Lorentz transzformációk

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Lorentz - transzformációk egy vektor (illetve affin) pszeudo-euklideszi tér lineáris (vagy affin) transzformációi, amelyek megőrzik a vektorok hosszát , vagy ezzel egyenértékűen a vektorok skaláris szorzatát .

A pszeudo-euklideszi aláírástér Lorentz-transzformációit széles körben használják a fizikában, különösen a speciális relativitáselméletben (SRT) , ahol a négydimenziós tér-idő kontinuum ( Minkowski-tér ) affin pszeudo-euklideszi térként működik . $(n-1,\;1)$

Lorentz-transzformációk a matematikában

A Lorentz-transzformáció az ortogonális transzformáció (vagyis egy olyan transzformáció, amely megőrzi a vektorok skaláris szorzatát) természetes általánosítása euklideszi térről pszeudo- euklideszi terekre. A különbség köztük az, hogy a skaláris szorzatot nem pozitív határozottnak, hanem előjel-alternálónak és nem degeneráltnak (ún. határozatlan skalárszorzatnak) tételezzük fel.

Definíció

A pszeudoeuklideszi vektortér Lorentz-transzformációja ( Lorentz-transzformáció ) egy lineáris transzformáció , amely megőrzi a vektorok határozatlan skaláris szorzatát . Ez azt jelenti, hogy bármely két vektorra az egyenlőség $L$ $A\kettőspont L\-től L-ig$ $x,\;y\-ben L$

\langle A(x),\;A(y)\rangle =\langle x,\;y\rangle ,

ahol a háromszög zárójelek a határozatlan skaláris szorzatot jelölik pszeudoeuklideszi térben . $\langle x,\;y\rangle$ $L$

Hasonlóan, egy pszeudoeuklideszi affin tér Lorentz-transzformációja ( Lorentz-transzformáció ) egy olyan affin transzformáció , amely megőrzi az adott térben lévő pontok közötti távolságot (ezt a távolságot az adott pontokat egy határozatlan pontszorzattal összekötő vektor hosszaként definiáljuk). .

Általános tulajdonságok

Mivel minden affin transzformáció egy párhuzamos fordítás (amely nyilvánvalóan megőrzi a pontok közötti távolságot) és egy fixpontos transzformáció összetétele, az affin tér Lorentz-transzformációs csoportját ( Poincaré-csoport ) a Lorentz-transzformációs csoportból kapjuk. azonos dimenziójú vektorteret ( Lorentz-csoport ) az összes lehetséges párhuzamos átvitel hozzáadásával.
Ha valamilyen bázist választunk egy pszeudoeuklideszi vektortérben , akkor a Gram-mátrixot a határozatlan skaláris szorzatra definiáljuk . Ekkor a Lorentz-transzformációs mátrix kielégíti a relációt $L$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ $\langle x,\;y\rangle$ $G$ $A$

A^{T}\,G\,A=G,\qquad (*)

Ezzel szemben minden mátrix , amely kielégíti a relációt , Lorentz-transzformációs mátrix. Mindig lehet úgy bázist választani , hogy a határozatlan skalárszorzatnak legyen formája $A$ $(*)$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$

\langle x,\;y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{k}y_{k}-x_{{k+1}}y_{{k+1}}-\ldots -x_{n}y_{n},

és egyenlőségben a mátrix átlós elemekkel (első ) és (utolsó ). $(*)$ $G$ $egy$ $k$ $-egy$ $nk$

A relációból az következik , hogy akárcsak ortogonális transzformáció esetén, a determináns ill . $(*)$ $|A|=+1$ $|A|=-1$
Ha egy altér invariáns a Lorentz-transzformáció alatt , akkor annak ortogonális (az adott határozatlan skaláris szorzat értelmében) komplementere is invariáns a , és transzformáció alatt . Az euklideszi terek ortogonális transzformációitól eltérően azonban az egyenlőség , ahol a szimbólum az alterek közvetlen összegét jelenti , általánosságban véve nem teljesül (mindkettő alterek és ugyanazokat a nullától eltérő izotróp vektorokat tartalmazhatják , azaz mivel bármely izotróp vektor ortogonális önmagára ) [1] . $L_{1}\alhalmaz L$ $A\kettőspont L\-től L-ig$ $L_{1}^{\perp }$ $A$ $\dim L_{1}+\dim L_{1}^{\perp }=\dim L$ $L_{1}\oplus L_{1}^{\perp }=L$ $\oplus$ $L_{1}$ $L_{1}^{\perp }$ $L_{1}\cap L_{1}^{\perp }\neq 0$

Tulajdonságok az aláírási terekben (n-1, 1)

