Levy-tétel a monoton konvergenciáról

A monoton konvergenciatétel ( Beppo Levy tétele ) a Lebesgue-féle integrációs elmélet egyik tétele , amely alapvető fontosságú a funkcionális elemzés és a valószínűségszámítás szempontjából , ahol számos állítás bizonyításának eszközeként szolgál. Megadja az egyik feltételt , amely mellett a Lebesgue-integrál [1] előjele alatt át lehet lépni a határértékre , a tétel lehetővé teszi, hogy bizonyítsuk néhány korlátos funkcionális sorozatra integrálható határ létezését.

Különféle megfogalmazások a funkcionális elemzésből

A következőkben az integrálható függvények terét jelöli mértékkel rendelkező téren . A mértéknek nem szabad végesnek lennie. Az összes alábbi integrál esetében az integrációs terület a teljes tér . $L_{1}(X,\mu )$ $(X,\mu )$ $x$

Levi-tétel (az integrálható függvények monoton határáról). Legyen egy monoton nem csökkenő függvénysorozat -on integrálható , azaz. $f_{n}\in L_{1}(X,\mu )$ $x$

f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x)

mindenkinek és .

n\in {\mathbb {N}}

x\X-ben

Ha integráljaik össze vannak határolva:

\int f_{n}(x)d\mu \leqslant K

Akkor:

szinte mindenhol van véges határ ( vagyis a függvények pontonként konvergálnak valamelyik függvényhez a -n ); $\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x):=f(x)$ $f_{n}(x)$ $f(x)$ $x$
a limitfüggvény integrálható -ra , azaz ; $f(x)$ $x$ $f\in L_{1}(X,\mu )$
függvények konvergálnak egy függvényhez átlagosan, vagyis a térnorma szerint ; $f_{n}(x)$ $f(x)$ $L_{1}(X,\mu )$
vegyük át az integráljel alatti határig:

\int f(x)d\mu =\lim \limits _{n\to \infty }\int f_{n}(x)d\mu

A Levy-tétel egy másik formája a nem negatív sorozatok terminusonkénti integrációjára vonatkozik:

Levy-tétel (a nemnegatív sorozatok tagonkénti integrációjáról). Legyenek nem-negatív függvények integrálhatóak -ra . Ha a sorozat parciális összegeinek integráljai összességében korlátosak $\varphi _{n}\in L_{1}(X,\mu )$ $x$

\int \sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)d\mu \leqslant C

akkor

a sorozat szinte mindenhol egy véges értékhez konvergál; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
a sorozat összege integrálható függvény; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
egy sorozat részösszegeinek sorozata a térnormában lévő összegéhez konvergál ; $L_{1}(X,\mu )$
A funkcionális sorozatok időszakonkénti integrációja megengedett:

\int \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int \varphi _{ k}(x)d\mu

A tétel első és második alakja akkor megy át egymásba, ha , vagy . A második forma azonban lehetővé teszi a funkcionális sorozatok integrálásának következő kiterjesztését, nem feltétlenül állandó előjelű: $f_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)$ $\varphi _{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)$

Levi-tétel (a funkcionális sorozatok tagonkénti integrációjáról). Legyen a függvények integrálhatók . Ha a sorozat konvergál $\varphi _{n}\in L_{1}(X,\mu )$ $x$

\sum _{k=1}^{\infty }\int |\varphi _{k}(x)|d\mu <\infty

akkor

a sorozat szinte mindenhol egy véges értékhez konvergál; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
a sorozat összege integrálható függvény; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
egy sorozat részösszegeinek sorozata a térnormában lévő összegéhez konvergál ; $L_{1}(X,\mu )$
A funkcionális sorozatok időszakonkénti integrációja megengedett:

\int \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int \varphi _{ k}(x)d\mu

Ahhoz, hogy Lévy tételét ebben a formában kapjuk meg, Lebesgue főkonvergenciatételét kell alkalmazni, mivel a sorozat parciális összegei megengednek egy integrálható dúrót :

\left|\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)\right|\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }|\varphi _{ k}(x)|=\varphi (x)

Valószínűségelméletből való megfogalmazás

Mivel egy valószínűségi változó matematikai elvárása a Lebesgue-integrál az elemi eredmények terén , a fenti tétel átkerül a valószínűségelméletbe . Legyen nemnegatív a.s monoton sorozata. integrálható valószínűségi változók. Akkor $\Omega$ $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$

{\mathbb {E}}\left[\lim \limits _{{n\to \infty }}X_{n}\right]=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb { E}}X_{n}

Lásd még

Jegyzetek

↑ Azaz olyan feltételt ad, amely mellett a függvénysorozat konvergenciájából az összegezhető határértékhez konvergencia és integrálok egyenlősége következik . $f_{n}(x)\jobbra nyíl f(x)$ $\lim _{{n\to \infty }}\int f_{n}(x)dx=\int f(x)dx$

Irodalom

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - szerk. negyedik, átdolgozott. - M .: Nauka , 1976 . — 544 p.
Trenogin V. A. Funkcionális elemzés. - M .: Nauka , 1980 . — 495 p.
Shilov G.E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. - 2. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 p.