-mátrix dekompozíciója - egy mátrix reprezentációja egy unitárius ( vagy ortogonális mátrix ) és egy felső háromszögmátrix szorzataként . A QR-felbontás az egyik sajátvektorok és mátrixszámok megtalálási módszerének – a QR-algoritmusnak az alapja [1] .
A méretmátrix , ahol , összetett elemekkel ábrázolható
ahol egy méretű mátrix ortonormális oszlopokkal és egy felső háromszög méretű mátrix . Mert a mátrix egységes . Ha ráadásul nem degenerált , akkor a -dekompozíció egyedi, és a mátrix úgy is megválasztható, hogy az átlós elemei pozitív valós számok legyenek. Egy adott esetben, amikor a mátrix valós számokból áll , a mátrixok és valósnak is választhatók, ráadásul ortogonális [ 2] .
Analógia alapján, ha egy méretű mátrix , ahol , akkor felbontható így
ahol a sorrendi mátrix alsó háromszög alakú és a méretmátrix ortonormális sorokat tartalmaz [1] .
-a lebontást különféle módszerekkel lehet elérni. Legkönnyebben a Gram-Schmidt-eljárás melléktermékeként számítható ki [2] . A gyakorlatban a módosított Gram-Schmidt algoritmust érdemes használni , mivel a klasszikus algoritmus numerikus stabilitása gyenge [3] .
A -kiterjesztés kiszámításának alternatív algoritmusai a Householder-reflexiókon és a Givens-forgatásokon alapulnak [4] .
Tekintsük a mátrixot :
Jelölje az adott mátrix oszlopvektoraival. A következő vektorhalmazt kapjuk:
Ezután alkalmazzuk a Gram-Schmidt ortogonalizációs algoritmust , és normalizáljuk a kapott vektorokat, a következő halmazt kapjuk:
A kapott vektorokból a dekompozícióból oszloponként összeállítjuk a Q mátrixot:
A kapott mátrix ortogonális , ami azt jelenti
Keressük meg a mátrixot a kifejezésből :
a kívánt felső háromszögmátrix .
Megvált .
Vektorok és mátrixok | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Vektorok |
| ||||||||
mátrixok |
| ||||||||
Egyéb |