Az egyenlőségből következik, hogy a Lorentz-transzformáció a fénykúpot önmagába fordítja, és a megjelenését is önmagába fordítja (az SRT -ben - az abszolút távoli régió ). Ebben az esetben azonban a fénykúp két csúcsa által elválasztott komponense (az SRT-ben korlátozza a jövő és a múlt kúpját ) vagy átjuthat magukba, vagy helyet cserélhet egymással. $\langle A(x),\;A(x)\rangle =\langle x,\;x\rangle$
Attól függően, hogy egy adott Lorentz-transzformáció átrendezi-e a fénykúp egyes részeit, vagy a helyükön hagyja azokat, valamint a determináns előjele , a Lorentz-csoport 4 részre osztható, amelyek az útvonalhoz kapcsolódó összetevői (de csak egy közülük egy alcsoport). Ezt a tényt (négy összefüggő komponens jelenléte) gyakran a pszeudo-euklideszi tér négy orientációjának jelenléteként értelmezik (ellentétben az euklideszi térrel, ahol csak két orientáció van) [1] . $A$ $|A|=\pm 1$

A pszeudoeuklideszi sík transzformációinak kifejezett formája

A pszeudo-euklideszi sík Lorentz-transzformációi a legegyszerűbb formában írhatók fel , két izotróp vektorból álló bázis segítségével : $például$

\langle e,\;e\rangle =0,\quad \langle g,\;g\rangle =0,\quad \langle e,\;g\rangle =1/2.

Ugyanis a determináns előjelétől függően a transzformációs mátrix ezen az alapon a következő alakú: $|A|=\pm 1$

A={\begin{pmatrix}a&\ \ \,0\\0&\,1/a\end{pmatrix}}\ \Leftrightarrow \ |A|=+1,\qquad A={\begin{pmatrix}0& \ a\\1/a&\,0\end{pmatrix}}\ \Leftrightarrow \ |A|=-1,\qquad a\neq 0.

A szám előjele határozza meg, hogy a transzformáció a fénykúp egyes részeit a helyén hagyja vagy felcseréli . $a$ $A$ $(a>0)$ $(a<0)$

A pszeudo-euklideszi sík Lorentz-transzformációs mátrixainak egy másik gyakran előforduló formáját úgy kapjuk meg, hogy kiválasztunk egy bázist, amely a vektorokból és : $e'=e+g$ $g'=eg$

\langle e',\;e'\rangle =+1,\quad \langle g',\;g'\rangle =-1,\quad \langle e',\;g'\rangle =0.

Az alapban a transzformációs mátrix négy formája van: $e',\;g'$ $A$

{\begin{pmatrix}\ \operatorname {ch}\varphi &\ \ \operatorname {sh}\varphi \\\,\operatorname {sh}\varphi &\ \operatorname {ch}\varphi \end{pmatrix}} ,\quad {\begin{pmatrix}\ -\operátornév {ch}\varphi &\,\ -\operátornév {sh}\varphi \\\,-\operátornév {sh}\varphi &\,-\operátornév {ch }\varphi \end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-\operatorname {ch}\varphi &\,-\operatorname {sh}\varphi \\\,\operatorname {sh}\varphi &\ \operátornév {ch}\varphi \end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}\ \operátornév {ch}\varphi &\ \,\operátornév {sh}\varphi \\\,-\operátornév {sh }\varphi &\,-\operátornév {ch}\varphi \end{pmatrix}},\qquad (0)

ahol és a hiperbolikus szinusz és koszinusz, és a sebesség . $\operátornév {sh}$ $\operátornév {ch}$ $\varphi$

Aláírási tér transzformációk explicit formája (n-1, 1)

A -dimenziós pszeudo-euklideszi tér Lorentz-transzformációi skaláris szorzattal $n$ $L$

\langle x,\;y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{{n-1}}y_{{n-1}}-x_{n}y_{n}\quad ( egy)

a következő tétel írja le.

1. Tétel. Bármely Lorentz-transzformációhoz vannak invariáns alterek , amelyekre az (1) skaláris szorzat korlátozása nem degenerált, és van ortogonális dekompozíció $A\kettőspont L\-től L-ig$ $L_{0}\alhalmaz L$ $L_{1}\alhalmaz L$

L=L_{0}\oplus L_{1},\quad L_{0}\perp L_{1},

ahol az (1) skaláris szorzatú altér euklideszi és . [egy] $L_0$ $\dim L_{1}\leqslant 3$

Az 1. tétel kimondja, hogy egy pszeudo-euklideszi szignatúratér Lorentzi-transzformációját egy 1., 2. vagy 3. dimenziójú pszeudo-euklideszi tér Lorentzi-transzformációja és egy dimenzión kívüli euklideszi tér ortogonális transzformációja adja. $L$ $(n-1,\;1)$ $L_{1}\alhalmaz L$ $L_{0}\alhalmaz L$

Lemma. Ha , akkor az invariáns pszeudo-euklideszi altér viszont direkt összegként ábrázolható $\dim L_{1}=3$ $L_{1}$

L_{1}=M_{1}\oplus M_{2}\oplus M_{3}

vagy

L_{1}=M_{1}\oplus M_{2}

alterek , amelyek páronként ortogonálisak és invariánsak a transzformáció alatt , kivéve egyetlen esetet, amikor a transzformáció egyedi sajátértéke 3, és az egyetlen sajátvektor izotróp: . Ebben az egyedi esetben az invariáns altér nem bomlik fel a transzformáció alatt invariáns alterek közvetlen összegére , hanem ennek a transzformációnak egy háromdimenziós gyökér altere [1] . $M_{i}\subset L_{1}$ $A$ $A\kettőspont L_{1}\–L_{1}$ $\lambda=\pm1$ $e\in L_{1}$ $\langle e,\;e\rangle =0$ $L_{1}$ $A\kettőspont L_{1}\–L_{1}$

Az 1. tétel a lemmával együtt lehetővé teszi a következő eredmény megállapítását:

2. Tétel. Bármely Lorentz-transzformációhoz létezik egy ortonormális (a határozatlan skaláris szorzathoz (1) viszonyítva) : $A\kettőspont L\-től L-ig$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$

\langle e_{1},\;e_{1}\rangle =\ldots =\langle e_{{n-1}},\;e_{{n-1}}\rangle =+1,\quad \langle e_{n},\;e_{n}\rangle =-1,\quad \langle e_{i},\;e_{j}\rangle =0\;(\forall i\neq j),

amelyben a mátrix blokk-átlós formájú a következő típusú blokkokkal: $A$

rendelés 1 elemmel , $\pm 1$
a 2. sorrend az euklideszi sík forgási mátrixa a szögön keresztül , $\varphi$
A 2. sorrend az alak pszeudo-euklideszi síkjának Lorentz-transzformációs mátrixa , $(0)$
A 3. rendű egy háromdimenziós pszeudo-euklideszi tér Lorentz-transzformációs mátrixa hármas sajátértékkel és egyetlen izotróp sajátvektorral. $\lambda=\pm1$

Ebben az esetben a mátrix legfeljebb egy blokkot tartalmazhat, amely az utolsó két típushoz tartozik [1] . $A$

Ezenkívül a -dimenziós pszeudo-euklideszi tér belső szorzattal rendelkező Lorentz-transzformációinak alábbi ábrázolása érvényes . $n$ $L$ $(egy)$

3. Tétel. Egy belső szorzattal rendelkező tér bármely Lorentz-transzformációja a következő lineáris transzformációk összetételeként ábrázolható: $A\kettőspont L\-től L-ig$ $L$ $(egy)$

az egyenlet által adott euklideszi altér ortogonális transzformációja , koordinátákkal , $x_{n}=0$ $(x_{1},\;\ldots ,\;x_{{n-1}})$
A pszeudoeuklideszi sík Lorentz-transzformációja néhány koordinátával , $(x_{i},\;x_{n})$ $i<n$
a forma tükörképei , [2] . $x_{i}\mapsto \pm x_{i}$ $i\in \{1,\;\ldots ,\;n\}$

Lorentz-transzformációk a fizikában

A Lorentz-transzformációk a fizikában, különösen a speciális relativitáselméletben (SRT) azok a transzformációk, amelyeken az egyes események tér-idő koordinátái átmennek, amikor az egyik inerciális vonatkoztatási rendszerből (ISR) a másikba lépnek. Hasonlóképpen, egy ilyen átmenetben bármely 4-vektor koordinátáit Lorentz-transzformációnak vetik alá . $(x,\;y,\;z,\;t)$

Annak érdekében, hogy világosan meg lehessen különböztetni az eredeteltolásokkal és az eltolódások nélküli Lorentz-transzformációkat, ha szükséges, inhomogén és homogén Lorentz-transzformációkról beszélünk.

A vektortér Lorentz-transzformációi (azaz az origó eltolódása nélkül) alkotják a Lorentz-csoportot , az affin tér Lorentz-transzformációi pedig (vagyis eltolásokkal ) a Poincaré-csoportot , más néven inhomogén Lorentz-csoportot .

Matematikai szempontból a Lorentz-transzformációk olyan transzformációk, amelyek változatlanul megőrzik a Minkowski-metrikát , azaz az utóbbi megtartja legegyszerűbb formáját, amikor az egyik inerciarendszerből a másikba lép (más szóval a Lorentz-transzformációk analógiák). az ortogonális transzformációk Minkowski-metrikájához, amely az egyik ortonormális alapról a másikra való átmenetet hajtja végre, vagyis a koordinátatengelyek tér-időbeli elforgatásának analógja). A matematikában vagy az elméleti fizikában a Lorentz-transzformációk bármely térdimenzióra vonatkozhatnak.

