Osztófüggvény

Az osztófüggvény egy egész szám osztóihoz társított aritmetikai függvény . A függvényt osztófüggvénynek is nevezik . Különösen a Riemann-zéta-függvény és az Eisenstein-sorok közötti kapcsolat vizsgálatára használják moduláris formák esetében . Ramanujan tanulmányozta , aki számos fontos egyenlőséget származtatott a moduláris aritmetikában és az aritmetikai azonosságokban .

Ehhez a függvényhez szorosan kapcsolódik az összegző osztófüggvény , amely, ahogy a neve is sugallja, az osztófüggvény összege .

Definíció

A „ pozitív osztók összege ” σ x ( n ) függvény egy x valós vagy komplex számhoz az n pozitív osztóinak x - edik hatványainak összegeként van definiálva . A függvény a képlettel fejezhető ki

\sigma _{{x}}(n)=\sum _{{d|n}}d^{x}\,\!,

ahol azt jelenti, hogy " d osztja n -t ". A d ( n ), ν( n ) és τ( n ) jelölést (a német Teiler = osztó szóból) σ 0 ( n ), vagy az osztók számának függvénye [1] [2] jelölésére is használják . Ha x 1, akkor a függvényt szigmafüggvénynek vagy osztók összegének nevezzük [3] , és az indexet gyakran kihagyjuk, így σ( n ) ekvivalens σ 1 ( n ) [4] -vel . ${d|n}$

Az ns(n) aliquot összege asajátosztóinak összege (azazaz összes osztó, kivéve magát .n) −n(1), és egyenlő σ[5]n

Példák

Például σ 0 (12) a 12 szám osztóinak száma:

{\begin{aligned}\sigma _{{0}}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12 ^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{igazított}}

míg σ 1 (12) az összes osztó összege:

{\begin{aligned}\sigma _{{1}}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12 ^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{igazított}}

és a megfelelő osztók s(12) aliquot összege:

{\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3 +4+6=16.\end{igazított}}

Értéktáblázat

n	Elválasztók	σ 0 ( n )	σ 1 ( n )	s ( n ) = σ 1 ( n ) − n	Hozzászólások
egy	egy	egy	egy	0	négyzet: a σ 0 ( n ) érték páratlan; 2. fok: s( n ) = n − 1 (majdnem tökéletes)
2	1.2	2	3	egy	prím: σ 1 (n) = 1+n, tehát s(n) =1
3	1.3	2	négy	egy	prím: σ 1 (n) = 1+n, tehát s(n) =1
négy	1,2,4	3	7	3	négyzet: σ 0 ( n ) páratlan; hatvány 2: s ( n ) = n − 1 (majdnem tökéletes)
5	1.5	2	6	egy	prím: σ 1 (n) = 1+n, tehát s(n) =1
6	1,2,3,6	négy	12	6	első tökéletes szám : s ( n ) = n
7	1.7	2	nyolc	egy	prím: σ 1 (n) = 1+n, tehát s(n) =1
nyolc	1,2,4,8	négy	tizenöt	7	hatvány 2: s ( n ) = n − 1 (majdnem tökéletes)
9	1,3,9	3	13	négy	négyzet: σ 0 ( n ) páratlan
tíz	1,2,5,10	négy	tizennyolc	nyolc
tizenegy	1.11	2	12	egy	prím: σ 1 (n) = 1+n, tehát s(n) =1
12	1,2,3,4,6,12	6	28	16	első redundáns szám : s ( n )> n
13	1.13	2	tizennégy	egy	prím: σ 1 (n) = 1+n, tehát s(n) =1
tizennégy	1,2,7,14	négy	24	tíz
tizenöt	1,3,5,15	négy	24	9
16	1,2,4,8,16	5	31	tizenöt	négyzet: σ 0 ( n ) páratlan; hatvány 2: s ( n ) = n − 1 (majdnem tökéletes)

