Lebesgue dominált konvergenciatétele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. december 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Lebesgue-tétel a dominált konvergenciáról a funkcionális elemzésben , a valószínűségszámításban és a kapcsolódó diszciplínákban egy olyan tétel, amely kimondja, hogy ha a mérhető függvények szinte mindenütt konvergáló sorozata abszolút értékben korlátozható felülről integrálható függvénnyel, akkor a sorozat összes tagja, mint valamint a limit függvény is integrálható. Ezenkívül a sorozat integrálja konvergál a határérték integráljához.

Megfogalmazás

Legyen egy mértékkel rögzített térköz . Tegyük fel, hogy a és -on mérhető függvények , ráadásul szinte mindenhol . Ekkor ha létezik olyan integrálható függvény , amely ugyanazon a téren van definiálva úgy, hogy szinte mindenhol, akkor a függvények integrálhatók és $(X,\mathcal{F},\mu)$ $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ $f_n$ $x$ $f_{n}(x)\to f(x)$ $g$ $\forall n\in \mathbb{N} \quad |f_{n}(x)|\leqslant g(x)$ $f_{n},\;f$

\lim \limits _{{n\to \infty }}\int \limits _{X}f_{n}(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\ ,\mu(dx).

Megjegyzés

Az a feltétel, hogy egy sorozatot egy integrálható függvénnyel majorizáljon, alapvető, és nem hagyható ki, amint azt a következő ellenpélda mutatja. Legyen , ahol egy Borel -algebra a , és legyen a Lebesgue mérték ugyanazon a téren. Határozzuk meg $\{f_{n}\}$ $g$ $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )=([0,\;1],\;{\mathcal {B)),\;m)$ ${\mathcal {B}}$ $\sigma$ $[0,\;1]$ $m$

f_{n}(x)={\begin{cases}n,&x\in \left[0,\;{\dfrac {1}{n}}\right);\\[10pt]0,&x\in \left[{\dfrac {1}{n}},\;1\right].\end{cases}}

Ekkor a sorozat nem bontható be integrálható függvénnyel, és $\{f_{n}\}$

\int \limits _{0}^{1}\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{n}(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim \limits _ {{n\to \infty }}\int \limits _{0}^{1}f_{n}(x)\,m(dx).

Alkalmazás a valószínűségszámításra

Mivel egy valószínűségi változó matematikai elvárása a Lebesgue-integrál az elemi eredmények terén , a fenti tétel átkerül a valószínűségelméletbe . Legyen olyan valószínűségi változók sorozata, amelyek szinte mindenhol konvergálnak : szinte mindenhol. Legyen ezen kívül egy olyan integrálható valószínűségi változó , amely szinte biztosan. Ekkor a valószínűségi változók integrálhatók és $\Omega$ $X_{n}\-X$ $Y$ $\forall n\in \mathbb{N} \quad |X_{n}|\leqslant Y$ $X_{n},\;X$

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb {E}}X_{n}={\mathbb {E}}X.

Változatok és általánosítások

Lebesgue