A Lorentz-transzformációk azok, amelyek a galilei transzformációktól eltérően keverik a térbeli koordinátákat és az időt, történelmileg az egységes téridő fogalmának kialakulásának alapjává váltak .

Megjegyzendő, hogy nem csak az alapegyenletek Lorentz-kovariánsok (például az elektromágneses teret leíró Maxwell-egyenletek, az elektront és más fermionokat leíró Dirac-egyenletek), hanem olyan makroszkopikus egyenletek is, mint a hangot (körülbelül) leíró hullámegyenlet. húrrezgések és membránok, és néhány más (csak ekkor a Lorentz-transzformációk képleteiben nem a fénysebességet kell érteni, hanem valami más állandót - például a hangsebességet). Ezért a Lorentz-transzformációk is eredményesen használhatók az ilyen egyenletekkel kapcsolatban (bár meglehetősen formális értelemben, ami azonban - saját keretein belül - alig különbözik az alapvető fizikában való alkalmazásuktól). $c$

Transzformációk típusa kollineáris (párhuzamos) térbeli tengelyekhez

Ha az IFR az IFR -hez képest állandó sebességgel mozog a tengely mentén , és a térbeli koordináták kezdőpontja mindkét rendszerben egybeesik, akkor a Lorentz-transzformációk (egyenesek) a következőképpen alakulnak: $K'$ $K$ $v$ $x$

x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2)),

y'=y,\

z'=z,\

t'={\frac {t-(v/c^{2})x}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))},

ahol a fénysebesség , a rendszerben prímekkel mérik az értékeket, prímszámok nélkül . $c$ $K'$ $K$

Az átalakításnak ez a formája (vagyis a kollineáris tengelyek kiválasztásakor), amelyet néha boost -nak ( angol boost ) vagy Lorentz boost -nak (főleg az angol nyelvű irodalomban) neveznek, egyszerűsége ellenére valójában magában foglalja a Lorentz összes konkrét fizikai tartalmát. transzformációk, mivel a térbeli tengelyek mindig így választhatók meg, és tetszőleges térbeli elforgatások hozzáadása nem nehéz (ezt lásd alább kifejezetten kibővítve), bár ez megnehezíti a képleteket.

Az inverz transzformációt kifejező, vagyis a -n keresztül kifejező képletek egyszerűen behelyettesíthetők ( a vonatkoztatási rendszerek relatív mozgási sebességének abszolút értéke mindkét vonatkoztatási rendszerben mérve azonos, ezért kívánság szerint vonással ellátható , csak egyúttal gondosan figyelni kell, hogy a jel és a definíció megfelelt-e egymásnak) és a "sraffozott" és a "nem sraffozott" kölcsönös helyettesítése. Vagy az (1) egyenletrendszer megoldása tekintetében . $x',\;y',\;z',\;t'$ $x,\;y,\;z,\;t$ $v$ $-v$ $|v|$ $v$ $x$ $t$ $x',\;y',\;z',\;t'$
Nem szabad megfeledkezni arról, hogy a szakirodalomban a Lorentz-transzformációkat gyakran az egyszerűség kedvéért az egységrendszerbe írják, ahol . $c=1$
Látható, hogy a Lorentz-transzformációk során azok az események, amelyek az egyik vonatkoztatási rendszerben egyidejűek, nem egyidejűek egy másikban (az egyidejűség relativitása). Ezenkívül a mozgó test hosszirányú mérete kisebb, mint a hozzá tartozó vonatkoztatási rendszerben ( Lorentz-összehúzódás ), és a mozgó óra lelassul, ha „stacionárius” vonatkoztatási rendszerből figyeljük ( relativisztikus idődilatáció ).

Transzformációk kimenete

A Lorentz-transzformációkat absztrakt módon, csoportmegfontolások alapján kaphatjuk meg (jelen esetben határozatlan értékkel kapjuk meg ), a galilei transzformációk általánosításaként (amit Henri Poincaré végzett – lásd alább ). Először azonban olyan transzformációkként kapták meg őket, amelyekre nézve a Maxwell-egyenletek kovariánsak (azaz valójában nem változtatják meg az elektrodinamika és az optika törvényeinek formáját, amikor másik vonatkoztatási rendszerre váltanak). Ezek a transzformációk linearitásának feltételezéséből és az azonos fénysebesség posztulátumából is származhatnak minden vonatkoztatási rendszerben (ami az elektrodinamika kovariancia követelményének egyszerűsített megfogalmazása a kívánt transzformációkhoz és a kiterjesztéshez az inerciális vonatkoztatási rendszerek egyenlőségének elve - a relativitás elve - az elektrodinamikára ), ahogyan azt a speciális relativitáselmélet (SRT) teszi (ugyanakkor a Lorentz-transzformációkban ez határozott és egybeesik a fénysebességgel ). $c$ $c$

Meg kell jegyezni, hogy ha a koordináta-transzformációk osztálya nem korlátozódik a lineáris transzformációkra, akkor Newton első törvénye nemcsak Lorentz-transzformációkra érvényes, hanem a tört-lineáris transzformációk egy szélesebb osztályára [3] (azonban ez a szélesebb osztály transzformációk természetesen, kivéve a Lorentz-transzformációk speciális esetét - nem tartja a metrikus állandót).

