Háztartási átalakítás

A Householder transzformáció ( Householder operátor ) egy vektortér lineáris transzformációja , amely leírja annak tükrözését az origón áthaladó hipersíkra . ${\displaystyle H_{u))$ $V$

Elston Scott Householder amerikai matematikus munkájában használták 1958-ban.

Széles körben használják a lineáris algebrában egy mátrix QR-felbontására .

Definíciók

Leírjuk a hipersíkot egy egységvektorral , amely merőleges rá, és legyen skaláris szorzata -ben , akkor $u$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $V$

H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u

Háztartási operátornak hívják.

A Householder mátrix alakja:

H=I-2uu^{\tőr }.

Az orosz nyelvű irodalomban reflexiós mátrixnak is nevezik.

Tulajdonságok

A Householder mátrix hermitikus : $H=H^{\dagger }.$
A Háztartási mátrix egységes : $H^{\dagger }H=I.$
A Householder mátrix a következők involúciója : . $H^{2}=I$
A Householder transzformációnak egy sajátértéke egyenlő -val , ami megfelel a sajátvektornak , az összes többi sajátérték egyenlő . $-egy$ $u$ $egy$
A Householder mátrix meghatározója a . $-egy$

Irodalom

Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM , 5 (4), 1958, 339-342. DOI:10.1145/320941.320947

Linkek