és mindegyiket csúcsnézetnek nevezzük . Négy esetben a sokszögeknek két különböző ciklikus rendje van, amelyek huszonegy féle csúcsot adnak. $n$ $\left(1-{\frac {2}{n}}\right)180^{\circ }$

Ezek közül csak tizenegy jelenhet meg az előző részekben megadott szabályos sokszögek egységes burkolatában.

Különösen, ha három sokszög találkozik egy csúcsban, és az egyiknek páratlan oldala van, akkor a másik két sokszögnek azonosnak kell lennie. Ellenkező esetben felváltva kell körülvenniük az első sokszöget, ami lehetetlen az oldalak páratlan oldala esetén. Ezeknek a korlátozásoknak megfelelően a következő hat lehetőség nem jelenhet meg egyetlen szabályos sokszög csempékben sem:

3 sokszög a csúcsokban (nem használt)

3 . 7 . 42	3.8 . _ 24	3.9 _ _ tizennyolc	3.10 . _ tizenöt	4.5 . húsz	5.5.10

Ez a négy használható k - homogén burkolólapoknál:

Csúcsonként 4 sokszög (más típusú csúcsokkal együtt jelen lehet)

Érvényes csúcstípusok _	3 2 .4.12	3.4.3.12	3 2 .6 2	3,4 2,6 _
Példák 2-homogén burkolásra	36 -tól	3.12.12-től	a (3.6) 2 -vel	a (3.6) 2 -vel

Szeletelt szabályos sokszögek

A k - homogén burkolólapok egy része a burkolólap csempéjének belső élekkel történő szimmetrikus levágásával érhető el, pl.

Vágjon olyan sokszögeket, amelyek élei
megegyeznek az eredeti sokszög éleivel

Hatszög	Tizenkét szög

Néhány k-homogén sokszög előállítható úgy, hogy szabályos sokszögeket vágunk ki új csúcsokkal az eredeti éleken, például:

Vágás élenként 1 vagy 2 csúcsból

háromszög			négyzet		hatszög

2-homogén burkolólapok

Az euklideszi síkban húsz 2-homogén burkolólap található (más néven 2 - izogonális vagy félszabályos csempék ) [3] [4] [5] .

2-homogén burkolólapok (20)

p6m, *632						p4m, *442
[3 6 ; 3 2 .4.3.4] (t=3, e=3)	[3.4.6.4; 3 2 .4.3.4] (t=4, e=4)	[3.4.6.4; 3 3 .4 2 ] (t=4, e=4)	[3.4.6.4; 3,4 x 2,6 ] (t=5, e=5)	[4.6.12; 3.4.6.4] (t=4, e=4)	[3 6 ; 3 2 .4.12] (t=4, e=4)	[3.12.12; 3.4.3.12] (t=3, e=3)
p6m, *632	p6,632	p6,632	cm, 2*22	pmm, *2222	cm, 2*22	pmm, *2222
[3 6 ; 3 2 .6 2 ] (t=2, e=3)	[3 6 ; 3 4 .6] 1 (t=3, e=3)	[3 6 ; 3 4 .6] 2 (t=5, e=7)	[3 2 , 6 2 ; 3 4 .6] (t=2, e=4)	[3.6.3.6; 3 2 .6 2 ] (t=2, e=3)	[3,4 2,6 ; 3.6.3.6] 2 (t=3, e=4)	[3,4 2,6 ; 3.6.3.6] 1 (t=4, e=4)
p4g, 4*2	pgg, 2×	cm, 2*22	cm, 2*22	pmm, *2222	cm, 2*22
[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 1 (t=4, e=5)	[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 2 (t=3, e=6)	[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 1 (t=2, e=4)	[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 2 (t=3, e=5)	[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 1 (t=3, e=4)	[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 2 (t=4, e=5)

3-homogén burkolólapok

Az euklideszi síknak 61 darab 3-egyenletes burkolata van. A 39 3-archimedesi 3 különböző típusú csúcstal, a 22-nek pedig 2 azonos típusú csúcsa van különböző szimmetriapályákon [6] .

3-homogén burkolólapok, 3 féle csúcs 3-homogén burkolólapok 3 csúcstípussal (39)

[3,4 2 6; 3.6.3.6; 4.6.12] (t=6, e=7)	[3 6 ; 3 2 4,12; 4.6.12] (t=5, e=6)	[3 2 4,12; 3.4.6.4; 3,12 2 ] (t=5, e=6)	[3.4.3.12; 3.4.6.4; 3,12 2 ] (t=5, e=6)	[3 3 4 2 ; 3 2 4,12; 3.4.6.4] (t=6, e=8)
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 x 2 4,12] (t=6, e=7)	[3 6 ; 3 2 4.3.4; 3 x 2 4,12] (t=5, e=6)	[3 4 6; 3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4] (t=5, e=6)	[3 6 ; 3 2 4.3.4; 3,4 2 6] (t=5, e=6)	[3 6 ; 3 2 4.3.4; 3.4.6.4] (t=5, e=6)
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3.4.6.4] (t=6, e=6)	[3 6 ; 3 2 4.3.4; 3.4.6.4] (t=6, e=6)	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4] (t=4, e=5)	[3 2 4,12; 3.4.3.12; 3,12 2 ] (t=4, e=7)	[3.4.6.4; 3,4 2 6; 4 4 ] (t=3, e=4)
[3 2 4.3.4; 3.4.6.4; 3,4 2 6] (t=4, e=6)	[3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4; 4 4 ] (t=4, e=6)	[3,4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (t=5, e=7)	[3,4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (t=6, e=7)	[3,4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (t=4, e=5)
[3,4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (t=5, e=6)	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3,4 2 6] (t=5, e=8)	[3 2 6 2 ; 3,4 2 6; 3.6.3.6] (t=4, e=7)	[3 2 6 2 ; 3,4 2 6; 3.6.3.6] (t=5, e=7)	[3 4 6; 3 3 4 2 ; 3,4 2 6] (t=5, e=7)
[3 2 6 2 ; 3.6.3.6; 6 3 ] (t=4, e=5)	[3 2 6 2 ; 3.6.3.6; 6 3 ] (t=2, e=4)	[3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] (t=2, e=5)	[3 6 ; 3 2 6 2 ; 6 3 ] (t=2, e=3)	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] (t=5, e=8)
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] (t=3, e=5)	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] (t=3, e=6)	[3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6] (t=5, e=6)	[3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6] (t=4, e=4)	[3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6] (t=3, e=3)
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (t=4, e=6)	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (t=5, e=7)	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (t=3, e=5)	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (t=4, e=6)

3 egységes csempézés, 2 féle csúcs (2:1) 3 egységes csempe (2:1) (22)

[(3.4.6.4)2; 3,4 2 6] (t=6, e=6)	[(3 6 )2; 3 4 6] (t=3, e=4)	[(3 6 )2; 3 4 6] (t=5, e=5)	[(3 6 )2; 3 4 6] (t=7, e=9)	[3 6 ; (3 4 6) 2] (t=4, e=6)
[3 6 ; (3 2 4.3.4)2] (t=4, e=5)	[(3,4 2 6)2; 3.6.3.6] (t=6, e=8)	[3,4 2 6; (3.6.3.6)2] (t=4, e=6)	[3,4 2 6; (3.6.3.6)2] (t=5, e=6)	[3 2 6 2 ; (3.6.3.6)2] (t=3, e=5)
[(3 4 6)2; 3.6.3.6] (t=4, e=7)	[(3 4 6)2; 3.6.3.6] (t=4, e=7)	[3 3 4 2 ; (4 4 )2] (t=4, e=7)	[(3 3 4 2 )2; 4 4 ] (t=5, e=7)	[3 3 4 2 ; (4 4 )2] (t=3, e=6)
[(3 3 4 2 )2; 4 4 ] (t=4, e=6)	[(3 3 4 2 )2; 3 2 4.3.4] (t=5, e=8)	[3 3 4 2 ; (3 2 4.3.4)2] (t=6, e=9)	[3 6 ; (3 3 4 2 )2] (t=5, e=7)	[3 6 ; (3 3 4 2 )2] (t=4, e=6)
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ] (t=6, e=7)	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ] (t=5, e=6)

4-homogén burkolólapok

Az euklideszi síkon 151 4-egyenletes burkolat található. Brian Galebach kutatása reprodukálta Krotenheerdt 33 4-egyenletes burkolólapját 4 különböző csúcstípussal, 85 burkolólappal 3 csúcstípussal és 33 burkolólappal 2 csúcstípussal.

4-homogén burkolólapok, 4 féle csúcs

34 csempe van, 4 féle csúcstal.

4 homogén burkolólapok 4 csúcstípussal (33)

[33434; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 46.12]	[33434; 3 2 6 2 ; 3446; 46.12]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 334.12]	[3 6 ; 33434; 334,12; 3.12 2 ]
[3 6 ; 33434; 343,12; 3.12 2 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 3464]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 3464]	[3 6 ; 33434; 3464; 3446]	[3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ]
[3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ]	[334,12; 343,12; 3464; 46.12]	[3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 3.12 2 ]	[3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 4 4 ]	[3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 3.12 2 ]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 4 4 ]	[33434; 3 2 6 2 ; 3464; 3446]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446]	[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]
[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]

4-homogén burkolatok, 3 féle csúcs (2:1:1)

85 mozaik van 3 féle csúcstal.

4 egységes csempe (3:1)

[3464; (3446)2; 46.12]	[3464; 3446; (46.12)2]	[334,12; 3464; (3,12 2 )2]	[343,12; 3464; (3,12 2 )2]	[33434; 343,12; (3464)2]
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 334.12]	[(3464)2; 3446; 3636]	[3464; 3446; (3636)2]	[3464; (3446)2; 3636]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 33434]
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 33434]	[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]	[3 6 ; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]
[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ]	[3 6 ; (3 2 6 2 )2; 3636]	[(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
[(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636)2]	[3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636)2]	[3 3 4 2 ; 33434; (3464)2]	[3 6 ; 33434; (3464)2]
[3 6 ; (33434)2; 3464]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 3464]	[(3464)2; 3446; 3636]	[3 4 6; (33434)2; 3446]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434)2]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434)2]	[(3 3 4 2 )2; 33434; 4 4 ]	[(3 3 4 2 )2; 33434; 4 4 ]	[3464; (3446)2; 4 4 ]	[33434; (334,12)2; 343,12]
[3 6 ; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]	[3 6 ; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ]
[(3 6 )2; 3 4 6; 3636]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]	[(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636]	[(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; (3636)2]	[3 2 6 2 ; (3636)2; 6 3 ]	[3 2 6 2 ; (3636)2; 6 3 ]	[(3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]	[3 2 6 2 ; 3636; (6 3 )2]
[3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3636]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3636]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; (3446)2]	[3446; 3636; (4 4 )2]	[3446; 3636; (4 4 )2]	[3446; 3636; (4 4 )2]
[3446; 3636; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; 4 4 ]	[(3446)2; 3636; 4 4 ]	[(3446)2; 3636; 4 4 ]	[(3446)2; 3636; 4 4 ]
[(3446)2; 3636; 4 4 ]	[(3446)2; 3636; 4 4 ]	[(3446)2; 3636; 4 4 ]	[(3446)2; 3636; 4 4 ]	[3446; (3636)2; 4 4 ]
[3446; (3636)2; 4 4 ]	[3446; (3636)2; 4 4 ]	[3446; (3636)2; 4 4 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 4 4 ]

4-homogén burkolatok, 2 féle csúcs (2:2) és (3:1)

33 burkolólap létezik 2 csúcstípussal, 12 2:2-es és 21-es (3:1-es).

