QR-bontás

$QR$ -mátrix dekompozíciója - egy mátrix reprezentációja egy unitárius ( vagy ortogonális mátrix ) és egy felső háromszögmátrix szorzataként . A QR-felbontás az egyik sajátvektorok és mátrixszámok megtalálási módszerének – a QR-algoritmusnak az alapja [1] .

Definíció

A méretmátrix , ahol , összetett elemekkel ábrázolható $A$ $n \szer m$ $n\geqslant m$

A=QR,

ahol egy méretű mátrix ortonormális oszlopokkal és egy felső háromszög méretű mátrix . Mert a mátrix egységes . Ha ráadásul nem degenerált , akkor a -dekompozíció egyedi, és a mátrix úgy is megválasztható, hogy az átlós elemei pozitív valós számok legyenek. Egy adott esetben, amikor a mátrix valós számokból áll , a mátrixok és valósnak is választhatók, ráadásul ortogonális [ 2] . $K$ $n \szer m$ $R$ $m \szer m$ $n=m$ $K$ $A$ $QR$ $R$ $A$ $K$ $R$ $K$

Analógia alapján, ha egy méretű mátrix , ahol , akkor felbontható így $A$ $n \szer m$ $n\leqslant m$

A=LP,

ahol a sorrendi mátrix alsó háromszög alakú és a méretmátrix ortonormális sorokat tartalmaz [1] . $L$ $n$ $P$ $n \szer m$

Algoritmusok

$QR$ -a lebontást különféle módszerekkel lehet elérni. Legkönnyebben a Gram-Schmidt-eljárás melléktermékeként számítható ki [2] . A gyakorlatban a módosított Gram-Schmidt algoritmust érdemes használni , mivel a klasszikus algoritmus numerikus stabilitása gyenge [3] .

A -kiterjesztés kiszámításának alternatív algoritmusai a Householder-reflexiókon és a Givens-forgatásokon alapulnak [4] . $QR$

Példa a QR-felbontásra

Tekintsük a mátrixot :

${\mathsf {\mathrm {A} }}=$ ${\begin{pmatrix}1&2&4\\3&3&2\\4&1&3\end{pmatrix}}$

Jelölje az adott mátrix oszlopvektoraival. A következő vektorhalmazt kapjuk: $a_{1},a_{2},a_{3}$ ${\mathsf {\mathrm {A} )).$

$a_{1}={\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix)),$ $a_{2}={\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix)),$ $a_{3}={\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}}$

Ezután alkalmazzuk a Gram-Schmidt ortogonalizációs algoritmust , és normalizáljuk a kapott vektorokat, a következő halmazt kapjuk:

$e_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {26}}{26}}\\{\frac {3{\sqrt {26}}}{26}}\\{ \frac {4{\sqrt {26}}}{26}}\end{pmatrix}},$ $e_{2}={\begin{pmatrix}{\frac {37{\sqrt {3614}}}{3614}}\\{\frac {33{\sqrt {3614}}}{3614}} \\-{\frac {34{\sqrt {3614}}}{3614}}\end{pmatrix}},$ $e_{3}={\begin{pmatrix}{\frac {9{\sqrt {139}}}{139}}\\-{\frac {7{\sqrt {139}}}{139} }\\{\frac {3{\sqrt {139}}}{139}}\end{pmatrix}}$

A kapott vektorokból a dekompozícióból oszloponként összeállítjuk a Q mátrixot: $e_{1},e_{2},e_{3}$

$Q={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {26}}{26}}&{\frac {37{\sqrt {3614}}}{3614}}&{\frac {9{ \sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {3{\sqrt {26}}}{26}}&{\frac {33{\sqrt {3614}}}{3614}}&- {\frac {7{\sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {4{\sqrt {26}}}{26}}&-{\frac {34{\sqrt {3614}} }{3614}}&{\frac {3{\sqrt {139}}}{139}}\end{pmatrix}}.$ A kapott mátrix ortogonális , ami azt jelenti $Q^{-1}=Q^{T}.$

Keressük meg a mátrixot a kifejezésből : $R$ $R=Q^{-1}A=Q^{T}A$

$R={\begin{pmatrix}{\sqrt {26}}&3{\sqrt {\frac {2}{13}}}+{\frac {9}{\sqrt {26}}}&11{ \sqrt {\frac {2}{13}}}\\0&20{\sqrt {\frac {2}{1807}}}+{\frac {99}{\sqrt {3614}}}&56{\sqrt { \frac {2}{1807}}}\\0&0&{\frac {31}{\sqrt {139}}}\end{pmatrix}}$ a kívánt felső háromszögmátrix .

Megvált . $A = QR$

Jegyzetek

↑ 1 2 Horn, Johnson, 1990 , p. 114.
↑ 1 2 Horn, Johnson, 1990 , p. 112.
↑ Horn és Johnson, 1990 , p. 116.
↑ Horn és Johnson, 1990 , p. 117.

Irodalom

Horn, R. A. , Johnson CR Mátrix elemzés . - Cambridge University Press , 1990. - ISBN 0-521-30586-1 .

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb