QR-bontás

-mátrix dekompozíciója - egy mátrix reprezentációja egy unitárius ( vagy ortogonális mátrix ) és egy felső háromszögmátrix szorzataként . A QR-felbontás az egyik sajátvektorok és mátrixszámok megtalálási módszerének – a QR-algoritmusnak az alapja [1] .

Definíció

A méretmátrix , ahol , összetett elemekkel ábrázolható

ahol  egy méretű mátrix ortonormális oszlopokkal és  egy felső háromszög méretű mátrix . Mert a mátrix egységes . Ha ráadásul nem degenerált , akkor a -dekompozíció egyedi, és a mátrix úgy is megválasztható, hogy az átlós elemei pozitív valós számok legyenek. Egy adott esetben, amikor a mátrix valós számokból áll , a mátrixok és valósnak is választhatók, ráadásul ortogonális [ 2] .

Analógia alapján, ha egy méretű mátrix , ahol , akkor felbontható így

ahol a sorrendi mátrix alsó háromszög alakú és a méretmátrix ortonormális sorokat tartalmaz [1] .

Algoritmusok

-a lebontást különféle módszerekkel lehet elérni. Legkönnyebben a Gram-Schmidt-eljárás melléktermékeként számítható ki [2] . A gyakorlatban a módosított Gram-Schmidt algoritmust érdemes használni , mivel a klasszikus algoritmus numerikus stabilitása gyenge [3] .

A -kiterjesztés kiszámításának alternatív algoritmusai a Householder-reflexiókon és a Givens-forgatásokon alapulnak [4] .

Példa a QR-felbontásra

Tekintsük a mátrixot :

Jelölje az adott mátrix oszlopvektoraival. A következő vektorhalmazt kapjuk:

Ezután alkalmazzuk a Gram-Schmidt ortogonalizációs algoritmust , és normalizáljuk a kapott vektorokat, a következő halmazt kapjuk:

A kapott vektorokból a dekompozícióból oszloponként összeállítjuk a Q mátrixot:

A kapott mátrix ortogonális , ami azt jelenti

Keressük meg a mátrixot a kifejezésből :

 a kívánt felső háromszögmátrix .

Megvált .

Jegyzetek

  1. 1 2 Horn, Johnson, 1990 , p. 114.
  2. 1 2 Horn, Johnson, 1990 , p. 112.
  3. Horn és Johnson, 1990 , p. 116.
  4. Horn és Johnson, 1990 , p. 117.

Irodalom