Az esetek és így tovább az A001157 , A001158 , A001159 , A001160 , A013954 , A013955 ... $x=2$ $x=3$

Tulajdonságok

Olyan egész számok esetében, amelyek nem négyzetek, n minden d osztójának van egy n/d osztója, ezért ilyen számok esetén mindig páros. Négyzeteknél egy osztónak, nevezetesen , nincs párja, így mindig páratlan számukra. $\sigma _{{0}}(n)$ ${\sqrt n}$ $\sigma _{{0}}(n)$

p prímszám esetén _

{\begin{aligned}\sigma _{0}(p)&=2\\\sigma _{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma _{1}(p)& =p+1\end{igazított}}

mert definíció szerint egy prímszám csak eggyel és önmagával osztható. Ha p n # ősrégiót jelent, akkor

\sigma _{0}(p_{n}\#)=2^{n}

Nyilvánvaló , hogy mindenkinek . $1<\sigma _{0}(n)<n$ $\sigma (n)>n$ $n > 2$

Az osztófüggvény multiplikatív , de nem teljesen szorzó .

Ha írunk

n=\prod _{{i=1}}^{r}p_{i}^{{a_{i}}}

ahol r = ω ( n ) n prímosztóinak száma , p i az i - edik prímosztó, a i pedig p i maximális hatványa , amely osztja n -t , akkor

\sigma _{x}(n)=\prod _{{i=1}}^{{r}}{\frac {p_{{i}}^{{(a_{{i}}+1)x }}-1}{p_{{i}}^{x}-1}}

ami egyenértékű:

\sigma _{x}(n)=\prod _{{i=1}}^{r}\sum _{{j=0}}^{{a_{i}}}p_{i}^{{ jx}}=\prod _{{i=1}}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{{2x}}+\cdots +p_{i}^{ {a_{i}x}}).

Ha x = 0-t teszünk, akkor azt kapjuk, hogy d ( n ) a következő:

\sigma _{0}(n)=\prod _{{i=1}}^{r}(a_{i}+1).

Például az n \u003d 24 számnak két prímosztója van - p 1 \u003d 2 és p 2 \u003d 3. Mivel a 24 a 2 3 × 3 1 szorzata , akkor egy 1 \u003d 3 és egy 2 \u003d 1 .

Most kiszámolhatjuk : $\sigma _{0}(24)$

{\begin{aligned}\sigma _{0}(24)&=\prod _{{i=1}}^{{2}}(a_{i}+1)\\&=(3+1) (1+1)=4\szer 2=8.\vége{igazított}}

A 24 nyolc osztója 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 és 24.

Vegyük észre azt is, hogy s ( n ) = σ ( n ) − n . Itt s ( n ) az n szám megfelelő osztóinak összegét jelöli , vagyis azokat az osztókat, amelyek nem számítanak magának az n számnak . Ez a függvény egy szám tökéletességének meghatározására szolgál - számukra s ( n ) = n . Ha s ( n )> n , n -t túlzónak , ha s ( n )< n -nek nevezzük, akkor n -t elégtelennek nevezzük .

Ha n kettő hatványa , akkor s (n) = n - 1 , ami n -t majdnem tökéletessé teszi . $n=2^{k}$ $\sigma (n)=2\x2^{k}-1=2n-1,$

Példaként két egyszerű p és q esetén (ahol p < q ) legyen

n=pq.

Akkor

\sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),

\phi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),

és

n+1=(\sigma (n)+\phi (n))/2,

p+q=(\sigma (n)-\phi (n))/2,

ahol φ ( n ) az Euler-függvény .

Ezután az egyenlet p és q gyöke:

(xp)(xq)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\phi (n))/2]x+[ (\sigma (n)+\phi (n))/2-1]=0

kifejezhető σ ( n ) és φ ( n ) értékekkel :

p=(\sigma (n)-\phi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\phi (n))/4]^{2}-[(\ szigma (n)+\phi (n))/2-1]}},

q=(\sigma (n)-\phi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\phi (n))/4]^{2}-[(\ sigma (n)+\phi (n))/2-1]}}.