4 egységes csempe (2:2)

[(3464)2; (46.12)2]	[(33434)2; (3464)2]	[(33434)2; (3464)2]	[(3 4 6)2; (3636)2]	[(3 6 )2; (3 4 6) 2]
[(3 3 4 2 )2; (33434)2]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 )2]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 )2]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 )2]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2]
[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2]

4 egységes csempe (3:1)

[343,12; (3,12 2 )3]	[(3 4 6)3; 3636]	[3 6 ; (3 4 6) 3]	[(3 6 )3; 3 4 6]	[(3 6 )3; 3 4 6]
[(3 3 4 2 )3; 33434]	[3 3 4 2 ; (33434)3]	[3446; (3636)3]	[3446; (3636)3]	[3 2 6 2 ; (3636)3]
[3 2 6 2 ; (3636)3]	[3 3 4 2 ; (4 4 ) 3]	[3 3 4 2 ; (4 4 ) 3]	[(3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[(3 3 4 2 )3; 4 4 ]
[(3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3]	[(3 6 )3; 3 3 4 2 ]
[(3 6 )3; 3 3 4 2 ]

5-homogén burkolólapok

Az euklideszi síkban 332 5-homogén burkolólap található. Brian Galebach kutatása 332 5-homogén burkolólapot eredményezett 2-5 csúcstípussal: 74 csempe 2 csúcstípussal, 149 burkolólap 3 csúcstípussal, 94 csempe 4 csúcstípussal és 15 cserépburkolat 5 csúcstípussal.

5-homogén burkolólapok, 5 féle csúcs

15 db 5-homogén burkolat létezik, 5 féle csúcsfigurával.

5-homogén mozaik, 5 féle

[33434; 3 2 6 2 ; 3464; 3446; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; 46.12]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; 33434; 3446; 4 4 ]	[3 6 ; 33434; 3464; 3446; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; 3464; 3446; 3636]	[33434; 334,12; 3464; 3.12.12; 46.12]	[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; 4 4 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446]

5 egységes csempézés, 4 féle csúcs (2:1:1:1)

94 db 5-homogén burkolólap létezik 4 féle csúcsponttal.

5 egységes burkolat (2:1:1:1)

[3 6 ; 33434; (3446)2; 46.12]	[3 6 ; 33434; 3446; (46.12)2]	[3 6 ; 33434; 3464; (46.12)2]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (334,12)2; 3464]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 334,12; 3464]
[3 6 ; 33434; (334,12)2; 3464]	[3 6 ; 33434; 334,12; (3.12.12)2]	[3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 )2; 334.12]	[3 6 ; 33434; 343,12; (3.12.12)2]	[(3 3 4 2 )2; 334,12; 343,12; 3.12.12.]
[(3 3 4 2 )2; 334,12; 343,12; 3.12.12.]	[(3 3 4 2 )2; 334,12; 343,12; 4 4 ]	[33434; 3 2 6 2 ; (3446)2; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 33434; 4 4 ]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 33434; 4 4 ]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (3464)2; 3446]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3464; (3446)2]	[33434; 3 2 6 2 ; 3464; (3446)2]	[3 6 ; 33434; (3446)2; 3636]	[3 3 4 2 ; 33434; 3464; (3446)2]
[3 6 ; 33434; (3 2 6 2 )2; 3446]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; (3464)2; 3446]	[33434; 3 2 6 2 ; (3464)2; 3446]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; (3464)2; 3446]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 33434; 3464]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 33434; 3464]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434)2; 3464]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 33434; 3464]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434)2; 3464]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 33434; 334.12]
[3 6 ; 33434; (334,12)2; 343,12]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 33434]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]	[3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636)2]	[3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636]
[3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]
[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]	[(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]
[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]	[3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; (6 3 )2]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (6 3 )2]
[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (6 3 )2]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 ) 2]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 ) 2]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ]
[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (4 4 )2]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; (4 4 )2]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 ) 2]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 ) 2]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ]
[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (4 4 )2]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; (4 4 )2]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3636; 4 4 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (3446)2; 3636]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3446; 3636]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (3446)2; 3636]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3446; 3636]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 3446; 3636]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; (3636)2]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; (3446)2; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 6 ; (3 4 6)2; 3 3 4 2 ; 3446]	[3 6 ; (3 4 6)2; 3 3 4 2 ; 3446]
[3 6 ; (3 4 6)2; 3 3 4 2 ; 3446]	[3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3 2 6 2 ]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3636]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3636]

5 egységes burkolat, 3 féle csúcs (3:1:1) és (2:2:1)

149 darab 5-egységes burkolólap létezik háromféle csúcsokkal, amelyek közül 60-nak 3:1:1 arányú, 89-nek 2:2:1-es a csúcstípusa.

5 egységes burkolat (3:1:1)

[3 6 ; 334,12; (46.12)3]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 3464]	[(3 3 4 2 )2; 334,12; (3464)2]	[3 6 ; (33434)2; (3464)2]	[3 3 4 2 ; (33434)2; (3464)2]
[3 3 4 2 ; (33434)2; (3464)2]	[3 3 4 2 ; (33434)2; (3464)2]	[(33434)2; 343,12; (3464)2]	[3464; 3446; (46.12)3]	[3 6 ; (334,12)3; 46.12]
[334,12; 343,12; (3.12.12)3]	[3 6 ; (33434)3; 343,12]
[3 2 6 2 ; 3636; (6 3 ) 3]	[3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 3]	[3 6 ; (3 2 6 2 )3; 6 3 ]	[3 6 ; (3 2 6 2 )3; 6 3 ]	[3 2 6 2 ; (3636)3; 6 3 ]
[3446; 3636; (4 4 ) 3]	[3446; 3636; (4 4 ) 3]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 3]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 3]	[3446; (3636)3; 4 4 ]
[3446; (3636)3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[(3 6 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ]
[(3 6 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[3446; 3636; (4 4 ) 3]	[3446; 3636; (4 4 ) 3]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 3]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 3]
[(3 3 4 2 )3; 3 2 6 2 ; 3446]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)3]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)3]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)3]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)3]
[3446; (3636)3; 4 4 ]	[3446; (3636)3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]
[(3 6 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[(3 6 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]
[(3 3 4 2 )3; 3446; 3636]	[(3 3 4 2 )3; 3446; 3636]	[3 4 6; (3 3 4 2 )3; 3446]	[(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]	[(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]
[(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]	[3 4 6; (3 2 6 2 )3; 3636]	[3 4 6; (3 2 6 2 )3; 3636]	[(3 4 6)3; 3 2 6 2 ; 3636]	[(3 4 6)3; 3 2 6 2 ; 3636]
[(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]	[(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]	[(3 4 6)3; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; (3636)3]	[3 6 ; 3 4 6; (3636)3]
[3 6 ; 3 4 6; (3636)3]	[3 6 ; 3 4 6; (3636)3]	[(3 6 )3; 3 4 6; 3636]	[(3 6 )3; 3 4 6; 3636]	[3 6 ; (3 4 6)3; 3636]

5 egységes burkolat (2:2:1)

[(3446)2; (3636)2; 46.12]	[3 6 ; (3 2 6 2 )2; (6 3 )2]	[(3 2 6 2 )2; (3636)2; 6 3 ]	[(3 4 6)2; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]	[3 6 ; (3 2 6 2 )2; (6 3 )2]
[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 33434]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; (33434)2]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2]
[(3 2 6 2 )2; 3636; (6 3 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 ) 2]	[(3446)2; 3636; (4 4 ) 2]	[3446; (3636)2; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 ) 2]
[(3446)2; 3636; (4 4 ) 2]	[3446; (3636)2; (4 4 )2]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 ) 2]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2]
[(3446)2; 3636; (4 4 ) 2]	[(3446)2; 3636; (4 4 ) 2]	[(3446)2; 3636; (4 4 ) 2]	[(3446)2; 3636; (4 4 ) 2]	[(3446)2; 3636; (4 4 ) 2]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 ) 2]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[(3446)2; 3636; (4 4 ) 2]	[(3446)2; 3636; (4 4 ) 2]	[3446; (3636)2; (4 4 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 ) 2]	[(3446)2; 3636; (4 4 ) 2]	[3446; (3636)2; (4 4 )2]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 ) 2]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2]
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 ) 2]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 ) 2]	[(3446)2; 3636; (4 4 ) 2]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]
[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[(33434)2; 3 2 6 2 ; (3446)2]	[3 3 4 2 ; (3 2 6 2 )2; (3446)2]
[3 3 4 2 ; (3 2 6 2 )2; (3446)2]	[3 2 6 2 ; (3446)2; (3636)2]	[(3 2 6 2 )2; 3446; (3636)2]	[(3 2 6 2 )2; 3446; (3636)2]	[(3464)2; (3446)2; 3636]
[3 2 6 2 ; (3446)2; (3636)2]	[3 2 6 2 ; (3446)2; (3636)2]	[(3 4 6)2; (3446)2; 3636]	[(3 4 6)2; (3446)2; 3636]	[(3 4 6)2; (3446)2; 3636]
[(3 4 6)2; (3446)2; 3636]	[(3 3 4 2 )2; (3446)2; 3636]	[(3 3 4 2 )2; (3446)2; 3636]	[(3 4 6)2; (3 3 4 2 )2; 3446]	[(3 4 6)2; 3 3 4 2 ; (3446)2]
[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ]	[3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2]	[(3 6 )2; 3 4 6; (3 2 6 2 )2]
[3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; (3636)2]	[(3 4 6)2; (3 2 6 2 )2; 3636]	[3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2]	[(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; (3636)2]
[(3 4 6)2; (3 2 6 2 )2; 3636]	[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ]	[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ]	[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3636]	[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3636]
[3 6 ; (3 4 6)2; (3 3 4 2 )2]	[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ]	[3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2]	[3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; (3636)2]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; (3636)2]	[(3 6 )2; 3 4 6; (3636)2]	[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3636]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2]

5-homogén burkolatok, 2 féle csúcs (4:1) és (3:2)

Mindegyik csúcstípusból 74 darab 5-egyenletes burkolólap létezik 2 csúcstípussal, 27 4:1 arányú és 47 3:2 arányú csempe.

5 egységes burkolat (4:1)

[(3464)4; 46.12]	[343,12; (3.12.12)4]	[3 6 ; (33434)4]	[3 6 ; (33434)4]	[(3 6 )4; 3 4 6]
[(3 6 )4; 3 4 6]	[(3 6 )4; 3 4 6]	[3 6 ; (3 4 6) 4]	[3 2 6 2 ; (3636)4]	[(3 4 6)4; 3 2 6 2 ]
[(3 4 6)4; 3 2 6 2 ]	[(3 4 6)4; 3636]	[3 2 6 2 ; (3636)4]	[3446; (3636)4]	[3446; (3636)4]
[(3 3 4 2 )4; 33434]	[3 3 4 2 ; (33434)4]
[3 3 4 2 ; (4 4 ) 4]	[3 3 4 2 ; (4 4 ) 4]	[(3 3 4 2 )4; 4 4 ]	[(3 3 4 2 )4; 4 4 ]	[(3 3 4 2 )4; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 )4]	[3 6 ; (3 3 4 2 )4]	[3 6 ; (3 3 4 2 )4]	[(3 6 )4; 3 3 4 2 ]	[(3 6 )4; 3 3 4 2 ]

29 db 5-homogén burkolólap létezik, amelyek csúcsaránya 3:2.

5 egységes burkolat (3:2)

[(3464)2; (46.12)3]	[(3464)2; (46.12)3]	[(3464)3; (3446)2]	[(33434)2; (3464)3]	[(33434)3; (3464)2]
[(3 6 )2; (3 4 6) 3]	[(3 6 )2; (3 4 6) 3]	[(3 6 )3; (3 4 6) 2]	[(3 6 )3; (3 4 6) 2]	[(3 6 )3; (3 4 6) 2]
[(3 6 )3; (3 4 6) 2]	[(3 6 )2; (3 4 6) 3]	[(3 6 )2; (3 4 6) 3]	[(3 6 )2; (3 4 6) 3]
[(3 2 6 2 )2; (3636)3]	[(3 4 6)3; (3636)2]	[(3 4 6)3; (3636)2]	[(3 4 6)2; (3636)3]
[(3446)3; (3636)2]	[(3446)2; (3636)3]	[(3446)3; (3636)2]	[(3446)2; (3636)3]	[(3446)2; (3636)3]
[(3 3 4 2 )3; (33434)2]	[(3 3 4 2 )3; (33434)2]	[(3 3 4 2 )2; (33434)3]	[(3 3 4 2 )2; (33434)3]
[(3 3 4 2 )2; (4 4 ) 3]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 ) 3]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 ) 3]	[(3 3 4 2 )3; (4 4 )2]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 ) 3]
[(3 3 4 2 )3; (4 4 )2]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 ) 3]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 ) 3]	[(3 3 4 2 )3; (4 4 )2]	[(3 3 4 2 )3; (4 4 )2]
[(3 6 )2; (3 3 4 2 )3]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )3]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )3]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )3]	[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]
[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]	[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]	[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]	[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]	[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]

k-uniform magasabb rendű csempék

A k -uniform burkolólapok 6-ig vannak felsorolva. Az euklideszi síkban 673 darab 6-uniform burkoló található. Brian Galebach kutatása reprodukálta Krotenhirdt 10 6-homogén burkolólapját 6 különböző csúcstípussal, 92-t 5 csúcstípussal, 187-et 4 csúcstípussal, 284-et 3 csúcstípussal és 100-at 2 csúcstípussal.

A csempék mozaikjai, amelyek nincsenek éltől élig összekapcsolva

A konvex szabályos sokszögek sík csempéket képezhetnek, ha a sokszögek nincsenek éltől élig összekötve. Az ilyen burkolólapokat éltől szélig járó burkolólapoknak tekinthetjük, de a sokszögek szabálytalanok lesznek, és élük ugyanazon a vonalon fekszik.

Hét olyan család létezik, amelyek paraméterei meghatározzák a szomszédos csempék éleinek átfedési arányát vagy a különböző lapok éleinek hosszának arányát. Ezt a két családot négyzetek eltolódása alkotja, állandó vagy cikkcakkos. Grünbaum és Shepard ezeket a burkolásokat homogénnek nevezi , bár ez ellentmond Coxeter homogenitás-definíciójának, amely élek közötti kapcsolatot igényel [7] . Az ilyen egyenszögű burkolólapok valójában topológiailag azonosak a különböző geometriai arányú egységes burkolólapokkal.

Konvex szabályos sokszögek periódusos izogonális burkolásai
, amelyek nem kapcsolódnak éltől élig

egy	2	3	négy	5	6	7
Négyszögek sorai vízszintes eltolással		Háromszögek sorai vízszintes eltolással	Mozaik négyzetekből	Minden háromszöget körülvevő három hatszög	Hat háromszög vesz körül minden hatszöget	Háromszög három méretben
cmm (2*22)	p2 (2222)	cmm (2*22)	p4m (*442)	p6 (632)		p3 (333)
Hatszögletű mozaik		Négyzet alakú csempe (degenerált)	Csonka négyzet parketta	Csonka hatszögletű parketta	Hatszögletű mozaik	Háromszögletű mozaik

Lásd még

Egységes burkolások a hiperbolikus síkon
A konvex egyenletes burkolások listája
Wythoff szimbólum
csempézés
Háttérkép csoport
Plátói szilárdtestek
Félig szabályos poliéder (beleértve az arkhimédeszi szilárdtesteket is )
Lobacsevszkij geometriája
Penrose mozaik
Tesseláció téglalapokkal

Jegyzetek

↑ Critchlow, 2000 , p. 60-61.
↑ k-uniform csempézés szabályos sokszögek szerint Archiválva : 2015. június 30. Nils Lengren, 2009
↑ Critchlow, 2000 , p. 62-67.
↑ Grünbaum és Shephard 1990 , p. 65-67.
↑ In Search of Demiregular Tiings (downlink) . Hozzáférés időpontja: 2016. január 16. Az eredetiből archiválva : 2016. május 7. (határozatlan)
↑ Chavey, 1989 .
↑ Burkolatok szabályos sokszögek szerint Archiválva : 2016. március 3., a Wayback Machine 236. o.