A transzformációk jelölésének különböző formái

Transzformációk típusa a tengelyek tetszőleges tájolásához

A koordinátatengelyek bevezetésének önkényessége miatt számos probléma a fenti esetre redukálható. Ha a probléma a tengelyek eltérő elrendezését igényli, akkor általánosabb esetben használhatja a transzformációs képleteket. Ehhez a pont sugárvektora

{\mathbf {r}}'={\mathbf {i}}x'+{\mathbf {j}}y'+{\mathbf {k}}z',

hol vannak az ortok , fel kell osztani egy a sebességgel párhuzamos és egy rá merőleges komponensre: ${\mathbf {i)],\;{\mathbf {j)],\;{\mathbf {k))$ ${\mathbf {r))'_{\|}$ ${\mathbf {r))'_{\perp }$

{\mathbf {r}}'={\mathbf {r}}'_{\|}+{\mathbf {r}}'_{\perp }.

Ekkor az átalakítások formát öltenek

{\mathbf {r}}_{\|}={\frac {{\mathbf {r}}'_{\|}+{\mathbf {v}}t'}{{\sqrt {1-v^ {2}/c^{2}}}}),\quad {\mathbf {r}}_{\perp }={\mathbf {r}}'_{\perp },\quad t={\frac {t'+(v/c^{2})r_{\|}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}},

ahol a sebesség abszolút értéke, a sugárvektor longitudinális komponensének abszolút értéke. $v=\left|{\mathbf {v}}\right|$ $r_{\|}=\left|{\mathbf {r}}_{\|}\right|$

Ezeket a párhuzamos tengelyekre vonatkozó, de tetszőlegesen irányított sebességű képleteket át lehet alakítani a Herglotz által először kapott formára :

\mathbf {r} ={\frac {\mathbf {r} '+\mathbf {v} t'}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))+{ \frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1\right)(\mathbf {r} '\times \mathbf {v} )\times \mathbf {v} ;

t={\frac {t'+\mathbf {r'v} /c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},

ahol a háromdimenziós vektorok keresztszorzata . Kérjük, vegye figyelembe, hogy a legáltalánosabb eset, amikor az origó nem esik egybe a nulla időpillanatban, helytakarékosság érdekében itt nincs megadva. Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy a Lorentz-transzformációhoz adjuk a fordítást (az origó eltolását). $\szor$

Lorentz transzformációk mátrix formában

Kollineáris tengelyek esetén a Lorentz-transzformációkat a következőképpen írjuk fel

{\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}\gamma &-{\dfrac {v}{c)) \gamma &0&0\\-{\dfrac {v}{c}}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\ \z\end{bmátrix}},

hol van a Lorentz-tényező $\gamma \equiv {\frac {1}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}.$

A tengelyek tetszőleges orientációjával, 4 vektoros formában, ezt a transzformációt a következőképpen írjuk:

{\begin{bmatrix}ct'\\{\vec {r}}\,'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\dfrac {\vec {v}} {c}}\gamma \\-{\dfrac {\vec {v}}{c}}\gamma &I+{\dfrac ({\vec {v}}\otimes {\vec {v}}}{v^ {2}}}(\gamma -1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\{\vec {r}}\end{bmatrix}},

ahol - azonosságmátrix - háromdimenziós vektorok tenzorszorzása . $én$ $3\x 3,$ $\otimes$

Vagy mi ugyanaz,

{\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta n_{x }&-\gamma \beta n_{y}&-\gamma \beta n_{z}\\-\gamma \beta n_{x}&1+(\gamma -1)n_{x}^{2}&(\ gamma -1)n_{x}n_{y}&(\gamma -1)n_{x}n_{z}\\-\gamma \beta n_{y}&(\gamma -1)n_{y}n_ {x}&1+(\gamma -1)n_{y}^{2}&(\gamma -1)n_{y}n_{z}\\-\gamma \beta n_{z}&(\gamma -1 )n_{z}n_{x}&(\gamma -1)n_{z}n_{y}&1+(\gamma -1)n_{z}^{2}\\\end{bmátrix}}{\begin {bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmátrix}}

Ahol ${\vec {\beta }}={\frac {\vec {v}}{c}};\beta =|{\vec {\beta }}|;n_{x}={\frac { \beta _{x)){\beta ));n_{y}={\frac {\beta _{y)){\beta ));n_{z}={\frac {\beta _{z} }{\beta }}$

