Feltételes elvárás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A feltételes matematikai elvárás a valószínűségszámításban egy valószínűségi változó átlagos értéke egy bizonyos feltétel mellett (egyes események megvalósítása). Gyakran egy másik, valamilyen szinten rögzített, az adotthoz köthető valószínűségi változó értéke feltételként működik (ha ezek a valószínűségi változók függetlenek, akkor a feltételes matematikai elvárás egybeesik a (feltétel nélküli) matematikai elvárással). Ebben az esetben egy valószínűségi változó feltételes matematikai elvárását , feltéve, hogy a valószínűségi változó értéket vett fel, jelöléssel jelöljük , illetve függvényének tekinthető . Ezt a függvényt egy valószínűségi változó valószínűségi változó általi regressziós függvényének nevezzük , ezért a feltételes matematikai elvárást jelöljük , azaz fix érték megadása nélkül . $Y$ $x$ $x$ $E(Y|X=x)$ $x$ $Y$ $x$ $E(Y|X)$ $x$

A feltételes elvárás a feltételes eloszlás jellemzője .

Definíciók

Feltételezzük, hogy kapunk egy valószínűségi teret . Legyen integrálható valószínűségi változó, azaz . Legyen a σ -algebra σ-algebrája is . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $\mathbb {E} \vert X\vert <\infty$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$

ULV a σ-algebrához képest

Egy valószínűségi változót feltételes elvárásnak nevezünk a σ-algebrához képest, ha ${\kalap {X}}$ $x$ ${\mathcal {G}}$

${\kalap {X}}$ tekintetében mérhető . ${\mathcal {G}}$
$\forall A\in {\mathcal {G)),\quad \mathbb {E} \left[{\hat {X}}\mathbf {1} _{A}\right]=\mathbb {E} [X \mathbf {1} _{A}]$ ,

ahol az esemény indikátora (más szóval a halmazesemény karakterisztikus függvénye, amelynek argumentuma egy valószínűségi változó vagy egy elemi eredmény). A feltételes matematikai elvárást jelöli . $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$

Példa. Tegyük fel . Ekkor egy σ-algebra, és . Legyen a valószínűségi változó alakja $\Omega =\{1,2,3,4\},\,{\mathcal {F}}=2^{\Omega },\,\mathbb {P} (\omega )=1/4,\, \omega =1,\ldots ,4.$ ${\mathcal {G}}=\{\varnothing ,\{1,2\},\{3,4\},\Omega \}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ $x$

X(\omega )=\omega ^{2},\;\omega =1,\ldots ,4

Akkor

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}](\omega )=\left\{{\begin{mátrix}{\frac {5}{2)),&\omega =1,2 \\[5pt]{\frac {25}{2}},&\omega =3,4.\end{mátrix}}\jobbra.

UMO az eseménycsaláddal kapcsolatban

Legyen az események tetszőleges családja. Ekkor a feltételes matematikai elvárást viszonylag ún ${\mathcal {C}}=\{C_{\alpha }\}\subset {\mathcal {F}}$ $x$ ${\mathcal {C}}$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {C}}]\equiv \mathbb {E} [X\mid \sigma ({\mathcal {C}})]

ahol az a minimális szigma-algebra, amely . $\sigma ({\mathcal {C}})$ ${\mathcal {C}}$

Példa. Hadd is . Akkor . Legyen a valószínűségi változó alakja $\Omega =\{1,2,3,4\},\,{\mathcal {F}}=2^{\Omega },\,\mathbb {P} (\omega )=1/4,\, \omega =1,\ldots ,4.$ $C=\{1,2,3\}$ $\sigma (C)=\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{4\},\Omega \}\subset {\mathcal {F))$ $x$

X(\omega )=\omega ^{2},\;\omega =1,\ldots ,4

Akkor

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {C}}](\omega )=\left\{{\begin{matrix}{\frac {14}{3)),&\omega =1,2 ,3\\[5pt]16,&\omega =4.\end{mátrix}}\jobbra.

