Integrálható rendszerek elmélete

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az integrálható rendszerek elmélete a matematikai fizika egyik ága, amely differenciálegyenletek nem disszipatív megoldásait vizsgálja, beleértve a parciális differenciálegyenleteket is . Az ilyen rendszereknek megfelelő nagyobb szimmetriája van .

C-integrálható rendszerek

A C-integrálható alatt olyan rendszereket értünk, amelyek megoldásai explicit formában nem nehezebben ábrázolhatók, mint kvadratúrákon - a probléma kiindulási adataitól függő integrálokon keresztül.

Példák

Hamiltoni integrálható rendszerek és az inverz szórási módszer

Az inverz szórási probléma módszere azt jelenti, hogy egy parciális differenciálegyenlet ábrázolható Lax-párként , két lineáris operátorból álló rendszerként, amelyek kompatibilitási feltétele a vizsgált rendszer.

Példák

szinusz-gordon egyenlet

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t\partial x}}=\sin u\qquad u=u(x,t)$

a rendszer kompatibilitási feltétele ${\frac {\partial {\vec \psi }}{\partial t}}=-{\frac 1{2\lambda }}{\begin{pmatrix}0&\exp(iu)\\\exp(iu) &0\end{pmatrix}}{\vec \psi },\qquad {\frac {\partial {\vec \psi }}{\partial x}}=-{\frac 1{2}}{\begin{pmatrix }-i{\frac {\partial u}{\partial x))&\lambda \\\lambda &i{\frac {\partial u}{\partial x))\end{pmatrix)){\vec \psi },\qquad {\vec \psi }={\begin{pmatrix}\psi _{1}(x,t)\\\psi _{2}(x,t)\end{pmatrix}}$

Építési megoldások

Integrálható rendszerek és szimmetriák

Integrálható láncok

Példák

Toda lánca
Benny lánc

Lásd még

Jegyzetek

Irodalom

Zakharov V.E., Manakov S.V., Novikov S.P., Pitaevsky L.P. A szolitonok elmélete: az inverz probléma módszere. - 1980. - 319 p.
Nemlineáris Schrödinger-egyenlet – Fizikai enciklopédia cikk
J. Whitham. Lineáris és nemlineáris hullámok . - Mir, 1977. - S. 574-578. — 622 p.
Ablowitz M., Sigur H. Solitons és az inverz probléma módszere. - M., 1987.
Lam J., Bevezetés a szolitonok elméletébe, ford. angolból, M., 1983.
L. A. Takhtadzhyan, L. D. Faddeev - Hamiltoni megközelítés a szolitonok elméletében - M.; Tudomány, 1986, 527 oldal.
Perelomov AM A klasszikus mechanika és a Lie algebrák integrálható rendszerei. - M., Nauka, 1990. - 240 p.