1. számú következtetési módszer

A transzformációs mátrixot a képletből kapjuk $B$

B(\mathbf {v} )=I-\gamma \beta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\gamma -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf { K} )^{2}

vagy ha a sebesség paraméterezi $\zeta$

B({\boldsymbol {\zeta }})=I-\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}

ahol n K = n x K x + n y K y + n z K z , ahol

{\displaystyle K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\ \0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end),{bmatrix

ami hasonló a Rodrigues-képlethez

2. számú következtetési módszer

Egy tetszőleges homogén Lorentz-transzformáció ábrázolható térforgások és elemi Lorentz-transzformációk bizonyos összetételeként , amely csak az időt és az egyik koordinátát érinti. Ez következik a tetszőleges forgatás egyszerűekre bontásának algebrai tételéből. Ezen túlmenően fizikailag nyilvánvaló, hogy egy tetszőleges homogén Lorentz-transzformáció eléréséhez csak egy ilyen elemi transzformációt és két háromdimenziós térforgatást használhatunk (az első, amely speciális tértengelyekre megy - x -től V mentén , és a második, hogy visszatérjünk az eredetiekhez), technikailag egy ilyen összetétel kiszámítása három mátrix szorzására csökken.

A Lorentz-transzformációk tulajdonságai

Látható, hogy abban az esetben, amikor a Lorentz-transzformációk átmennek a galilei transzformációkba . Ugyanez történik, amikor azt mondja, hogy a speciális relativitáselmélet egybeesik a newtoni mechanikával vagy egy végtelen fénysebességű világban, vagy a fénysebességhez képest kicsi sebességgel. Az utóbbi elmagyarázza, hogyan kombinálódik ez a két elmélet – az első a második általánosítása és finomítása, a második pedig az első korlátozó esete, amely ebben a minőségében megközelítőleg helyes (bizonyos pontossággal, a gyakorlatban gyakran nagyon-nagyon magas). ) kellően kicsi (a fénysebességhez képest) mozgási sebességhez. $c\to \infty ,$ $v/c\ 0-ra.$
A Lorentz-transzformációk invariánsan tartják az intervallumot bármely eseménypár ( tér-időpont) esetén – vagyis bármely Minkowski tér-időpont pár esetében:

s={\sqrt {c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2} }}={\sqrt {c^{2}(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}-(\Delta z' )^{2}}}.

Ezt könnyű ellenőrizni, például úgy, hogy kifejezetten ellenőrzi, hogy a Lorentz-transzformációs mátrix ortogonális -e a Minkowski-metrika értelmében: $L$

\eta _{{ik}}=\left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{mátrix}}\jobbra],

egy ilyen kifejezéssel definiált, vagyis a legegyszerűbb a boost, a háromdimenziós elforgatásoknál pedig a derékszögű koordináták definíciójából kitűnik, ráadásul az origó eltolódása nem változtatja meg a koordinátakülönbségeket. Ezért ez a tulajdonság az emelések, forgatások és eltolások bármely összetételére is igaz, ami a teljes Poincaré-csoport; Ha már tudjuk, hogy a koordináta-transzformációk merőlegesek , ebből azonnal következik, hogy a távolság képlete változatlan marad, amikor egy új koordináta-rendszerre lépünk - az ortogonális transzformációk definíciója szerint. $\sum _{i,\;k}L_{j}^{i}\eta _{ik}L_{m}^{k}=\eta _{jm}.$

Konkrétan az intervallum invarianciája is érvényesül az esetre, ami azt jelenti, hogy a téridőbeli hiperfelület , amelyet az intervallum nullával való egyenlősége határoz meg egy adott ponthoz - a fénykúphoz - Lorentz-transzformációk hatására rögzül. (ami a fénysebesség invarianciájának megnyilvánulása). A kúp két üregének belseje időszerű - valós - intervallumoknak felel meg a pontjaiktól a csúcsig, a külső régió - a térszerű - tisztán képzeletbeli (a jelen cikkben elfogadott intervallumjelzésben). $s=0,$
A homogén Lorentz-transzformációk további invariáns hiperfelületei (a Minkowski -tér gömbének analógjai) a hiperboloidok: egy kétlapos hiperboloid az origóhoz viszonyított időszerű intervallumokhoz, és egy egylapos hiperboloid a térszerű intervallumokhoz.
A kollineáris tértengelyek Lorentz-transzformációs mátrixa (egységekben ) a következőképpen ábrázolható: $c=1$ ${\begin{bmatrix}{\mathop {{\rm {ch))))\,\theta &-{\mathop {{\rm {sh))))\,\theta &0&0\\-{\mathop { {\rm {sh))))\,\theta &{\mathop {{\rm {ch))))\,\theta &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmátrix)),$

ahol . Ezt könnyű ellenőrizni, ha figyelembe vesszük és ellenőrizzük a megfelelő azonosság érvényességét a Lorentz transzformációs mátrixra a szokásos formában. $\theta ={\mathop {{\rm {Arth}}}}\,(v/c)\$ ${\rm {ch^{2}\,\theta -{\rm {sh^{2}\,\theta =1\ ))))$

