Sine-Gordon egyenlet

A szinusz - Gordon egyenlet egy nemlineáris hiperbolikus parciális differenciálegyenlet 1 + 1 dimenzióban, beleértve a d'Alembert operátort és egy ismeretlen függvény szinuszát. Kezdetben a 19. században vették figyelembe az állandó negatív görbületű felületek tanulmányozása kapcsán . Ez az egyenlet az 1970-es években nagy figyelmet kapott szoliton megoldásai miatt.

Az egyenlet eredete és neve

A szinusz-Gordon egyenletnek két ekvivalens formája van. A ( valós ) téridő koordinátákban ( x , t ) az egyenlet

\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0.

Az aszimptotikus koordinátákhoz közeli ( u , v ) fénykúp-koordinátákra való átlépéskor , ahol

u={\frac {x+t}{2)),\quad v={\frac {xt}{2)),

az egyenlet válik

\varphi _{uv}=\sin \varphi .

Ez a szinusz-Gordon egyenlet eredeti formája, amelyben a 19. században a K = −1 állandó Gauss-görbületű felületek , más néven pszeudoszférák vizsgálata kapcsán vették figyelembe . Olyan koordinátarendszert választunk, amelyben az u = const, v = const koordináta rácsot az ívhosszal paraméterezett aszimptotikus egyenesek adják . Az adott felület első másodfokú alakja ilyen koordinátákban speciális alakot ölt:

ds^{2}=du^{2}+2\cos \varphi \,du\,dv+dv^{2},

ahol φ az aszimptotikus vonalak közötti szög, és a második másodfokú alak esetében L = N = 0. Ekkor a Peterson-Codazzi egyenlet , amely az első és a második másodfokú forma kompatibilitási feltételét tükrözi, a szinusz-Gordon egyenlethez vezet. Ennek az egyenletnek és a megfelelő pszeudoszféra-transzformációknak a 19. században Bianchi és Bäcklund általi tanulmányozása vezetett Bäcklund transzformációinak felfedezéséhez .

A "szinusz-Gordon egyenlet" név a fizikában jól ismert Klein-Gordon egyenlet szójátéka :

\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.

A szinusz-Gordon egyenlet a Lagrange Euler- Lagrange egyenlete

{\mathcal {L}}_{\text{sine-Gordon}}(\varphi ):={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-1+\cos \varphi .

A koszinusz Taylor sorozatának kiterjesztése

\cos(\varphi )=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}

egy adott Lagrange-ban felírható Klein-Gordon Lagrange plusz magasabb rendű tagokként

{\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{sine-Gordon}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^ {2}-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {( -\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}=\\&=2{\mathcal {L}}_{\text{Klein–Gordon}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}

Solitons

A szinusz-Gordon egyenlet érdekes tulajdonsága a szoliton és a multiszoliton megoldások létezése.

Egyszolatos megoldás

A szinusz-Gordon egyenletnek a következő egyszolitonos megoldásai vannak:

\varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan e^{m\gamma (x-vt)+\delta },

ahol

\gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}}.

Az egyszolitonos megoldást, amelyre pozitív gyöket választottunk , kink -nek nevezzük , és egy hurkot képvisel a változó felett , amely egy megoldást visz a szomszédosba . Az állapotokat vákuumállapotoknak nevezzük , mivel állandó nulla energiájú megoldások. Az egyszolittonos megoldást, amelyben negatív gyökeret vettünk, antikink - nek nevezzük . Az egyszoliton oldatok formáját úgy kaphatjuk meg, hogy a Bäcklund-transzformációt alkalmazzuk a triviális (állandó vákuum) megoldásra, és integráljuk a kapott elsőrendű differenciálegyenleteket: $\gamma$ $\varphi$ $\varphi=0$ $\varphi=2\pi$ $\varphi =0{\pmod {2\pi ))$ $\gamma$

\varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi }{2)),

\varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi }{2)),\quad \varphi =\varphi _{0}=0.

Az egyszolitonos megoldások a szinusz-gordon rugalmas szalagmodell segítségével jeleníthetők meg [1] . Vegyük egy rugalmas szalag óramutató járásával megegyező ( baloldali ) tekercsét topológiai töltésű törésnek . Egy alternatív, az óramutató járásával ellentétes ( jobb oldali ) fordulat topológiai töltéssel ellentét lenne. $\vartheta _{\textrm {K}}=-1$ $\vartheta _{\textrm {AK}}=+1$

Kétszolitonos megoldások

A többszolitonos oldatok a Bäcklund-transzformáció folyamatos alkalmazásával az egyszolitonos oldatra a transzformáció eredményeinek megfelelő Bianchi-rács által előírt módon [2] állíthatók elő . A szinusz-Gordon egyenlet 2-szoliton megoldásai a szolitonokra jellemző tulajdonságokat mutatnak. Az utazó szinusz-Gordon kink és/vagy antikink teljesen átjárhatóként haladnak át egymáson, és az egyetlen megfigyelt hatás a fáziseltolódás . Mivel az ütköző szolitonok megtartják sebességüket és alakjukat , ezt a fajta kölcsönhatást rugalmas ütközésnek nevezzük .

Más érdekes kétszolitonos megoldások a levegõnek nevezett csavarodás-anti-kicsavarodás kapcsolat lehetõségébõl fakadnak . A légzőkészülékek három típusa ismert: álló lélegeztető , futó nagy amplitúdójú lélegeztető és futó alacsony amplitúdójú lélegeztető [3] .

Háromszolitonos megoldások

A háromszolittonos ütközések egy mozgó törés és egy álló lélegeztető, vagy egy mozgó ütközés és egy álló lélegeztető között az álló levegő fáziseltolódását eredményezik. A mozgó csavarodás és az álló lélegző ütközése során az utóbbi eltolódását a kapcsolat adja meg. $\Delta _{\textrm {B}}$

\Delta _{B}={\frac {2\operatorname {arctanh} {\sqrt {(1-\omega ^{2})(1-v_{\text{K))^{2}) ))}{\sqrt {1-\omega ^{2))))),

ahol a megtörési sebesség és a légzési frekvencia [3] . Ha az ütközés előtti állólégzés koordinátája , akkor az ütközés után ez lesz . $v_{{\text{K}}}$ $\omega$ $x_{0}$ $x_{0}+\Delta _{{\text{B}}}$

Kapcsolódó egyenletek

Shinus-Gordon egyenlet :

\varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .

Ezek a Lagrange Euler-Lagrange egyenletek

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-\cosh \varphi .

Egy másik, a szinusz-Gordon egyenlethez szorosan kapcsolódó egyenlet az elliptikus szinusz-Gordon egyenlet :

\varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,

ahol az x és y változók függvénye . Ez már nem szoliton egyenlet, de sok hasonló tulajdonsággal rendelkezik, mivel a szinusz-Gordon egyenlethez kapcsolódik az analitikus folytatás (vagy Wick-forgatás ) y = it . $\varphi$

Hasonló módon definiálható az elliptikus shinus-Gordon egyenlet is. Egy általánosítást a Toda-térelmélet ad .

Quantum verzió

A kvantumtérelméletben a szinusz-Gordon modell olyan paramétert tartalmaz, amely a Planck-állandóval azonosítható. A részecskespektrum egy szolitonból, egy antiszolitonból és egy véges (esetleg nulla) számú levegővételből áll. A levegővételek száma ettől a paramétertől függ. A részecskék többszöri születése kioltja a mozgásegyenleteket.

A szinusz-Gordon modell félklasszikus kvantálását Ludwig Faddeev és Vladimir Korepin végezte [4] . A pontos kvantumszórási mátrixot Alexander és Alekszej Zamolodcsikov fedezte fel [5] . Ez a modell kettős a Thirring modellel .

Véges térfogatban és sugáron

Vegye figyelembe a szinusz-Gordon modellt is egy körön, egy egyenes szakaszon vagy egy sugáron. Lehetőség van olyan peremfeltételek kiválasztására, amelyek megőrzik az adott modell integrálhatóságát. A sugárnyalábon a részecskék spektruma a szolitonokon és légzőnyílásokon kívül határállapotokat is tartalmaz.

Szuperszimmetrikus szinusz-Gordon modell

A szinusz-Gordon modell szuperszimmetrikus analógja is létezik. Ugyanilyen sikerrel találhatók hozzá az integrálhatóságot megőrző peremfeltételek.

Jegyzetek

↑ Dodd RK, Eilbeck JC, Gibbon JD, Morris HC Solitonok és a nemlineáris hullámegyenletek . Academic Press, London, 1982.
↑ Rogers C., Schief W.K. Bäcklund és Darboux Transformations . New York: Cambridge University Press, 2002.
↑ 1 2 Miroshnichenko A., Vasiliev A., Dmitriev S. Solitons and Soliton Collisions Archivált 2010. augusztus 22-én a Wayback Machine -nál .
↑ Faddeev L. D., Korepin V. E. A szolitonok kvantumelmélete (angol) // Physics Reports. - 1978. - 1. évf. 42 , iss. 1 . - 1-87 . o . - doi : 10.1016/0370-1573(78)90058-3 .
↑ Zamolodchikov A. B., Zamolodchikov A. B. Faktorizált S -mátrixok két dimenzióban, mint bizonyos relativisztikus kvantumtérelméleti modellek egzakt megoldásai // Annals of Physics. — 1979-08-01. — Vol. 120 , iss. 2 . - P. 253-291 . - doi : 10.1016/0003-4916(79)90391-9 .

Linkek

Polyanin AD, Zaitsev VF Nemlineáris parciális differenciálegyenletek kézikönyve . Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2004.
Rajaraman R. Solitons and instantons . Észak-Holland Személyi Könyvtár, 1989.