ULV egy valószínűségi változóhoz képest

Legyen egy másik valószínűségi változó. Ekkor a feltételes matematikai elvárást viszonylag ún $Y:\Omega \to \mathbb {R}$ $x$ $Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]\equiv \mathbb {E} [X\mid \sigma (Y)]

ahol a valószínűségi változó által generált σ-algebra . $\sigma (Y)$ $Y$

Az ULV másik meghatározása a következőkre vonatkozik : $x$ $Y$

$\mathbb {E} (X\mid Y)=\mathbb {E} (X\mid Y=y)\mid _{y=Y}$

Ez a definíció konstruktívan írja le az ULV megtalálásának algoritmusát:

keresse meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását, konstansnak véve ; $x$ $Y$ $y$
Ezután az eredményül kapott kifejezésben cserélje vissza egy valószínűségi változóra . $y$ $Y$

Példa : $X\equiv N(a,\sigma ^{2})$

$\mathbb {E} \left[{\frac {X}{Y}}\mid Y\right]=\mathbb {E} \left[{\frac {X}{y}}\right]\mid _{ y=Y}={\frac {1}{y}}\mathbb {E} [X]\mid _{y=Y}={\frac {a}{y}}\mid _{y=Y} ={\frac {a}{Y}}$

Feltételes valószínűség

Legyen tetszőleges esemény, és legyen a mutatója. Ekkor a feltételes valószínűséget viszonylag ún $B\in {\mathcal {F}}$ $\mathbf {1} _{B}$ $B$ ${\mathcal {G}}$

\mathbb {P} (B\mid {\mathcal {G}})\equiv \mathbb {E} [\mathbf {1} _{B}\mid {\mathcal {G}}]

Jegyzetek

A feltételes elvárás egy valószínűségi változó, nem egy szám.
A feltételes matematikai elvárás nulla valószínűségű eseményekig van meghatározva . Így ha és - szinte mindenhol , akkor . Ha azonosítottunk olyan valószínűségi változókat, amelyek csak a nulla valószínűségű eseményekben térnek el egymástól, megkapjuk a feltételes matematikai elvárás egyediségét. ${\hat {X}}_{1}=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$ ${\hat {X}}_{1}={\kalap {X}}_{2}$ $\mathbb {P}$ ${\hat {X}}_{2}=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$
Ha definíció szerint azt kapjuk, hogy: $A=\Omega$

\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]]

és különösen érvényes a teljes valószínűségi képlet :

\mathbb {P} (B)=\mathbb {E} [\mathbb {P} (B\mid {\mathcal {G)))]

Legyen egy σ-algebra egy partícióval . Akkor ${\mathcal {G}}=\sigma (C_{1},\ldots ,C_{n})$ $\{C_{i}\}_{i=1}^{\infty }$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {E} [X\mid C_{i}]\mathbf {1} _{C_{i}}

A teljes valószínűségi képlet a klasszikus formát ölti:

\mathbb {P} (A\mid {\mathcal {G))=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\mid C_{i})\mathbf { 1 }_{C_{i}}

és ebből következően

\mathbb {E} [\mathbb {P} (A\mid {\mathcal {G))]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A \ mid C_{i})\mathbb {E} [\mathbf {1} _{C_{i}}]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A\ mid C_{i})\,\mathbb {P} (C_{i})=\mathbb {P} (A)

Alaptulajdonságok

Ha , akkor létezik olyan Borel-függvény , hogy ${\hat {X}}=\mathbb {E} [X\mid Y]$ $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

{\hat {X}}=ó(Y)

Egy esemény feltételes elvárása értelemszerűen egyenlő a $x$ $\{Y=y\}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y]\equiv h(y)

Ha a.s. , majd a.s. $X\geq 0$ $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]\geq 0$
Ha független -tól , akkor $x$ ${\mathcal {G}}$

\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]=\mathbb {E} [X]

b.s.

Különösen, ha független valószínűségi változók, akkor $X,Y$

\mathbb {E} [X\mid Y]=\mathbb {E} [X]

b.s.

Ha két σ-algebra olyan, hogy , akkor ${\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2}$ ${\mathcal {G}}_{1}\subset {\mathcal {G}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$

\mathbb {E} [\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\mathbb {E} [X\ közép {\mathcal {G}}_{1}]

Ha — mérhető, és — olyan valószínűségi változó, hogy , akkor $x$ ${\mathcal {G}}$ $Y$ $Y,XY\in L^{1}$

\mathbb {E} [XY\mid {\mathcal {G}}]=X\,\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {G}}]

"Az elvárás megszünteti a feltételt." Ez a szabály igaz az ULV-re egy valószínűségi változó vonatkozásában (az ULV ebben az esetben egy valószínűségi változó) és a feltételes valószínűségre egy valószínűségi változó vonatkozásában

\mathbb {E} [\mathbb {E} (X\mid Y)]=\mathbb {E} (X)

További tulajdonságok

ULV diszkrét mennyiségekhez

Legyen egy diszkrét valószínűségi változó, amelynek eloszlását a valószínűségi függvény adja meg . Ekkor az eseményrendszer egy partíció , és $Y$ $\mathbb {P} (Y=y_{j})\equiv p_{Y}(y_{j})=p_{j}>0,\;j=1,2,\lpont$ $\{Y=y_{j}\}$ $\Omega$

\mathbb {E} [X\mid Y]=\sum \limits _{j=1}^{\infty }\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]\mathbf {1} _{ \{Y=y_{j}\}}

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\mathbb {E} _{j}[X]

ahol a matematikai elvárást jelenti a feltételes valószínűséghez viszonyítva . $\mathbb {E} _{j}$ $\mathbb {P} _{j}(\cdot )=\mathbb {P} (\cdot \mid Y=y_{j})$

Ha a valószínűségi változó is diszkrét, akkor $x$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,\mathbb {P} (X=x_{i} \mid Y=y_{j})=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{X\mid Y}(x_{i}\mid y_{j})

ahol egy valószínűségi változó feltételes valószínűségi függvénye a következőhöz képest . $p_{X\közép Y}$ $x$ $Y$

ULV abszolút folytonos valószínűségi változókhoz

Legyenek olyan valószínűségi változók, hogy a vektor abszolút folytonos , és eloszlását a valószínűségi sűrűség adja meg . Vezessük be a feltételes sűrűséget , definíció szerint beállítva $X,Y$ $(X,Y)^{\top }$ $f_{{X,Y}}(x,y)$ $f_{X\mid Y}$

f_{X\mid Y}(x\mid y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)))

ahol a valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége . Akkor $f_{Y}$ $Y$

\mathbb {E} [X\közép Y]=ó(Y)

ahol a függvénynek van formája $h$

h(y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx

Különösen,

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{j}]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{j} )\,dx

UMO L 2 -ben

Tekintsük a véges második momentumú valószínűségi változók terét . Ez határozza meg a skaláris szorzatot $L^{2}$

\langle X,Y\rangle \equiv \mathbb {E} [XY],\;\forall X,Y\in L^{2}

és az általa generált norma

\|X\|={\sqrt {\mathbb {E} \left[X^{2}\right]}},\;\forall X\in L^{2}

Az összes valószínűségi változó halmaza, amelynek véges második momentuma van és mérhető , ahol , altere . Majd az egyenlőség által adott operátor $L_{\mathcal {G}}^{2}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ $L^{2}$ $\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}:L^{2}\to L^{2}$

\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}(X)=\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]

az ortogonális vetületi operátor a -n . Különösen: $L_{\mathcal {G}}^{2}$

A feltételes elvárás a legjobb négyzetközép-közelítés mérhető valószínűségi változókkal: $\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]$ $x$ ${\mathcal {G}}$

\|X-\mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}]\|=\inf \limits _{Z\in L_{\mathcal {G}}^{2}}\|XZ\ |

A feltételes elvárás megmenti a pontszorzatot:

\langle X,Z\rangle =\langle \mathbb {E} [X\mid {\mathcal {G}}],Z\rangle ,\;\forall Z\in L_{\mathcal {G}}^{2 }

A feltételes elvárás idempotens :

\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}^{2}=\Pi _{L_{\mathcal {G}}^{2}}

Lásd még

Feltételes elosztás

Átlagos
Matematika	Teljesítmény átlag ( súlyozott ) harmonikus átlag súlyozott geometriai átlag súlyozott Átlagos súlyozott négyzetes közép Átlagos köbméter mozgóátlag Számtani-geometriai átlag Funkció Átlag Kolmogorov jelentése
Geometria	geometriai középpont Barycenter
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika	Winsorizált átlag minta átlag Várható érték Középső Divat szórás Csonka átlag Feltételes elvárás
Információs technológia	Medoid k-medián módszer
Tételek	Első átlagtétel Második átlagtétel Egyenlőtlenség a számtani, geometriai és harmonikus átlagról
Egyéb	Elosztóközpont mérőszámai