Ha elfogadjuk a Minkowski által bevezetett jelölést , akkor az ilyen térre vonatkozó Lorentz-transzformáció a tengelyt is magában foglaló síkban egy képzeletbeli szögön keresztüli elforgatásra redukálódik (a tengely mentén történő mozgás esetén a síkban ). Ez nyilvánvaló, ha behelyettesítjük a fenti mátrixba - és kissé módosítjuk, hogy figyelembe vegyük a bevezetett képzeletbeli időkoordinátát - és összehasonlítjuk a szokásos forgatási mátrixszal. $x_{0}=i\,ct,\;x_{1}=x,\;x_{2}=y,\;x_{3}=z\$ $x_{0}\$ $x_{1}\$ $x_{0}x_{1}$ ${\mathop {{\rm {ch))))\,\theta ={\mathop {{\rm {cos))))\,(i\,\theta ),\;{\mathop {{\rm {sh}}}}\,\theta =-i\,{\mathop {{\rm {sin}}}}\,(i\theta )$

A Lorentz-transzformációk következményei

Hossz változás

Hagyja, hogy a rúd a vonatkoztatási rendszerben legyen, és a kezdetének és a végének koordinátái egyenlők , . A rendszerben lévő rúd hosszának meghatározásához ugyanazon pontok koordinátáit a rendszer azonos időpontjában rögzítjük . Legyen a rúd megfelelő hossza -ben , és legyen a rúd hossza -ben . Aztán a Lorentz-transzformációkból ez következik: $K'$ $x_{1}'$ $x_{2}'$ $K$ $K$ $l_{0}=x_{2}'-x_{1}'$ $K'$ ${\displaystyle l=x_{2}-x_{1))$ $K$

l_{0}=x'_{2}-x'_{1}={\frac {x_{2}-vt}({\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^ {2}}}}}}}-{\frac {x_{1}-vt}{{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} ={\frac {x_{2}-x_{1}}{{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

vagy

l=l_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.

Így a mozgó rúd hossza az "álló" megfigyelők által mérve kisebbnek bizonyul, mint a rúd megfelelő hossza.

Az egyidejűség relativitása

Ha két, egymástól térben elhelyezkedő esemény (például fényvillanások) egyidejűleg történik egy mozgó vonatkoztatási rendszerben, akkor nem lesznek egyidejűek a „rögzített” kerethez képest. Amikor a Lorentz-transzformációkból ez következik: $\Delta t'=0$

Ha , akkor és . Ez azt jelenti, hogy egy helyhez kötött megfigyelő szemszögéből a bal oldali esemény előbb következik be, mint a jobb ( ). Az egyidejűség relativitása azt eredményezi, hogy a térben nem lehet szinkronizálni az órákat különböző inerciális vonatkoztatási rendszerekben. $\Delta x=x_{2}-x_{1}>0$ $\Delta t=t_{2}-t_{1}>0$ $t_{2}>t_{1}$

Legyen két referenciarendszerben a tengely mentén minden rendszerben szinkronizált órák vannak, amelyek a „központi” óra egybeesésének pillanatában (az alábbi ábrán) ugyanazt az időt mutatják. A bal oldali ábra azt mutatja, hogyan néz ki ez a helyzet a rendszerben lévő megfigyelő szemszögéből . A mozgó vonatkoztatási rendszerben lévő órák különböző időpontokat mutatnak. A mozgás irányába mutató órák mögött, a mozgással ellentétes irányú órák a „központi” óra előtt állnak. Hasonló a helyzet a (jobb oldali ábra) megfigyelőinél. $x$ $S$ $S'$

Időtágítás mozgó testekhez

Kapcsolódó definíciók

A Lorentz -változatlanság a fizikai törvények azon tulajdonsága, hogy minden inerciális vonatkoztatási rendszerben (a Lorentz-transzformációk figyelembevételével) egyformán írhatók le. Általánosan elfogadott, hogy minden fizikai törvénynek rendelkeznie kell ezzel a tulajdonsággal, és ettől nem találtak kísérleti eltérést. Egyes elméleteket azonban eddig nem sikerült úgy felépíteni, hogy a Lorentz-változatlanság teljesüljön.

Történelem

Ez a fajta átalakítás A. Poincaré javaslatára H. A. Lorentz holland fizikusról kapta a nevét , aki egy sor műben (1892, 1895, 1899) közzétette a hozzávetőleges változatukat (a megrendelés erejéig ). A későbbi fizikatörténészek azt találták, hogy ezeket az átalakításokat egymástól függetlenül publikálták más fizikusok: $v^{2}/c^{2}$

1887: W. Vogt a Doppler -effektus vizsgálata közben [4] [5] .
1897: J. Larmor , célja olyan transzformációk felfedezése volt, amelyek mellett a Maxwell-egyenletek invariánsak [6] .