Ismerve n és vagy σ ( n ) vagy φ ( n ) (vagy p+q és vagy σ ( n ) vagy φ ( n ) ismeretében könnyen megtalálhatjuk p és q értéket .

1984-ben Roger Heath-Brown bebizonyította ezt

\sigma _{0}(n)=\sigma _{0}(n+1)

végtelenül sokszor előfordul.

Sorkapcsolat

Két Dirichlet sorozat az osztófüggvény használatával:

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\sigma _{{a}}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (sa) ,

és a d ( n ) = σ 0 ( n ) jelöléssel azt kapjuk

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s),

és a második sor

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (sa)\zeta (sb)\zeta (sab)}{\zeta (2s-ab))).

Lambert sorozat az osztófüggvény használatával:

\sum _{{n=1}}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {n ^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}

bármilyen komplex | q | ≤ 1 és a .

Ez az összeg megjelenik az Eisenstein -sor Fourier-sorában és a Weierstrass-elliptikus függvények invariánsaiban is .

Aszimptotikus növekedési ütem

Az o-small szempontjából az osztófüggvény kielégíti az egyenlőtlenséget (lásd az Apostol könyvének 296. oldalát [6] )

mindenkinek

\epsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\epsilon }).

Severin Wiegert pontosabb becslést adott

\limsup _{{n\to \infty }}{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.

Másrészt, mivel a prímszámok száma végtelen ,

\liminf _{{n\to \infty }}d(n)=2.

A nagy O tekintetében Dirichlet megmutatta, hogy az osztófüggvény átlagos sorrendje kielégíti a következő egyenlőtlenséget (lásd az Apostol könyvének 3.3. tételét)

mindenkinek

x\geq 1,\sum _{{n\leq x}}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),

hol van az Euler-Mascheroni állandó . $\gamma$

Ebben a képletben a határ javításának feladata a Dirichlet-osztó probléma $O({\sqrt {x)))$

A szigma függvény viselkedése nem egyenletes. A szigmafüggvény aszimptotikus növekedési üteme a következő képlettel fejezhető ki:

\limsup _{{n\rightarrow \infty }}{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma },

ahol a lim sup a felső határa . Ez az eredmény Grönwall 1913-ban publikált tétele [7] . Bizonyítása Mertens harmadik tételét használja , amely szerint

\lim _{{n\to \infty }}{\frac {1}{\log n}}\prod _{{p\leq n}}{\frac {p}{p-1}}=e^ {{\gamma }},

ahol p prím.

1915-ben Ramanujan bebizonyította, hogy a Riemann-hipotézis szerint az egyenlőtlenség

\ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n

(Robin egyenlőtlensége)

minden kellően nagy n -re érvényes [8] . 1984-ben Guy Robin bebizonyította, hogy az egyenlőtlenség akkor és csak akkor igaz minden n ≥ 5041-re, ha a Riemann-hipotézis igaz [9] . Ez Robin tétele , és az egyenlőtlenség a tétel bizonyítása után vált széles körben ismertté. A legnagyobb ismert szám, amely megsérti az egyenlőtlenséget: n = 5040. Ha a Riemann-hipotézis igaz, akkor nincs ennél nagyobb és az egyenlőtlenséget megsértő szám. Robin megmutatta, hogy ha a hipotézis hibás, akkor végtelenül sok n szám sérti az egyenlőtlenséget, és ismert, hogy az ilyen számok közül a legkisebbnek, amely n ≥ 5041 , szuperredundáns számnak kell lennie [10] . Kimutatták, hogy az egyenlőtlenség nagy páratlan négyzet nélküli számokra érvényes, és hogy a Riemann-hipotézis ekvivalens a prímszám ötödik hatványával osztható összes n szám egyenlőtlenségével [11].