Grünbaum, Branko , G. C. Shephard Burkolatok és minták. - W. H. Freeman and Company, 1990. - ISBN 0-7167-1193-1 .
Branko Grünbaum, Geoffrey C. Shephard. Burkolatok szabályos sokszögekkel // Math. Mag.. - 1977. - T. 50 . – S. 227–247 . - doi : 10.2307/2689529 .
Branko Grünbaum, GC Shephard. Az izogonális burkolólapok kilencvenegy típusa a síkban // Transz. Am. matematika. Szoc.. - 1978. - T. 252 . – S. 335–353 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1978-0496813-3 .
I. Debroey, F. Landuyt. Equitranzitív, éltől szélig terjedő csempék // Geometriae Dedicata. - 1981. - T. 11 , sz. 1 . – 47–60 . - doi : 10.1007/BF00183189 .
Ding Ren, John R. Reay. A határkarakterisztika és a Pick-tétel az arkhimédeszi síkburkolatokban // J. Combinat. Elmélet A. - 1987. - T. 44 , sz. 1 . – S. 110–119 . - doi : 10.1016/0097-3165(87)90063-X .
D. Chavey. Burkolatok szabályos sokszögekkel – II: Burkolatok katalógusa // Számítógépek és matematika alkalmazásokkal. - 1989. - T. 17 . – S. 147–165 . - doi : 10.1016/0898-1221(89)90156-9 .
Keith Critchlow. Rendelés az űrben: tervezési forráskönyv. - New York,: Thames & Hudson, 2000. - ISBN 0-500-34033-1 . Reprint 1969 London ISBN=9-780-500-34033-2
Duncan MacLaren Young Sommerville. Bevezetés az n méret geometriájába. - Dover Publications, 1958. X. fejezet: A szabályos politópok
P. = Prea. Távolsági szekvenciák és perkolációs küszöbök az arkhimédeszi csempékben // Mathl. Comput. Modellezés. - 1997. - T. 26 . – S. 317–320 . - doi : 10.1016/S0895-7177(97)00216-1 .
Jurij Kovic. Platoni és arkhimédeszi testek szimmetria típusú gráfjai // Math. Kommun.. - 2011. - V. 16 , sz. 2 . – S. 491–507 .
Daniel Pellicer, Gordon Williams. Az arkhimédeszi csempék minimális borítói // El. J. Combinat. - 2012. - T. 19 , sz. 3 . — C. P6 .
Dale Seymour, Jill Britton. Bevezetés a Tessellationsbe . - Palo Alto: Dale Seymour Publications, 1989. - P. 50-57 . — ISBN 978-0866514613 .

Linkek

Euklideszi és általános csempézési linkek:

holland, Steve. Egységes burkolólapok (nem elérhető link) . Letöltve: 2006. szeptember 9. Az eredetiből archiválva : 2006. szeptember 9.. (határozatlan)
Mitchell, K. Félig rendszeres burkolólapok . Letöltve: 2006. szeptember 9. (határozatlan)
Weisstein, Eric W. Tessellation (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Weisstein, Eric W. Semiregular tessellation (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
- Weisstein, Eric W. Demiregular tessellation (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .

geometrikus mozaikok

Időszakos

püthagoraszi
Rombikus
Schwartz háromszög
Téglalap alakú
- Dominó
Ötszögű
Homogén mozaik
Honeycombs
- Színezés
- Konvex
- Osztott mozaik
Lapos krisztallográfiai csoport
Wythoff építkezés

időszakos

Ammann-Binker
Időszakos mozaiklapkészlet
- Lista
Egy csempe kihívás
- Sokolara – Taylor
Gilbert
Penrose
szélkerék
kupolás
Elválasztó és önragasztó készletek
- Szfinksz
Truche

Egyéb

Nem izoéder és izoéder
Építészeti és fényvisszaverő
Circle Limit III
Számítógépes grafika
lépek
Edge tranzitív
Csomag
Feladatok
Mozaik csempe
- Conway kritériuma
- Girih
A gép szabályos felosztása
Szabályos rács
Helyettesítések
Voronoi diagram
Foderberg

Csúcskonfiguráció szerint _

Gömbölyű	2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _
helyes	2∞ _ 3 6 4 4 6 3
félig helyes	3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4,8 2
Hiperbolikus _	3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3,4,6 2,4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3,16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4.14 2 4.16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5.8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6,8 2 6.10 2 6.12 2 6.16 2 7 3 74 _ 7 7 7,6 2 7,8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8.6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2