Lorentz két elektromágneses folyamat paraméterei közötti összefüggést vizsgálta , amelyek közül az egyik az éterhez képest álló , a másik pedig mozgó [7] .

A. Poincare (1900) és A. Einstein (1905) [8] modern megjelenést és megértést adott a transzformációs képleteknek . Poincaré volt az első, aki megállapította és részletesen tanulmányozta a Lorentz-transzformációk egyik legfontosabb tulajdonságát, a csoportstruktúrájukat , és kimutatta, hogy "a Lorentz-transzformáció nem más, mint egy forgás négy dimenziós térben, amelynek pontjainak koordinátái vannak ". $(x,\;y,\;z,\;it)$ [9] . Poincaré bevezette a "Lorentz-transzformációk" és a " Lorentz-csoport " kifejezéseket, és az éteri modell alapján megmutatta, hogy az abszolút referenciakerethez (vagyis ahhoz a kerethez, amelyben az éter stacionárius) képest nem lehet mozgást észlelni, így módosítva a a Galilei relativitás elve [8] .

Einstein relativitáselméletében (1905) kiterjesztette a Lorentz-transzformációkat minden fizikai (nem csak elektromágneses) folyamatra, és rámutatott, hogy minden fizikai törvénynek invariánsnak kell lennie ezen átalakulások alatt. A relativitáselmélet kinematikájának geometriai négydimenziós modelljét , ahol a Lorentz-transzformációk játsszák a koordináta-forgatás szerepét, Hermann Minkowski fedezte fel .

1910-ben V. S. Ignatovsky volt az első, aki csoportelmélet alapján és a fénysebesség állandóságának posztulátuma nélkül próbálta megszerezni a Lorentz-transzformációt [10] .

Lásd még

Összetett mozgás (a sebességtranszformációs képlet összhangban van a Lorentz-transzformációkkal)
Thomas precesszió
Lorentz csoport

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria. - ch. VII, 8. § - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Petrovsky I. G. Előadások a parciális differenciálegyenletekről. - ch. II, 14. § - Bármelyik kiadás.
↑ Frank F., Rote G. Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme Archivált : 2014. augusztus 29., a Wayback Machine // Ann. der Physic, Ser. 4, Vol. 34, sz. 5, 1911, pp. 825-855 (orosz fordítás) (Cikk, amelyben először megjegyezték, hogy a lineáris-tört transzformációk a legáltalánosabb transzformációk, amelyek összhangban vannak a relativitás elvével).
↑ Miller (1981), 114-115
↑ Pais (1982), Cap. 6b
↑ J. Larmor. Az elektromos és fényes közeg dinamikus elméletéről, 3. rész, Kapcsolatok anyagi közegekkel . - 1897. - T. 190. - S. 205-300.
↑ Vizgin V. P., Kobzarev I. Yu. , Yavelov V. E. Albert Einstein tudományos munkássága és élete: A. Pais könyvének áttekintése // Einstein gyűjtemény, 1984-1985. - M . : Nauka, 1988. - S. 314 . — ISBN 5-02-000006-X .
↑ 1 2 Kudrjavcev P. S. Fizikatörténeti kurzus három kötetben. - M . : Oktatás, 1974. - T. 3. - S. 46.
↑ Poincare A. Az elektron dinamikájáról. // A relativitás elve : Szo. a relativizmus klasszikusainak művei. - M .: Atomizdat , 1973. - p. 90-93, 118-160.
↑ "Néhány általános megjegyzés a relativitás elvéhez" 2017. július 2-i archivált példány a Wayback Machine Reportról a német természettudósok és orvosok 82. találkozójának matematikai és fizikai osztályának közgyűlésén 1910. szeptember 21-én Königsbergben;
von W.v. Ignatowsky, "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip", Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 (orosz fordítás)

Irodalom

Landau L. D. , Lifshits E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 . .
Physical Encyclopedia, 2. kötet – M .: Great Russian Encyclopedia 608. o. Archivált : 2012. március 2. a Wayback Machine -nél és 609. o. Archiválva : 2004. április 14. a Wayback Machine -nél .
Fedorov F. I. Lorentz csoport. — M .: Nauka , 1979. — 384 p.
Gel'fand I. M., Minlos R. A., Shapiro Z. Ya. A rotációs csoport és a Lorentz csoport ábrázolása. M., 1958.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria. — M.: Fizmatlit, 2009.

Linkek

Lorentz-transzformációk archiválva 2021. augusztus 25-én a Wayback Machine -nél a The Relativististic World- ben Archiválva : 2021. augusztus 23-án a Wayback Machine -nél .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4653925-6 J9U : 987007536145805171 LCCN : sh85078398