Jeffrey Lagarias 2002-ben bebizonyította, hogy a Riemann-hipotézis egyenértékű az állítással

\sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{{H_{n}}}

bármely természetes n esetén, ahol az n- edik harmonikus szám [12] . $H_n$

Robin bebizonyította, hogy az egyenlőtlenség

\ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0.6483\ n}{\log \log n))

n ≥ 3 esetén minden további feltétel nélkül teljesül .

Jegyzetek

↑ Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2. kiadás), Lexington: DC Heath and Company, LCCN 77-171950, 46. oldal
↑ OEIS sorozat A000005 _
↑ Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766, 58. o.
↑ OEIS sorozat A000203 _
↑ OEIS sorozat A001065 _
↑ "Apostol Apostol, Tom M. (1976), Bevezetés az analitikus számelméletbe, Alapképzési szövegek matematikából, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929, Zbl10031
↑ Grönwall, Thomas Hakon (1913), "Néhány aszimptotikus kifejezés a számelméletben", Transactions of the American Mathematical Society 14: 113-122, doi:10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6
↑ Ramanujan, Srinivasa (1997), „Nagyon összetett számok, Jean-Louis Nicolas és Guy Robin jegyzeteivel”, The Ramanujan Journal 1 (2): 119-153, doi: 10.1023/A:1009764017495, ISSN 80, 2-4095 1606180
↑ Robin, Guy (1984), "Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série 63 (2): 187-213, ISSN 0021-7874, 7874.
↑ Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), "Superabundant numbers and the Riemann hypothesis", American Mathematical Monthly 116 (3): 273-275, doi: 10.4169/193009709X470128
↑ YoungJu Choie, Nicolas Lichiardopol Pieter Moree Patrick Solé A Riemann-hipotézis Robin-kritériumáról 2007 Journal de théorie des nombres de Bordeaux, ISSN=1246-7405, v19, 2. szám, oldal=357-372
↑ Lagarias, Jeffrey C. (2002), "A Riemann-hipotézissel egyenértékű elemi probléma", The American Mathematical Monthly 109 (6): 534-543, doi: 10.2307/2695443, ISSN 0002-9890, ISSN 0002-9890, J951493 MRSTOR.

Linkek

Bach, Eric ; Shallit, Jeffrey , Algorithmic Number Theory , 1. kötet, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5 , lásd a 8.8. szakasz 234. oldalát.
Weisstein, Eric W. Robin tétele (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyen .
Osztófüggvényeket tartalmazó bizonyos konvolúciós összegek elemi értékelése PDF, Huard, Ou, Spearman és Williams. Tartalmazza az osztók összegének konvolúciójának elemi (vagyis nem a moduláris alakok elméletén alapuló) bizonyítását, képleteket a számok háromszögszámok összegeként való különféle módon történő ábrázolására .

Számok oszthatósági jellemzők szerint
Általános információ	Egész számok faktorizálása Oszthatóság egységes osztó Osztófüggvény prímszám Az aritmetika alaptétele Számtani szám
Faktorizációs formák	prímszám Összetett szám Semiprime téglalap alakú szám Szfenikus szám Négyzet nélküli szám Teljes többszörös Tökéletes diploma Achilles-szám sima szám Normál szám durva szám szokatlan szám
Korlátozott osztókkal	tökéletes szám Kissé elégtelen számok Kissé redundáns számok Többszörösen tökéletes szám Féltökéletes számok hipertökéletes szám szuper tökéletes szám egységes prím féltökéletes szám pararitmiás szám Erdős-Nicolas szám
Számok sok osztóval	Túlzott számok Primitív többletszámok Erősen redundáns számok Szuper redundáns számok Rendkívül felesleges számok szuperkompozit szám Nagyon szuperkompozit szám furcsa szám
Alikvot szekvenciákkal kapcsolatos	szent szám baráti számok nyilvános számok Kvázi baráti számok
Egyéb	Nincs elég szám haver számok szublimált számok Ércszámok szerény szám Egyenlő számjegyek extravagáns szám