Feltételes elosztás

A feltételes eloszlás a valószínűségelméletben egy valószínűségi változó eloszlása azzal a feltétellel, hogy egy másik valószínűségi változó felvesz egy bizonyos értéket.

Definíciók

Feltételezzük, hogy adott a valószínűségi tér . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$

Diszkrét valószínűségi változók

Legyenek és olyan valószínűségi változók, hogy a valószínűségi vektor diszkrét eloszlású , amelyet a valószínűségi függvény adja meg . Legyen ilyen . Aztán a függvény $X:\Omega \mathbb {R} ^{m}$ $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $(X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$ $p_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$ $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P} (Y=y_{0})>0$

p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y_{0})={p_{X,Y}(x,y_{0} ) \over p_{Y}(y_{0})},\;x\in \mathbb {R} ^{m}

ahol egy valószínűségi változó valószínűségi függvénye, egy valószínűségi változó feltételes valószínűségi függvényének nevezzük , feltéve, hogy . A feltételes valószínűségi függvény által adott eloszlást feltételes eloszlásnak nevezzük. $p_{Y}$ $Y$ $x$ $Y=y_{0}$

Abszolút folytonos valószínűségi változók

Legyenek és olyan valószínűségi változók, hogy a valószínűségi vektor abszolút folytonos eloszlású , amelyet a valószínűségi sűrűség adja meg . Legyen olyan, hogy hol a valószínűségi változó sűrűsége . Aztán a függvény $X:\Omega \mathbb {R} ^{m}$ $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $(X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$ $f_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$ $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ $f_{Y}(y_{0})>0$ $f_{Y}$ $Y$

f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}

egy valószínűségi változó feltételes valószínűségi sűrűségének nevezzük , feltéve, hogy . A feltételes valószínűségi sűrűség által adott eloszlást feltételes eloszlásnak nevezzük. $x$ $Y=y_{0}$

Feltételes eloszlások tulajdonságai

A feltételes valószínűségi függvények és a feltételes valószínűségi sűrűségek valószínűségi függvények, illetve valószínűségi sűrűségek, azaz minden szükséges feltételt kielégítenek. Különösen,

$p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0,\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m},\,y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,
$\sum \limits _{x}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,

és

$f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0$ szinte mindenhol _ $\mathbb {R} ^{m+n}$
$\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,

A teljes valószínűségi képletek érvényesek :

$p_{X}(x)=\sum \limits _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)$ ,
$f_{X}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,f_{Y}(y)\,dy$ .

Ha a és valószínűségi változók függetlenek , akkor a feltételes eloszlás egyenlő a feltétel nélkülivel: $x$ $Y$

p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=p_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m}

vagy

f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=f_{X}(x)

szinte mindenhol .

\mathbb {R} ^{m}

Feltételes valószínűségek

Diszkrét valószínűségi változók

Ha egy megszámlálható részhalmaz , akkor $A$ $\mathbb {R} ^{m}$

\mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\sum \limits _{x\in A}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})

Abszolút folytonos valószínűségi változók

Ha egy Borel részhalmaza , akkor definíció szerint feltesszük $A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m})$ $\mathbb {R} ^{m}$

\mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\int \limits _{A}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx

Megjegyzés. Az egyenlőség bal oldalán lévő feltételes valószínűség nem definiálható klasszikus módon, hiszen . $\mathbb {P} (Y=y_{0})=0$

Feltételes elvárások

Diszkrét valószínűségi változók

Egy valószínűségi változó feltételes matematikai elvárása a feltétel mellett a feltételes eloszlásra vonatkozó összegzéssel kapható meg: $x$ $Y=y_{0}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\sum \limits _{x}x\,p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})

A feltételes matematikai elvárás egy valószínűségi változó feltétele mellett az egyenlőség által adott harmadik valószínűségi változó $x$ $Y$ $\mathbb {E} [X\közép Y]$

\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega

Abszolút folytonos valószínűségi változók

Egy valószínűségi változó feltételes matematikai elvárása a feltétel mellett a feltételes eloszláshoz való integrálással kapható meg: $x$ $Y=y_{0}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{0 })\,dx

A feltételes matematikai elvárás egy valószínűségi változó feltétele mellett az egyenlőség által adott harmadik valószínűségi változó $x$ $Y$ $\mathbb {E} [X\közép Y]$

\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega

Lásd még

Feltételes elvárás