Korteweg-de Vries egyenlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

A Korteweg-de Vries egyenlet ( KdV egyenlet ; más néven de Vries , de Vries , de Vries , De Vries ; eng. Korteweg–de Vries egyenlet ) egy nemlineáris harmadrendű parciális differenciálegyenlet , amely fontos szerepet játszik a a nemlineáris hullámok elmélete , főleg hidrodinamikus eredetű. Először Joseph Boussinesq szerezte meg 1877-ben [1] , de részletes elemzést Diederik Korteweg és Gustav de Vries már 1895-ben [2] végzett .

Az egyenlet így néz ki:

{\frac {\partial u}{\partial t))+6u{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3 }}}=0

Döntések

A Korteweg-de Vries egyenletre nagyszámú egzakt megoldást találtak, amelyek stacionárius nemlineáris hullámok. Ennek az egyenletnek különösen a következő formájú szoliton típusú megoldásai vannak:

u\left(x,t\right)={\frac {2\kappa ^{2}}{\cosh ^{2}\left[\kappa \left(x-4\kappa ^{2} t-x_{0}\jobbra)\jobbra]}}

ahol egy szabad paraméter, amely meghatározza a szoliton magasságát és szélességét, valamint sebességét; szintén tetszőleges állandó, az x tengely origójának megválasztásától függően . A szolitonok számára különösen fontos az a tény, hogy minden kezdeti zavar, amely exponenciálisan a végtelenbe csökken, idővel a térben elválasztott szolitonok véges halmazává fejlődik. Ezen megoldások pontos keresése az inverz szórásos módszerrel szabályosan elvégezhető . $\kappa$ $x_{0}$

A Korteweg-de Vries egyenlet periodikus megoldásai cnoidális hullámok formájúak, amelyeket elliptikus integrálok írnak le :

x-ct-x_{0}=\int \left(2E+cu^{2}-2u^{3}\right)^{-{\frac {1}{2))}du

ahol c , E az amplitúdóját és periódusát meghatározó hullámparaméterek .

Ezenkívül a Korteweg-de Vries egyenlet önhasonló megoldásokat tesz lehetővé , amelyek általában Bäcklund-transzformációkkal érhetők el, és a Painlevé-egyenlet megoldásaiban fejeződnek ki .

A mozgás integráljai és a Lax-reprezentáció

A Korteweg-de Vries egyenlet nagy jelentőséggel bír az integrálható rendszerek elméletében, mint a pontosan megoldható nemlineáris differenciálegyenlet egyik legegyszerűbb példája. Az integrálhatóságot az biztosítja, hogy az egyenletben végtelen számú mozgásintegrál van jelen , amelyek alakja

I_{n}=\int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(u,\,\partial _{x}u,\,\partial _{x}^ {2}u,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,

ahol az n-edik fokú polinomok vannak az ismeretlen függvényben és térbeli deriváltjai, rekurzív módon a következőképpen megadva: $P_{n}$

{\begin{aligned}P_{1}&=u,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1} ^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i},\quad n\geq 2.\end{igazított}}

Ezeket a Lax reprezentációval lehet beszerezni

{\frac {dL}{dt}}=[P,L]

operátorpáron keresztül

{\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+u,\\P&=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+ 3u_{x}.\end{igazított}}

Ezenkívül kimutatható, hogy a Korteweg-de Vries egyenlet bi-Hamilton szerkezetű.

Néhány első mozgásintegrál:

súly $\int u\,{\text{d}}x,$
impulzus $\int u^{2}\,{\text{d}}x,$
energia $\int \left[2u^{3}-\left(\partial _{x}u\right)^{2}\right]\,{\text{d}}x.$

Általánosítások

Disszipáció jelenlétében a Korteweg-de Vries egyenlet átalakul Burgers-Korteweg-de Vries egyenletté , amelynek alakja

{\frac {\partial u}{\partial t))+6u{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3 ))}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}

ahol a paraméter a disszipáció mértékét jellemzi. $\nu$

A kétdimenziós geometriában a Korteweg-de Vries egyenlet általánosítása az úgynevezett Kadomtsev-Petviashvili egyenlet , amelynek alakja:

{\frac {\partial }{\partial x))\left({\frac {\partial u}{\partial t))+6u{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}\right)=\pm {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}

Jegyzetek

↑ Boussinesq J. Essai sur la theorie des eaux courantes (francia) . - 1877. - S. 360. - 680 p.
↑ DJ Korteweg , G. de Vries . A téglalap alakú csatornában haladó hosszú hullámok alakváltozásáról és a hosszú állóhullámok új típusáról // Filozófiai folyóirat . - 1895. - 1. köt. 39 . - P. 422-443 .

Irodalom

Dubrovin B. A., Krichever I. M., Novikov S. P. Integrálható rendszerek. I. - Dinamikus rendszerek - 4, Itogi Nauki i Tekhniki. - M. : VINITI, 1985. - T. 4. - S. 179-284. - (A matematika modern problémái. Alapvető irányok).
Zakharov V. E., Manakov S. V., Novikov S. P., Pitaevskii L. P. A szolitonok elmélete: az inverz probléma módszere. - 1980. - 319 p.
Korteweg-de Vries egyenlet – Fizikai enciklopédia cikk
J. Whitham. 13.11. A Korteweg-de Vries és Boussinesq egyenlet // Lineáris és nemlineáris hullámok . - Mir, 1977. - S. 443-448. — 622 p.
Newell A. Solitons a matematikában és a fizikában. - 1989. - 326 p.

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák